CC BY
11
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2005, Том 7, Выпуск 2
УДК 517.9+517.5
ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ СЛАБО ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВ
А. В. Абанин
Академику С. М. Никольскому к его столетнему юбилею
Приводится применение теории слабо достаточных множеств к задаче об эпиморфности операторов типа свертки.
Важную роль в теории нормально разрешимых операторов и ее приложениях сыграла работа С. М. Никольского [1], которая впоследствии получила дальнейшее развитие в различных направлениях в исследованиях многих математиков (см. краткий обзор Ю. Ф. Коробейника [2] в этом номере ВМЖ). В настоящей статье будет представлено применение теории слабо достаточных множеств к вопросу о нормальной разрешимости оператора умножения в весовых пространствах целых функций и двойственной задаче об эпиморфности оператора типа свертки.
Пусть Hj, где ] = 1, 2, — рефлексивные пространства Фреше с топологиями, задаваемыми наборами преднорм (| ■ |п/которые мы, не ограничивая общности, будем считать неубывающими по п. Предположим, что в Н1 Р| Н2 имеется такая система ненулевых элементов Е(С) := |в(А) : А £ С}, что 1п |е(А)|п/ — локально ограниченные в С функции (п £ Н; 2 = 1, 2), и что обобщенное преобразование Лапласа Т : ¥ £ Н/ 1—► ¥(е(А)) является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного к Н/ пространства на весовое пространство целых функций Е/ = шё Еп /, где
п '
Еп/ := {/ £ Н(С) : ||/||п := япр <
I Ле€ |е(А)|п , / )
— банахово пространство с нормой || ■ ||п/ (п £ Н; 2 = 1, 2). Обозначим через М(Е2,Е1) класс всех мультипликаторов из Е2 в Е1, т. е. тех целых функций для которых £ Е1 при всех / £ Е2. Отметим, что структура классов мультипликаторов различных весовых пространств целых функций изучалась ранее Ю. Ф. Коробейником и автором (см., например, [3] и [4]). Предположим, что класс М(Е2, Е1) нетривиален, зафиксируем ^(А) ф 0 из М(Е2,Е1) и рассмотрим оператор умножения М^ : / 1—► . Из теоремы о замкнутом графике следует, что М^ действует из Е2 в Е1 непрерывно. Поэтому сопряженный к М^ оператор Т^, который мы, следуя А. Мартино, будем называть оператором свертки, является линейным непрерывным оператором из Н1 в Н2. Из определения сопряженного оператора и наших предположений вытекает, что ТДе(А)) = ^(А)е(А) при всех А £ С.
© 2005 Абанин А. В.
Наша цель — при некоторых дополнительных ограничениях дать в терминах слабо достаточных множеств близкое к точному описание тех мультипликаторов для которых оператор Т^ : Н1 ^ Н2 сюръективен. Отметим, что в силу общей теории двойственности сюръективность Т^ : Н1 ^ Н2 эквивалентна нормальной разрешимости оператора умножения М^ : Е2 ^ Е1.
Напомним понятие слабо достаточного множества, введенное Д. М. Шнайдером в [5]. Пусть Ф = (Ы«=1 — последовательность локально ограниченных в С функций. Ассоциируем с Ф банаховы пространства целых функций
ЕШ := (/ € Н(С) : ||/||га := 8пр 1/(Л)' < , п € Н, I лее ехр ^п(Л) )
и введем в рассмотрение векторное пространство Е(Ф) := ип=1 Е(^п). Для произвольного подмножества Б в С определим полунормированные пространства
Е(^п; Б) := (/ € Е(Ф) : ||/||п>5 := вир 1/(Л)| < , п € Н, I лейехр ^п(Л) )
и обозначим через т^ топологию внутреннего индуктивного предела тё Е(^>п; Б) в Е(Ф).
п
Всегда т^ мажорируется топологией те. В случае, когда т^ совпадает с те, множество Б называется слабо достаточным для Е(Ф).
