Об одном классе резервируемых устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Математика и механика № 4(30)

УДК 519.873

В.Н. Губин, Г.Г. Пестов

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЕЗЕРВИРУЕМЫХ УСТРОЙСТВ

Рассмотрены 3 модели резервированных устройств и исследованы их общие свойства с использованием сигма-оператора.

Ключевые слова: резервирование, система, надёжность, стратегия, среднее время безотказной работы, модель, критерий оптимизации, сигма-оператор, промежуток К0-постоянства.

Задача повышения надёжности сложных устройств остаётся актуальной, несмотря на прогресс в технологии изготовления элементов систем. Прогресс в повышении надёжности элементов систем компенсируется растущим усложнением структуры и возрастающими требованиями к надёжности систем. Среди моделей с управляемым резервом, рассмотренных в работах Райкина [1], Герцбаха [2], То-миленко [3], Ушаковой - Пестова [4], можно выделить один класс систем с управляемым резервом. Задача, аналогичная данной, решалась другими методами в работах [5-7].

Далее мы дадим описание систем этого класса. Время в системе дискретно и может принимать значения, кратные некоторой положительной константе А: А, 2 А, 3А,... . В каждый из этих моментов времени производится проверка исправности всех включённых в работу элементов и принимается решение о том, какое количество исправных элементов следует включить в работу. Исправные элементы в резерве (не включённые в работу) остаются исправными. Пусть состояние системы в данный момент времени полностью характеризуется набором параметров (г,ж), где г - количество исправных элементов в данный момент времени, как включённых, так и не включённых в работу, ж - некоторый конечный вектор параметров системы, задаваемый в начале работы системы. В дальнейшем исследуются системы, у которых в процессе работы вектор параметров ж не изменяется. Функцию К(г,ж), принимающую целые значения и такую, что для каждого натурального г выполнено неравенство 1 < К(г,ж) < г , назовём стратегией резервирования системы. Поскольку вектор параметров ж не изменяется в процессе работы системы, то в перечне аргументов различных функций мы будем его опускать. Например, вместо К(г,ж) всюду пишем К(г). Система рассматривается на этапе нормальной работы, когда элементы не стареют (или почти не стареют).

Заметим, что через К (К прописное с индексами) будем обозначать стратегию резервирования, в отличие от к строчного, обозначающего целочисленную константу.

Функционал Т, заданный на множестве пар (г,К) и принимающий неотрицательные значения, назовём критерием оптимизации. Таким образом, если задано количество г исправных элементов и стратегия К, то задано и значение критерия Т(г,К). Рассмотрим несколько моделей, где функционал Т имеет уже конкретный смысл. В каждой из моделей, рассмотренных ниже, задан свой критерий оптимизации.

Модель М\. Система функционирует на конечном промежутке [1,п], где п -натуральное число. Система функционирует исправно тогда и только тогда, ко-

гда количество включённых в работу исправных элементов не меньше чем m. Для вычисления характеристик системы ещё необходимо знать распределения вероятностей отказов элементов за один шаг, если в работу включено к исправных элементов. Обозначим через f(k,i) вероятность следующего события: в работу включено к исправных элементов, из них за один шаг отказало ровно i. Будем считать функцию f (k,i) известной. В качестве критерия оптимизации в модели M1 используем среднее время исправной работы системы. Обозначим через T(r) математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. Через T(k,r) обозначим математическое ожидание времени работы системы, если в начальный момент включено в работу к элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы. Из определения системы Sm следует, что к > m. По формуле полного математического ожидания [8] имеем

к -m

T(k,r ) = £ T (r - i)F (к, i). (a)

i=0

Рассмотрим максимум величины T(^r) по к. Этот максимум существует в силу конечности модели Sm. Очевидно, что maxT(к, r) = T(r).

