ОБ ОДНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЛА π В ВИДЕ ДВОЙНОГО РЯД Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2016. Т. 17. С. 3—11

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 517.521.5 ЫБС 40В99

Об одном представлении числа п в виде двойного ряда *

Е. Н. Галушина

Сибирский федеральный университет

Красноярский государственный медицинский университет им. В. Ф. Войно-Ясенецкого

Аннотация. Предлагается новое представление числа п в виде двойного ряда, которое следует из связи р-функции Вейерштрасса и тэта-функции Якоби. Даются определения классических р-функции Вейерштрасса, тэта-функции Якоби. В начале 1980-х гг. итальянский математик П. Заппа попытался обобщить р-функцию на пространства большей размерности, пользуясь методами многомерного комплексного анализа. С помощью ядра Бохнера - Мартинелли им было найдено такое обобщение, что свойства обобщенной р-функции напоминают свойства классической одномерной р-функции, а также многомерный аналог тождества, связывающего р-функцию и тэта-функцию многих переменных.

Данное тождество содержит постоянную, для которой есть интегральное представление, верное и в одномерном случае. Вычисляя в одномерном случае данную константу разными способами: при помощи интегрального представления, и пользуясь известными рядами, суммы которых выражаются через дигамма функцию, нами было получено представление числа п в виде абсолютно сходящегося двойного ряда.

Были проведены компьютерные эксперименты для оценки скорости сходимости данного ряда. Хоть она оказалась и невысокой, возможно, данное представление будет полезно в фундаментальных исследованиях по математическому анализу и теории чисел.

Ключевые слова: р-функция Вейерштрасса, тэта-функция Якоби, число п.

* Работа поддержана грантом правительства Российской Федерации для научных исследований под руководством ведущих ученых в Сибирском федеральном университете, договор №14.У23.31.0006

1. Введение

Существует множество формул для вычисления цифр числа п с использованием бесконечных рядов и произведений. Среди них хорошо известны и исторически значимые формулы Виета, Валлиса, ряд Лейбница, формулы Дж. Мэчина, и современные, быстро сходящиеся ряды, например формулы Рамануджана или формула Чудновских.

В данной работе с использованием свойств р-функции Вейерштрасса и тэта-функций Якоби было получено новое представление для числа п в виде двойного ряда:

1 1 ^

7Г = -- + - + >

1 — р р

7

1 1 1

1 — 7 — Р 7 + Р 1

где 7 пробегает решётку гауссовых чисел за исключением нуля.

Скорость сходимости данного ряда невысокая и зависит от выбора точки р: точность 5 знаков после запятой достигается после 108 слагаемых для р = (1 + г), 100000 слагаемых для р = \ (1 + г).

Возможно, данное представление будет интересно в исследованиях по математическому анализу и теории чисел.

2. Основные определения

Рассмотрим комплексную плоскость С и решётку Г на ней:

Г = < П71 + Ш72|п, тей,- е С \ М I 71

Заметим, что линейным преобразованием любая решётка приводится к виду Z®тZ, где Зт > 0. Зафиксируем решётку Г = Z®тZ и рассмотрим следующий ряд:

1 + у( 1 -1

*2 7)2 72

где Г' — вся решетка за исключением элемента 7 = 0. Данный ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах, не содержащих точек Г [5, стр. 296]

Определение 1. р-функцией Вейерштрасса называется сумма ряда

1 . ( 1 1 '

= (ад

7€Г

р-функция Вейерштрасса является двоякопериодической функцией, не имеющей никаких особых точек, кроме полюсов в узлах решётки на плоскости, т. е. эллиптической функцией в С.

С эллиптическими функциями тесно связаны тэта-функции:

Определение 2. [1] Тэта-функцией называется сумма ряда

те

(г,т) =

^ / а\2

\г, ' ) — / е е е

где V — комплексные числа, 9т > 0.

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на любом компактном подмножестве в С х Н (Н — верхняя полуплоскость) [1, стр. 197].