Положим (Л) := 1п |е(Л)|п^ и Ф-/ := )^=1, где Л € С, ] = 1, 2. Тогда введенные выше пространства Е^ не что иное, как Е(Ф^), ] = 1, 2. Далее, назовем замкнутое множество V на плоскости (Ф1, Ф2)-исключительным множеством функции если
(Уп)(Зт)(ЗЯ > 0)(УЛ € С \ V) (|Л| > Я ^ 1п |^(Л)| ^ ^пд(Л) - <^,2(Л) - Я).
Предложение 1. Если для функции ^ существует такое (Ф1, Ф 2) -исключительное множество V, что С \ V слабо достаточно для Е2 (= Е(Ф2)), то оператор свертки Т^ — эпиморфизм Н1 на Н2, или, что равносильно, М^ — нормально разрешимый оператор из Е2 в Е1 .
< В соответствии с теоремой о дискретизации слабо достаточных множеств, установленной О. В. Епифановым в [6], С \ V содержит последовательность Л = (Лк)^=1 с единственной предельной точкой на бесконечности, которая образует слабо достаточное для Е2 множество. Тогда по теореме К из [7] система Е(Л) := (е(Лк))^=1 является абсолютно представляющей в Н2, т. е. каждый элемент у из Н2 разлагается в абсолютно сходящийся в Н2 ряд у = с^е(Л^) (здесь Ск = Ск(у) — комплексные числа, определяемые по у,
возможно, неоднозначно; по поводу общего понятия абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах и основных свойств таких систем см. обзорную статью Ю. Ф. Коробейника [8]). Так как по условию V является (Ф1, Ф2)-исключительным множеством функции то для любого п существуют т, Я > 0 и N € N такие, что для к > N
Ск
МЛк)
|е(Лк)|п,1 ^ ея|с&| ехр (^^(Лк) - <£пд(Лк))|е(Лк)|п,1 = ея|ск||е(Л^)|т,2
Ск
где N выбрано настолько большим, что Л| > Я при к > N. Поэтому ряд ^ е(Лк)
к=1 МЛк)
сходится абсолютно в Н1 к некоторому элементу . Ясно, что = у, и тем самым
предложение доказано. >
Замечание. Изложенный в доказательстве предложения 1 прием использования абсолютно представляющих систем в вопросах разрешимости функциональных уравнений и ранее применялся А. Ф. Леонтьевым, В. Х. Мусояном, Ю. Ф. Коробейником, Ю. Н. Фроловым и др. (см. по этому поводу, например, [9]).
Покажем теперь, как при некоторых дополнительных ограничениях можно получить результат обратного по отношению к предложению 1 характера. Положим
Мо(£2,£1) := {^ е Н(С) : (Уп)(3га) |/(А)| = (л)-^,2(л)) в С}.
Нетрудно видеть, что Мо(£2,Е) С М). Одно из ограничений, которое мы будем использовать ниже, состоит в требовании справедливости равенства М(^2,^1) = Мо(Е2, Е1). Отметим, что это равенство заведомо выполняется для так называемых густых пространств Е2 (см. предложение 3 из [3]) и что простые по форме условия густоты имеются в [3] и [4].
Предложение 2. Допустим, что верхняя огибающая ^>2 (А) := Иш ^>П2(А) весовой последовательности Ф2 принимает всюду в С конечные значения, а Ф1 такова, что
(Уп)(3га) Иш (^тд(А) - ^пд(А))=+го. (1)
л—
Положим
Уп,» := {А е С : 1п |^(А)| < <^д(А) - <^(А)}, п е N.
Если М(^2,^1) = Мо(Е2, Е1), то из нормальной разрешимости оператора М» : Е2 ^ Е или, что то же самое, эпиморфности оператора Т» : Н1 ^ Н2 следует, что при любом п е N множество С \ Уп,» слабо достаточно для Е2.