к

Всюду в дальнейшем предполагаем, что исправные элементы в резерве остаются исправными, а каждый исправный элемент, включённый в работу, отказывает за один шаг с вероятностью q = 1—р, независимо от состояния других элементов, и остаётся исправным с вероятностью р . Итак, если в работу включено к элементов, то количество элементов, отказавших за один шаг, подчиняется биномиальному распределению. Значит, F (к, i) = С'крк-1q', и также

к-m

Щ,г) =Х Скрк-'q'T (r - i). (b)

i=0

Модель M2. Система функционирует на промежутке [1, œ ). Как и в модели M2, вводим характеристики системы: T{h,r) - математическое ожидание времени работы системы, если в начальный момент включено в работу к элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы; обозначим через T(r) математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. По формуле полного математического ожидания [8] имеем

к-m

Щ,г) =£ Скрк-'q'T (r - i). (c)

i=0

Модель M3. Пусть система функционирует на промежутке [1, n], где n - натуральное число. Пусть K есть стратегия резервирования. Иначе, K есть функция, заданная на множестве натуральных чисел N, такая, что для каждого r из N величина K (r) есть количество исправных элементов, которые следует включить в работу, если количество исправных элементов равно r. Обозначим через T(K,r) вероятность того, что система не откажет на [1,n] при стратегии K, если в начальный момент имеется r исправных элементов. Как и раньше, будем считать известной функцию f (к,1) - вероятность такого события: если в работу включено к исправных элементов, то из них за один шаг отказало ровно l. Обозначим через T(r) ма-

тематическое ожидание времени исправной работы системы при стратегии, оптимальной по времени работы системы, если в начальный момент имеется r исправных элементов.

По формуле полной вероятности имеем

к-m

T (к, r) = £ Скрк-1q'T (r - i). (d)

i=0

В каждой модели стратегию, обеспечивающую максимум заданного в этой модели критерия оптимизации, назовём оптимальной стратегией (подробнее: стратегией, оптимальной по заданному критерию). Оптимальную стратегию обозначим через K0. Естественно, в различных моделях различны и оптимальные стратегии.

1. Некоторые свойства функций T(r), T(r,k)

В моделях резервированных систем Mb M2, M3 величины T(r), T(r,k) имеют различный смысл. Тем не менее для них выполнены следующие общие свойства:

1) По физическому смыслу T(r) > 0, T(r) возрастает с ростом r.

2) Экспериментальные данные приводят к гипотезе: если K0(r) постоянна на некотором промежутке [r1,r2] и р>0,5, то имеет место неравенство

T(r+2)-T(r+1) < T(r+1)-T(r) (1)

или T(r+2)-2T(r+1)+T(r) < 0 , (2)

r е [r1, r2 - 2] .

Геометрически (1) означает, что график функции T(r) - выпуклый.

С физической стороны неравенство (2) означает, что скорость роста показателя качества уменьшается с ростом r.

3) В каждой из моделей Mb M2, M3 введём оператор ст на множестве функций {T(r)} следующим образом. Для каждого положительного r положим по определению ctT (r +1) = T (r). Далее оператор ст продолжаем как линейный оператор на

m

множество функций вида £ aiT(r+ bi), где ai,bt - вещественные константы.

i=0

m m

Таким образом, ст£ aiT(r + bt) = £ aiT(r + bt -1).

i=0 i=0

к-m

В частности, ст T(k,r) = £ С'крк-'q'T (r - i -1) = T(к, r -1).

i=0

Итак, при r>1 имеем

ctT (к, r) = T (к, r -1).

Запишем свойство 2) с помощью оператора ст :

(ст-1)2T(r + 2) < 0. (.1)

T (r + 2) T (r +1)

4) Так как T(r) строго возрастает, то из 2) следует-<-.

T (r +1) T (r)

Итак, функция T(r +1)/ T(r) строго убывает с ростом r. Данное свойство в частном случае доказано в [4].

5) Из свойства 4) непосредственно следует, что функция ln T(r) выпукла.

6) Так как T(r +1)/T(r) >1, строго убывает с ростом r , то по теореме Больца-но - Вейерштрасса существует lim T (r +1) / T (r ). Обозначим этот предел через l.

r

Докажем, что этот предел равен 1.

