CC BY
0
Об одном подходе к сжатию зашумленных изображений
к.т.н. А. Г. Дмитриев Военный университет радиоэлектроники Череповец, Россия dag334a@fxmail.ru
Аннотация. Существующие алгоритмы сжатия изображений с потерями, основанные на двумерном дискретном косинусном преобразовании, не всегда являются достаточно эффективными при обработке зашумленных изображений. Предлагается алгоритм автоматического определения коэффициентов двумерного косинусного преобразования, обеспечивающих наибольший «вклад» в исходное изображение, в основе которого лежит разделение выборки элементов фрагмента изображения на обучающую и проверочную (исходное изображение разбивается на непересекающиеся фрагменты фиксированного размера). Коэффициенты косинусного преобразования находятся по обучающей выборке. Из полученного множества коэффициентов на основе проверочной выборки определяются коэффициенты, доставляющие минимальное значение выбранному критерию качества аппроксимации.
Ключевые слова: сжатие изображений, косинусное преобразование, аппроксимация.
Введение
Известны методы [1-5], в которых исходное изображение разбивается на непересекающиеся блоки фиксированного размера, для каждого блока выполняется ортогональное преобразование. В качестве ортогональных преобразований используются дискретное двумерное преобразование Фурье, дискретное двумерное преобразование Уолша, дискретное двумерное косинусное преобразование и другие. Сравнительный анализ эффективности поблочных дискретных ортогональных преобразований изображений проведен в работе [1]. Отмечается, что двумерное косинусное преобразование обеспечивает упаковку наибольшего количества информации в наименьшее число коэффициентов, а также минимизирует эффект появления блочной структуры, проявляющейся в том, что на изображении становятся видны границы между соседними блоками. Для выбора искомого набора коэффициентов двумерного косинусного преобразования используется специально построенная функция квантования, применение которой приводит к появлению «нулевых» коэффициентов, которые исключаются из рассмотрения, и тем самым достигается основное сжатие изображения. В случае зашумленных изображений применение такой функции не всегда оказывается эффективным в связи с возникновением большого числа «ненулевых» коэффициентов.
В данной работе предлагается в определенном смысле оптимальный алгоритм выбора коэффициентов двумерного косинусного преобразования на основе анализа выборки значений элементов фрагмента изображения.
Постановка задачи Задача ставится следующим образом. Пусть для анализа предъявлен фрагмент изображения, размером 2пх2п элементов: X = {х^}, I = 0,... ,2п- 1, у = 0,... ,2п- 1.
Критерий качества приближения на выборке экспериментальных значений X задается в виде
S = ^ (xi,j ) ,
(1)
i,j=0
где х,
ij = ^ c(u)c(v)tU:V
cos-
(2i + 1)un (2; + 1)vk
cos
4п 4п
восстановленный элемент изображения с индексом (/, ]) на множестве коэффициентов двумерного косинусного преобразования (ДКП) 0.к (к — число коэффициентов ДКП);
2п-1
(21 + 1)ип (2] + 1>п
tu,v = C(U)C(V) ^ Xij
cos-
4п
■cos-
4п
i,j=0
и, v = 0, ...,2п — 1 —
коэффициенты прямого двумерного косинусного преобразования;
I с(и) = c(v) =
V2n'
если u = v = 0;
^с(и) = с(р) = ^1/п , если и, V = 1,..., (2п - 1).
Требуется найти такие коэффициенты двумерного косинусного преобразования (множество 0.к), чтобы критерий (1) принимал в определенном смысле минимальное значение.
Алгоритм
Известно [1, 6], что добавление больших по модулю коэффициентов двумерного косинусного преобразования при вычислении Ху приводит к большему уменьшению критерия (1). Таким образом, можно последовательно выбирать те коэффициенты косинусного преобразования, которые вносят наибольший вклад в рассматриваемый фрагмент изображения.
Для нахождения 0.к предлагается следующая процедура.
1. Исходная выборка данных разбивается на обучающую и проверочную. В качестве обучающей выборки выбираются нечетные элементы изображения как вдоль строки, так и вдоль столбца, а в качестве проверочной выборки — четные элементы изображения.
