Об одном подходе выявления периодических и ограниченных решений линейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926+517.912

doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-2

Об одном подходе выявления периодических и ограниченных решений линейных динамических систем

Д. Н. Баротов

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия

DNBarotov@fa.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - улучшить (упростить) критерий выразимости всех функций X1 (t), x2 (t),..., xn (t), входящих в систему x (t)= A ■ x(t),

в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции xk (t), входящей в эту систему, и применить его для выявления периодического и ограниченного решения системы x (t) = A ■ x(t). Материалы и методы. Суть предложенного подхода заключается в том, что конструирование и исследование решения системы x (t) = A ■ x(t) эквивалентно сводится к одному скалярному дифференциальному уравнению высокого порядка. Результаты. Сформулирован ослабленный (улучшенный) критерий выразимости всех функций системы x (t) = A ■ x(t) в виде линейных

комбинаций производных xk (t) и доказана его корректность. Также аргументировано, что при выполнении критерия выразимости периодичность и ограниченность вектора-решения x(t) системы x (t) = A ■ x(t) следуют лишь из периодичности и

ограниченности одной координаты xk (t) соответственно. Выводы. При выполнении ослабленного критерия выразимости предложенный подход может быть использован для выявления периодического и ограниченного решения системы x '(t) = A ■ x (t), поскольку позволяет идентифицировать периодическое и ограниченное решение системы x (t) = A ■ x(t) на основе периодичности и ограниченности только одной координаты xk (t) соответственно.

Ключевые слова: динамическая система, система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, метод приведения системы дифференциальных уравнений к одному уравнению высокого порядка

Благодарности: автор благодарит рецензентов и сотрудников журнала за ценные советы и замечания.

Для цитирования: Баротов Д. Н. Об одном подходе выявления периодических и ограниченных решений линейных динамических систем // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2. С. 13-24. doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-2

On the approach to identifying periodic and bounded solutions of linear dynamic systems

D.N. Barotov

Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia

DNBarotov@fa.ru

© Баротов Д. Н., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Abstract. Background. The purpose of the study is to simplify the expressibility criterion for all functions x1 (t), x2 (t),...,xn (t) included in a given system x (t) = A ■ x(t), in the

form of linear combinations of derivatives of only one unknown function xk (t) included in this system and apply it to identify a periodic and limited solution of the system x (t) = A ■ x(t). Materials and methods. The essence of the proposed approach is that the

construction and study of a solution to the system x (t) = A ■ x(t) is equivalently reduced to one high-order scalar differential equation. Results. A simplified criterion for the expressibility of all functions of the system x (t) = A ■ x(t) in the form of linear combinations

of derivatives xk (t) is formulated, and its correctness is proved. It is also argued that when the expressibility criterion is satisfied, the periodicity and boundedness of the solution vector x(t) of the system x (t) = A ■ x(t) follow only from the periodicity and boundedness

of one coordinate xk (t), respectively. Conclusions. When the expressibility criterion is met, the proposed approach can be used to identify a periodic and bounded solution of the system x (t) = A ■ x(t), since it allows us to identify a periodic and bounded solution of the

system x (t) = A ■ x(t) based on the periodicity and limitation of only one coordinate xk (t), respectively.

Keywords: dynamic system, system of linear differential equations with constant coefficients, method of reducing a system of differential equations to one high-order equation

Acknowledgements: the author extends gratitude to reviewers and journal staff for their valuable advice and comments.

For citation: Barotov D.N. On the approach to identifying periodic and bounded solutions of linear dynamic systems. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2):13-24. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-2

Введение

Системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений применяются для описания многих закономерностей реального мира, они являются мощным инструментом исследования физических, химических, геологических, экономических и других процессов. При изучении конкретных дифференциальных уравнений, которые возникают при решении задач естествознания, создаются методы, обладающие большой общностью и применяющиеся к широкому кругу математических проблем. Задачи интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами оказали большое влияние на развитие линейной алгебры [1, 2]. К наиболее известным методам решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно отнести следующие: метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка [3, 4], метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы системы [5, 6], метод неопределенных коэффициентов и метод матрично-алгебраических преобразований [7-9]. В работах [10-15] рассмотрены еще некоторые аналогичные подходы к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В данной работе получен результат, являющийся улучшением (уточнением) результатов, приведенных в [2, 4, 14-16], а именно: во-первых, сфор-

мулирован ослабленный критерий выразимости всех функций системы х'(7 ) = А ■ х (7) в виде линейных комбинаций производных х£ () и доказана

его корректность; во-вторых, аргументировано, что при выполнении ослабленного критерия выразимости периодичность и ограниченность вектора-решения х() системы х'(^) = А ■ х(^) следуют лишь из периодичности и

ограниченности одной координаты х^ () соответственно.

