Об одном классе многокритериальных задач квадратичного программирования транспортного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 6 (1), с. 1 78-183

УДК 519.847

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА

© 2009 г. М.Х. Прилуцкий, Л.Г. Афраймович, М.С. Куликов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского pril@iani.unn.ru

Поступила в редакцию 08.06.2009

Рассматривается специальный класс многокритериальных задач квадратичного программирования, имеющих практические приложения. Для случая лексикографической свертки частных критериев оптимальности предлагается приближенный алгоритм, основанный на методе направленного поиска оптимальной вершины многомерного многозначного куба. В случае аддитивной свертки рассмотрен частный случай задачи, для которого разработан алгоритм с вычислительной сложностью О(п2).

Ключевые слова: специальный класс многокритериальных задач квадратичного программирования, лексикографическая свертка, аддитивная свертка.

Введение

В работе рассматриваются многокритериальные задачи с квадратичными критериями, свертка которых приводит эти задачи в класс задач квадратичного программирования [1] с двусторонними линейными ограничениями транспортного типа. В качестве примеров рассмотрены задачи объемно-календарного планирования [2], распределения производительности купола по газовым скважинам [3] и распределения мощностей каналов передачи данных провайдером сети Интернет [4].

1. Постановки прикладных задач

1.1. Задача объемно-календарного планирования для подразделения предприятия с единичным и мелкосерийным характером производства

Имеется подразделение предприятия и заказы, по которым необходимо выполнить работы в этом подразделении. Для каждого заказа известны объемы незавершенного производства, которые необходимо выполнить в подразделении предприятия. Рассматривается некоторый период планирования, для него определен максимальный объем работ, который может быть выполнен подразделением, и плановые показатели по каждому заказу. Требуется определить на заданный период планирования программу производства для подразделения предприятия в объемных показателях (нормочасы, рубли, условные тонны), обеспечивающую эффективное

функционирование подразделения и удовлетворяющую ограничениям возможных объемов работы.

Пусть J - множество заказов, которые выполняет подразделение предприятия. Обозначим через Т максимальный объем работ, который может быть выполнен подразделением в планируемом периоде (мощность подразделения); а/ - объем незавершенного производства

по заказу j, ]^; Р. - объем работ, который

запланирован в планируемом периоде в подразделении по /-му заказу (план по заказам), j е3. Обозначим через х ■ объем работ, который

будет выполнен подразделением предприятия в планируемом периоде по заказу j, jеJ. Ограничения математической модели:

X ^ А/ >j е 3

(объем работ, выполненный в подразделении в планируемом периоде по каждому заказу, не должен превышать объемов незавершенного производства);

£ *, ±Т

jеJ

(общий объем работ, который будет выполнен в подразделении в планируемом периоде, не должен превышать мощности подразделения);

х. > 0, / е 3.

j 7 и

(естественные ограничения на переменные).

Пусть fj (х , Р') - функция, определяющая штрафные санкции, которые получит производственная система, если при заданном плане

Р^ по заказу] будет выполнен объем работ х ^, №; /о(Х xJ, Т)- функция, которая определяет

№

штрафные санкции, которые получит система, если при заданной мощности подразделения Т будут выполнены работы по всем заказам в

объеме ^ xj . Выберем в качестве функций-

№

штрафов квадратичные функции, которые определяют критерии оптимальности для заказов и всего подразделения:

(

(хі - Р..)2 ^ тіп, і є J;

jєJ

1.2. Задача распределения производительности купола по газовым скважинам

Рассматривается сложная система, описывающая функционирование газового промысла. Газовый промысел обслуживает газовое месторождение, объекты добычи которого по геолого-техническим и территориальным признакам разделяются на несколько куполов. Каждый газовый купол состоит из ряда кустов газовых скважин. Газовые скважины одного купола обслуживаются установкой предварительной подготовки газа и соединены между собой и установкой газопроводом. Процесс добычи газа описывается следующей схемой. Предполагается, что начальное пластовое давление (давление на забое любой скважины) купола известно. Объем добычи газа из скважины регулируется системой кранов-регуляторов, при этом очевидно, что при открытых кранах скважина дает максимальный объем добычи, но при этом устьевое давление скважины будет минимально, а при закрытых кранах - объем добычи газа минимален, а устьевое давление скважины максимально. В общем случае функция, определяющая устьевое давление газа скважины в зависимости от объема добытого газа, является квадратичной монотонно невозрастающей функцией. Так как изменение пластового давления газа происходит достаточно медленно, то в данной работе предполагается, что на выбранном интервале планирования можно пренебречь квадратичной составляющей и считать, что функции, определяющие зависимость забойного давления скважины от объема добываемого газа на заданном интервале времени, линейные.

