CC BY
11
обеспеченная конечностью угловой производной c+(f) = lim (z—
Re z^+то
— gt(z)) с дополнительным условием — «стягиванием» к нулю верхней полуокрестности z = 0, вызываемым конечностью c— (f) = lim (z—
Re z^—ж
— gt(z))-
Используем условие однолистности производящей функции для полуплоскости:
Im 4z—'— > 0, Im z> 0.
f(z,t) ,
В нашем случае оно эквивалентно условию
ek(t) >-——, Re z< 1. l-2Re z' 2
Обозначив ek(t) = A, получаем в П область П^, ограниченную w(1)
log(\/A2 + Ae^ — A), 0 < ^ < n w[2) = t + i • 0 —то < t <
< А2 + А - А) = г + гп, -то < г < А2 + А+ + А) которая однолистно отображается д^ на часть так как в цепи подчинения остальные (за исключением д^) отображения обладали свойством однолистности.
Таким образом, получили теорему:
Теорема. Для отображения д^ существует, область Па С П отображаемая д^ однолистно. Эта область ограничена следующими кривыми: и>(1) = ^(\/А2 + Ае^ - А),
о < ^ < п ^|2) = г + г • о -то < г <
< ^(-А2 + А - А); ^(3) = г + гп -то < г < ^(-А2 + А + А), где А =
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Дубовиков Д.А. Аналог уравнений Лёвнера для отображений полое // Изв. вузов. Сер, Математика, 2007, № 8(543), С, 77-80,
УДК 517.51
Е.В. Разумовская, В.Г. Тимофеев ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В [1] для класса функций и е С(Лп), п > 2, оператор
п 2
Лапласа которых Ди = ^ дХи принадлежит пространству Ьто(Яп) и
¿=1 1
понимается в обобщенном, по Соболеву, смысле, получено интегральное представление:
Г(п/2) Г .^дС((,х) Г(п/2) I* д __ . ^ и(х) =--Д/ 7 , и(£)—^^ М--Д/ 7 , Аи(С)С(£,х)
v ; 2пп/2(п - 2)] дщ ^ 2пп/2(п - 2)] ;
дПк щ
где Н> 0 Щ = {С = (&,..., Сп) е Яп : -Н < 6 < Н, -то < С < то, г = 2,п} — стой в Яп, х е Щ, а С(^,х) — функция Грина этого слоя [2], которое позволило ввести понятие гармонической, субгармонической и полигармонической функций порядка п в елое Щ, а именно функция и(х) считается полигармонической порядка п в Щ, если для любой области О : О С Щ, для всех то чек х выражение
л / ч Г(п/2) [ .^дС(С,х) „
Аьи(х) =--Д/ ; , и(£)—^^ & - и(х)
п v ; 2пп/2(п - 2) ] v^ дпе 4 v ;
дЩ
представляет собой полигармоническую функцию порядка п - 1. Следуя [3], определим субгармоническую функцию условием А^и(х) > > 0.
доказаны важные для практического использования свойства введенных функций. С точки зрения субгармонических функций является интересным рассмотрение среди них подклассов
п > 2
субгармонических функций, являющихся и полигармоническими п
{5 ЕГ^г,}. (1)
п
Определим эти классы интегральным условием: А^и > 0 есть
п - 1
Для таким образом определенных функций справедливы, в частности, следующие теоремы.
Теорема 1. Если семейство функций (1) в облает и О С Щ равномерно ограничено внутри Б, то оно компактно внутри О.
Доказательство. Проведем доказательство по индукции. Для п = 1 доказательство приведено в [3]. Семейство А^и(х) субгармонических функций, принадлежащих {5ГГ „ . Г}, будучи
(п-1) раз
равномерно ограниченным в О' С О, О С О, будет компактным по предположенному в О', а следовательно, существует последовательность
(Д^и*(ж)} равномерно сходящихся внутри О' к функции класса ГГ „. Г,}. С другой стороны, последовательность
(п-1) раз
{
Г(п/2) !'ик «) ^ *
2пп/2(п - 2) У ^ дпе
д П
ограничена в совокупности в области О' и равностепенно непрерывна в ней. По теореме Арцела существует равномерно сходящаяся в О' подпоследовательность
{
Г(п/2) 'и* (€) ^ *
2пп/2 (п - 2) У дп,
дЩ
Тогда последовательность функций
Г(п/2) Г А
и*'(ж) = -2пп/2(п - 2) у и*'^ - Д'и*'(ж)
дЩ
будет равномерно сходиться внутри О', причем в силу теорем сравнения и равномерной сходимости последовательности предельная функция будет принадлежать (1). Чтобы исключить зависимость выделенной последовательности от множества О', применим диагональный процесс, результатом которого является утверждение о равномерной сходимости последовательности внутри О.
Аналогично доказывается и нижеследующая теорема.
Теорема 2. Если последовательность функций и1(ж), и2(ж),..., и*(ж),... принадлежит, классу (1) в области О и равномерно ограничена внутри О; если эта последовательность сходится на некоторой частичной области ^ ^ С О7 то она сходится всюду в области О к функции класса (1), причем равномерно внутри О.
Если рассмотреть частный класс субгармонических функций {5ГГ}, то для него условие компактности может быть сформулировано в следующем виде.
Теорема 3. Если семейство функций (и(ж)} принадлежит, классу {5ТГ} в области О С Пи, равномерно ограничено сверху внутри Б, то оно нормальное внутри О.
Понятие нормального семейства и схема доказательства приведены в [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Разумовская Е.В., Тимофеев В. Г. О функциях, полигармонических в слое // Математика, Механика: сб науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С. 101-104.
2, Тимофеев В.Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. (¡70 089.'
3. Привалов И.И. Субгармонические функции. М,: Глав. ред. техн.-теорет. лит., 1937.
4. Привалов П., Пчелин Б. К общей теории полигармонических функций // Мат. сб. 1937. Т. 2(44), № 4. С. 745-758.
УДК 519. 83
В.В. Розен
УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ БАЛАНСОВОЙ ПАРЫ
ВЕКТОРОВ
В работе [1] показано, что для конечной игры двух игроков с упорядоченными исходами нахождение ее ситуаций равновесия по Нэшу сводится к нахождению сбалансированных подматриц ее функции реализации и балансовых векторов этих подматриц. Здесь мы даем ответ на вопрос, при каких условиях сбалансированная матрица имеет единственную пару балансовых векторов. Основным результатом статьи является теорема 2. Введем вначале ряд определений и предварительных результатов, доказательства которых мы опускаем.
Матрица Ы формата ш х п над конечным множеством Л рассматривается как отображение ^: I х J ^ Л, где I = {1,..., ш} , J = = {1,...,п} (ш,п > 2) причем рт2Г = Л. Обозначим через и 5П стандартные симплексы ш и п-мерных векторов с положительными компонентами. Для х е , у е 5*, а е Л полагаем
Р(х;у)(а)= хг • Уз.
^ (г,з) = а
Ы
существуют такие векторы х е , у е 5*, что при любых г е I, ] е J, а е Л
Р(г,у)(а) = Р(Хз )(а).
(х, у)
матрицы. Назовем вектор х = (х1,... ,хт) е строчным балансовым