Теорема. При r ^ да имеет место соотношение T(r+1)/T(r) ^ 1.

Доказательство:

По теореме возможны два случая:

1) ko(r+1) = *ö(r) = k.

Тогда, используя сигма-оператор, получим

T(k,r+1) - T(k,r) < T(k,r+1) - T(k-1,r) = [(p+qof-1 (p+qc-G)]T(r+1) -(qc)k-1(qc-G)T(r+1) = p(p+qc)k-1 (1-c)T(r+1)+p(qc)k-1T(r) = = p(p+qc)k-1T(r+1) - p(qc)k-1T(r+1)+p(qc)k-1T(r+1) - p(p+qc)k-1 T(r)+p(qc)k-1 T(r) = = p(T(k- 1,r+1)-T(k- 1,r)+qk-1 T(r-k+2)). Имеем T(k,r+1) - T(k,r) < p(T(k-1,r+1)-T(k-1,r)+qk-1T(r-k+2)). Продолжая неравенство, имеем

T(k,r+1) - T(k,r) < p2(T(k-2,r+1)-T(k-2,r)+qk-2T(r-k+3))+pqk-1T(r-k+2)) < ... < pqk-1 T(r+1 -(k- 1))+p2qk-2T(r+1 -(k-2))+.. ,+pk-1 qT(r)+pk-1 (T(1,r+1)-T(1,r)) < (pqk-1 + p2qk-2+...+ pk-1q)T(r) = pq(pk-1-qk-1)/(p-q) ^ b , при r^-o) по лемме 1.

2) ko(r) = k, kb(r+1) = k+1. Доказательство проводится аналогично.

2. Возрастание Ä0(r) с ростом r

Обозначим через Sm модель, в которой система исправна, если и только если в работу включено не менее m исправных элементов. Рассмотрим разность

k - m+1 k-m

Tm(k+1,r)-Tm(k,r) = X CI+!p^WT(r-0-XCkpk-qTn(r-i).

i=0 i=0

Воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов:

Ck+1 = Ck + C-1,

Tm (k +1, r ) - Tm (k, r ) =

k-m+1 k-m+1 k-m

= X Ckpk+1-'q'Tm(r-i) + X СГ1 pk+1-'q'Tm(r-i)-XCkpk-'q'Tm(r-i) =

i=0 i=1 i=0 k-m+1 k-m+1 k-m

= X Ckpk+1-'q'Tm(r-i) + X Cr1 pk+1-'q'Tm(r-i)-XC'kpk-'q'Tm(r-i)=

i=0 i=1 i=0 k-m k-m

= -q X Ckpk-'q'Tm (r - i ) + q X Ckpk -q'Tm (r - i-1) + Cl+l-mpmqk+1-mTm (r - k+m-1) =

i=0 i=0

= q(Tm (k,r -1) - Tm (k,r )) + Ckk+1-mpmqk+1-mTm (r - k - i -1).

Окончательно получаем

Тт (к +1, г) - Тт {к, г) = д(а - \)Гт (к, г) + Скк +1-тртдк+1-тТт (г - к -к -1). (2.1) Так как в выражении (2.1) разность Тт (к,г -1) - Тт (к,г) возрастает с ростом г, то и Тт (к +1, г) - Тт (к, г) возрастает при увеличении г.

Докажем теперь, что к0(г) возрастает с увеличением параметра г. Пусть Тт(к,г) достигает максимума при к = к0(г). Тогда Тт(ко(г),г) - Тт(ко(г)-1,г) > 0. Отсюда в силу предыдущего свойства получаем, что

Тт(ко(г),г+1) - Тт(ко(г)-1,г+1) > 0. Значит, к0(г+1) > к0(г), то есть, к0(г+1) > к0(г). Итак, в модели Бт функция к0(г) возрастает (нестрого) с ростом г.