В рассматриваемой системе в явном виде присутствует группа частных критериев оптимальности, определяющих максимум объема

газа, добываемого на скважинах в единицу времени (максимум дебита), частный критерий, определяющий максимум давления в системе. Причем критерии противоречивые, т.к. зависимость объема от давления такова, что чем меньше давление (кран-регулятор скважины открыт максимально), тем больший объем газа будет поступать из скважины. Критерий сохранения максимально возможного давления в системе (минимум потерь пластовой энергии) равносилен сохранению максимально возможной равномерности устьевого давления на выходе скважин и давления на входе установки предварительной подготовки газа. Критерий максимизации дебита равносилен критерию максимума объема газа, поступившего на вход установки.

Пусть J = {1,2,..., п} - множество скважин. Для каждой скважины заданы величины Р^, Рі, Q+j, О-, определяющие, соответственно, допустимые диапазоны изменения давлений и дебитов скважин, і є J. Для установки заданы

величины Р +, Р-, Q +, Q-, определяющие, соответственно, допустимые диапазоны изменения давления и объема газа, поступающего в единицу времени. Заданы линейные функции /і (хі) = аіхі + Ьі,і є J, определяющие для каждой скважины зависимости величин объемов добываемого газа от давления. Через

/о( х) = Е / (хі) обозначим функцию, опреде-

jєJ

ляющую объем газа на входе установки. Предполагается, что задан плановый объем газа п, который должен поступать на установку в единицу времени.

Выберем в качестве варьируемых переменных компоненты вектора х = (х0,х1,х2,...,хп), где х0 определяет давление на входе установки, а хі - давление, которое должно быть установлено на скважине і, і є J.

Ограничения математической модели:

Р-< х- < рі, і є J;

Р- < х0 < Р+

(давления на скважинах и на входе установки должны находиться в заданных пределах);

° < /і(х-) < °, і є -1;

о -< /0( х) < о+

(объемы газа на скважинах и на входе установки должны находиться в заданных пределах); х > 0, і є J и {0}

(естественные ограничения на переменные).

Выберем в качестве функций-штрафов квадратичные функции, которые определяют критерии «наилучшего» выполнения плана и равномерности распределения давлений:

(f (х) - п)2 ^ шт;

(Xj - Хо)2 ^ тт,/ е J.

1.3. Задача распределения мощностей каналов передачи данных провайдером сети Интернет

Имеется сеть городского провайдера Интернета. Узлами сети являются центр (центральный узел провайдера), коммуникационные узлы, абоненты сети; имеются каналы связи между узлами сети. Заданы возможности центра и коммуникационных узлов в предоставлении каналов той или иной мощности; потребности абонентов сети в получении того или иного количества информации. При этом количество распределяемой информации для узлов сети может быть ограничено как сверху (например, принципиальные ограничения возможностей провайдера), так и снизу (например, минимальная потребность абонентов в получаемой информации).

Известны следующие ограничения структуры сети:

- информация распределяется от центра к абонентам через коммутационные узлы по каналам связи;

- каждый коммутационный узел сети может обслуживаться либо одним из коммутационных узлов, либо напрямую центром;

- каждый абонент сети может обслуживаться лишь одним из коммуникационных узлов.

Требуется найти распределение пропускных способностей каналов, обеспечивающее эффективное функционирование сети и удовлетворяющее ее ограничениям.

Сеть городского провайдера будем моделировать корневым ориентированным деревом. Центр системы соответствует корню дерева, абоненты - листьям (концевым вершинам), коммуникационные узлы - остальным вершинам, каналы связи - дугам. Пусть G = (V, А), где ЛcV, - корневое ориентированное дерево. V -множество вершин, разбиением которого является совокупность {0}, Vu, Vc - соответственно, корень дерева (центр), множество листьев (абоненты), множество остальных вершин (коммуникационные узлы). Обозначим через А- и А+ нижнюю и верхнюю границы допустимых

значений распределяемого ресурса, которые могут быть интерпретированы как минимальный и максимальный объемы информации, которые способен предоставить центр г (/=0); минимальный и максимальный объемы информации, которые способен обработать коммуникационный узел г (ге V); минимально допустимый и максимально требуемый объем информации для абонента г (ге Уи). Пусть соответственно п и р - количество информации, распределение которого является экономически предпочтительным для центра и абонентов, ге Уи.