Intellectual Technologies on Transport. 2023. No S1. Special Issue. MMIS-2023
2. Рассматривается обучающая выборка: находятся коэффициенты двумерного косинусного преобразования
, и, V = 0,..., п — 1. Полученный массив коэффициентов сортируется в порядке убывания, при этом для каждого отсортированного элемента запоминается его положение в исходном фрагменте изображения. Обозначим отсортированный массив через £к, к = 1,..., п2.
3. Рассматривается проверочная выборка: последовательно для каждого к = 1,2,..., ктах (ктах — заданный параметр) выбираются соответствующие коэффициенты из массива £к, рассчитывается ошибка приближения 5пров(^) элементов изображения проверочной выборки с использованием коэффициентов, рассчитанных по обучающей выборке:
5'пров(^) = п2 — к ^ (хЧ — )2
где
^ = Z
c(u)c(v)tu
i,j=0
(2i + 1)ип (2j + 1)vn , cos-cos -
4n
4n
О.к — множество коэффициентов двумерного косинусного преобразования из отсортированного массива 1к.
4. Начиная с к = 2 определяется изменение ошибки аппроксимации на основе проверочной выборки:
Д^пров(Ю = ^пров(^) — ^пров(^ — 1).
5. Если на некотором шаге к* ДБпров(к*) > 0, то выполняется еще г шагов «вперед» (г — параметр алгоритма), подсчитывается Д5пров. Если на некотором шаге / ошибка аппроксимации на основе проверочной выборки уменьшилась, т. е. Д5Пр0В = 5пров(^* + ¿) — 5пров(^*) < 0, то процедура продолжается, начиная с шага к = к* + ¿. Если же на всех г шагах Д5пров > 0, то процедура останавливается на шаге к*, из массива £к, к = 1,...,к* — 1 выбираются соответствующие коэффициенты двумерного косинусного преобразования. Определенные таким образом коэффициенты являются искомым множеством Ок.
Моделирование Моделирование алгоритма проводилось в математической системе Mathcad как на фрагментах строки изображения (одномерный случай), так и на двумерных фрагментах размерностью 16x16 элементов.
На рисунке 1 показан фрагмент строки изображения, на который накладывалась независимая нормальная помеха с математическим ожиданием равным нулю и с различными значениями среднеквадратического отклонения ст.
Результаты моделирования показаны на рисунках 2-4. Здесь Я1 — ошибка аппроксимации, подсчитанная по обучающей выборке, ЯЯ2 — ошибка аппроксимации, подсчитанная при добавлении гармоник в порядке уменьшения их вклада на основе проверочной выборки (5пров(^)), 55(х, тт) — тригонометрический полином, построенный по найденным гармоникам Ок.
10 5
yi 0
- 5 - 10
10
20
30
40
50
SS(x, mm)
yi
10 5 0 - 5 -10
0
10
20
Рис. 1. Фрагмент строки изображения
30
40
R1k RR2k'
50
Рис. 2. с = 0,5; Q.k = {8, 3,7}
10
k, k
SS(x, mm)
yi
10 5 0 - 5 -10
«1 ¡m 8 f!/S N
\ A \ ¡J V; bJt" \ |J A« \ / \ < \ / v
у
0
R1k
10
20
30
40
50
10 8 6
RR2k 4 ■ ■ ■
2
0
Рис. 3. с = 1,5; Q.k = {8,7,3}
15
k, k
0
0
5
15
x, i
x, i
SS(x, mm)
yi
10 5 0 - 5 -10
30
R1k 20
RR2k I0h
■ ■ ■ 1V
0
Рис. 4. с = 3; ak = {3,10,8}
15
k, k
На рисунке 5 показаны типичные зависимости для двумерных фрагментов зашумленных изображений ошибки аппроксимации R1, подсчитанной по обучающей выборке, и RR2 — ошибки аппроксимации, подсчитанной на основе проверочной выборки, при добавлении коэффициентов двумерного косинусного преобразования в порядке уменьшения их «вклада» в аппроксимируемый фрагмент.
R1k
RR2k
6.5 k, k
12
Рис. 5. Типичные зависимости ошибок аппроксимации для двумерных фрагментов зашумленных изображений
Выводы
Результаты моделирования показывают, что выбранный критерий качества аппроксимации, рассчитываемый по проверочной выборке, носит экстремальный характер. Это свойство критерия позволяет определить коэффициенты двумерного косинусного преобразования, которые вносят основной вклад в аппроксимируемое изображение.