3. Выпуклость Т(к,г) по к в Бт

к

Теорема: При р >- функция Тт(к,г) для системы 8т имеет не более

2к - т +1

двух максимумов при фиксированном г, причем она выпукла вверх по к в области т < к < к0т (г) +1 и не возрастает при к0" (г) < к < г . Доказательство: Воспользуемся соотношением (2.1):

Т(к +1, г) - Т(к, г) = д(а - 1)Т(к, г) + С\+1-тртдк+1-тТ(г - к -1 + т).

Преобразуем с помощью него следующую разность:

[Т (к +1, г) - Т (к, г)] - р[Т (к, г) - Т (к -1, г)] = = д(а - 1)Т(к, г) + Скк +1-тртдк+1-тТ(г - к -1 + т) - рд(а - 1)Т(к -1, г) --рСк:1тртдк-тТ(г - к + т) = ц(а- 1)[Т(к, г) - рТ(к -1, г)] + +Ск+1-тртдк+\-тТ(г - к -1 + т) - рСк^1"ртдк-тТ(г - к + т). Упростим выражение в квадратных скобках:

к-т к-т-1

Т (к, г) - рТ (к -1, г) С'крк-'д'Т (г - 0 - р X Ск-Х рк-1-1д'Т (г -1) =

¡=0 к=0 к -т к -т к -т-1

= X Ск-! рк - д'Т(г -к ) + X Ск-1 рк 1 дТ(г -к ) - X Ск-1 рк 1 д'Т(г - к ) =

к=0 к=1 ¡=0 к - т-1

= X С]к-Хрк-1 -1д1+1Т(г - ] -1) + С^р'-д'-тТ(г - к + т) =

1=0

= дТ(к -1, г -1) + Скк^1"ртдк-тТ(г - к + т).

Окончательно получаем

[Т (к +1, г) - Т (к, г)] - р[Т(к, г) - Т (к -1, г)] = = д(а - 1)[дТ(к -1, г -1) + Скк^1"ртдк-тТ(г - к + т)] + +Ск+1-тртдк+1-тТ(г - к -1 + т) - рС^ртдк-тТ(г - к + т). (3.1)

В (3.1) слагаемое д(а-1)[дТ(к-1,г-1) + С^ртдк-тТ(г-к + т)]<0. Потребуем, чтобы Ск+1-тртдк+1-т - рСкк^1"ртдк-т < 0. Это выполнено тогда и только

тогда, когда

k

k - p(2k - m +1) < 0 или p >-.

2k - m +1 k

Таким образом, если T(k, r) - T(k -1, r) > 0 и p >-, то выполнено

2k m^ +1

T (k +1, r ) - T (k, r ) < p[T (k, r ) - T (k -1, r )] < T (k, r ) - T (k -1, r ). (3.2)

Это значит, что функция T (k, r ) при фиксированном r выпукла по k на промежутке m < k < k0" (r) +1, где k0" (r) - значение параметра k, при котором функция T(k,r) в системе Sm достигает максимума при фиксированном r. Также из (3.2) следует, что когда T (k, r ) - T (k -1, r ) < 0, разность T (k +1, r ) - T (k, r ) < 0, а это означает, что при k0m (r) < k < r функция T(k,r) убывает по k.

Свойство системы, состоящее в том, что при возрастании резерва на единицу оптимальное количество элементов, включаемых в работу, возрастает не более чем на 1, доказано в работе [1] для модели 3. Выкладки для моделей 1,2 аналогичны, поэтому в данной работе доказательство этого свойства опустим.

4. Поведение функции T(r) на скачках функции K0(r)

Рассмотрим поведение функции (ст-1)2 T (r ) при тех r, где K0(r) возрастает на единицу. Так как K0(r) < K0(r+1) < K0(r)+1, то возможны три случая:

1) K>(r-1) = k-1, K>(r) = k, K>(r+1) = k.

2) K0(r-1) = k-1, K0(r) = k-1, K0(r+1) = k.

3) K0(r-1) = k, K0(r) = k, K0(r+1) = k.

