ОБ ОДНОМ КОНТИНУАЛЬНОМ СЕМЕЙСТВЕ β-ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №2(24)

УДК 519.716

ОБ ОДНОМ КОНТИНУАЛЬНОМ СЕМЕЙСТВЕ в-ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ1

Д. К. Подолько

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

Приводится пример континуального семейства в-замкнутых классов функций многозначной логики, содержащих только функции, принимающие не более трёх значений, где оператор в-замыкания определён на основе кодирования функций многозначной логики в двоичной системе счисления. Доказываются некоторые свойства данного семейства классов.

Ключевые слова: функции многозначной логики, суперпозиция, замкнутые классы, в-замыкание.

Введение

Широко известно, что семейство классов функций k-значной логики, замкнутых относительно операции суперпозиции, является континуальным при k ^ 3 [1, 2]. В связи с этим возникают значительные сложности при описании данных классов, и поэтому для их изучения часто рассматривают различные усиления операции суперпозиции, которые позволяют получить семейства замкнутых классов с более обозримой структурой [3-5].

В работе [6] использован аналогичный подход. В ней определен оператор в-за-мыкания на основе кодирования функций многозначной логики в двоичной системе счисления и построено отображение семейства в-замкнутых классов функций k-значной логики в семейство замкнутых классов булевых функций. При этом установлено, что в каждый класс булевых функций отображается конечное (и непустое) множество в-замкнутых классов функций k-значной логики, содержащих только функции, принимающие не более двух значений. Таким образом, доказана счётность семейства различных в-замкнутых классов, содержащих только функции, принимающие не более двух значений, в то время как аналогичное семейство классов, замкнутых относительно операции суперпозиции, является континуальным [1, 2].

В настоящей работе приводится континуальное семейство в-замкнутых классов функций k-значной логики, содержащих только функции, принимающие не более трёх значений, а также доказываются некоторые свойства данного семейства классов.

1. Основные определения и обозначения

Сформулируем основные определения (подробнее см. [6]). Пусть k ^ 2. Через Ek обозначим множество {0,1,... , k — 1}, а через ЕДП, где n ^ 1, — множество всех наборов длины n, компоненты которых принадлежат Ед. Через Рд обозначим множество всех функций k-значной логики.

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №11-01-00508 и 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).

Будем рассматривать только случаи, когда значность к логики задаётся соотношением к = 2т, где т ^ 2. Тогда каждое число а из Ек можно записать в двоичной системе счисления. Это означает, что ему взаимно однозначно сопоставляется двоичный вектор (а1,..., ат) из Ет, который будем обозначать через (а1,..., ат) или а. Переменной х, принимающей значения из Ек, можно поставить в соответствие вектор-переменную (х1,... , хт), где х1,... , хт принимают значения из множества Е2, таким образом, что каждому значению а переменной х ставится в соответствие значение (а1,...,ат) вектор-переменной (х1,...,хт). Данную вектор-переменную будем обозначать также через ж, а каждую из переменных х1,... , хт называть компонентой вектор-переменной ж или просто компонентой переменной х.

Произвольной п-местной функции Р(х1,... ,хп) из Рк можно сопоставить вектор-функцию (/1,... , /т), где функции /1,... , /т являются булевыми и каждая из них зависит от всех булевых переменных х{,... , х”, 3 = 1,... , п (здесь ж7 = (х{,. . . , хт)). Данную вектор-функцию будем также обозначать через ^((х^ ... , х”),... , (х^,... , х”)) или р

Описанные представления будем называть двоичным представлением числа а, переменной х и функции Р соответственно.

Пусть Р е Рк и Г = (/1,... , /т). Каждую из булевых функций /1,... , /т будем называть компонентой вектор-функции р, а также компонентой функции Р. Множество всех компонент функции Р обозначим через Ь(Р).

Пусть А С Рк. Класс булевых функций, совпадающий с замыканием множества

и Ь(Р) относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной, ^ ел

будем называть булевым замыканием множества А и обозначать через В (А).