1. Используемые обозначения 1 0 ... 0

Пусть E =

0 1 ... 0 0 0 ... 1

единичная матрица п -го порядка.

" xi (t)" " an a12 . • a1n "

Пусть x(t) = X2 (t) , A = a21 a22 . • a2n e Mn

_xn (t)_ _ an1 an 2 . ■ ann _

- вещественная

квадратная матрица п -го порядка.

Пусть Е() - 1 -я строка матрицы Е , А() - 1 -я строка матрицы А .

а11 -Я а12 ••• а1п

а21 а22-Я ••• а2п

Пусть B (Я) = A-Я- E =

Ч"

an1

an 2

ann

Пусть B. (Я,) =

b2 j

nj

- j-й столбец матрицы B(Я).

Пусть В(у) (Я) - матрица, полученная из матрицы В (Я) вычеркиванием у -го столбца.

Пусть

det(А-Я-Е) = (-1)п ■(Я-Я1 )р ^(Я-Я2) ■...■(Я-Ят)т =

= (-1)п ■ (Яп + ап-1Яп-1 + ап-2Яп-2 +. + а1Я + ао) такой, что |{Я1,Я2,., Ят}| = т и рг е М, V/ е{1,2,...,т} .

2. Постановка задачи

Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

х{ () = а11X1 () + а12х2 () + ... + аыхп (), х2 () = а21х1 () + а22х2 () + ■■■ + а2пхп () х3 () = а31х1 () + а32х2 () + ••• + а3пхп ()

хп () = ап1х1 () + ап2х2 () + •■■ + аппхп ()■

(1)

В данной работе исследуем такую задачу: для каких матриц А систему (1) относительно неизвестной функции хк () можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений вида

х1 () = Л11 хк () + Л12хк () + •■■ + ¿1пх(~11(),

х2 () = Л21хк () + Л22хк () + •■■ + Л2пхк'~11(<:)

(2)

хк-1 () = Лк-11хк () + Лк-1 2хк () + •■■ + Лк-1 пхк~1) () 4" ) = Лк1 хк () + Лк2хк () + •■■ + ЛЫх[п-1)(^), хк+1 () = Лк+11хк () + Лк+12хк () + •■■ + Лк+1 пх{к~1\<)

хп () = Лп1хк () + Лп2хк () + •■■ + Лппхх(~-) ()■

т.е. можно для любого начального условия х (о ) = хд выразить значения всех функций х1 (), х2 (),..., хп (), входящих в заданную систему (1), в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции хк (),

входящей в эту систему и удовлетворяющей одному скалярному дифференциальному уравнению п -го порядка.

3. Ослабленный критерий выразимости всех функций

системы х) = А ■ х () в виде линейных комбинаций

производных х^ (() и его применения

В этом разделе сформулируем и докажем критерий, являющийся

ослаблением (улучшением) критерия выразимости всех функций системы

х'( ) = А ■ х () в виде линейных комбинаций производных хк (), приведен-

ного в [2, 4, 14-16] в том смысле, что проверка на равенство трех величин

сужается до проверки на равенство двух величин, и приведем некоторые его важные приложения к задачам идентификаций периодических и ограниченных решений систем вида (1).

Теорема 1. Систему (1) относительно неизвестной функции хк () можно привести к эквивалентной системе (2) тогда и только тогда, когда

rang

(B(k)(A))=n -1, VAe^^,-.^ }.