В случае 1 получаем

( ст -1)2T(r+1) = T (k, r +1) - 2T (k, r ) + T (k -1, r -1) =

= (p + qCT)k-1 (p + (q - 2p)CT + (p - q)CT2 )T(r +1) - (qCT)k-1 (qCT + (p - q)CT2 )T(r +1) . Так как ctT(r +1) = aT(r +1), ct2T(r +1) = apT(r +1), то в правой части имеем

(p + qCT)k-1 (p + (q - 2p)a + (p - q)aP)T(r +1) - (qCT)k-1 (qa + (p - q)aP)T(r +1) .

Оценим Aj = p + (q - 2p)a + (p - q)ap , учитывая, что a > p :

Aj = p + (q - 2p)a + (p - q)ap = p(1 - a) + (q - p)a(1 - P) < (1 - a)(p + (q - p)a). Так как a ^ 1, то начиная с некоторого r, выполнено неравенство 1 - a < qa . Тогда

A1 < 2qa(1 - a) < 2q(1 - a) .

Оценим

A2 = (qa + ( p - q)aP)(qCT)k-1T (r +1) > paP(qCT)k-1T (r +1) > p3 (qCT)k-1T (r +1) . Используя оценку ctT (r +1) > pT (r +1), имеем

(ст -1)2 T (r +1) < [2q(1 - a) - pk+2qk-1 ]T (r +1). (4.1)

Таким образом, если

2q(1 -а) < pk+2qk-1, (4.2),

то из неравенства (4.1) следует, что (ст -1)2 T(r +1) < 0 .

Неравенство (4.2) выполняется, начиная с некоторого r = r0, в силу того, что величина pk+2qk-1 с ростом r либо не изменяется, либо уменьшается в pq раз. Для дальнейшего удобно ввести следующие обозначения. Определение. Через ri обозначим значение r, при котором оптимальное значение K0(r) изменяется с i на i+1.

Изучение экспериментальных данных приводит к следующим предположениям:

1) Расстояние между соседними скачками | ri+1 - ri | увеличивается при возрастании i ;

2) функция 1-а( ri) всё быстрее убывает при увеличении i. Случай 2. Пусть K0(r-1) = k-1, K0(r) = k-1, K0(r+1) = k. Тогда

(ст-1)2 T (r +1) = T (k, r + 1) -2T (к-1, r) + T (к-1, r-1) = = (p + qCT)k-1 (p - (1 + р)ст + ст2 )T(r +1) + (qCT)k-1 ((1 + р)ст - ст2 )T(r +1) = = [(p + qCT)k-1 (p - (1 + p)a + аР) + (qCT)k-1 ((1 + p)a - aP)]T(r +1). Оценим каждое из слагаемых в прямых скобках. Для первого имеем

(p - (1 + p)a + аР)(p + qCT)k-1T(r +1) = (p(1 - а) -а(1 - P))(p + qCT)k-1 T(r + 1) > > -а(1 - P)(p + qCT)k-1T(r +1) > -(1 - P)(p + qCT)k-1T(r +1) > -(1 - P)T(r +1). Для второго слагаемого выполнено

(qCT)k-1 ((1 + p)a - aP)]T(r +1) = (qCT)k-1 ((1 - P) + p]T(r) > > p(qCT)k-1T(r) = pqk-1CTkT(r +1).

Воспользуемся неравенством: CTkT(r +1) > pkT(r +1). Тогда

(ст -1)2 T(r +1) > [pk+1 qk-1 - (1 - P)]T(r +1) . (4.3)

Первое слагаемое в квадратных скобках с ростом k уменьшается в pq раз, а второе - с возрастанием k всё быстрее стремится к нулю. Поэтому первое слагаемое, начиная с некоторого r, будет превосходить второе. Из неравенства (4.3) вытекает, что существует такое r0, что при r>r0 первое слагаемое больше второго и, следовательно, (ст -1)2T(r +1) положительно. Введем определение.

Назовем максимальный промежуток [rb r2], на котором функция K0(r) постоянна, промежутком Ko-постоянства. Таким образом,

1) промежуток [0,+да) разбивается на непересекающиеся промежутки K0-постоянства;

2) при входе в очередной промежуток постоянства значение функции (ст-1)2 T (r +1) становится положительным;

3) внутри промежутка и на выходе из него функция (ст-1)2T(r + 1) остается

отрицательной.