Будем говорить, что функция Н из Рк получена из функций множества А при помощи операции двоичной суперпозиции, если найдутся функция Р из множества А и функции д1,...,дтп из множества В(А) (где п — число переменных функции Р), такие, что выполняется следующее равенство:

Н = Р ((д1, . . . , дт), . . . , (дт(га-1)+1, . . . , дтга^ .

Множество всех функций, которые могут быть получены из функции системы А при помощи операций двоичной суперпозиции и введения несущественной переменной, будем называть в-замыканием множества А и обозначать через [А]в. В работе [6] установлено, что введённый оператор в-замыкания удовлетворяет всем необходимым свойствам оператора замыкания, алгебраическое описание которых можно найти, например, в [7].

Пусть Р е Рк. Через Д(Р) будем обозначать множество значений функции Р, а через Рк|г, где 1 ^ г ^ к, — множество всех функций к-значной логики, принимающих не более г значений.

2. Континуальное семейство в_замкнутых классов

Приведём пример континуального семейства в-замкнутых классов функций из Рк|з. Для каждого п ^ 2 определим функцию из Рк, зависящую от переменных х1, ... , хп, у1, ... , уп, через её двоичное представление (/п,1,... , /п,т):

/п,1 = х1 V х? V ■ ■ ■ V х? V у1 &у?& ... ;

/п,г = У1 V у? V ■ ■ ■ V уП V ^га(х1,х1,..., хП) V х1&х1& ... &хП, 2 ^ г ^ т,

где х Vу, х&у, х — соответственно дизъюнкция, конъюнкция и отрицание в двузначной „1

1 , . . . , х1

логике, а ^„(х1,..., х„) = V х^&х^.

Так как каждая из компонент функции зависит только от первых компонент переменных х1,... , х„, у1,... , у„, в дальнейшем будем обозначать булевы переменные х1, у1 через х* и у* соответственно, г = 1,... , п. Тогда

/„,1 = х1 V ■ ■ ■ V х„ V у1& ... &у„;

/„,* = у1 V ■ ■ ■ V у„ V ^„(хь...,х„) V ж!& ... , 2 ^ г ^ т.

Для функций Р„, п ^ 2, выполняются следующие свойства.

1) Компоненты функции существенно зависят только от переменных х1,... , х„

и уъ ... ,у„.

2) В({Р„}) = О©, где через О© обозначается замкнутый класс всех булевых функций /, для которых найдётся переменная х, от которой зависит функция /, и такая, что / ^ х (подробнее см., например, [8]).

Данное свойство следует из того, что все компоненты функции принадлежат классу О©, а функция /„,2 не содержится в классах МО© и О© — обоих предполных классах в классе О© [8] — и тем самым порождает все функции из этого класса.

3) Д(Р„) = {а01, а10, а11}, где двоичные представления чисел а01, а10, а11 равны (0,1,1,... , 1), (1, 0, 0,... , 0) и (1,1,1,... , 1) соответственно.

Так как функции /„,2,... , /„,т равны между собой, то двоичное представление функции может принимать значения только из множества

{(0, 0,0,...,0), (0,1,1,...,1), (1, 0, 0,...,0), (1,1,1,...,1)}.

Функция /„,1 равна нулю тогда и только тогда, когда х1 = ••• = х„ = 0 и

хотя бы одна из переменных у1,... ,у„ равна 0. Но если х1 = ■ ■ ■ = х„ = 0,

то функция /„,2 равна единице, поэтому двоичное представление функции не принимает значение (0, 0, 0 ..., 0), а значения (0,1,1,..., 1), (1, 0, 0,... , 0), (1,1,1,..., 1) принимает соответственно при следующих значениях переменных: х1 ■ ■ ■ х„ у1 ■ ■ ■ у„ 0; х1 1 х2 ■ ■ ■ х„ у1 ■ ■ ■ у„ 0;

— х1 = ■ ■ ■ = х„ = у1 = ■ ■ ■ = у„ = 1.

Отметим, что похожее множество функций использовалось в работе [9] для доказательства континуальности семейства самодвойственных классов функций к-значной логики.

С©

Положим ^ = и {Р„}.

„=2

Лемма 1. Для всех п ^ 2 справедливо соотношение е [^\{Р„}]^.