Обозначим через х1 количество информации, которое поставим в соответствие узлу г, г е V и V .

с и

Ограничения математической модели:

А-< £ х. < Ао+

(0,3 )еА

(ограничение на допустимые значения распределяемого ресурса центром);

А-< £ х, < А+, г еVc и V

(3 ,г )еА

(ограничения на допустимые значения распределяемого ресурса коммуникационных узлов и абонентов);

£х,- £х,=0 г е ^

(3 ,()еА (г,/)еА

(условие сохранения информации при ее передаче);

0 < х,, г е V; и Vu

(естественные ограничения на переменные).

Выберем в качестве функций-штрафов квадратичные функции, которые определяют критерии эффективной работы центра и абонентов:

£ *

V (0,./ )еА

2. Общая постановка

Особенности рассмотренных задач таковы:

• ограничениями являются линейные ограничения транспортного типа (коэффициенты матрицы ограничений 1, -1, 0);

• частные критерии оптимальности имеют квадратичный вид.

Рассмотрим многокритериальную задачу с ограничениями транспортного типа вида:

Ь < £ х. < d., г е I,

г 3 17 7

(2.1)

jеQ(i)

и квадратичными критериями:

2

Fr (X) =

I

V і'є6( г )

X- -а Г

висящие от координат вершины q следующим

^ шіп, г є R,

(2.2)

множе-

где Q(/) с {1,2,..., п} - множество индексов, по

которым происходит суммирование, г е I; I -множество номеров ограничений; R - множество номеров частных критериев оптимальности.

Для решения этой задачи могут быть рассмотрены различные схемы компромисса. В данной работе рассматриваются лексикографическая схема и аддитивная свертка. Для лексикографической схемы предложен приближенный алгоритм решения, основанный на методе направленного поиска оптимальной вершины многомерного многозначного куба [2]. Для частной подзадачи с аддитивной сверткой предложен алгоритм с вычислительной сложностью

О(и2).

3. Лексикографическая схема компромисса

Будем предполагать, что RсI, т.е. каждому критерию г соответствует система ограничений

Ьг <1 х, < dг, а г є[Ьг, dг ] г є R . Введем

і'єЄ(г)

принимающие значе-

I х- є ,

^ шіп, г є R.

образом: если = t ,то £ х. е S'^ . На

jеQ(i)

стве вершин куба зададим двузначную функцию g (д), принимающую значение 1, если соответствующая вершине д система С (д ) совместна, и 0 в противном случае. В качестве порядка п рассмотрим лексикографическое отношение порядка: д 'яд2 тогда и только тогда, когда существует такое I, I = 1, \Щ , что для координат векторов

для

каждого критерия г, г е R, совокупности из р +1 вложенных друг в друга сегментов Sl, аг е Syr,г е R : Syr с Sгv+1,г е R,\ = 0,...,р -1, где Sp = [Ьг, ёг ]. В качестве критериев оптимальности рассмотрим кусочно-постоянные функции ( \

Хг £ х., ^, ^,..., Sl

VjеQ( г)

ние t, если

jеQ( г)

£ хз € S,;\ t е{0,1,..., р}, геR.

jеQ(r)

Будем искать такое решение системы (2.1), при котором достигают минимального значения функции предпочтения:

( \

IX,, ^05 sг,..., Sl

Vі'єб (г)

Как и в [2], рассмотрим Щ -мерный (р+1)-ич-ный куб, на котором определим порядок п . Каждой вершине куба я поставим в соответствие систему С (я), содержащую не зависящие от вершины куба ограничения вида (2.1) с номерами из множества I \ R , и ограничения, за-

Я ’, я2 выполняется яЦ = я-, - = 1,1 -1, и я] < я/ . Будем решать задачу поиска оптимальной вершины куба я0, такой, для которой g(я0 ) = 1 и

- о -

выполняются условия: я щ для всех вершин куба, для которых g (я )=1.

