Об одном методе анализа установившегося режима полупроводниковых схем с использованием ЦВМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 246 1974

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ АНАЛИЗА УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СХЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ЦВМ

В. В. ПФЕНИНГ (Представлена кафедрой вычислительной техники)

На статический режим электронных схем с полупроводниковыми элементами существенное влияние оказывает нелинейность характеристик полупроводниковых диодов и триодов. Задача анализа установившегося режима полупроводниковых схем сводится к получению системы нелинейных алгебраических уравнений и решению полученной системы одним из методов последовательных приближений.

Набольшее распространение при расчете электрических цепей на ЦВМ получили обобщенные методы узловых напряжений и контурных токов. Число независимых переменных, которые в случае нелийненых цепей определяются на каждом шаге последовательных приближений, для указанных методов расчета определяется топологической сложностью цепи: соответственно числом независимых узлов для метода узловых напряжений и числом независимых контуров для метода контурных токов. Для уточнения же режима нелинейных элементов на каждом шаге используются лишь напряжения (или токи), непосредственно связанные с нелинейными элементами.

Следовательно, систему уравнений схемы с нелинейными элементами целесообразно свести к такому виду, чтобы в ней переменными являлись лишь напряжения и токи ветвей с нелинейными элементами, а все остальные переменные были исключены [1, 2]. Для этого выделим из схемы все нелинейные элементы и изобразим оставшуюся часть Схемы, содержащую все линейные сопротивления и независимые источники в виде многополюсника М. Число независимых токов и напряжений узловых пар для транзистора равно двум, поэтому для линейного многополюсника он может рассматриваться в виде двух внешних ветвей. Диод представляется одной ветвью. В общем случае выделяемый нелинейный многополюсник должен быть представлен в виде 2 п-полюс-ника и соответственно в виде п внешних ветвей.

Связь между напряжениями и токами всех внешних ветвей для

линеинои части схемы выражается у

НХ ■ " 1

где

равнением

= У, (1)

X и V — соответственно векторы независимые и зависимых переменных внешних Еетвей (здесь и в дальнейшем ин-

деке N указывает на то, что переменные относятся к внешним ветвям):

X

/А-, и.у,

ч к = и,г

и'\г +1) ^(г+П

/ и

Л — общее число внешних ветвей;

г — число внешних ветвей, которым соответствует токовая пере*

менная вектора Х\ Е — соответственно векторы независимых источников тока и источников напряжения внутреннего многополюсника М\

Н—квадратная матрица порядка п\

.Р — прямоугольная матрица размером п X 5 (5 — общее число независимых источников).

В дальнейшем будем называть внешние ветви, которым соответствуют токовые переменные вектора а , токовыми входами, а внешние ветви, которым соответствуют переменные напряжения в Х% — напря-женческими входами. Значения токов и напряжений векторов А и У могут быть найдены при совместном решении уравнения (1) и уравнений нелинейных элементов.

Для дальнейшего рассуждения будем использовать понятия теории графов и топологии цепей [4, 5]. Условие существования матриц Н и Р уравнения (1) может быть выражено следующей теоремой:

Теорема 1. Для любого линейного 2п-полюсника, включающего сопротивления и независимые источники, матрицы Н и Т7 существуют для выбранного набора переменных векторов X и У, только и если (только существует такое дерево цепи, что каждая токовая переменная Лектора X и каждый внутренний источник тока соответствует связи, а каждая переменная напряжения в А' и внутренний источник эде — ветви дерева.

Доказательство аналогичной теоремы приведено в [7]. Отличие заключается в том, что в работе [7] независимые источники тока и эде включаются во внешние ветви (а не оставляются внутри многополюсника) п доказывается существование матрицы Нп уравнения

нпх

у,

(2)

где векторы X и У включают также токи и напряжения независимых источников.

Легко показать, что если существует матрица Нп уравнения (2)„ то существуют и матрицы Я и Т7 уравнения (1), так как они в данном случае являются просто подматрицами Н„ . Переход от системы (2) к (1) может быть осуществлен путем исключения из системы (2) уравнений, соответствующих ветвям с независимыми источниками; члены с независимыми источниками в оставшихся уравнениях дадут состав-

ляющую Т7

£ Е

уравнения (1).

