Об одном конечно-разностном аналоге задачи Лидстона, зависящем от параметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 1 (1), с. 112-114

УДК 517.53

ОБ ОДНОМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ЛИДСТОНА, ЗАВИСЯЩЕМ ОТ ПАРАМЕТРА

© 2012 г. В.Л. Андрианов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

уа^паппп@таП. т

Поступила в редакцию 08.07.2011

Устанавливается класс единственности одного конечно-разностного аналога симметричной задачи Лидстона для целых функций экспоненциального типа.

Ключевые слова: интерполяционная задача, класс единственности, преобразование Бореля.

В теории интерполяции аналитических функций хорошо известна задача Лидстона о восстановлении (если это возможно) целой функции экспоненциального типа по условиям

Гр(2и)(0) = а ,

I (!)

(2п)(1) = Ьп, п = 0,1,2,...(в дальнейшем пеИ0).

Её исследованию посвящено большое число публикаций (см., например, [1-8]). Рассматривались также её различные модификации и обобщения (например, [7, 8]). В работе [9] следующая модификация этой задачи, зависящей от вещественного параметра h,

^(2п )(0) = ап,

^(2п)(1 ± 2Ьп) = Ь±п, п е #„,

оказалась всюду неустойчивой в R э h относительно параметра Ь, что показывает принципиальное отличие решений задач интерполяции, например, от свойств решения дифференциального уравнения, зависящего аналитически от параметра. А именно, справедлив следующий результат.

^ I I % %

Пусть Е = у 1к , где 1к = (- - г + %кг-1 +

ке1 2 2

+ %кг); задачу (2) решаем в классе целых функЕ Л

1;— I, h > 0 (заме-Ь )

ции экспоненциального типа

тим, что при h = 0 равенства (2) переходят в (1)). Утверждение.

1. Множество функции

2. Множество функции

ни для одно-

Из 1-2 следует, что задача (2) неустойчива

на шкале классов

при любом иррацио-

нальном Ь > 0.

Доказано также, что при рациональном

Р

Ь = — общее решение однородной задачи (2) в Я

классе

есть тригонометрическии поли-

ном вида

F (2) = I Ск sin %дк2,

(3)

(2)

где Ск - произвольные постоянные, а при Ь иррациональном функция вида (3) не удовлетворяет, естественно, однородным условиям (2). Интересно, что для задачи

(> (2п+[) (0) = ап,

|/(2п)(1 ± 2Ьп) = Ь±п, п е М0,

весьма родственной задаче (2), множество

1 Е Л

1;— I является классом единственности при

Ь )

любом Ь > 0, и, таким образом, задача (2) ус-

тоичива на шкале

1;Е | V h > 0. к

является

классом единственности задачи (2) при любом иррациональном к > 0.

го рационального к > 0 не является классом единственности задачи (2).

Доказательство приведенных выше предложении базируется на конструктивном решении задачи (2).

Приведем некоторые необходимые сведения из теории целых функций. Пусть Г - замкнутая жорданова кривая в комплексной плоскости С, и она разбивает С на две области D±, D +иГи D ~ = С , дає D ~ . Через А^+) обозначают пространство функций, аналитических в D+ с топологией, определяемой равномерной сходимостью внутри D+. Символ А ^+) обозна-

чает пространство функций, таких что каждая функция у е А ^+) голоморфна в некоторой окрестности множества С Ш+ и обращается в ноль на бесконечности. Известно, что А^+) и А (D+) - взаимно сопряженные пространства, и линейный непрерывный функционал в каждом из них задается билинейной формой

(f; у) = 2- j f (z)y(z) dz,

2га

1

где / е А^+), у е А*ф+) и контур Г - некоторая замкнутая жорданова кривая в D+.