Так как SV с Sгv+1,г є R,\ = 0,...,р -1, то если я1 < я2, то g(я1 )< g(я2), отсюда следует, что введенная функция g (я) является монотонной. Монотонность функции g (я) позволяет предложить алгоритм поиска оптимальной вершины куба, который заключается в последовательном вычислении координат вершины, осуществляемом с помощью бинарного поиска, на каждом шаге которого определяется значение функции g (я), т.е. проверяется на совместность система С (я ) линейных двусторонних алгебраических неравенств транспортного типа. На первом шаге среди вершин вида р,...,р)находится такое

значение z10, z10 є {0,1,...,р}, для которого g(z10,р,...,р) = 1 и z10 < z1, для всех тех г1, для которых g (z10, р,..., р) = 1. На втором шаге среди вершин вида (z10,z2,р,...,р) аналогично находится вторая координата оптимальной вершины. На Щ -м шаге находим искомую оптимальную вершину куба. Общее число вычислений функции g (я) имеет порядок

Щ 1о§2(р +1). Для проверки на совместность систем линейных неравенств С (я ) можно использовать классические вычислительные методы линейной алгебры [5]. В данной работе предлагается для решения систем С (я) использовать релаксационный метод ортогональных проекций Агмона-Моцкина [6], модифицированный на случай двусторонних систем линейных алгебраических неравенств транспортного типа [7].

2

4. Аддитивная свертка критериев

Пусть в задаче (2.1), (2.2) ограничения (2.1) имеют место для случая, когда О(і) = {і}, і є I, I = {1,2,..., и}, критерии (2.2) определяются множествами

Щ = I и {и +1}, 0(и +1) = {1,2,..., и}. Получим (и+1)-критериальную задачу:

Ь < хі < dt,і = 1,и ; (4.1)

__ и

(хі -аі)2 ^шіп, і = 1,и, (Iхі -а)2 ^шіп .(4.2)

і=1

Используя аддитивную свертку частных критериев с положительными коэффициентами А , В и ki, поставим задачу как задачу квадратичного программирования:

Ф( х) = шіп

А(Іхі -а)2 + ВІ Кі(хі -аі)21

Ь < х,. < dl, і = 1, и

Преобразуем полученную задачу, сделав замену переменных: х] = хіЇЇІ, а'і =аі ЇЇ ,

1

С =

ЇЇ

Ф'( х) = шіп

А(І сіх' -а)2 + В1(х] -а')21

і=1 і=1

< х' <~І=,і = 1,и її її

Рассмотрим выражение:

дФ'( х)

дх'

І = 1

Умножим полученное выражение на сі и просуммируем по і:

и \/ и

Л

АІІсі2їїIсіхі-а + В I-ісаі

і=1 /V і=1 У V і=1 і=1 У

\

Если вектор х удовлетворяет ограничениям задачи (4.1), то он определяет ее решение. Если нет, то переменные, которые вышли за пределы ограничений (4.1), принимают соответствующие граничные значения и исключаются из рассмотрения. Сокращенная задача решается заново. Алгоритм имеет вычислительную сложность 0(и2) . Оптимальность алгоритма следует из того, что для функции нескольких переменных необходимыми и достаточными условиями существования локального минимума являются обращение в нуль частных производных первого порядка и положительность главных миноров матрицы частных производных второго порядка (критерий Сильвестра). Первое условие выполняется по по— *

строению вектора х , а выполнение второго условия проверяется путем построения главных миноров. Легко убедиться, что матрицы главных миноров приводятся к диагональным матрицам с положительными элементами.

5. Примеры

Пример 1. Приближенное решение с использованием лексикографической схемы компромисса

Пусть п = 5 , г = 1,6, а ограничения имеют вид:

'— = 2 Асі (I е]х] - а) + 2В( х] -а' ) = 0. (4.3)

і 0(0 Ь dt

1 {1, 2, 3} 5 12

2 {1, 3} 4 8

3 {3, 4} 2 7

4 {2, 4} 3 8

5 {1, 2, 3, 4, 5} 5 9

6 {1, 5} 2.5 5

= 0.

Отсюда получим:

I сх] =-

1

AІ с2 + В

Аа! сі+в! сіа].(4 4)

V і=1 і=1 У

Подставив (4.4) в (4.3), получим:

Щ = {1, 4}, а1 = 7, а 4 = 3 .

Тогда задача (2.1), (2.2) примет вид:

5 < х1 + х2 + х3 < 12, (5.1)

4 < х1 + х3 < 8, (5.2)

2 < х3 + х4 < 7, (5.3)

3 < х2 + х4 < 8, (5.4)

5 < х1 + х2 + х3 + х4 + х5 < 9, (5.5)

2.5 < х1 + х5 < 5, (5.6)

/(х) = (х1 + х2 + х3 - 7)2 ^ шіп, (5.7)

ф(х) = (х2 + х4 - 3)2 ^ шіп. (5.8)

. 1

х. = — і В

Ва + Аа----------------

і К

п 1

а! — + В £

ии АаІ + ВІ

І=1 І=1

а

і = 1, и.