Случай 3 исследуется аналогично.

5. Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования

Построим алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования по заданному критерию Т(г) в модели 8т с помощью метода динамического программирования Беллмана [9].

Для вычисления оптимальной стратегии будем использовать равенства (Ь),(с),(ф.

1) Пусть количество исправных элементов г равно т. По построению 8т имеем к0(т) = т.

Далее для каждой модели необходимо вычислить Т(т). В данной работе ограничимся вычислением Т(т) для модели 2.

В модели 2 система 8т работает на бесконечном промежутке и в качестве критерия выступает среднее время безотказной работы системы на бесконечном промежутке. Рассмотрим события вида Л1т = {система из т элементов проработала безотказно I шагов, а на следующем шаге отказала}:

Р(Лт ) = Рт' (1 - Рт ).

ОТ ОТ

Тогда Т(т) = £ 1Р(А„) == (1 - Рт )£ Рт' .

1=1 1=1

Переобозначим рт = х. Используя почленное интегрирование ряда, вычисляем сумму

£ х1 =-

1=1 (1 - х)2 Тогда выражение для Т(т) принимает вид

Рт

Т (т) =-¡--.

(1 - рт)

Замечательно, что дальнейшие вычисления для всех рассмотренных моделей производятся одинаково.

к-т к-т

2) Имеем Т(к,г) = £ С'крк-'д'Т (г -г) = рк Т(г) + £ С'крк-'д'Т (г - г): (5.1)

г=0 г =1

а) Подставляя в (5.1) к = к0(г) = к0, получим

ко-т

„коп..\ , /Ы „ко-г.

Т(г) = рко Т (г) + £ с'ко рко -1д'Т (г - г):

=1 о

к0-т

откуда находим Т (г) =—£ С'к рко г^Т (г - г).

1 К01

1К

- р =1

Ь) Подставим теперь в (5.1) значение к1^ к0(г). Получим неравенство

л к1 -т

Т(г) > Т(к1,г) =-Г £ Ск1 рк1 -гд'Т(г -г).

1 - р 1 г=1

Таким образом,

1 к-т

Т(г) = тах-- £ Скрк-г дгТ (г -г), (5.2)

1 - рк г=1

где максимум берётся по всем натуральным k, таким, что k > m.

1 k m

Обозначим f (k,r) =-- £ C'kpk-'q'T(r -i).

1 - p i=i

Пусть уже вычислены k0(m), k0(m+1), ... k0(r-1), T(m), T(m+1), ... , T(r-1). Вычислим k0(r) и T(r). Для этого вычисляем f(k0 (r-1),r) и f(k0 (r-1)+1,r). Если f(k0(r-1),r) > f(k0(r-1)+1,r), то полагаем

k0(r) = kc(r-l) и T(r) = f(k0 (r-1),r). Если же f(k0(r-1)+1,r) > f(k0 (r-1),r), полагаем

Ыг) = k)(r-1)+1, и T(r) = f(k0 (r-1)+1,r).

ЛИТЕРАТУРА

1. Райкин А.Л. Элементы теории надёжности технических систем. М.: Сов. радио, 1978.

2. Герцбах И.Б. Об оптимальном управлении включением резервных элементов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1966. № 5.

3. Томиленко В.А. Об одной задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. № 4.

4. Пестов Г.Г., Ушакова Л.В. Исследование оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. № 5.

5. Конев В.В. Об оптимальном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1974. № 4. С. 75-83.

6. Конев В.В. Об оптимальном программном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. № 3. С. 109-117.

7. Конев В.В., Овчинников А.В. Оптимальное резервирование группы однотипных элементов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. № 4. С. 75-84.

8. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966.

9. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 458 с.

Статья поступила 03.06.2014 г.