Тэта-функции являются квазипериодическими, т. е. сдвигу аргумента на любой элемент решётки периодов соответствует умножение функции на экспоненциальный множитель:

(г + ат + Ь, т) — ехр {пгЪ/ — пга2т — пiav — 2пгах) (г, т).

Отношение двух тэта-функций, ассоциированных с одной и той же решёткой, представляет собой эллиптическую функцию. И обратно для любой эллиптической функции будут существовать выражения через тэта-функции [5, стр. 350].

Тэта-функция Якоби

те 2

вг (г,т) = -г ^ (-1)гае^(^'е^И)

есть частный случай общей тэта-функции: в1 (г,т) — —гб1;1 (г,т) . в\-функция и р-функция Вейерштрасса связаны равенством:

с12

р(г) = —^1пв1(г)+с, (2.2)

где константа с выбирается так, чтобы ряд Лорана функции р (г) при г — 0 не содержал членов нулевой степени [3].

и=—те

и=—те

3. Многомерный аналог р-функции Вейерштрасса

В начале 1980-х гг. итальянский математик П. Заппа предложил в работе [9] следующее обобщение р-функции Вейерштрасса на случай многих комплексных переменных, оказавшееся полезным в различных областях (см. [8], [9], [10]).

Пусть Г — решётка в пространстве Сп. Положим по аналогии с (2.1):

рг (г) = <рг (г, 0) + £ (г, 7) - (0,7)), (3.1)

тег'

где ^>г — производная смещённого ядра Бохнера — Мартинелли без (1г:

д

Ч>% (г, 7) = -—Фвм (2 - 7) >

(еп=1 г !2)

Тогда определим

(п — 1)! ,_,

Рч (-г) = т—Рг (*) л ^ л - л л - л (2пг)

Ряд в (3.1) сходится равномерно на компактах, не содержащих точек из Г ([10], стр. 25).

Для форм рг] существует многомерный аналог тождества (2.2). Если М = Сп/Г — комплексный тор, то ргз можно рассматривать как меро-морфную форму на М. Пусть В — дивизор нулей на М тэта-функции в в Сп, тогда верна

Теорема 1. [9] Справедливо равенство

108(9

©

для любой точки р € М, р </ В, где с^ не зависит от р.

Предложение 1. [9, Предложение 2] Константы сгз представляются интегралами

с* =%- I д\оё1г/\ рч (г - р). (3.3)

дЯ

Здесь Q — фундаментальный параллелепипед в Сп, а р — представитель класса р € М из внутренности этого параллелепипеда. Функция Н — любая гладкая положительная функция такая, что ш = Н \ в\ является Г-инвариантной функцией. Согласно [2, стр. 344], такая функция Н является экспонентой от квадратичного полинома от г и г.

+ сгз,

р

4. Представление числа п в виде двойного ряда

Можно показать, что константа в тождестве (2.2) равна

п2Е2

где

2 п ■ дп

E2 (т) = 1 +

С (-1) ^ 1 - qn

' n—l

С — дзета-функция Римана, а q = е2жгт. Пользуясь представлением ряда E2 в случае гауссовой решётки Г = Z ® iZ и известным тождеством [4, стр. 718, формула 4], получаем:

c = —п.

С другой стороны, эта же константа может быть вычислена при помощи интеграла (3.3)

с = — / р (z — р) d log h. п J

dQ

В качестве тэта-функции, определяющий дивизор В, возьмём

2

по той причине, что её нули — в точности узлы решётки Г. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найдем подходящую функцию h:

h (z) = e-n(lmz)2.

Взяв производную от log h (z) по переменной z, окончательно получаем

У niyp (z — p) dz = — J yp (z — p) dz.

г

с =

п

dQ dQ

Выберем в качестве Q — единичный квадрат с вершинами в точках 0, 1, 1 + г, г, тогда

( 1 1

с — — J ур (г — р) dг — — ( J 0 ■ р (х — р) dx + J ур (1 + гу — р) idy+ дд \о о

1 1 N

— У р (х + г — р) dx — J ур (гу — р) idy

Поскольку р-функция является двоякопериодической, то 1 1

ур (1 + гу — р) idy — J ур (гу — р) idy, о

1 1 1р (х+г—р) "х Чр (х—р) ^

Таким образом,

1

с—/р <х—р) ь,

(см. также доказательство леммы 1 в [7]).