Литература
1. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений. Третье издание = Digital Image Processing. Third Edition / Р. Гонсалес, Р. Вудс; пер. с англ. Л. И. Рубанова, П. А. Чочиа, научн. ред. П. А. Чочиа. — Москва: Техносфера, 2012. — 1104 с. — (Мир цифровой обработки).
2. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео / Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. — Москва: Диалог-МИФИ, 2003. — 384 с.
3. Исмагилов, И. И. Сжатие цифровых изображений с использованием преобразований Уолша: алгоритмы и сравнительный анализ их эффективности / И. И. Исмаги-лов, М. Ю. Васильева // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2008. № 9-10. С. 91-99.
4. Фисенко, В. Т. Компьютерная обработка и распознавание изображений: Учебное пособие / В. Т. Фисен-ко, Т. Ю. Фисенко. — Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2008. — 192 с.
5. Красильников, Н. Н. Цифровая обработка 2D- и 3Б-изображений: Учебное пособие. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2011. — 608 с. — (Учебная литература для вузов).
6. Дмитриев А. Г. Адаптивный алгоритм аппроксимации экспериментальных сигналов тригонометрическим полиномом / А. Г. Дмитриев, А. Д. Жуков // Материалы 45-й военно-научной конференции молодых специалистов. — Череповец: Военный ун-т радиоэлектроники, 2020. — С. 39-44.
x, i
About One Approach to Compression of Noisy Images
PhD A. G. Dmitriev Military University of Radio Electronics Cherepovets, Russia dag33 4a@fxmail. ru
Abstract. Existing lossy image compression algorithms based on two-dimensional discrete cosine transformation are not always effective enough when processing noisy images. An algorithm is proposed for the automatic determination of cosine transformation coefficients that provide the greatest «contribution» to the original image, which is based on the separation of the sample of elements of the image fragment into training and verification. The coefficients of the cosine transformation are found by the training sample. From the obtained set of coefficients, on the basis of a test sample, coefficients are determined that deliver the minimum value to the selected approximation quality criterion.
Keywords: image compression, cosine transformation, approximation.
References
1. Gonzalez R. C., Woods R. E. Digital image processing. Third Edition [Tsifrovaya obrabotka izobrazheniy. Tretye iz-danie]. Moscow, Tekhnosfera Publishing House, 2012, 1104 p.
2. Vatolin D., Ratushnyak A., Smirnov M., Yukin V. Data compression methods. The device of archivers, image and video compression [Metody szhatiya dannykh. Ustroystvo arkhivatorov, szhatie izobrazheniy i video]. Moscow, Dialog-MIFI Publishing House, 2003, 384 p.
3. Ismagilov I. I., Vasileva M. U. Digital Images Compression with Using Walsh Transformations Algorithm and Comparing Analys of Them Efficiency [Szhatie tsifrovykh izobrazheniy s ispolzovaniem preobrazovaniy Uolsha: algoritmy i sravnitelnyy analiz ikh effektivnosti], Power Engineering: Research, Equipment, Technology [Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Problemy energetiki], 2008, No. 9-10, Pp. 91-99.
4. Fisenko V. T., Fisenko T. Yu. Computer processing and image recognition: Study guide [Kompyuternaya obrabotka i raspoznavanie izobrazheniy: Uchebnoe posobie]. Saint Petersburg, ITMO University, 2008, 192 p.
5. Krasilnikov N. N. Digital processing of 2D and 3D images: Study guide [Tsifrovaya obrabotka 2D- i 3D-izobra-zheniy: Uchebnoe posobie]. Saint Petersburg, BHV-Peterburg Publishing House, 2011, 608 p.
6. Dmitriev A. G., Zhukov A. D. Adaptive Algorithm of Approximation of Experimental Signals by a Trigonometric Polynomial [Adaptivnyy algoritm approksimatsii eksperimen-talnykh signalov trigonometricheskim polinomom], Proceedings of the 45th Military Scientific Conference of Young Specialists [Materialy 45-y voenno-nauchnoy konferentsii mo-lodykh spetsialistov], Cherepovets, The Military University of Radioelectronics, 2020, Pp. 39-44.