Gubin V.N., Pestov G.G. ON A CLASS OF RESERVED DEVICES

In this paper, we consider three models of redundancy:

(1) By use of the mean time between system failures on a finite interval;

(2) By use of the mean time between system failures on a infinite interval;

(3) By use of the system reliability on a finite interval.

For all three models, the redundancy criterion has the following form:

k -m

T(k,r) C[pk-iqT(r - i). (1)

i=0

Using the sigma-operator turns out to be an effective way for proving many properties of optimal strategies. Let T(r) > 0 and T(r) increase. The following properties are proved:

(1) If p >-k-, then the function Tm(k,r) for the system Sm has at most two maximums

2k - m +1

for a fixed r, it is convex on the interval m < k < k0" (r) +1 and nonincreasing on k0" (r) < k < r .

(2) Since T(r +1)/ T(r) > 1 and strictly decreases, lim T(r +1)/ T(r) exists by the Bolzano-

i—

Weierstrass theorem and this limit is equal to 1.

From convexity of the function T(r), it is easy to prove that

T(r + 2) < T(r +1) ( ) T(r +1) T(r) '

Under more restrictive conditions, this inequality was obtained in the thesis of L.V. Ushakova.

(4) The function ln T(r) is convex;

(5) T(k +1,r) - T(k,r) increases with an increase in r.

To find the optimal strategy, a simplified algorithm is obtained using the properties. This algorithm is based on a modification of the Bellman dynamic programming method mentioned in V.V. Travkina's work. The essence of the algorithm is as follows.

(1) If there are m elements, then we have k0 (m) = m. For each model, T(m) is calculated.

(2) All further calculations for the three models are similar. Then it is necessary to calculate the values of the function T(r) by means of its previous values using the formula

1 k -m

T(k, r) =--- £ C[pk-iqiT(r - i), (2)

1 - pk 1=1

(3) Suppose that k0(m), k0 (m + 1),...k0 (r-1), T(m), T(m+1), ... , T(r-1) have already calculated.

To find k0(r), we need to calculate k0(r-1) and k0(r-1)+1. Then, using (2), we calculate T(k0(r-1), r) and T(k0(r-1), r) and compare them. If T(k0 (r-1), r) > T(k0 (r-1)+1, r) then k0(r) = k0(r-1) and T(r) = T(k0 (r-1), r). If T(k0(r-1)+1, r) > T(k0 (r-1), r) then k0(r) = k0(r-1)+1, and T(r) = T(k0(r-1)+1, r).

Keywords: redundancy, system, reliability, strategy, mean time between failures, optimization criterion, model, sigma-operator, ^-constancy interval.

Gubin Vladimir Nikolaevich (M.Sc., Tomsk State University, Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation) Email: vovantus@sibmail.com

Pestov German Gavrilovich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) Email: gpestov@mail.ru

REFERENCES

1. Raykin A.L. Elementy teorii nadezhnosti tekhnicheskikh sistem. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1978. (in Russian)

2. Gertsbakh I.B. Ob optimal'nom upravlenii vklyucheniem rezervnykh elementov (1966) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 5. (in Russian)

3. Tomilenko V.A. Ob odnoy zadache dinamicheskogo rezervirovaniya (1975) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 4. (in Russian)

4. Pestov G.G., Ushakova L.V. Issledovanie optimal'nykh strategiy v zadache dinamicheskogo rezervirovaniya (1973) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 5. (in Russian)

5. Konev V.V. Ob optimal'nom vklyuchenii rezervnykh elementov (1974) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 4, p. 75-83. (in Russian)

6. Konev V.V. Ob optimal'nom programmnom vklyuchenii rezervnykh elementov (1975) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 3, pp. 109-117. (in Russian)

7. Konev V.V., Ovchinnikov A.V. Optimal'noe rezervirovanie gruppy odnotipnykh elementov (1976) Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, no. 4, p. 75-84. (in Russian)

8. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966.

9. Bellman R., Dreyfus S. Prikladnye zadachi dinamicheskogo programmirovaniya. Moscow, Nauka Publ., 1965. 458 p. (in Russian)