МО

При выводе выражений для получения матриц Я и ^ будем использовать матрицу основных контуров. Основное уравнение для контурного метода записывается следующим образом:

= (3)

где

1 —квадратная матрица контурных сопротивлений; / —матрица-столбец контурных токов; Г — матрица совпадений контура-ветви; * Ев — матрица-столбец напряжений активных ветвей. Матрица контурных сопротивлений 1 равна выражению

г = ггвг<, (4>

где

Zв — диагональная матрица сопротивлений пассивных ветвей, р/—транспонированная матрица Г. Токи ветвей связаны с контурными токами соотношением

/В = Г</, (5)

где /в — матрица-столбец токов ветвей.

Перейдем непосредственно к определению матриц Н и Т7 для линейного 2/г-полюсника. Пусть матрица Г является матрицей основных контуров для выбранного дерева цепи, удовлетворяющего теореме 1 ■ Произведем разделение матрицы Г в соответствии с природой элементов цепи и характером их включения (соответственно в ветви дерева или связи). Будем использовать введенный ранее индекс N и, кроме того, индексы: М — для элементов, относящихся к внутреннему многополюснику; В— для ветвей дерева и С —для связей. Согласно теореме 1, связями цепи могут являться внутренние независимые источники тока ■— /ИГ, внутренние пассивные связи — /?С и токовые входы — N0, а ветвями дерева — внутренние независимые источники напряжения — МЕУ внутренние пассивные ветви дерева — напряженческие входы — ЫВ. Следовательно, матрицу Г можно разделить следующим образом:

М1 /?С N0 МЕ 11В N8

М1 Е, 0 0 Г, Г2

г = яс 0 ЁГ 0 Г4- Г,

А'С 0 0 Е3 г7 Г,

где единичные матрицы Еь Е2 и £3 соответствуют связям, а подматрицы Г^Гд — ветвям дерева.

Аналогично произведем разделение матриц/, 2, 1В> 2В и Ев:

М1 ЯС N0

1м1 М1 2„

/ = /*с ; 2. — /?с ^22 ^23

1 ыс N0 23, 7

h =0

1м-. Irc 0 0 0 0 0 (Г Umi

0 Zrc 0 0 0 0 0

/ас 0 0 0 0 0 0 UNC

; ¿в = ; Ев =

Лия 0 0 и 0 0 0 Ume

Irb 0 0 0 0 Zrb 0 0

1лв 0 0 0 0 0 0 UNB

В матрице-столбце^ перед членами Unc и ¿/достоит минус, так как для внешних ветвей, в отличие от независимых источников, направление напряжений противоположно направлению тока ветви.

Используя введенные обозначения, уравнение (1) можно переписать в следующем виде:

Нп Ну, /д с: Fn F|о /,и/ Unc

Н,х Н,2 Unb F,{ F,2 Uме " IAB '

Подставим Z, /, Г и Ен в уравнение (3). После перемножения матриц данное уравнение сведется к системе трех уравнений, из которых нам понадобятся (2) и (3) (соответственно уравнения (7) и (8):

Z21 IMJ + Z221кс + Z23 /jvc = Г4 UME — Г6 UNB , (7)

Z->i Ли/ + Z;f21rc + Z33 /ay; = — i/;vc + Г7 i/.мя — Г.) U\B- (8) Определим из уравнения (7) токи внутренних пассивных связей

rc

Z22 (Г4 Ume — Г6 Unb — Z2i Imj — Z23 /дг),

(9)

где

Zjl —обратная матрица по отношению к Z22. Подставляя (9) в (8), получим первое уравнение системы уравнений (6).

Нu INC + И12 Unb + ^п Imj + Fv> Ume = U\c,

где

Fl\\ — Z32Z22 Z23— Z33; Hv,~Z-s2Z22 Г0 — Гу; = Z32 Z22 Z2] — Z31; F12 — Г7 — Z32 Z22 Г^. >

Второе уравнение системы (6) может быть получено из соотношения (5), которое для нашего случая перепишется в виде

Tmj

(10)

0 0"

0 Е, 0

0 0 Е3

ri ri Г7

Г2 Г5 п

п Гб rl_

mj

Irc

nc

rc

nc

me

Irb

'NB

Последнее уравнение данной системы имеет вид

П Imj + П IRC -f П, Inc = /.

NB'

Подставляя в это уравнение выражение (9), получим второе уравнение системы (6)

1\с + И-2-2 и^В + Е>1 /-VI/ + ^22 и МЕ ~ /д'Я,

где

= Г9 — Гб ¿22 22:1; Н2-у = — Гб 222 Г6 Р21 — Гз — Го ¿22 ; Р22 = Гб ¿22* Г4.

