CC BY
27
№5 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2012
Секция 4 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
ОБ ОДНОМ КОНТРПРИМЕРЕ ДЛЯ МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ 1-РАСШИРЕНИЙ СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ
М. Б. Абросимов, Д. Д. Комаров
Связный граф без циклов называется деревом. Дерево называется сверхстройным (звездообразным), если в точности одна его вершина имеет степень больше 2. Эту вершину будем называть корнем сверхстройного дерева. Вектор степеней сверхстройного дерева может быть записан в виде (к, 2т, 1к).
Сверхстройное дерево можно рассматривать как объединение к цепей с общей концевой вершиной. При этом дерево можно закодировать вектором, состоящим из длин цепей в порядке невозрастания: (ш1,..., Шк), где ш\ ^ ... ^ Шк. Очевидно, что такое кодирование сверхстройных деревьев при к > 2 является взаимно однозначным.
Граф О* = (V*,а*) называется минимальным вершинным 1-расширением п-вер-шинного графа О = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф О* является вершинным 1-расширением графа О, то есть граф О вкладывается в каждый подграф графа О*, получающийся удалением любой его вершины;
2) граф О* содержит п + 1 вершин, то есть IV*| = IV| + 1;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
В работе [1] доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (ш1, ..., шк) и к > 2. Дерево Т тогда и только тогда имеет минимальное вершинное 1-расширение с к + 1 дополнительным ребром и вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к), когда выполняется условие
(V* = 1,... , к : шг > 1) (Vj = 2,... , шг) (3 1 ^ I ^ к) (Ш[ = j — 1 V Ш[ = Шi — ]).
Схема построения минимального вершинного 1-расширения сверхстройного дерева по теореме 1 состоит в добавлении одной вершины, соединением её со всеми листьями и корнем. В работе [2] высказано более сильное утверждение по сравнению с теоремой 1. Прежде чем его сформулировать, дадим одно определение. Вершина сверхстройного дерева Т называется сложной, если среди длин цепей дерева Т нет цепи длины j — 1 или шг — j. В теореме 1 рассматриваются сверхстройные деревья без сложных вершин. Например, сверхстройное дерево (5, 1, 1) имеет одну сложную вершину.
Утверждение 1 [2]. Минимальное вершинное 1-расширение сверхстройного дерева с к цепями и р сложными вершинами содержит в точности к + р + 1 дополнительных ребер.
При р = 0 приведенное утверждение совпадает с теоремой 1. Однако при р > 0 схема доказательства в работе [2] исследует вариацию вершинного 1-расширения с вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к) из теоремы 1. Пусть у^ — сложная вершина, тогда пред-
лагается добавить ребро из вершины старшей степени в вершину vi(j-l). Далее авторы статьи утверждают, что построенный граф является минимальным вершинным І-расширением заданного сверхстройного дерева. Однако в общем случае построенный граф является вершинным І-расширением, но не обязательно минимальным.
Из бТ сверхстройных деревьев с числом вершин до І0 есть деревья, которые не попадают под действие теоремы І, но имеют k+l дополнительное ребро [З]. Оказывается, что все они являются контрпримерами к утверждению І.
Сверхстройное дерево (Б, І, І) имеет одну сложную вершину, но имеет единственное минимальное вершинное І-расширение вида (k2, З2, 2m+k-2) с четырьмя дополнительными рёбрами.
Сверхстройное дерево (З, 2, 2) также имеет одну сложную вершину, но имеет два минимальных вершинных І-расширения вида (k2, З2,2m+k-2) и одно вида ((k + l), k, З, 2m+k-i) с четырьмя дополнительными рёбрами.
Наконец, сверхстройное дерево (4, З, 2) имеет одну сложную вершину, но имеет 4 минимальных вершинных І-расширения вида (k2, З2, 2m+k-2) с четырьмя дополнительными рёбрами.
Ещё один интересный пример представляет собой сверхстройное дерево (Б, 2, 2). Можно заметить, что оно имеет две сложные вершины, но его ЗТ минимальных вершинных І-расширений имеют Б, а не б дополнительных ребер. Аналогичная ситуация с деревьями (б, І, І) и (З, З, 2), у которых также по две сложные вершины, но минимальные вершинные І-расширения имеют Б дополнительных рёбер.
Самое большое отклонение среди всех сверхстройных деревьев с числом вершин до І0 наблюдается на сверхстройном дереве (Т, І, І). Непосредственной проверкой можно убедиться, что оно имеет три сложные вершины, но его S минимальных вершинных І-расширений имеют Б, а не Т дополнительных рёбер. Можно предположить, что на сверхстройных деревьях вида (t, l, l) (количество сложных вершин в таких деревьях составляет t - З при t > З) при увеличении t отклонение будет возрастать.
Каждый из этих контрпримеров показывает ошибочность утверждения І в общем случае.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные расширения графов // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Томск, 2000. С. 59-64.
2. Harary F and Khurum M. One node fault tolerance for caterpillars and starlike trees jj Internet J. Comput. Math. 1995. V. 56. P. 135-143.
3. Абросимов М. Б., Комаров Д. Д. Минимальные вершинные расширения сверхстройных деревьев с малым числом вершин j Саратов, СГУ, 2010. 38 с. Деп. в ВИНИТИ 18.10.2010, № 590-В2010.
УДК 519.1T
О КОЛИЧЕСТВЕ МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ И РЁБЕРНЫХ 1-РАCШИРЕНИЙ ЦИКЛОВ С ЧИСЛОМ ВЕРШИН ДО 17
М. Б. Абросимов, Н. А. Кузнецов
Дж. П. Хейз в работе [І], а затем вместе с Ф. Харари в работах [2, З] предложил графовую модель для исследования отказоустойчивости дискретных систем. Особое внимание было уделено системам, представимым циклами. В работах [І-З] предложены
