CC BY
57
УДК 519.7 ББК 22.183.4 K 28
Каспарьян М.С.
Аспирант Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П. Королева (национальный исследовательский университет), стажер-исследователь института систем обработки изображений РАН, Самара, e-mail: kasparyanm@gmail.com
Дискретные косинусные преобразования на развертках предфрактальных областей
(Рецензирована)
Аннотация
Введен класс дискретных косинусных преобразований (ДКП), определенных на двумерных пред, -ния в мнимых квадратичных полях. Исследуется JPEG-подобный алгоритм сжатия изображений с применением этих преобразований. Показывается, что граничные артефакты визуально менее различимы. Ключевые слова: дискретное косинусное преобразование, JPEG, сжатие изображений.
Kasparyan M.S.
Post-graduate student of S.P. Korolev Samara State Aerospace University (SSAU), trainee researcher of Institute of Image Processing Systems of the Russian Academy of Sciences, Samara, e-mail: kaspary-anm@gmail.com
Discrete cosine transforms on pre-fractal domain scannings
Abstract
The paper introduces a class of discrete cosine transforms (DCT) defined on two-dimensional pre-fractal domains associated with the fundamental domains of canonical number systems in imaginary quadratic fields. JPEG-like image compression algorithm is investigated using these transformations. The boundary artifacts are shown to be less distinguishable visually.
Keywords: discrete cosine transforms, JPEG, compression of images.
Введение
В задачах обработки изображений обычно используется двумерное дискретное косинусное преобразование (ДКП) на квадратных блоках, что приводит к выраженной фрагментированности изображения [1]. С целью снижения такой фрагментированности рассмотрим возможности использования одномерных и двумерных ДКП на предфрактальных областях. Предфрактальные области выбраны с целью улучшить визуальное восприятие.
1. Предфрактальные области
В качестве предфрактальных областей будем выбирать фундаментальные области, ассоциированные с каноническими системами счисления (КСС) в мнимых квадратичных полях. Понятие канонической системы счисления введено в работах [2, 3].
Целое алгебраическое число а = А + yfd называется основанием канонической системы счисления в кольце целых элементов поля Q (d), если любой целый элемент этого поля однозначно представим в форме конечной суммы
k ( z )
z = ^zfl^zdezj e N = {o, 1,...,|Norm(a)\-1}. (1)
j =0
Пара {а,N} называется канонической системой счисления в кольце в ((3) целых элементов поля Q (3).
Для представления числа 2 в КСС {а,N} можно использовать позиционную за-
пись этого числа
2 (к(г^((2)-l,•••,2о )а- (2)
Заметим, что каждому числу 2 е Q (3) можно поставить во взаимно однозначное соответствие число 2 е Ъ >0, заменив в (2) основание системы счисления с а на |Мэтт(а)|.
2 = (( ((2)-1,•••, 2о ■ (3)
Рассмотрим пример фундаментальных областей, ассоциированных с КСС в кольцах. Для этого зафиксируем количество цифр в (1) Б (-1), в (-3), Б (-7) (рис. 1).
Данные области можно развернуть в одномерные последовательности. Номером числа 2е Б (3) в последовательности будет соответствующее целое неотрицательное
число 2 , получаемое по формуле (3). К разверткам такого рода применимы одномерные дискретные ортогональные преобразования [4], пример одной из разверток приведен на рисунке 2.
Рис. 1. Фундаментальные области, рис. 2. Пример развертки двумерного
ассоциированные с КСС в кольцах
Б((-1), Б((-3) и Б((-7)
сигнала, порожденного КСС в кольце Б (V-1)
Помимо областей, ассоциированных с КСС, существует ряд других предфрак-тальных областей, которые порождаются не только КСС, но и квазиканоническими системами счисления [5, 6].
Для применения ДКП необходимы две «координаты» на фундаментальной области. Пусть несколько старших цифр в представлении (2) отвечают за «координату х », а остальные - за «координату у ». Таким образом, к элементам фундаментальной области можно обращаться по координатам «строки» и «столбца». На рисунке 3 представлена область, которая разделена на восемь «строк», а каждую «строку» уже можно развернуть в одномерную последовательность, как на рисунке 2.
Рис. 3. Пример двумерной развертки двумерного сигнала, порожденного КСС в кольце s ((И )
2. Дискретное косинусное преобразование
В ряде алгоритмов сжатия изображения применяется дискретное косинусное преобразование. Например, в формате JPEG используется двумерное ДКП блоков размером 8 х 8 пикселей [7]:
N-1N-1
F (U ^ ) = с (u C (v)X£/ (х, y )cos
х=0 y =0
2 N
cosl
/
(2 y + l)v 2 N
(4)
/
где u = 0,..., N -1; v = 0,..., N -1; C (u ), C (v ) = ^Ï при u,v = 0; C (u ), C (v) = ^~j^ при u,v ^ 0.
Хорошо известны недостатки JPEG сжатия изображений. При повышении степени сжатия изображение распадается на блоки 8 х 8. Это связано с тем, что происходят большие потери в низких частотах при квантовании, и восстановить исходные данные становится невозможно. На рисунке 4 представлен фрагмент изображения, на котором хорошо заметен этот эффект, где изображение распределяется на квадратные элементы.
Если бы данные элементы носили более искаженный характер, то их проявление было бы уже не столь заметным. Таким элементом могла бы быть одна из фундаментальных областей. На рисунке 5 показан пример использования фундаментальной области, ассоциированной с кольцом s (Ï ).
