CC BY
34
7. Ногин В.А., Чеголин А.П. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 3. С. 402-409.
8. KarasevD.N., Nogin V.A. //Math. Nachr. 2005. Vol. 274. № 5. P. 554-574.
9. Karasev D.N. // Fractional Calculus Applied Analysis. 2002. Vol. 5. № 2. P. 131153.
10. Karasev D.N., Nogin V.A. // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 2002. Vol. 21. № 4. P. 915-929.
Ростовский государственный университет 17 апреля 2006 г.
УДК 517.537
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЧЕТНЫХ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
©2006 г. Ю.Ф. Коробейник
The author investigates the distribution of zeros of the class M of even functions single-valued and analytic everywhere in C except two points ± 1 which are simple poles for each
function of M. The necessary conditions for the existence of infinite number of zeros of real or imaginary part of some function of M in the strip | Rez |< T, T e [as well as sufficient
conditions for the existence not more than finite number of zeros in such a strip are obtained.
Введение
Пусть S e N0 = {0, 1, 2'...} и Ms - множество всех отображений f: [1, +®) ^ R, непрерывных на [1, +<») вместе со своими производными до порядка s включительно и таких, что при j = 0, 1,... s
ln| f(j)(x) |
lim-= -да. Для любого z = a + iX из С рассмотрим функцию
x^+ш lnx
1 1 -U z ( 1 1 1 Ff (z) := ——- + -J f (x)• x 4 (x2 + x 2)dx = -r--- +Фf (z). (1)
f z2-1 21 V / i z — "2 z + i J f
2 2 У
Очевидно, что если/е М0, то Ф/г) е А(С), а Е/(г) аналитична в области Сь полученной удалением из С двух точек ± -2, в каждой из которых
имеет простой полюс. При этом Е/ (г) = Е/ (-г), У г е Сь В настоящей работе приводятся некоторые результаты о влиянии характера распределения нулей Е/ на свойства порождающей ее функции /
Предполагая вначале, что / е М0, преобразуем Е/ с помощью замены переменной в интеграле, определяющем Ф/, и разделения вещественной и мнимой частей в Е/. Имеем
1 ^ t 1 ^ t 'Л
Ф f (z) = - J f (et) • e4 (e21 + e"21) dt = - J f (et) • e4 (e ^ V +
2 0 2 0
——t 1л t
e 2 e 21) dt =
= J f (e ) • e4 ch(21) cos j^dt + i J f(et) • e4 sh(f t)sin fdt = A1 + iÄ2.
Далее
Z2 - 4
—-2 ]!+Л!
—+1 - Л
— +1Т+Л2
■ = B + iB2. Здесь Aj = J f (et);
xe4 ch(j—t)cos j-dt; Ä2 = J f (et) • e4 sh(j—t)sin^- dt;
B =■
-Л2 +—2 -1
4 .
B2 =-
2—Л' Д
и Д =
Д
(—-ff+Л2 • (—+ ff+л2
Ясно, что уравнение Еу (х) = 0, г е С равносильно системе двух уравнений с двумя неизвестными (о, А) е Я 2:
Л +1 -—2 = Д • Aj [2—Л = Д • Ä2.
Далее используются такие сокращенные обозначения (при k > 0):
+: = f(et) • e4; (+)(к) : = d (f^) •e4); (+)0к) : = (+)(к)1
dtk
(2)
t =0 :
: = f(et) • eUft; W(k) : = ^(f(et) • e*chj—t); (•)0k) : = (•)« |t=0 =
t , —t
>:= f(e')• e4sh^; (••)(k) =
d (••)
dtk
; (••)0k): = (••)'
\(k )l
Обозначим еще символом Z(Еу) множество всех нулей в С1 функций Гу. Аналогично определяются символы 2(Яе Еу) и Z(ImГу), где Яе Еу = + А\, 1т Еу = В2 + А2. Заметим, что если точка (о, А) из Я 2 принадлежит какому-либо из трех множеств Z(Fу), Z(Re Еу), Z(Im Еу), например, первому из них, то в Z(Fу) входят также еще три точки (-о, А), (-о, -А), (о, -А). Иначе говоря, каждое из этих трех множеств симметрично относительно вещественной и мнимой осей. Кроме того, эти оси образуют «нулевой крест» для второго из уравнений системы (2): А • А2 - о А = 0, если о = 0 или А = 0.