Вычислим этот интеграл, интегрируя почленно ряд (2.1).

dx

( х — р )

2 +

тег'

dx

dx

.(ж-7 -р)2 72.

11

-+ - + /

1 — р р

1 1 тег'

1 1 1

1 — 7 — р 1 + р 12

Таким образом,

п —

11

1-+ - + /

1 — р р

1 1 тег'

+

1 — 7 — р 7 + р 7

(4.1)

С другой стороны, сумма этого ряда 5 может быть вычислена непосредственно, так как ряд (4.1) сходится равномерно, то есть при любом исчерпании множества суммирования. Представим его в виде предела частичных сумм по квадратам Qk — {(ш,п) € Z2 : тах{|п| , \т\} < к} так, что

Б — 11т Бк,

к^те

где

Бк — Бк—1 +

Е

шах{|п|,|т,|}=к

+

1

1 — 7 — р 7 + р 1

,ке N и

5 '

1 — р р

1

с

1

1

1

1

Иначе говоря, Sk есть сумма членов ряда по всем точкам 7 решётки Г', лежащим внутри и на границе квадрата Qk с вершинами в точках к% + к, к% к, к% к, к% + к. Можно показать, что

^ 1 1

Sk =

it + 1 + к — p it — к — p t=-k

Воспользуемся теперь следующей формулой [4, стр. 601, формула 7]: n 1 1

где ф (z) — дигамма функция. Имеем

Sk = i [ф (1 + к + i + ki — pi) — ф (i + ki — pi) — —ф (1 + к — ki — pi) + ф (—ki — pi)] + i [—ф (к + 1 — i — ki + pi) + ф (1 — i — ki + pi) — ф (1 + ki + pi) + ф (1 + к + ki + pi)]

Применив формулу дополнения [4, стр. 774], получим

Sk = i [ф(1 + к + i + ki — pi) —

— ф (1 + к — ki — pi) — ф (1 + к — i — ki + pi) + +ф (1 + к + ki + pi) + nctg (ni (1 + к — p)) + nctg (ni (k + p))].

Воспользуемся асимптотическим рядом для дигамма-функции [6]:

Sk ~ i [ln (k + i (1 + к — p)) — ln (k — i (k + p)) +

+ ln (k + i (k + p)) — ln (k — i (1 + к — p)) —

+7TCtg (7П (1 + к - p)) + 7TCtg (7П (k + p))} + О ^ при к — ж .

Пользуясь свойствами пределов и логарифма, получаем:

lim Sk = г ln lim —--—----—------h

(k — i (k + p)) (k — i (1 + к — p))

+ in lim ctg (ni (1 + к — p)) + in lim ctg (ni (k + p)) .

Для вычисления lim ctg (ni (1 + к — p)) при к — ж воспользуемся формулой Эйлера:

i (e-z + ez) i (e-2z + 1)

ctg iz =-= 0-—L.

ь e-z — ez e-2z — 1

Тогда

e-2n(1+k-p) + 1

ш Ä, Ctg (TTi (1 + к-р)) = -TT Ит £_2ф+к_р) _ 1 Аналогично

in lim ctg (ni (k + p)) = n.

h^x

Окончательно имеем

1 + i ni lim Sk = 2г In--h 2ir = 2i In г + 2тт = 2г--b 2тт = тт.

h^x 1 — i 2

Список литературы

1. Гурвиц А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. - М. : Наука, 1968. — 648 с.

2. Гриффитс Ф. Принципы алгебраической геометрии : пер. с англ. / Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. - М. : Мир, 1982. - Т. 1. - 496 с.

3. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях : пер. с англ. / Д. Мамфорд. - М. : Мир, 1988. - 448 с.

4. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. - М. : Наука, 1981. - 800 с.

5. Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч 2. Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 516 с.

6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. - СПб. : Лань, 2009. - 800 с.

7. Diaz R. Pick's Formula via the Weierstrass p-function / R. Diaz, S. Robins // The American Mathematical Monthly. - 1995. - Vol. 102, N. 5. - P. 432-437.