Рис. 4. «Артефакты» после ІРБО-сжатия Рис. 5. «Артефакты», где при сжатии
использовалась предфрактальная область
Как видим, искажения не носят уже регулярный характер.
Для одномерных ДКП на фундаментальных областях предлагается использовать
следующую формулу:
F (u ) = C(u f (x)cos
п(2х + l)
2N
(5)
где В - элементы фундаментальной области; ~ определяется формулой (3);
С (~ ) = при ~ = 0 ; С (~ ) = при ~ Ф 0; N - число элементов в В.
В случае «двумерного» ДКП на фундаментальных областях нам понадобятся две «координаты». Как отмечалось ранее, разобьем число в (3) на две равные части. На равные части разбивать не обязательно, но далее будут рассматриваться именно такие разбиения. Такое преобразование выражается следующей формулой:
F (u ) = C (Х C (<Х Е f (z )cos
zeD
п(2х +1) ^ ( n(2~ +1) Л
cos
2N
2N
(6)
где N x N - количество элементов в D; p • N + q = u ; у • N + p = z ;
c(p), c(у)=J-N при p q=0; C(p)>C(q)=]fN при p q Ф °'
3. Результаты
В этом разделе рассматриваются полученные результаты экспериментов. Анализировались как одномерные ДКП на фундаментальных областях, так и двумерные ДКП. Использовались следующие КСС для получения фундаментальных областей: -1 + i, iV2, -1 + i>/3' Каждая область содержала по 64 элемента. Все эксперименты проводились на полутоновых изображениях размером 512 x 512 из набора «Waterloo Gray Set».
На рисунке 6 представлены относительные суммарные энергии исходного сигнала в зависимости от количества наиболее значимых компонент преобразования.
Рис. 6. Зависимость относительных суммарных энергий сигнала от количества наиболее значимых компонент преобразования
Хорошо видно, что по степени сжатия всех преобразований уступают обычному двумерному на блоке 8 х 8, которое используется при JPEG сжатии. Однако визуально полученные изображения более приемлемы (рис. 7).
Рис. 7. Фрагменты исходного изображения (а) и восстановленных изображений: двумерное ДКП на двумерной развертке Б (-2 ) (б), двумерное ДКП на двумерной развертке Б (-11 (в), двумерное ДКП (г)
Заключение
Компьютерное моделирование продемонстрировало, что использование ДКП на предфрактальных областях показывают приблизительно одинаковые результаты по сжатию. Однако визуальное восприятие более естественное. В результате исследования было выявлено, что для различных изображений не всегда лучше одна и та же пред-фрактальная область. Следует отметить, что используемые базисные функции были такими же, как и в обычном «прямоугольном» ДКП, а как известно, эти функции легко выводятся из функций дискретного преобразования Фурье [7]. В работе [8] вводится определение новых «фурьеподобных» преобразований для предфрактальных областей. Дальнейшие исследования могут иметь два направления: вывод «косинусоподобных» функций из функций в работе [8] и построение алгоритма, который определял бы оптимальную предфрактальную область для каждого изображения.
Примечания:
1. Методы компьютерной оптики / под ред. В .А. Сойфера. 2 изд., испр. М.: Физматлит, 2003. 688 с.
2. Katai I., Kovacs A. Canonical number system in imaginary quadratic fields // Acta Mathematica Hungarica. 1981. Vol. 37. P. 159-164.
3. Katai I., Szabo J. Canonical number systems for comlex integers // Acta Sci. Math. (Szeged). 1975. Vol. 37. P. 255-260.
4. . . -
номерных дискретных косинусных преобразований на развертках двумерных сигналов, порожденных каноническими системами счисления // Компьютерная оптика. 2011. № 35. С. 519-523.
5. Gilbert W.J. Complex Bases and Fractal Similarity // Ann. Sc. Math. Quebec, 1987. No. 11. P. 65-77.
6. . ., . .
бинарных квазиканонических систем счисле-
// -терная оптика. 2013. № 37. С. 391-401.
7. Rao K.R., Yip P. Discrete cosine transform: algorithms, advantages, applications // Academic Press Professional. San Diego, 1990. P. 635-638.
8. . ., . ., -
тогональные преобразования на фундаментальных областях канонических систем счисления // Компьютерная оптика. 2013. № 37. С. 484489.
References:
1. Методы компьютерной оптики / под ред. В А. Сойфера. 2 изд., испр. М.: Физматлит, 2003. 688 с.
2. Katai I., Kovacs A. Canonical number system in imaginary quadratic fields // Acta Mathematica Hungarica. 1981. Vol. 37. P. 159-164.
3. Katai I., Szabo J. Canonical number systems for comlex integers // Acta Sci. Math. (Szeged). 1975. Vol. 37. P. 255-260.
4. Belov A.M. The research of the efficiency of onedimensional discrete cosine transforms based on two-dimensional signal scanning generated by canonical number systems // Computer Optics. 2011. No. 35. 519-523 pp.
5. Gilbert W.J. Complex Bases and Fractal Similarity // Ann. Sc. Math. Quebec, 1987. No. 11. P. 65-77.
6. Bogdanov P.S., Chernov V.M. Classification of binary quasicanonical number systems in imaginary quadratic fields // Computer Optics. 2013. No. 37. P. 391-401.
7. Rao K.R., Yip P. Discrete cosine transform: algorithms, advantages, applications // Academic Press Professional. San Diego, 1990. P. 635-638.
8. Chernov V.M., Kasparyan M.S. Discrete orthogonal transforms on fundamental domains of canonical number systems // Computer Optics. 2013. No. 37. P. 484-489.