Доказательство. Непосредственно дифференцируя (1) в силу теоремы Гамильтона - Кэли [7] получим, что

xk (t ) хк (t ) xk (t)

= H-

xi (t)' X2 (t) X3 (t)

xn (t)

где H =

k (t)_

x(n ) (t ) + an-1x(-1) (t ) + ••• + a1xk(t ) + a0 xk (t ) = 0,

E(k ) A(k ) Ak )•A

A(k )

A

n-2

. (3)

Сна-

Достаточность. Пусть rang (B(k )(Я)) =n -1, VAe {,A2,..., Am } . чала заметим, что из rang(B(k)(A)) = n-1, VAe{,A2,..., Am} следует

rang (B (A)) = n -1, VAe{Ab A2,..., Am}. (4)

Действительно, с одной стороны, если расширить матрицу B(k)(Я) добавлением какого-либо одного столбца b e Mn , то ранг от этого не уменьшится, т.е.

rang в частности,

(B(k) (А,))< rang(B(k) (A)lb), Vbe Mn л VAe {,lm},

rang

( B(k )(A))< rang ( B(k )(A)|Bj (A)) = rang (( (A)), VAe{, A 2,-, A m }.(5)

С другой стороны:

rang (B (A))< n, VAe{A1, A2,..., Am}:

(6)

так как det(B(A)) = 0, VAe{A1,A2,..., Am} . В силу rang(B(A))e Nu{0} из (5) и (6) следует справедливость (4).

Из rang (B (A))= n -1, VA e{Ab A2,..., A m}, следует, что геометрическая

кратность всех собственных значений равна 1, следовательно для любого собственного значения Ay существует ровно один соответствующий

собственный вектор vy [7]. Из rang(B(k)(A))= rang(B(A))= n -1,

VAe {A1,A2,., Am}, и теоремы Кронекера - Капелли [2, 7] следует, что k-я координата всех собственных векторов (ненулевая) равна 1.

Пусть vj (j) - это присоединенный вектор высоты ], соответствующий собственному значению Хг- . Другими словами, векторы (j) определяются из следующих равенств:

А • VI (1) = Х1 • VI (1), А • VI (2 ) = Х1 • VI (2) + VI (1), ..., А • V (р1 ) = Х1 • vl (р1)+VI (р - ^

А • v2 (1) = Х2 • V2 (1), А • ^ (2) = Х2 • ^ (2) + v2 (1), ..., А • v2 (Р2 ) = Х2 • У2 (Р2 )+^ (Р2 -1),

А • ^ (1) = Хт • ^ (1), А • ^ (2) = Хт • ^ (2) + ^ (1),

А • ^ (Рт ) = Хт • ^ (Рт )+ ^ (Рт -1). Пусть матрица

V = (1),vl (2) ...,vl (Р1 ),^ (1),v2 (2), v2 (Р2 ), ... , vm (1),vm (2), .. ., vm (Рт )]. В работе [2] доказано, что det(Н •V) равен det(Ус), где

" 1 А, А? А? - л?-1

0 1 с\ м С1 А? ■ /-1] ЛТ1 — 3 71 —2 1

0 0 1 /~ч2 1П-5 71—3 1 /ч 2 171—1 71 —2 1

0 0 0 1 Г' з \и-в п—3 1 /чЭ \я— 5 71 —2 1

0 0 0 0 (-•р1 - ] дга—2 —р] ~1 А"~1 — " — 2 с^хг

1 а2 А| А! - " |П-3 2 2 х г1

0 1 С-1 Аз Г1 Л2 л2 гл 1 »11—4 ьп-ЭЛ3 / 1 ] 171 — 3 (-'71-2л2 Г"1 Ап~

0 0 1 Щ а2 . га \п—5 /ТЯ \71— 1 71 —2 2

0 0 0 1 сз \п-е /->3 Л 71 — & 71—2 2

0 0 0 0 ли-1 1П— 2 — РЗ "--л-3 2 Лй- 1 *71—1—Р5 °Р1-2 2

1 Арл \2 лт Л3 ЛТП 171-1 Л77<

0 1 П1 Л "Я т Х2т . < ' 1 \ г. — Л 71 —3 771 Л] \ 71 — 3 °71-2Л7П ,— 1 1 П-71— 1 771

0 0 1 С1 Ат С 2 \ п—5 ' 71 —3 771 ЛЗ Л 71 — '1 °71-2Л1П

0 0 0 1 /тЗ 171— С 71 —3 771 с 3 Л 71 — 5

о 0 0 0 ^Ап- 1 171-2-рт ■ '-'п-з ЛТЛ 1 14 71 — 2 Лт С'я - Г1 А£Г

В работе [17] доказано, что

**(Vc )= П (Хj -Хг ) . (7)

1<г< j <т

Из (7) следует, что det (H ) ^ 0 . Отсюда в силу (3) имеем 4") (t) + an-1Х(И-1) (t) + ••• + a1 xk (t) + a0xk (t) = 0

" X1 (t)" xk (t)

X2 (t) x'k(t)

X3 (t) = H-1 • xk(t)

_xn (t)_ _ ).