Система элементов {/п}, п е Ы0, /п е A(D), полна в A(D), если замыкание ее линейной оболочки по топологии A(D) совпадает с A(D). Необходимым и достаточным условием полноты последовательности {/П} в А^) является единственность решения в А (П) следующей бесконечной системы уравнений:

{/„; у) = o, п е N0.

Любая целая функция экспоненциального типа F(z) порядка р < 1 и конечного экспоненциального типа представима в виде

Р(z) = -^ Ге2‘у(?) dt Уе > 0,

2га,, •>

|t|=ст+t

йе/ да ^ а

где функция у^) = (ассоциированная по

к=0 t

Борелю) голоморфна в области 111> ст, у (да) = 0. Символом [1М), где М с С, С \М связно, обозначают класс всевозможных целых функций экспоненциального типа, у которых ассоциированная по Борелю функция у(^ является регулярной на множестве С \М. В частности, класс М = ^1 е С :| 11< ст} совпадает с [1;ст) (класс целых функций экспоненциального типа, меньшего ст).

В данной работе рассматривается конечноразностный аналог задачи Лидстона, зависящей от параметра h, h > 0,

a2;f(±1) = «±n, n є N0

(4)

где AF(z) = F(z+h) - F(z), AF(z) =\(A-Fz)).

Отметим, что ряд интересных задач об интерполировании конечными разностями содержится в [10], занимались ими также такие математики, как Boas R.P., Whittaker J., Казьмин Ю.А. Основной результат работы содержится в доказательстве следующей теоремы.

Теорема. Класс функций [1; Ih) есть класс единственности задачи (4), где Ih - горизонтальная полоса, Ih = <j t є Ct :j Im t j<11.

Для доказательства теоремы однородные условия (4) переписываем в равносильном виде:

Д2;Р(±1) = -^ Гу(t)е±t (е* -1)2„ Л = 0, п е N0, (5) 2т 1

где контур Г лежит в полосе ь и содержит внутри сопряженную диаграмму кР предполагаемого решения Р^).

Выполняя в интегралах замену w = еы - 1, получаем равенства

2- |у(+1)1—w +1+1 ^ =0, „ е N0 г» (,+1) *

(главные ветви логарифма и функции

± I+1

(, +1) к ), где интегрирование ведется по контуру Г, = w(Г), содержащему внутри образ ,(кР) сопряженной диаграммы кР. Далее, представим в виде скачка [11] функцию

----1~г У (71п(,+1)^ = ф+(,) - ф-(w), , е 1, (6)

(,+1)±г> ^ )

где Ф+ (,) регулярны внутри Г, и ф- , - вне Г,, Ф- (да) = 0, что возможно единственным

образом на основании формул Сохоцкого. С учетом интегральной теоремы Коши получаем

f w2nФ± (w) dw = 0,

= 0, n є N„.

Из этих условий вытекает четность функции Ф- (,) при ее разложении в , = да и, следовательно, симметричность относительно начала множества к,. Тогда контур Г, также можно считать симметричным относительно начала. Еще раз используем представление вида (6), но

уже для функции у 111п(, +1) I:

У | h ln(w +1) | = V+ (w) -v- (w), w є Г, (7)

(V (w)-

2ii J

w

-— й, = 0, п е N0, (8) г» (, +1) *

в которых, с учетом симметрии контура Г,, делаем замену , —,. Комбинируя вновь полученные условия с прежними (5), имеем

( \

v- (w)-

1

— -v- (-w)-

1

(w +1)

t-+1

h

(-w +1)

=1+1

h

(9)

x w ndw = 0

(отметим, что контур Г, не пересекает луч [1;+да)).

Подынтегральная функция из (9) (в скобках) нечетная, при разложении ее на составляющие Ф± (,) вида (6) эти составляющие с учетом симметрии контура Г, также будут нечетные.

