CC BY
35
УДК 517.988.52, 517.927.4, 517.922
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ключевые слова: краевая задача; дифференциальные уравнения; накрывающие отображения.
Предлагается метод исследования краевых задач для дифференциальных уравнений, использующий представление краевых задач в виде уравнения в произведении конечномерного пространства и пространства суммируемых функций, основанный на утверждениях о липшицевых возмущениях накрывающих отображений. Для реализации этого метода найдены условия накрывания отображений, действующих в произведении метрических пространств.
Результаты [1] изучения накрывающих отображений метрических пространств нашли приложения к задачам управления, в исследованиях функциональных, интегральных, дифференциальных уравнений. Так, в [2] получены условия существования решения задачи Коши для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Здесь мы применим накрывающие отображения к исследованию разрешимости краевых задач. Возможности такого применения открывают полученные в работе условия накрывания отображений, действующих в произведении метрических пространств.
Рассмотрим метрические пространства (X, рх) и (У, ру) . Обозначим через Вх(ж, г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г > 0 в пространстве X , аналогичное обозначение введем в У (и других метрических пространствах, используемых ниже). Приведем определения понятий, необходимых для формулировки основного результата.
О п р е д е л е н и е 1 [1. с. 151]. Пусть задано число а > 0. Отображение Ф : X ^ У называется а -накрывающим, если для любого г > 0 и любого х € X имеет место включение
В дальнейшем пространства X и У будут являться декартовыми произведениями метрических пространств: X = XI х X2 , У = У1 х У2 . Пусть в XI и X2 заданы метрики рхх и рх2 , в У1 и У2 — метрики ру1 и ру2 соответственно. Определим метрику в пространстве
XI х X2 равенством
причем норму в пространстве М2 будем выбирать только такую, которая обладает свойствами:
© Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова
Ф(ВХ(ж, г)) ^ Ву (Ф(ж),от).
РХ1ХХ2 =||(РХі ,РХ2 )|| 2 ,
II Е2
(1)
V (жі, ж2), («ь «2) Є М2
(2)
Аналогичную метрику
РУ1ХУ2 =||(РУі ,РУ2 )|/2
її Е2
(3)
1673
введем в пространстве Yi х Y2 и будем считать, что здесь норма ll-IK. также удовлетворяет
R2
требованиям (2).
Следующее утверждение — основной результат работы — дает условия накрываемости отображений, действующих в произведении метрических пространств.
Т е о р е м а 1. Пусть пространства X1 и Х2 являются полными. Пусть задано отображение F = (F1,F2) : X1 х X2 ^ Y1 х Y2. Предположим, что существуют неотрицательные числа а1,а2,в1,в2 такие, что а1а2 > в1в2, и выполнены следующие условия:
a) при каждом x2 € X2 отображение F1(-,x2) является замкнутым и а1 -накрывающим;
b) при каждом x1 € X1 отображение F2(x1, ■) является замкнутым и а2 -накрывающим;
c) при каждом x1 € X1 отображение F1 (x1, ■) является в1 -липшицевым;
d) при каждом x2 € X2 отображение F2(-,ж2) является в2 -липшицевым.
Тогда для любого а > 0 существуют такие нормы || ■ ||r2 , || ■ ||R2, обладающие свойством (2), что при определении метрик пространств X и Y равенствами (1) и (3) отображение F : X1 х X2 ^ Y1 х Y2 будет а -накрывающим.
Теорема 1 применима к исследованию разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Возможности таких приложений открываются, если записать краевую задачу в виде системы уравнений
fF(x, ж(а)) =0, ,
Ы*,*(а)) =0, (4)
где отображения F : L(Rn) х Rn ^ L(Rm) и ^ : L(Rn) х Rn ^ Rk определяются соответствующими уравнениями и краевыми условиями. Если окажется, что при каждом u € Rn отображение F(-,u) : L(Rn) ^ L(Rm) является а1 -накрывающим и замкнутым, а функционал ^>(-,u) : L(Rn) ^ Rk — в2 -липшицевым; далее, при любом у € L(Rn) отображение F(у, ■) : Rn ^ L(Rm) является в -липшицевым, а <^(у, ■) : Rn ^ Rk — а2 -накрывающим и замкнутым, причем а1а2 > в1в2 , то, согласно теореме 1, краевая задача (4) разрешима.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения
к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференци-
альные уравнения. 2009. № 5. С. 613-634.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Zhukovskiy E. S., Pluzhnikova E. A. On one method of research of boundary value problems solvability for differential equations.
There is presented the method of studying boundary value problems which uses representation of boundary value problem in the form of equation in the product of finite-dimensional space and the space of summable functions. The method is based on the statements on Lipschitz perturbations of covering mappings, for its realization there are derived the conditions of covering of mappings acting in product of metric spaces.
Key words: boundary value problem; differential equations; covering mappings.
1674