(8)

Достаточность теоремы доказана.

Необходимость. Пусть неверно, что rang (B(k )(А)) =n — 1, VAe{Ab ^2,..., Am}. Тогда 3r e{1, 2,..., n} rang (B(k)(Ar ))< n — 1, так как в силу (6) rang (B(k )(A))< n — 1, VAe{, A2,..., Am }.

Пусть матрица V*= (1),...,v^ (/1),vx1 (/1 + ^ ^ (P1), vXm (^ vAm (/m ),vX (/m +l), vlm (Pm Д , где

I собственный вектор, соответствующий Ay, если je{1,2,...,/;}, v^ ( j ) = S

y I присоединенный вектор, соответствующий Ay, если j e{{ +1,..., py}.

Известно [7], что det (v ) 0. Относительно rang (B(Ar )) рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть rang (B (Ar )) = n — 1. Тогда из теоремы Кронекера -Капелли следует, что k-я координата собственного вектора vr, соответствующего собственному значению Ar, равна 0, так как система B (A r) • v = 0 имеет решение vr , k-я координата которого отлична от нуля о rang(B(Ar )) =

= rang (B(k) (A r)). В этом случае покажем, что det (h V ) = 0. Действитель-

но, так как ( + P2 +... + pr—1 +1) -йстолбец матрицы H • V* равен H • vr = 0 .

Случай 2. Пусть rang(B(Ar)) n — 1. Тогда /r > 2 , т.е. количество собственных векторов-столбцов матрицы A, соответствующих собственному значению Ar, больше или равно 2. В этом случае также покажем,

что det((• V ) = 0. Действительно, так как ( + P2 +... + pr—1 + 1)-й и

(Р1 + Р2 + ••• + Рг-1 + 2)-й столбцы матрицы Н •V пропорциональны друг другу. Теорема доказана.

Уместно отметить и аргументировать два следствия из теоремы (1) об идентификации периодических и ограниченных решений динамических систем вида (1), поскольку периодические и ограниченные решения динамической системы очень важны как в теории дифференциальных уравнений, так и в теории управления.

Следствие 1. Пусть система (1) относительно неизвестной функции

xk (t) приводится к эквивалентной системе (2), т.е. rang(B(k^A)) = n — 1,

VA e {^1,A,2v,Am} . Тогда T -периодичность решения системы (1) следует лишь из T -периодичности функции xk (t).

Действительно, непосредственно дифференцируя тождество xk (t + T) = xk (t), можно заметить, что

" xk (t + T) " xk (t)

x'(t + T) xk(t)

x"k(t + T) = xk(t)

_ x(n—1)(t + T)_ . xkn—l)(t).

Отсюда в силу (8) имеем

" x1 (t + T ) " xk (t + T) " xk (t) " x1t )"

x2 (t + T) x'(t + T) xk(t) x2t)

x3 (t + T) = H-1 • 4(t+t ) = H-1 • xk(t) = x3t)

_xn (t + T). _ x(n—1)(t + T)_ . 4"—1)(t). _ xAt)_

Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Пусть система (1) относительно неизвестной функции xk (t) приводится к эквивалентной системе (2), т.е. rang(B(k)(A))= n — 1,

VAe{Ab A2,..., Am} . Тогда ограниченность решения системы (1) следует лишь из ограниченности функции xk (t).

Действительно, во-первых, в силу (3) xk (t) удовлетворяет уравнению

>)

(t) + an—1x(n 1)(t) + ... + a1x'(t) + a0xk (t) = 0.

(9)

Во-вторых, в [18, с. 98-99] доказано, что если функция Xk (V) - ограниченное решение уравнения (9), то функции Xk (), x'(t), ..., Xk) также

т

ограничены. Следовательно, норма вектора (Xk (), x'(t), ..., Xk( ^^))

ограничена, т.е.

хк ( ) х'()

4()

*(Г\>)

Отсюда в силу (8) имеем

< R Vt е

Х1(t)" xk (t) xk (t)

(t) xk (t) xk (t)

Х3 (t) =н-1 • xk (t) <11H-1 II • xk (t)

xn (t)_ _ 4n-1)(t)_ . 4"-l)(t).

<

H

-1

R0 = R1 <+^, Vt е

Следствие 2 доказано.