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы 1 неверно. Это значит, что имеет место соотношение

= Н ((^1 , . . . , ^т) , . . . , (^т(г-1)+1, . . . , ^тг)^) , (1)

где функция Н принадлежит множеству ^\{Р„} либо получена из функций данного множества путём введения несущественных переменных; г — число переменных функции Н; булевы функции ш1,...,штг принадлежат множеству В(^\{Р„}).

Поскольку функция не содержит несущественных переменных, то без ограничения общности можно положить, что Н = Рр для некоторого числа р, р ^ 2, р = п, и г = 2р. Так как В({р}) = О© для любого г ^ 2, то В(^\{Р„}) = О©, и поэтому все функции ^1,... , ш2тр принадлежат классу О©, а так как все компоненты функции существенно зависят только от переменных х1,... ,х„,у1,... ,у„, то без ограничения общности можно считать, что булевы функции Ш1, ... , ш2тр зависят только от тех же переменных.

Поскольку все компоненты функции Рр существенно зависят только от первых компонент вектор-переменных, то компоненты ^2,... , шт,... , шт(2Р-1)+2,... , ^2тр можно заменить на константу 1, которая содержится в классе О©.

Для всех г, 1 ^ г ^ р, обозначим функцию шт(г-1)+1 через , а функцию

^т(р+г-1)+1 —через Л,г. В данных обозначениях соотношение (1) можно записать при

помощи эквивалентной системы равенств:

Г/п,1 = V ■ ■ ■ V др V Л-1& ... &Лр (2)

\/„,г = Л-1 V ■ ■ ■ V Лр V ^р(дь... ,др) V дг &... &др, 2 ^ г ^ т. (3)

Так как е О©, то мажорирует некоторую переменную из множества {х1,... , х„,у1 ,...,у„}, г = 1,...,р. Предположим, что для некоторого числа г, 1 ^ г ^ р, функция мажорирует переменную у7-, 1 ^ 3 ^ п. Рассмотрим набор а = (а1,... , а2„) из Е|„, у которого все компоненты равны нулю, кроме компоненты с номером п+3 (она соответствует переменной у7-). Тогда дг(а) = 1. Но /„,1(а) = 0, а значит, не выполняется соотношение (2). Следовательно, ни одна из функций д1,... , не мажорирует ни одну из переменных у1,...,у„. Аналогичными рассуждениями получаем, что ни одна из функций Л1,... , Л,р не мажорирует ни одну из переменных х1,... , х„.

Далее предположим, что выполняется неравенство р > п. Так как каждая из функций д1,... , мажорирует хотя бы одну переменную из множества {х1,... , х„}, найдётся переменная хг, 1 ^ г ^ п, которая мажорируется как минимум двумя функциями дг1 и дг2, 1 ^ г1 < г2 ^ р. Рассмотрим набор а = (а1,... , а2„) из Е?„, у которого все компоненты равны нулю, кроме компоненты с номером г (она соответствует переменной хг). Тогда дг1 (а) = дг2(а) = 1, а следовательно, ^Дд1(а),..., др(5)) = 1. Но /„,2(а) = 0, так как ^„(а1,... , а„) = ОТ& ... &а„ = а„+1 V ■ ■ ■ V а2„ = 0. Поэтому не выполняется соотношение (3).

Теперь предположим, что р < п. Для каждого числа г, 1 ^ г ^ р, функция мажорирует хотя бы одну переменную из множества {у1,..., у„}. Это означает, что найдётся число 3г, 1 ^ ^ п, для которого ^ у74. Рассмотрим набор а = (а1,...,а2„)

из Е|„, у которого компоненты с номерами п + 31,... ,п + 3р равны единице (они соответствуют переменным у71,... , у7р), а остальные компоненты равны нулю. Тогда Л1(а) = ■■■ = Лр(а) = 1, а следовательно, Л1(а)&..., &Л,р(а) = 1. Поскольку р < п, {г1,... ,гр} = {1,... ,п}. Поэтому найдётся число 3, 1 ^ 3 ^ п, такое, что а„+7- = 0. Значит, а1 V ■ ■ ■ V а„ = а„+1& ... &а2„ = 0, и на наборе а функция /„,1 равна нулю. Поэтому не может выполняться соотношение (2), что и требовалось доказать. ■

Теорема 1. Пусть к = 2т, где т ^ 2. Тогда семейство различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием О© является континуальным.