Но выполнение условий (9) означает также четность величин Ф- (,), что возможно лишь при условии Ф- (,) = 0. В итоге получаем уравне- у^) = -^ с

ния на контуре Г, для искомой у_(,):

порядка). Применяя к формуле (12) интегральную теорему Коши

у('1>

2т/ t, -1

|^|<е 1

где окружность проходится по часовой стрелке, t лежит вне окружности, получаем

dt

= res

|'1і<є

(eht1 -1) (t1 - t) <1 =0 (eht1 -1)(t1 -1) t

V- (w)-

1

1—v- (-w)-

1

V- (w)

(w + 1) 1

+-+1

h

— = ф1(w),

і—v- (-w)

(-w +1) 1

+-+1

h

(10)

— = ф2(w),

(w + 1)

(-w+1)

, е Г,, которые можно рассматривать как некую модификацию краевой задачи Римана с

коэффициентами --------1—-—. Из системы (10)

± —+1 (, +1) н

находим у-(,):

Д(,)^- (,) = Д1 (,), , е Г,. (11)

Функция Д^) регулярна внутри Г,, а Д, имеет вид

1 1

A(w) =

(w +1)h (1 - w)h

1

1

(w +1) h (1 - w)

Определитель A(w) легко вычисляется:

A(w) =

1

(1 - w)2

1 + w

1-w

Эта функция внутри Г, обращается в ноль лишь при у = 0 (простой ноль), индекс по контуру Г, ш = 1. Тогда решение задачи (7) у-(,)

имеет вид у-(У) = —, где с произвольно.

У

Теперь можем восстановить функцию у(0, подставляя найденное у-(,) в (7) и возвращаясь в плоскость С

у(') = —

-1

+ v+ (eht -1), t є Г. (12)

Единственно возможной особой точкой правой части в полосе Iн может быть t = 0 (полюс 1 -го

Но тогда F(z) = const и, с учетом условий (4) при n = 0, окончательно F(z) = 0, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказательства вытекает, что если в условиях (4) заменить N0 на N, то общее решение будет F(z) = const, и класс [1;Ih) не будет классом единственности.

Замечание. Рассматриваемая задача (аналог задачи (2)) также обладает свойством неустойчивости общего вида решения и класса единственности, как показывает следующий простейший пример: при h = Р п функция sin — z, оче-q р

видно, не удовлетворяет условиям (4) при р > q.

Следствие 2. Система функций {е ±‘ (eht - 1)2n}, n е N0, полна в полосе [1;Ih).

Список литературы

1. Lidstone G.J. Proc. Edinburg Math. Soc. 1922. V. 10. P. 26.

2. Lidstone G.J. Proc. Edinburg Math. Soc. 1930. V. 2. P. 16.

3. Schoenberg I.J. On certain two-point expansions of integral functions of exponential type. Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42. P. 284-288.

4. Whittaker J.H. On Lindstone's series and two-point expansions of integral functions. Proc. Lond. Math. Soc. 1933. V. 36. Part 6. P. 451-469.

5. Boas R.P. Representation of functions by Lindstone series. Duke Math. Journal. 1943. V. 10. P. 239-245.

6. Boas R.P. Entire functions. New York, 1954.

7. Казьмин Ю.А. К задаче о двух точках в теории аналитических функций // Сиб. мат. журн. 1965. Т. 6. № 4. С. 938-943.

8. Казьмин Ю.А. Задача Линдстона и некоторые ее обобщения // Вестник МГУ. 1966. № 6. С. 40-51.

9. Андрианов В.Л. К вопросу об устойчивости классов единственности интерполяционных задач // Analysis Mathematica. 1981. V. 7. P. 1951-1960.

10. Гельфанд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1951.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

ON A LIDSTONE PROBLEM FINITE-DIFFERENCE ANALOGUE DEPENDING ON A PARAMETER

V.L. Andrianov

A uniqueness class is established for a Lidstone symmetric problem finite-difference analogue for entire functions of exponential type.

Keywords: interpolation problem, uniqueness class, Borel transform.

c

c

h

h

h

c