< Зафиксируем произвольное к е N и рассмотрим / е Е с оценкой |/(А)| = 0(ехр(А)) вне Уп,». Не ограничивая общности, можно считать, что к ^ п. Так как ^ е М(Е2, Е1) и по условию М(Е2, Е1) = Мо (Е2, Е1), то при некотором I ^ к всюду в С имеет место соотношение |^(А)| = 0(ехр(^гд(А) — ^,2(А))). Поэтому
|/(А)^(А)| = 0(ехр^д(А)) вне Уп,».
Далее, из принадлежности / пространству Е2 и определения Уп,» следует, что
|/(А)^(А)| = 0(ехр<£пд(А)) на Уп,».
Таким образом,
|/(А)^(А)| = 0(ехр<^д (А)) всюду в С. (2)
Отметим, что номер I зависит лишь от к и
Теперь воспользуемся тем, что оператор М» нормально разрешим, т. е. тем, что М»(Е2) — замкнутое подпространство в Е1. Поскольку Е, в силу условия (1), — )-
пространство (или в терминологии Себаштьяна-и-Сильва *-пространство; см. по поводу таких пространств и их свойств обзор В. В. Жаринова [10]), то тогда М»(Е2), наделенное индуцированной из Е топологией, совпадает с тё(М»(Е2)П Еп1) и так-
п
же является )-пространством. Это обстоятельство позволяет применить теорему
А. Гротендика об открытом отображении (см. Приложение 1 Д. А. Райкова в книге [11], теорема 2), в соответствии с которой М» — топологический изоморфизм Е2 на М»(Е2)
(инъективность оператора М^ очевидна). Отсюда с помощью факторизационной теоремы А. Гротендика (см. [12, теорема 6.5.1]) получаем, что имеются такие т £ N и С > 0, что для всех д £ Е2
,ир 1д(Л)1 < С 8ир 1д(ЛМЛ)1
ьир < С ьир .
лее ехр ^т,2(Л) лее ехр (Р1,1(Л)
Применив это неравенство к / вместо д и использовав (2), заключаем отсюда, что |/(Л)| = 0(ехр <£т,2(Л)) в С. При этом номер т зависит в конечном итоге лишь от к и р. Остается воспользоваться теоремой 2 из [13], чтобы завершить доказательство. >
Замечание. Две весовые последовательности неубывающих по п локально ограниченных в С функций Ф = (Ы«=1 и Ф = называются эквивалентными (Ф ~ Ф), если одновременно выполняются два условия:
(Ук)(31)(ЗС)(УЛ £ С) щ(Л) < ^(Л) + С
(Уп)(Зт)(ЗБ)(УЛ £ С) ^„(Л) < рт(Л) + Б.
Очевидно, что если Ф ~ Ф, то пространства Е(Ф) и Е(Ф) совпадают между собой как множества и топологические пространства. Нетрудно также видеть, что слабая достаточность множества и нормальная разрешимость оператора умножения инвариантны относительно замены весовых последовательностей на эквивалентные. Поэтому в предложениях 1 и 2 можно вместо Ф-/ = (1п |е(Л) )^=1 брать любые эквивалентные им последовательности, что мы и будем делать в дальнейшем.
Покажем, как из предложений 1 и 2 можно получать критерии нормальной разрешимости операторов умножения и сюръективности операторов типа свертки. Мы рассмотрим в качестве примера пространства целых функций с заданной оценкой индикатора при порядке р > 0 и двойственные к ним пространства аналитических в (р, а)-выпуклых областях функций, где а(г) — функция вида гр( 1 + ат + ••• со специально подобранными коэффициентами (1 < к < п). По поводу используемых ниже понятий и результатов, связанных с теорией целых функций и (р, а)-выпуклыми множествами, см. [14] и [15]. Отметим лишь, что частным случаем (р, а)-выпуклых множеств при а(г) = гр являются р-выпуклые (см. [16]), а, следовательно, и выпуклые (они получаются при р = 1 и а(г) = г) множества.