Доказательство. Для каждого подмножества Б множества {2, 3, 4,... } определим множество функций к-значной логики {Р : г е Б}, которое будем обозначать через ^(£).

Рассмотрим два различных подмножества Я и Q множества {2, 3, 4,... }. Для них найдётся число п, такое, что п е Я^ или п е Q\Я. Без ограничения общности будем считать, что п е Я\Q. Тогда е (Я)]в, но по лемме 1 выполняется соотношение е [^\{^„}]в, а значит, е [^^)]в.

Получили, что для различных подмножеств Я и Q множества {2, 3, 4,... } различны и в-замкнутые классы функций (Я)]в и ^)]в. Так как семейство различных таких подмножеств имеет континуальную мощность, то семейство различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием О© как минимум континуально.

Множество всех функций к-значной логики является счётным, а следовательно, семейство его подмножеств континуально. Поэтому семейство различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием О© имеет мощность не более континуума. Значит, оно континуально, что и требовалось показать. ■

3. Другие семейства в-замкнутых классов функций из Рк|3

Покажем теперь, что для каждого класса В булевых функций, который строго содержится в классе О©, семейство в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В является конечным. Для этого введём вспомогательные определения.

Пусть /, /1 , . . . , /р — булевы функции, зависящие от одного и того же множества переменных. Функцию / будем называть функционально зависимой от функций /1,... , /р, если существует р-местная булева функция д, такая, что / = д(/1,... , /р). В ином случае функцию / будем называть функционально независимой от функций /1,... , /р. Функции, реализующие константы 0 и 1, будем считать функционально зависимыми от пустого множества функций. Если для всех чисел 3, 1 ^ 3 ^ р, функции / являются функционально независимыми от функций /1,... , /?-1, /?+1,... , /р, то множество функций {/1,..., /р} назовём функционально независимым.

Лемма 2. Пусть А = {/1,...,/р} — функционально независимое множество булевых функций и ^(А) —число значений булевой вектор-функции (/1,... , /р). Тогда выполняются соотношения |~^2 ^(А)] ^ р ^ ^(А) — 1.

Доказательство. Так как ^(А) —число значений булевой вектор-функции (/1,...,/р), то очевидно, что верно неравенство ^(А) ^ 2р. Поэтому 1с^2 ^(А) ^ р, а так как р является натуральным числом, то |~1og2 ^(А)] ^ р.

Доказательство соотношения р ^ ^(А) — 1 будем вести индукцией по р.

Пусть р = 1 . Тогда функция /1 не является константой по определению функционально независимого множества. Поэтому ^(А) = 2, что и необходимо.

Теперь предположим, что для любого функционально независимого множества А' = {/1,... , /8} булевых функций, где 1 ^ 5 < р и ^(А') —число значений булевой вектор-функции (/1,... , /;), верно соотношение 5 ^ ^(А') — 1.

Покажем, что выполняется соотношение р ^ ^(А) — 1 для функционально независимого множества {/1,...,/р} булевых функций. Для этого рассмотрим его подмножество А' = {/1,... , /р-1}. Это функционально независимое множество функций, поэтому по предположению индукции верно соотношение р— 1 ^ ^(А') — 1. Если для любого вектора (а1,..., ар-1) из Ер 1 на множестве наборов, на которых вектор-функция (/1,... , /р-1) принимает значение (а1,... , ар-1), функция /р является константой, то функция /р является функционально зависимой от функций /1,... , /р-1, что неверно. Поэтому найдётся вектор (а1,... , ар-1) из Ер 1, такой, что на множестве наборов, на которых вектор-функция (/1,... , /р-1) принимает значение (а1,..., ар-1), функция /р

не является константой. Значит, ^(А) ^ ^(А') + 1, из чего и следует необходимое соотношение. ■

Пусть Я е Рк и Я = (/1,... , /т). Множество компонент {/¿1,... , /¿р} будем называть базой функции Я, если данное множество является функционально независимым, а остальные компоненты функции Я являются функционально зависимыми от функций /*1 ,...,/гр.