8. Tereshonok E. N. McMullen's formula and a multidimensional analog of the Weierstrass Z-function / E. N. Tereshonok // Complex variables and elliptic equations: an international journal. - 2015. - Vol. 60, N 11. - P. 1594-1601.

9. Zappa P. Su una generalizzazione della p di Weierstrass / P. Zappa // Bollettino U. M. I. - 1983. - Vol. (6) 2-A. - P. 245-252.

10. Zappa P. Osservazioni sui nuclei di Bochner-Martinelli / P. Zappa // Acc. Naz. Lincei. - 1979. - Vol. VIII, N LXVII. — P. 21-26.

Галушина Елена Николаевна, Сибирский федеральный университет, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79; тел.: (391)2448625, преподаватель, Красноярский государственный медицинский университет им. В. Ф. Войно-Ясенецкого, 660022, Красноярск, ул. Партизана Железняка, 1; тел.: (391)2200316 (e-mail: l.tereshonok@gmail.com)

E. N. Galushina

On a Double Series Representation of n

Abstract. This paper proposes a new representation of n as a double series. This representation follows from the relation between the Weierstrass p-function and the Jacobi theta-function. In the beginning of the paper we give definitions of the classical Weierstrass p-function and Jacobi theta-function. In the beginning of 1980s Italian mathematician P.Zappa attempted to generalize p-function to multidimensional spaces using methods of multidimensional complex analysis. Using the Bochner-Martinelli kernel he found a generalizationof the p-function with properties similar to the classical one-dimensional p-function, and and analog of the identity that connects the p-function and a certain theta-function of several variables.

This identity involves a constant given by an integral representation that also holds in the one-dimensional case. Computing this constant in one-dimensional case by two different methods, namely, using the integral representation and using known series whose sums involve the digamma function, we obtain a representation of n as an absolutely convergent double series. We have performed computational experiments to estimate the rate of convergence of this series. Although it is not fast, hopefully, the proposed representation will be useful in fundamental studies in the field of mathematical analysis and number theory.

Keywords: Weierstrass p-function, Jacobi theta-function, n.

References

1. Hurwitz A., Courant R. Theory of functions (in Russian). Moscow, Nauka, 1968. 648 p.

2. Griffiths Ph., Harris J. Principles of Algebraic Geometry, Vol. 1. Moscow, Mir, 1982. 496 p.

3. Mumford D. Lectures on theta-functions (in Russian). Moscow, Mir, 1988. 448 p.

4. Prudnikov A.P. Brychkov Y.A., Marychev O.I. Integrals and series (in Russian). Moscow, Nauka, 1981. 800 p.

5. Whittaker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis: in 2 parts. Part 2. Transcendental functions (in Russian). Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1963. 516 p.

6. Fichtenholz G.M. A course of differential and integral calculus, Vol. 2 (in Russian). Sankt-Peterburg, Lan', 2009. 800 p.

7. Diaz R., Robins S. Pick's Formula via the Weierstrass p-function. The American Mathematical Monthly, 1995, vol. 102, no 5, pp. 432-437.

8. Tereshonok E.N. McMullen's formula and a multidimensional analog of the Weierstrass ^-function. Complex variables and elliptic equations: an international journal, 2015, vol. 60, no 11, pp. 1594-1601.

9. Zappa P. Su una generalizzazione della p di Weierstrass. Bollettino U. M. I., 1983, vol. (6) 2-A, pp. 245-252.

10. Zappa P. Osservazioni sui nuclei di Bochner - Martinelli. Acc. Naz. Lincei., 1979, vol. VIII, no LXVII, pp. 21-26.

Galushina Elena Nikolaevna, Siberian Federal University, 79, Svo-bodny pr., Krasnoyarsk, 660041; tel.: (391)2448625; Krasnoyarsk State Medical University named after Prof. V. F. Voino-Yasenetsky, 1, Partizana Zhelez-nyaka st., Krasnoyarsk, 660022; tel.: (391)2200316 (e-mail: l.tereshonok@gmail.com)