CC BY
32
В [6] доказывается теорема, определяющая наименее благоприятное распределение. Согласно этой теореме максимум линейного функционала (8) при произвольной функции риска г(с2х) = Бир(сХ) для функций W (о2) подчиненных условиям нормировки (9) достигается при
£ <]>
w *(о2) = \
если Ф(о20) > F(о^) и
^■Т’° е [<’<
W *(о2) = \
0X
если ф(о20) < F) ’ где
1 021
ф(о2)=-—г f г(о2 )dоХ’
Г\~ — ГГ-
F (о2) =
оx -о
Х1
1
-2 _2
о Х — оХ
x Xl о'
f г (о2 )d(о2х)
(10)
(11)
(12)
2 2
а точки оx и о^ определяются из соотношении Ф(о2о) = sup Ф(о2), F(о?) = sup F(о2),
о2 е [о2,о2 ], о2 е [о2,о2 ].
x L Х0 у X1 x L xi ' x2 J
Величина максимального среднего риска Я* соответственно равна
|Ъ(оМ, Ф(оМ > F (оМ,
R* = •
|Ф(оМ, Ф(оМ < F(cl ).
(13)
То обстоятельство, что наихудшее распределение
2
плотности вероятности параметра ох получилось в виде равномерного закона, определенного на области его возможных значений, вытекает из чисто физических представлений: дельта-функция и равномерное распределение - две противоположные границы возможных классов плотностей вероятностей параметра. Первая представляет появление некоторого значения параметра из области его определения с вероятностью, равной единице. Во втором случае нельзя предугадать, какое значение примет параметр в эксперименте, поскольку все его возможные значения равновероятны.
Решая уравнение (6), где функция правдоподобия определяется в соответствии с (10) или (11) (в зависимости от г(о2х )), получим наиболее осторожную
оценку о^ , а следовательно, и периода квантования
Т для /-го измерения процесса х(?).
Рассмотренный подход позволяет корректировать оценку параметра по мере поступления информации
о работе фирмы, и величина Т будет постоянно уточняться.
Литература
1. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. М., 1968.
2. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М., 1961.
3. Болычевцев А.Д. О средней частоте аварийных выходов контролируемого процесса // Изв. вузов. Приборостроение. 1964. Т. 7. № 4.
4. Белима А.С. Об одном алгоритме работы адаптивной системы централизованного контроля // Приборы и системы автоматики. 1970. Вып. 2.
5. Нейман Д. Два прорыва в теории выбора статистических решений // Математика. 1964. № 82.
6. Репин В.Г. Об отыскании наименее благоприятного априорного распределения вероятности // Изв. АН СССР Техническая кибернетика. 1968. № 2.
Ф.Ф. Идрисов, М.Р. Рустамов
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ФОРМАЛИЗАЦИИ АПРИОРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ ПРИОРИТЕТНОСТИ В ЭКОНОМИКЕ
Томский государственный педагогический университет
В крупных корпоративных структурах (холдинги, альянсы и др.) очень часто возникает необходимость выделения наиболее значимых параметров для целей управления и прогнозирования. Другими словами, требуется решать задачу выделения наиболее значимых параметров с последующим присвоением для них соответствующих приоритетов.
Проблема выбора значимых параметров является до настоящего времени нерешенным до конца вопросом, одинаково важным для многих направлений системного анализа: теории классификации, идентификации объектов управления, теории надежности и т.д.
Известно значительное число методов выбора параметров прогнозирования в задачах управления [1]. Но тогда, когда математическое описание процесса неизвестно, для решения задачи выбора параметров приемлимым является априорное моделирование сложных процессов [2].
Под априорным моделированием будем понимать все возможные методы формализации и обработки неявной качественной информации, которая может содержаться в высказываниях, поведении, мнениях людей. Одним из известных приемов априорного моделирования, позволяющим учитывать накопленный
Ф.Ф. Идрисов, М.Р. Рустамов. Об одном подходе к формализации априорного.
опыт о каком-либо объекте управления, является метод ранговой корреляции (МРК) [3]. Действительно, изучаемый объект управления может быть созданным не настолько давно, чтобы накопилась необходимая статистическая база, дающая возможность использования традиционных количественных методов, тем не менее может уже быть некоторый опыт управления подобным объектом. Эффективное использование этого опыта может существенно сократить время и стоимость исследований по обоснованию приоритета решаемых задач.
В основе МРК лежит ранжирование, т.е. расположение параметров в порядке возрастания или убывания какого-либо признака х, количественно измеримого. В нашей задаче требуется отобрать и ранжировать параметры в порядке убывания их влияния на надежность и качество управляемого процесса. Ранг х/ указывает место, занимаемое 1-м параметром среди других параметров, ранжированных в соответствии с признаком х. Характеристикой связи ранжированных параметров является коэффициент ранговой корреляции (КРК), оценивающий связь между качественными признаками отдельных параметров объекта, не поддающихся точной количественной оценке.
Для п параметров, ранжированных, например, дважды, КРК определится по формуле
Г =
ЪЪаЛ
1=1 ]=1
( п п
Ъ1 а,
V ‘=1
ъп -
(1)
связь
'2
I,..., Е хш. (2)
]=1 1=1 1=1
Для этого определим КРК для ряда (2) относительно ряда из п членов, каждый из которых равен среднему значению суммарных рангов. Среднее значение для суммы рангов ряда (2) определяется как
а = —(п +1).