Лемма 3. Пусть Я е Рк, Я = (/1,...,/т), {/¿1,... , /¿р} — база функции Я и |Д(Я)| = г. Тогда выполняются соотношения |~^2 г] ^ р ^ г — 1.

Доказательство. Так как значение функции Я однозначным образом определяется по значениям функций из её базы, то доказываемые соотношения вытекают из леммы 2. ■

Лемма 4. Пусть А С Рк|3, [А] в = А, Я С А, В (А) = В(Я) и класс В (А) содержится в классе М или в классе Т01. Тогда для любой функции Я из множества А найдётся функция Нр из А, зависящая от одной переменной, и такая, что Я е [Яи{Нр}]в.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию Я из множества А. Обозначим через п число переменных функции Я, а через (/1,... , /т) —её двоичное представление. Если функция Я является константой, то в качестве Нр можно взять функцию, реализующую ту же константу, что и функция Я, и зависящую от одной переменной.

Пусть теперь функция Я принимает два или три значения. Тогда среди её компонент содержатся не только константы, а значит, класс В(А) содержит селекторные функции [8].

Рассмотрим случай, когда функция Я принимает три значения (более простой случай, когда функция Я принимает два значения, рассматривается аналогично). По лемме 3 у неё найдётся база, состоящая ровно из двух функций. Без ограничения общности будем считать, что базой является множество {/1,/2}. Функции /1 и /2 не являются функционально зависимыми друг от друга. Поэтому они не равны между собой и не являются константами. Если класс В(А) содержится в классе монотонных функций, то функции /1 и /2 являются монотонными, а значит, верны равенства /1(0,... , 0) = /2(0,..., 0) = 0 и /1(1,... , 1) = /2(1,..., 1) = 1. Если класс В (А) содержится в классе Т01, то выполняются аналогичные равенства.

Функции /1 и /2 не равны между собой. Значит, найдётся набор а = (а1,... , ат„) из Е2т„, на котором значения данных функций различны. Без ограничения общности будем считать, что /1(а) = 1, а /2(а) = 0. Поскольку функция Я принимает ровно три значения, а значения её компонент /3,... , /т однозначным образом определяются по значениям функций /1 и /2, то двоичное представление функции Я принимает следующие значения:

<0,0, /3(0, ..., 0), . . . , /т(0,..., 0)>,

(1, 0,/3(а1,..., ат„) , . . . , Ут(а1, . . . , ат„^,

<1, 1, /3(1,- - - ,1),...,/т(1,..., 1)>.

Для каждого числа г, 1 ^ г ^ тп, определим булеву функцию дг(х1,х2) следующим образом: если аг = 1, то = х1, а если аг = 0, то = х2. Все эти функции являются селекторными, а следовательно, содержатся в классе В(А).

Далее рассмотрим вектор-функцию (/1 ,...,/m)((gl,..., дт) , . . . , (дт(„-1)+1, . . . , дт„) ). Она является двоичным представлением некоторой функции Нр из Рк. Так как т ^ 2,

а функции д1,... , дт„ зависят от булевых переменных х1 и х2, функция Нр зависит от одной переменной, а поскольку все функции д1,... , дт„ содержатся в множестве В (А) и класс А является в-замкнутым, функция Нр принадлежит множеству А. Покажем, что она искомая.

Обозначим через (Л1,..., Л,т) двоичное представление функции Нр. Так как функции /3,... , /т являются функционально зависимыми от функций /1 и /2, по построению функции Л3,... , Л,т являются функционально зависимыми от функций Л1 и Л,2, причём эти функциональные зависимости могут быть заданы теми же функциями.