В дальнейшем будут рассматриваться бесконечные последовательности точек (ап, Хп )"=1, принадлежащих какому-либо из множеств Z(Еу), Z(Re Еу), Z(Im Еу). Для них при любом п > 1 используются такие обозначения: (•)<„'"> : = (•)« |ет=ет , (•)ПАг0 : = (•)0') (к = 0, 1, 2,...). Аналогичным
образом определяются символы (••)
(k)
n
и (")(nk0 (при k = 0 полагаем
1
ОТ
зо
t=0
(•)„ := (•)„ -1 и (••)„ : = (••)„ -1). Наконец, для любого Т из [-2, +да) символом П+ обозначается полуполоса {(стД): -Т <ст< Т, 1 <Я<+да}, П- - полуполоса {(ст, Я): -Т < ст < Т, - да < Я < -1} и ПТ - объединение этих полуполос: БТ = П+ и П-.
Основные результаты
В предложениях 1-3 предполагается, что функция Яе Е/ отлична от тождественного нуля.
Предложение 1. Пусть / е М3 и в полуполосе П+ при некотором Т из [у, +да) имеется бесконечная последовательность точек (стп,Лп)^=1 из
Z(Re Ff) таких, что lim 2n = +да. Тогда (+}0:) = -—.
n^+да 4
Доказательство. Имеем при любом n > 1
1
2 C + 1 2n -Cn + 4
(n - 1)2 + 2 • (n + 1 )2 + 2
да er t 2 t = J (+)cA^ cos^dt =: In
(3)
Преобразуем правую часть (3) интегрированием по частям
2nt
In = J « cos^" dt = J (•)(n1) sin^n-dt = --^(<0, + J (•)n3) si^^fdt.
и
(1)
)(3)<
2nt
0 2 2n 0 2
При этом (•)(n1)0 = (+)01). Отсюда Vn > 1
22
2n 0
1 _fM
1+
^e -1 ^
un 2
1 +
i 1 Л2 C + —
"n ^ 2
= _4(+)01) + -8-да (•)(n3)sin n (4)
% 0
Очевидно, что
да 3
J (•)n3) sin ^fdt 0 2
< sup J | (^)(3) | dt = ■ßf) < +да. Пересеет ,+T ] 0
ходя в (4) к пределу при n ^ да и учитывая, что |<rn| < T для любого n > 1,
получаем нужное равенство (+)01) = - -4.
Точно такой же результат имеет место, если f e M3 и бесконечная последовательность точек (cn, 2n )^=j из Z(Re Ff) таких, что lim 2n =+да,
находится в полуполосе DT при некотором Tиз [у, +да).
Следствие. Пусть f е M3 и при некотором T из [-2, +з) в DT имеется
бесконечная последовательность точек из Тогда = -1.
Предложение 2. Пусть выполнены предположения предложения 1 и,
кроме того,f е M5. Тогда (+)0:) = --1, (+)03) = ——.
4 64
)(!) = - 1
Доказательство. По лемме 1 (+)01) = -i- Далее Vn > 1
>о 4 •
In = — + —IС)П3) sm—dt = — + f(<0 -—J sin—dt.
j — п 2 j j j ^ 2
Имеем при любом n > 1 W® = (+)03) + 3(+)0Vn)2 = (+)03) -¿3;
16
30 j t
J (•)(n5)sin —-dt 0 2 Отсюда
< sup J (^ dt =: ßT5\
ое[-TTT ] 0 1 1
1 -
- 1
1+
<o - -2 V
n 2
1 +
f 1 \2 j
-1 +
3(^n )2
•j =
32'
. jt
= 16 • (+)03)- — J (.^sin^dt.
jn 0 2
Переходя к пределу при n ^ да в последнем равенстве, находим:
(+)03) =-
64.