Заключение

В результате исследования сформулирован и доказан критерий, являющийся ослаблением (улучшением) критерия выразимости всех функций системы х'(^) = А • х(^) в виде линейных комбинаций производных х^ (), приведенного в [2, 4, 14-16]. Также аргументировано, что при выполнении ослабленного критерия выразимости периодичность и ограниченность вектора-решения х(^) системы х'(^) = А • х(^) следуют лишь из периодичности и ограниченности одной координаты х^ (^) соответственно. Полученные

результаты могут быть использованы при построении решения системы вида (1) и исследовании их на периодичность и ограниченность.

Список литературы

1. Олейник О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях // Соросовский образовательный журнал. 1996. № 4. С. 114-121.

2. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об одном критерии выразимости функций системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему // Вычислительные методы и программирование. 2023. № 24. С. 260-274. doi: 10.26089/№тМе^24г319

3. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Рыбаков К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения : практикум. М. : Инфра-М, 2016.

4. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2023. Т. 43, № 2. С. 20-30. doi: 10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30

5. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Физматгиз, 1961. 332 с.

6. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. : Физмат-гиз, 1961. 176 с.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.

8. Мухамеджанова У. М. Жорданова форма матрицы и решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ученые записки Худжандского государственного университета имени академика Б. Гафурова. Серия: Естественные и экономические науки. 2017. № 1. С. 20-26.

9. Балоев А. А. Матрично-алгебраическая форма решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 3. С. 3-12.

10. Щитов И. Н., Бегун Е. Н. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Актуальные проблемы радио- и кинотехнологий : материалы VI Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 125-летию со дня рождения выдающегося русского ученого в области электроники и вакуумной техники С. А. Векшинского (16-17 ноября 2021 г.). СПб. : Санкт-Петербургский государственный институт кино и телевидения, 2022. С. 172-176.

11. Малышев Ю. В., Атаманов П. С. О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 155-159.

12. Ивлев В. В., Кривошей Е. А. Системы линейных дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации (продолжение) // Математическое образование. 2018. № 1. С. 47-51.

13. Рыбаков М. А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа // Вестник Тамбовского государственного университета. 2009. Т. 14, № 4. С. 791-792.

14. Назимов А. Б., Очилова М. А. О приведении системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению высокого порядка // Современные проблемы и перспективы обучения математике, физике, информатике в школе и вузе : межвузовский сб. науч.-метод. тр. Вологда : Вологодский гос. ун-т, 2021. С. 41-47.

15. Подгаев А. Г., Син А. З. Простой способ обоснования метода исключения при решении нормальной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ученые заметки ТОГУ. 2014. Т. 5, № 4. С. 1357-1363.

16. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. О выразимости функций системы x'(t) = A • x(t), собственные значения матрицы которой являются некратными в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему // Прикладная математика и вопросы управления. 2023. № 2. С. 8-16. doi: 10.15593/24999873/2023.2.01

17. Ha T. T., Gibson J. A. A note on the determinant of a functional confluent Vander-monde matrix and controllability // Linear Algebra and its Applications. 1980. Vol. 30. P. 69-75. doi: 10.1016/0024-3795(80)90182-2

18. Левитан А. М., Виков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. 204 с.

References

1. Oleynik O.A. The role of the theory of differential equations in modern mathematics and its applications. Sorosovskiy obrazovatel'nyy zhurnal = Sorosov Educational Journal. 1996;(4):114-121. (In Russ.)

2. Barotov D.N., Barotov R.N. On the criterion for the expressibility of functions of a system of linear differential equations with constant coefficients in the form of linear combinations of derivatives of one function included in this system. Vychislitel'nye metody i programmirovanie = Computational methods and programming. 2023;(24):260-274. (In Russ.). doi: 10.26089/NumMet.v24r319

3. Panteleev A.V., Yakimova A.S., Rybakov K.A. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya: praktikum = Ordinary differential equations: practical work. Moscow: In-fra-M, 2016. (In Russ.)

4. Barotov D.N., Barotov R.N. On the refinement of the method of reducing a system of linear differential equations to a single higher-order equation, which makes it possible to find a general solution to the original. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskie nauki = Bulletin of KRAESC. Physical and mathematical sciences. 2023;43(2):20-30. (In Russ.). doi: 10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30

5. Pontryagin L.S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya = Ordinary differential equations. Moscow: Fizmatgiz, 1961:332. (In Russ.)