Докажем соотношение Я = (Л1,... , Лт)((/1,... , /т)). Так как функции /3,... , /т являются функционально зависимыми от функций /1 и /2, а функции Л,3,..., Л,т — от функций Л1 и Л,2, достаточно доказать справедливость равенств /1 = Л1 (/1,... , /т) и /2 = Л2(/1,... , /т). А так как компоненты функции Нр существенно зависят только от переменных х1 и х2, достаточно показать, что /1 = Л/1(/1,/2) и /2 = Л-/2(/1,/2),

где функции Л1, Л/2 получены удалением несущественных переменных х3,... , хт из функций Л1 и Л,2 соответственно. Для этого рассмотрим произвольный набор 7 из Ет„. Имеют место три случая:

— Если /1(7) = Д(7) = 0, то (0, 0) = Л- (д1(0, 0),...,дт„(0,0)) = Л' ^..^ 0) = 0,

3 = 1, 2, что и требуется.

— Случай, когда /1(7) = /2(7) = 1, рассматривается аналогично предыдущему.

— Если /1(7) = 1, а /2(7) = 0, то Л,1(1, 0) = /1 (д1(1, 0),..., дт„(1, 0)) = /1(5) = 1, а Л2(1, 0) = /2(а) = 0, что и необходимо.

Таким образом, верно равенство Я = (Л1,... , Лт)((/1,... , /т)), а поскольку каждая из функций /1,..., /т содержится в классе В (Я), получим Я е [Я и {Нр }]в, что и требовалось доказать. ■

Лемма 5. Пусть Я е Рк, Я е Рк|1. Тогда в в-замкнутом классе [{Я}]в найдётся функция, зависящая от одной переменной, множество компонент которой содержит селекторную функцию.

Доказательство. Обозначим двоичное представление функции Я через (/1,... ,/т), а число её переменных — через п. Если все компоненты функции Я являются константами, то функция Я принимает одно значение, что неверно по условиям леммы. Поэтому среди компонент функции Я найдётся функция, не являющаяся константой. Без ограничения общности положим, что это функция /1. Тогда класс [{/1}] содержит селекторные функции [8]. Поэтому х1 е [{/1}] и верно равенство х1 = /1(д1,... ,дт„) для некоторых функций д1,... ,дт„, которые принадлежат классу [{/1}]. Поскольку функция х1 зависит только от переменной х1, без ограничения общности можно считать, что функции д1,... ,дт„ тоже зависят только от переменной х1, а так как /1 е В({Я}), в силу замкнутости класса В ({Я}) верно включение

{д1,...,дт„} С в({я}).

Обозначим через Н функцию, имеющую следующее двоичное представление:

(/1, . . . , /т) ((д1, . . . , дт) , . . . , (дт(„-1)+1, . . . , дтга^ .

По построению функция Н содержится в классе [{Я}]в и зависит от одной переменной. А так как выполняется соотношение /1(д1,... , дт„) = х1, имеем х1 е Ь(Н), что и требовалось показать. ■

Лемма 6. Пусть В — замкнутый класс булевых функций, содержащийся в классе М или в классе Т01. Тогда существует число г = г (В), такое, что у любого

в-замкнутого класса А функций из Рк|3 с булевым замыканием В существует конечный базис, все функции которого зависят не более чем от г переменных.

Доказательство. Пусть А — в-замкнутый класс функций из Рк|3, такой, что В (А) = В. Если все функции из класса А являются константами, то утверждение леммы 6 очевидно, а в качестве г можно взять число 1.

Пусть теперь среди функций класса А имеется хотя бы одна функция, принимающая не менее двух значений. Обозначим её через Я. Тогда по лемме 5 в классе [{Я}]в существует функция Н, зависящая от одной переменной, множество компонент которой содержит селекторную функцию. Так как Я е А и класс А является в-замкнутым, верно Н А.

Известно, что у класса В существует конечный базис [8]. Обозначим его функции

1г

через дт,..., д5, а переменные, от которых они зависят, — через хь ..., хь где г является максимальным числом переменных у данных функций. Для каждого 3, 1 ^ 3 ^ 5, определим функцию С- из Рк через её двоичное представление: С- = Н((д-,... ,д-)). Тогда функция С- зависит не более чем от г переменных, а так как {д1,... , д5} С В(А) и класс А является в-замкнутым, выполняется С- е А.