(И)

Матрица 2 определяется перемножением трех матриц (уравнение (4)). При ее вычислении целесообразно использовать то обстоятельство, что многие подматрицы матриц Г и являются нулевыми или единичными. После перемножения матриц и некоторых преобразований выражение для определения матрицы 1 может быть приведено к виду

2и 213 0 0 0

г = 2,4 •^22 ¿23 — 0 0

7 ^31 ¿33 2зз 0 0 0

Гд'В ,

(12)

где

—

Г2

гГ

Г*

Таким образом, все элементы матриц Н и ^ в конечном итоге вычисляются в функции элементов матрицы Г и сопротивлений внутренних пассивных ветвей многополюсника. Сперва необходимо вычислить элементы матриц 2 (уравнение (12), затем элементы матриц Н и /* (уравнения (10) и (11)).

После определения матриц Н н ^ дальнейший расчет схемы, то есть совместное решение уравнения линейного многополюсника (1) и уравнений нелинейных элементов, производится одним из приближенных методов решения систем нелинейных уравнений, например, методом итерации или методом Ньютона [1, 2, 3].

Существенным достоинством приведенного метода расчета путем разделения схемы на линейную и нелинейную части является то, что соответствующим разделением переменных внешних ветвей на векторы X и У (т. е. соответствующим включением ветвей нелинейных элементов в дерево или связи) может быть значительно улучшена сходимость методов последовательных приближений.

На основании приведенного выше алгоритма составлена программа анализа статического режима схем с полупроводниковыми диодами и триодами для ЦВМ «Минск-2». Исходными данными для программы являются: перечень элементов схемы с указанием порядка их соединения (указываются номера узлов, между которыми включен элемент), значения параметров элементов и начальное приближение для токов и напряжений ветвей с нелинейными элементами. Для полупроводниковых диодов и триодов задаются значения параметров эквивалентных схем (сами эквивалентные схемы не задаются, одеи приняты неизменными и учитываются в соответствующих подпрограммах диода и триода).

В принятой модели диода, кроме идеального диода, учитывается объемная проводимость базы, зависящая от режима, и сопротивление утечки. Для объемной проводимости базы принята линейная зависимость от тока диода. В модели триода, за основу которой приняты уравнения Эберса—Молла [6], введены возможности учета зависимости коэффициентов усиления по току и объемного сопротивления базы от режима и учета пробоя эмиттерного перехода для дрейфовых триодов.

Известия ТПП, т. 246. ИЗ

В программе осуществляется выбор дерева схемы, построение матрицы основных контуров, вычисление матриц Я и F и совместное решение уравнений линейной и нелинейной частей методом последовательных приближений. Выбор дерева производится с учетом режима работы полупроводниковых приборов для обеспечения наилучшей сходимости; режим работы определяется по начальному приближению для напряжений переходов полупроводниковых диодов и триодов. Совместное решение уравнений линейной части схемы и нелинейных элементов производится методом Ньютона.

Сравнительные расчеты, проведенные по этой программе и использовавшейся ранее программе, основанной на обобщенном методе узловых напряжений с применением метода Ньютона, показали, что метод расчета схем путем их разделения на линейную и нелинейную части дает следующие преимущества: уменьшается время решения на каждом шаге вследствие уменьшения числа переменных и вследствие того, что для линейной части матрицы Я и F формируются лишь один раз; существенно улучшается сходимость методов последовательных приближений, если дерево схемы выбирается в соответствии с режимом работы полупроводниковых приборов.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. М. Б об дар емко. Алгоритмы для численного анализа нелинейных электрических и электронных цепей постоянного тока. Теоретическая электротехника. Научные труды ОМИИЖТ, т. 65, Омск, 1965.

2. 'В. М. Бонда ренко. Итерационные методы анализа цепей постоянного тока с транзисторами. Теоретическая электротехника, Изд. Львовского университета, вып. 1, Львов, 1966.

3. Б. П. Демидов-ич, И. А. Марон. Основы вычислительной математики.

Изд. «Наука», М., 1966.

4. Н. А. Мельников. Матричный метод анализа электрических цепей. Изд. «Энергия», 1966.

5. С. С е ш у, Н. Б а л а б а и я н. Анализ линейных цепей. М.—Л., ГЭИ, 1963.

6. Д. Э б е р с, Д. Молл. Характеристики плоскостных полупроводниковых триодов при больших сигналах. «Вопросы радиолокационной техники», Л!» 4, 1955.

7. S о Н. С. On the Hybrid Description of a Linear n-Port Resulting from the Extraction of the Arbitrarily Specified Elements, IEEE Trans, on Circuit Theory, vol. CT—12, pp. 381-387, September, 1965.