(4.5)

і=1

і=1

і=1

і =1

1

К

Пусть р = 2: S10 = [7,7],= [6,10],^ = [5,12];

S40 = [3,4],^ = [3,6],S2 = [3,8], 1 п 4. Рассмотрим двумерный троичный куб:

0,2

1,2 2,2

Среди всех вершин куба вида ^,2) найдем наименьшую по введенному порядку вершину. Рассмотрим вершину (1,2), которой соответствует система ограничений С(1,2): (5.2)-(5.6), и преобразованное ограничение

(5.1): 6 < х1 + х2 + х3 < 10 . Система С(1,2) совместна. Рассмотрим вершину (0,2), которой соответствует система ограничений С(0,2):

(5.2)-(5.6), и преобразованное ограничение (5.1): 7 < х1 + х2 + х3 < 7 . Система С(0,2) - несовместна. Отсюда первая компонента искомой оптимальной вершины куба у1 = 1. Среди всех вершин вида (1, V 2) найдем наименьшую по введенному порядку вершину. Системы С(1,1) и С(1,0) - совместны, отсюда оптимальной вершиной куба будет вершина (1,0). Решение системы С(1,0):

х[ = 2.25; х\ = 2.5; х'3 = 2; х4 = 0.5; х^ = 0.25; (£') = 0.0625; ф(Зс') = 0.

Пример 2. Решение при помощи аддитивной свертки критериев

Пусть и = 3, А = 1, В = 2, К = К2 = К3 = 1.

Тогда задача (4.1), (4.2) примет вид:

3 < х1 < 6, (5.9)

5 < х2 < 9, (5.10)

3 < х3 < 5, (5.11)

(х1 + х2 + х3 -10)2 ^ шіп,

(х1 - 5)2 ^ шіп,

(x2 - Б)2 — min,

(x3 - 4)2 — min.

Аддитивная свертка частных критериев с заданными коэффициентами свертки имеет вид:

ф(:г) = (xi + X2 + x3 -10) + 2((xl - 5)2 + (5 12)

+ (x2 — В) + (X3 — 4) ) —— min.

Из (4.5) получаем:

Xj = 3.б; x2 = б.б; x3 = 2.б. Значение x3 вышло за пределы области определения, полагаем X3 = 3 и решаем новую задачу с ограничениями (5.9), (5.10) с критерием

Ф(X) = (x1 + x2 -1)2 + 2((x1 - 5)2 + (x2 - В)2) — min .

Получим решение задачи:

x0 = 3.5; x20 = б.5; x30 = 3, Ф(£0) = 20.

Список литературы

1. Зуховицкий С.И., Авдеев Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Физматлит, 19бУ. 4б0 с.

2. Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмно-календарного планирования // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 200У. № 1. C. УВ-В2.

3. Прилуцкий М.Х., Васильев Е.В., Костюков

B.Е. Многокритериальная задача распределения производительности купола по газовым скважинам// Системы управления и информационные технологии. 200У. № 3. 2(29). C. 291-29б.

4. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи распределения ресурсов в иерархических системах // Автоматика и телемеханика. 200б. № б. C. 194-205.

5. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 19бВ. 4ВВ с.

6. Motzkin T.S., Schoenberg I.J. The relaxation method for linear inequalities // Caned. J. Moth. 1954. V. б. № 3. P. 393-404.

У. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах // Автоматика и телемеханика. 199б. № 2.

C. 24-29.

0,0 0,1 10 ц

20 2Т

ON ONE CLASS OF MULTI-CRITERIA TRANSPORT-TYPE QUADRATIC PROGRAMMING PROBLEMS

M.Kh. Prilutsky, LG.Afraimovich, M.S.Kulikov

A specific class of multi-criteria quadratic programs of practical application is considered. An approximate algorithm based on the direct search of an optimal node of a multidimensional multivalued cube is proposed in case of lexicographic convolution of particular optimality criteria [1]. For the case of additive compression, a particular case of the problem has been considered, for which an algorithm with a O (n2) computational complexity has been worked out.

Keywords: multi-criteria quadratic programming, lexicographic convolution, algorithm with an O (n2) computational complexity.