Тогда
£ (Х ) - -2(п + 1
і=1 2
(3)
Максимальное значение величина $ (й2) примет, если все эксперты дадут одинаковое ранжирование. Тогда суммарная ранжировка ряда (2) будет иметь вид: т, 2т,...,пт. Вычитая из ряда (3) среднее значение суммы рангов а, получим сумму квадратов этого ряда: 2
т
Тогда КРК для суммарной ранжировки будет ра-
вен
5(С2) _ 12£(С2)
(4)
$т (й2) т2(п3 - П)
где Ж - коэффициент конкордации, указывающий степень согласно экспертным мнениям о ранжировании параметров по данному признаку. Очевидно, что значения Ж изменяются в пределах от 0 до 1. При Ж=0 отсутствует всякая связь между ранжировками экспертов, если же параметры ранжированы одинаково, то Ж=1.
С целью выяснения группы параметров, расположенных в убывающем порядке по степени их важности, для исследуемого процесса был проведен опрос группы специалистов по данному процессу (табл.1).
Т аблица 1
где Му - связь между рангами х{ и х у между рангами у/ и у у.
При обработке нескольких экспертных мнений необходимо рассмотреть корреляционную связь нескольких ранжированных рядов.
Имеется ряд параметров 1, п , в разной степени обладающих одним и тем же качеством х; т исследователей ранжируют эти параметры в соответствии с качеством х; получается матрица рангов. При большом числе специалистов приходится проводить много вычислений, и результаты могут получиться не наглядными. Поэтому удобней определять общий КРК для данной группы т специалистов.
Итак, рассмотрим суммарную ранжировку т параметров:
Параметр Эксперты
1 2 3 4 5 6
1. Рентабельность продаж 2 1 2 1 1 2
2. Рентабельность основных фондов 4 6 5 6 3 6
3. Рентабельность инвестиций 8 9 10 9 6 10
4. Значения финансового рычага 3 4 4 4 4 4
5. Значения операционного рычага 11 11 11 11 11 7
6. Величина дивидендов 5 5 6 3 2 3
7. Валюта баланса 9 8 9 7 7 9
8. Процентная ставка 6 7 7 10 10 11
9. Оборачиваемость капитала 7 10 8 8 8 8
10. Производительность капитала 10 2 1 2 5 5
11. Производительность труда 1 3 3 5 9 1
При п = 11 и т = 6 коэффициент конкордации равен 0.675. Оценим полученное значение Ж При заданных значениях т и п можно воспользоваться известными в статистике распределениями. Величина
г = !хп(т ~1 W
расч' 2 (1 - W)
имеет распределение Фишера со степенями свободы , 2
У(1) = п -1-----=
Тогда
т
9.6, у(2) = {т - 1)у(1) = 48.
г = -^Хп—5—0.675 » 1.05.
р 2 0.325
По таблице распределения Фишера находим, что для 5 % уровня значимости при заданных степенях свободы Ъ „ = 2.02. Имеем Ъ < Ъ „ и с вероят-
табл. расч.. табл. г
ностью 95 % можно утверждать, что существует определенная согласованность специалистов относительно распределения параметров по степени их важности (суммарная ранжировка приведена в табл. 2).
Таблица 2
Ранг пара- метра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Номер пара- метра 1 4 10 11 6 2 8 7 9 3 5
Данный метод позволяет осуществить суммарную ранжировку, учитывая при этом степень опыта специалистов, приписывая каждому из них некоторый весовой коэффициент. Определение же весовых коэффициентов, учитывающих степень опыта каждого специалиста, является трудно формализуемой задачей. Ниже предлагается ее эвристическое решение, использующее понятие расстояния между разбиениями некоторого множества [4].
Пусть некоторая совокупность параметров, подлежащих ранжированию, образует множество Ф. Мне-
ние каждого опрошенного специалиста, представленное в виде ряда 5у (у = 1, т) параметров, назовем разбиением множества Ф. Далее в этом ряду все параметры разбиваются на группы (например, по признаку надежности: особо опасные параметры, опасные и неопасные), представляющие собой подмножества разбиений 5у = ,5]д. Назовем базисным ранжи-
рованный ряд параметров Я = Д, Яд (табл. 2). Расстояние ё(Я,5) между разбиением 5. и базисным рядом Я определяется по формуле
<№ ^ \t % I + \ i К* I - £ I К п х.. I (5)
2 /=1 2 к=1 1=1 к=1
Найдем относительное расстояние ё*(Я,8) из соотношения:
2ё (Я, 5.)
ё* (7? (6)
у N(N -1)
где N - число элементов множества Ф.
Нормируя расстояние
т
£ ё *(Я5) = 1, (7)
у=1
получаем весовые коэффициенты экспертных решений, обратно пропорциональные расстоянию разбиений 5. от базисного ряда Я. Окончательный ранжированный ряд технологических параметров определяет собой дисциплину обслуживания вычислительной машиной в целях прогноза в порядке приоритета (табл. 3).
Таблица 3
Ранг пара- метра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Номер пара- метра 1 10 11 4 6 2 8 7 9 3 5
Литература
1. Фу К.С. Последовательные методы в задачах распознавания образов и обучения машин. М., 1970.
2. Круг Г.К., Дьякова Н.С. Априорное моделирование сложных процессов // Докл. науч.-техн. конф. по итогам науч.-исслед. работы за 1968-1969 гг. Секция автоматики, вычислительной измерительной техники. Подсекция автоматического управления. М., 1970.
3. Дьякова Н.С., Круг Г.К. Применение методов ранговой корреляции для обработки качественной информации // Труды МЭИ. 1967. Вып. 67.
4. Миркин С.Г., Чёрный Л.Б. Об измерении близости между различными разбиениями конечного множества объектов // Автоматика и телемеханика. 1970. № 5.