6. Filippov A.F. Sbornik zadach po differentsial'nym uravneniyam = Collection of problems on differential equations. Moscow: Fizma-tgiz, 1961:176. (In Russ.)

7. Gantmakher F.R. Teoriya matrits = Matrix theory. Moscow: Nauka, 1967:576. (In Russ.)

8. Mukhamedzhanova U.M. Jordan form of the matrix and solutions of linear systems of ordinary differential equations with constant coefficients. Uchenye zapiski Khudzhand-skogo gosudarstvennogo universiteta imeni akademika B. Gafurova. Ser.: Estestvennye i ekonomicheskie nauki = Proceedings of Khujand State University named after Academician B. Gafurov. Series: Natural sciences. 2017;(1):20-26. (In Russ.)

9. Baloev A.A. Matrix-algebraic form of solving a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki = Siberian journal of industrial mathematics. 2014;17(3):3-12. (In Russ.)

10. Shchitov I.N., Begun E.N. On the method for solving systems of linear differential equations with constant coefficients. Aktual'nye problemy radio- i kinotekhnologiy: ma-terialy VI Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf., posvyashch. 125-letiyu so dnya rozhdeniya vydayushchegosya russkogo uchenogo v oblasti elektroniki i vakuumnoy tekhniki S.A. Vekshinskogo (16-17 noyabrya 2021 g.) = Current problems of radio and film technology: proceedings of the 6th International scientific and engineering conference dedicated to the 125th anniversary of the outstanding Russian scientist in the field of electronics and vacuum technology S.A. Vekshinskiy. Sankt-Peterburg: Sankt-Peterburgskiy gosu-darstvennyy institut kino i televideniya, 2022:172-176. (In Russ.)

11. Malyshev Yu.V., Atamanov P.S. On solving a system of linear differential equations using the operator method. Vestnik Chuvashskogo universiteta = Bulletin of Chuvash University. 2011;(3):155-159. (In Russ.)

12. Ivlev V.V., Krivoshey E.A. Systems of linear differential equations. Integrated combinations (continued). Matematicheskoe obrazovanie = Mathematics education. 2018;(1):47-51. (In Russ.)

13. Rybakov M.A. Solving systems of linear differential equations with constant coefficients using the Laplace transform. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo universi-teta = Bulletin of Tambov State University. 2009;14(4):791-792. (In Russ.)

14. Nazimov A.B., Ochilova M.A. On reducing a system of linear differential equations with constant coefficients to one high-order differential equation. Sovremennye problemy i perspektivy obucheniya matematike, fizike, informatike v shkole i vuze: mezhvu-zovskiy sb. nauch.-metod. tr. = Modern problems and prospects for teaching mathematics, physics, computer science at school and university: interuniversity collected papers. Vologda: Vologodskiy gos. un-t, 2021:41-47. (In Russ.)

15. Podgaev A.G., Sin A.Z. A simple way to justify the elimination method when solving a normal linear system of differential equations with constant coefficients. Uchenye za-metki TOGU = Proceedings of the Pacific National University. 2014;5(4):1357-1363. (In Russ.)

16. Barotov D.N., Barotov R.N. On the expressibility of functions of the system x'(t) = A • x(t), the eigenvalues of the matrix of which are non-multiple in the form of linear combinations of derivatives of one function included in this system. Prikladnaya ma-tematika i voprosy upravleniya = Applied mathematics and management issues. 2023;(2):8-16. (In Russ.). doi: 10.15593/2499-9873/2023.2.01

17. Ha T.T., Gibson J.A. A note on the determinant of a functional confluent Vander-monde matrix and controllability. Linear Algebra and its Applications. 1980;30:69-75. doi: 10.1016/0024-3795(80)90182-2

18. Levitan A.M., Vikov V.V. Pochti periodicheskie funktsii i differentsial'nye uravneniya = Almost periodic functions and differential equations. Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 1978:204. (In Russ.)

E-mail: DNBarotov@fa.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 09.10.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 11.12.2023 Принята к публикации / Accepted 04.02.2024

Информация об авторах / Information about the authors

Достонжон Нумонжонович Баротов

старший преподаватель департамента анализа данных и машинного обучения, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Россия, г. Москва, 4-й Вешняковский проезд, 4)

Dostonjon N. Barotov

Senior lecturer of the department data

analysis and machine learning, Financial

University under the Government

of the Russian Federation

(4 the 4th Veshnyakovskiy passage,

Moscow, Russia)