Пусть О — ограниченная (р, а)-выпуклая функция с (р, а)-опорной функцией д(-0). Обозначим через И(О) пространство всех аналитических в G функций, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах из О. Эту топологию можно задать с помощью последовательности норм
|я„ := тах{|/(г)| : г £ Б„}, п £ N,
где — произвольно зафиксированная последовательность областей, исчерпыва-
ющая О изнутри (т. е. О = Бп и Бп С Бп+1 при п = 1,2,...). Как известно
(см. [15, гл. 5, теорема 2.6]), обобщенное преобразование Лапласа ^ 1—► ^(Кр,а(Л, г)) устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным к И (О) пространством и Е(Фс), где Фс := (|Л|р(д(а^ Л) — 1/к) 1 . Здесь Кр,а(Л, г) — целая в
V )к=1 '
С2 функция, которая при а(г) = гр есть не что иное, как функция Миттаг-Леффлера Ер,1/р(г) := ^=0 гк/Г^. Отметим, что Е(Фс) совпадает с пространством [р, д(0)) тех целых функций, которые имеют при порядке р конечные типы и индикаторы, строго
и
меньшие #(0). Кроме того, мы будем еще пользоваться тем, что Фс эквивалентна последовательности (in |Кр,а(A,z)|^n=! (это нетрудно извлечь из контекста на С. 142-146 в [15]) и что E(Фс) — густое пространство (это следует из предложения 7 в [3]).
Предположим, что нам даны две ограниченные (р, а)-выпуклые области Gi и G2 с (р, а)-опорными функциями gi(-0) и #2(-0), причем #i(0) = #2(0) + h(0), где h(0) — 2п-периодическая р-тригонометрически выпуклая функция. Положим Hj : = H(Gj), e(A) := KP;Q,(A,z), Ej := Е(Фс^-) = [p,gj(0)), где j = 1, 2 и A £ C, возьмем произвольную целую функцию р, имеющую при порядке р конечный тип и индикатор, равный h(0), и применим к этим пространствам и р предложения 1 и 2. Отметим, что в данном случае класс мультипликаторов M(E2,Ei) совпадает с Mo(E2,Ei) и представляет собой пространство [р, h(0)] всех целых функций конечного типа при порядке р с индикаторами при этом порядке, не превосходящими h(0). Поэтому р £ M(E2,Ei).
Обозначим через ¿(#2) дополнение до R множества int{0 £ R : (0) + р2#2 (0) = 0}, являющегося объединением всех интервалов р-тригонометричности функции #2, и допустим, что р имеет вполне регулярный рост на ¿(#2). Тогда из классической теории целых функций (см. [14, гл. III]) следует, что имеется такое множество V0 кружков с нулевой линейной плотностью (C0-множество), что имеет место условие:
(Vn)(3R„ > 0) in |р(A)| ^ |A|p(h(arg A) - 1/n)
для любых A £ C \ V0 с |A| ^ Rn и arg A £ ¿(g2). Отсюда следует, что V0 является (Фс1, Фс2 )-исключительным множеством для р. Далее, с помощью принципов Фрагме-на — Линделефа и максимума модуля и определения C 0 -множества стандартным путем устанавливается, что C \ V0 — слабо достаточное для E2 множество. Последнее следует также из приведенных в [17] условий слабой достаточности множеств для пространств вида [р(г),#(0)), где р(г) ^ р — уточненный порядок. Остается воспользоваться предложением 1, чтобы прийти к выводу об эпиморфности оператора Tß : H(Gi) ^ H(G2).