Поскольку множество компонент функции Н содержит селекторную функцию, д- е Ь(С-), 3 = 1,... , 5. Поэтому верно равенство В ({С1,... , С5}) = В (А), и по лемме 4 для любой функции Я из множества А можно выбрать функцию Нр из А, зависящую от одной переменной и такую, что Я е [{С1,... , С5, Нр}]в. Значит, верно включение А С [{С1,... , С5} и {Нр|Я е А}]в. Но так как все функции из множеств {С1,...,С8} и {Нр|Я е А} содержатся в А, верно и обратное включение. Поэтому

А = [{^1,..., С.,} и {Нр|Я е А}]в.

Так как число функций из А, зависящих от одной переменной, конечно, конечно и множество {Нр|Я е А}, а поскольку функции С1,... , С, зависят не более чем от г переменных, где г зависит только от В, получаем утверждение леммы 6. ■

Теорема 2. Пусть к = 2т, т ^ 2, а В — замкнутый класс булевых функций, содержащийся в классе М или в классе Т01. Тогда число различных в-замкнутых классов А функций из Рк|3 с булевым замыканием В является конечным.

Доказательство. Пусть А — произвольный в-замкнутый класс функций из Рк|3, такой, что В(А) = В. Тогда по лемме 6 в классе А найдётся конечный базис, все функции которого зависят не более чем от г переменных, где г зависит только от класса В. Так как число функций из Рк|3, зависящих не более чем от г фиксированных переменных, является конечным, конечно и число их подмножеств. Поэтому конечно число рассматриваемых в-замкнутых классов функций. ■

Следствие 1. Пусть к = 2т, где т ^ 2. Тогда для любого замкнутого класса В булевых функций, такого, что В С О©, В = О©, семейство в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В является конечным.

Доказательство. Если класс В содержится в О© и В = О©, то либо В С М, либо В С Т01, либо выполняются оба соотношения [8]. Поэтому по теореме 2 семейство в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В является конечным. ■

Рассмотрим далее множество Q замкнутых классов В булевых функций, для которых число различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В не является конечным. По теореме 2 классы, содержащиеся в классе М или в классе Т01, не принадлежат множеству Q.

Несложно показать, что для любой функции Я из Рк, все компоненты которой являются линейными функциями, число её значений есть степень двойки, а для любой функции Я, все компоненты которой являются самодвойственными функциями, число её значений является чётным. Поэтому если А С Рк|3, [А]в = А и В(А) = В, где класс В содержится в классе Ь или в классе Б, то АС Рк|2. В работе [6] доказано, что число различных в-замкнутых классов функций из Рк|2 с булевым замыканием В является конечным. Поэтому конечно и число различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В, а значит, ни один из классов линейных или самодвойственных функций не принадлежит множеству Q, и множество Q содержится в следующем множестве классов [8]:

{Р2, То, 71} и {Ом, /^ : ^ ^ 2} и {О©, I©}.

В данном множестве классы О© и /© являются минимальными по включению, а по теореме 1 класс О© содержится в множестве Q. Поскольку класс /© является двойственным к классу О©, то и он, очевидно, содержится в Q. Поэтому имеет место следующая теорема

Теорема 3. Пусть к = 2т, где т ^ 2. Тогда классы О© и /© являются минимальными по включению среди всех замкнутых классов В булевых функций, для которых число различных в-замкнутых классов функций из Рк|3 с булевым замыканием В не является конечным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании к-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 44-46.

2. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001. 384 с.

3. Нгуен Ван Хоа. О семействах замкнутых классов к-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Дискретная математика. 1993. Т. 5. Вып. 4. С. 87-108.

4. Марченков С. С. ^-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика. 1997. Т. 9. Вып. 3. С. 125-152.

5. Тарасова О. С. Классы функций к-значной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Матем. вопросы кибернетики. Сб. статей. Вып. 13. М.: Физ-матлит, 2004. С. 59-112.

6. Подолько Д. К. О классах функций, замкнутых относительно специальной операции суперпозиции // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. №6. С. 54-57.

7. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.

8. Угольников А. Б. Классы Поста: учеб. пособие. М.: Изд-во ЦПИ при механикоматематическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, 2008. 64 с.

9. Марченков С. С. О замкнутых классах самодвойственных функций многозначной логики. II // Проблемы кибернетики. 1983. Т. 40. С. 261-266.