Обратно, если T^(H(Gi)) = H(G2), то по предложению 2 множество
Vn,ß := {A £ C : in ^(A)| < |A|P(h(arg A) - £) |
обладает тем свойством, что C \ Vn,ß слабо достаточно для E2 при любом натуральном n. Если предположить, что р^) не имеет полной регулярности роста на каком-либо из лучей множества ¿(#2), скажем, 00, то в соответствии с [18] имеются П0 £ N, а £ (0,1)
и последовательность rm | то такие, что in |р(A)| ^ |A|P( h(arg A)--1 при всех A £
V П0/
Km := {С : IZ - rmei0° | ^ ОД^}, m = 1, 2,... Так как U := (Jm=i Km содержится в Vm,ß, то C \ Vn° вложено в C \ U. Поэтому C \ U также должно быть слабо достаточным для E2. А последнее невозможно, так как слабо достаточные для E2 = [р, #2(0)) множества S обладают тем свойством (см. [17], а также [19]), что для любых 00 £ ¿(#2) и е > 0
inf{A £ S : |A| ^ kr, | arg A - 001 < е}
lim lim ---1—1-1-1-- = 1.
fc^i+0sup{A £ S : |A| ^ r, | arg A - 00| ^ е}
Итак, мы пришли к следующему результату, обобщающему известный критерий В. А. Ткаченко эпиморфности операторов типа свертки в р-выпуклых областях [20] и одновременно являющемуся усилением результатов Л. С. Маергойза из § 3 главы 5 в [15], в которых были установлены достаточные условия эпиморфности таких операторов в (р, а)-выпуклых областях (в [15] требовалось, чтобы р имела вполне регулярный рост на всех лучах, исходящих из начала координат).
Предложение 3. Пусть G\ и G2 — (р, а)-выпуклые области с (р, а)-опорными функциями gi(-0) и §2(-0), причем gi(0) = g2(0) + h(9), где h(0) — р-тригонометрически выпуклая функция, и пусть ß — произвольная целая функция, имеющая при порядке р конечный тип и индикатор, равный h(0). Для того чтобы оператор свертки : H(Gi) ^ H(G2) был эпиморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы ß имела вполне регулярный рост на множестве 6(д2).
В заключение отметим, что предложения 1 и 2 можно использовать и для других пространств (например, для пространств ультрадифференцируемых функций). Однако это требует значительных дополнительных исследований, выходящих по объему за рамки настоящей работы.
Литература
1. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1943.—Т. 7, № 3.—С. 147-166.
2. Коробейник Ю. Ф. О применении теории возмущений нормально разрешимых операторов к некоторым классам операторов в комплексной области // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 2.— C. 74-87.
3. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Analysis Math.— 1989.—Т. 15, № 2.—P. 105-114.
4. Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки.—1994.—№ 4.—С. 3-10.
5. Schneider D. M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc.—1974.— V. 197.—P. 161-180.
6. Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. вузов. Математика.—1986.—№ 7.—С. 50-56.
7. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1986.—Т. 50, № 3.—С. 539-565.
8. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, № 1.—С. 73-126.
9. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1978.—Т. 42, № 2.— С. 325-355.
10. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 4.—С. 97-131.
11. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.— 257 с.
12. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1072 с.
13. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат. заметки.—1986.—Т. 40, № 4.— С. 442-454.
14. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат, 1956.—632 с.
15. Маергойз Л. С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике.—Новосибирск: Наука, 1991.—272 с.
16. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной облас-ти.—М.: Наука, 1966.—672 с.
17. Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Мат. заметки.—1991.—Т. 49, № 2.—С. 3-13.
18. Азарин В. С. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Мат. сб.—1969.—Т. 79, № 4.— С. 463-476.
19. Абанин А. В. О свойствах и распределении на плоскости эффективных множеств // Изв. Сев.-Кав. науч. центра высш. шк. Сер. естеств. наук.—1985.—№ 3.—С. 34-37.
20. Ткаченко В. А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1977.—Т. 41, № 2.—С. 378-392.
Статья поступила 12 ноября 2004 г-
Абанин Александр Васильевич, д. ф.-м. н. Ростов, Ростовский государственный университет E-mail: abanin@math.rsu.ru