Точный аналог предложения 2 справедлив для случая, когда Уп > 1 (ап, Л) £ О П ^(Яе ).
Следствие. Пусть / е М5 и при некотором Т из [-2, -+») в Бт имеется
бесконечное множество нулей Е/. Тогда (+)01) = - 1, (+)03) = - 64.
Применяя метод полной математической индукции и используя, как и раньше, интегрирование по частям, получаем такое обобщение предложений 1 и 2:
Предложение 3. Пусть т > 1, у е М2т+1 и при некотором Т из [-2, +вд) имеется бесконечная последовательность точек (стп ,Ап )"=1 из 2(Яе Гу) таких, что Иш | Лп |= +вд. Тогда
п^+вд
(+)02к-1) =_41-2к, к = 1,2, . т. (5)
Отметим два следствия для отличной от тождественного нуля функции Гу.
вд
Следствие 1. Пусть у е Мвд : = П и в некоторой полосе -Т < а < Т
(Т е [-2,вд)) имеется бесконечное множество точек из 2(Гу). Тогда при всех
к > 1 справедливы соотношения (5).
Следствие 2. Пусть т > 1, у е М2т+1 и хотя бы для одного к такого, что 1 < к < т, справедливо соотношение (+)02к_1) Ф _41-2к. Тогда в полуполосе БТ : = {_Т <а< Т, _вд<Я<+вд} при любом Т из [-2, +вд) может находиться разве лишь конечное число нулей Г.
Замечание. Равенство (5) можно переписать в такой форме: ! , , _, \(2к_1) уу(г*)• е4 _е 4) = 0, к = 1,2,...т.
Переходя к множеству 2(1ш Гу), напомним, что оно содержит «нулевой крест», составленный из координатных осей. Именно благодаря этому (точнее, из-за того, что 2(1ш Гу) содержит мнимую ось, принадлежащую
полуполосе Б при любом Т из (0, +®)) аналоги предложений 1-3 для множества 2(1ш Гу) удается доказать в иной, несколько ослабленной форме. В качестве примера приведем аналог предложения 1, предоставив читателю сформулировать и доказать два остальных результата.
Предложение 4. Пусть у е М4 и в Б+ П 2 (1ш Гу) (или П 2 (1ш Гу))
при некотором Т из [-2, +вд) имеется бесконечная последовательность точек (ап, 1п)ВД=1 из 2(Яе Гу) таких, что Иш | Хп |= +вд, Иш ап = т Ф 0. Тогда
п^+вд п^вд
(+)01) = _ 4.
Доказательство. Согласно (3), Vn > 1
2anÄn =
n n
К -1)2 +Л2 • ( + "2)2
In,2>
ад о t ад t er t 7 t
где In,2 : = I (")n sin-2~dt = J f(et) • e~4sh^-sin-^dt. 0 2 0 2 2 Применив к In,2 интегрирование по частям, находим
4,2 =-
■ | (••)« cos= -Ц | si^^f dt =
2 Ц 0
=->-)(»2U +Ц J (••)n4)sin Цdt.
Л Л о 2
л2
• Ц
2
При этом («)П20 = (+)UD an;
от 2 f
I (••)П4) sin Цdt
о 2
< sup 1|(«)(4)| dt =: A(4) <+от.
ае[-T ,T ]U
Отсюда lim ЦIn 2 = -8(+)01)г. В то же время Vn > 1
2an =
1 +
fa -1 ^
n 2
Л
1+
f i Л 2
fan +1Л
Ц ' In,2-
Переходя к пределу при п ^ да в последнем равенстве, получаем
2т = -8(+)01)т, откуда (+)® =- -4.
Методом полной математической индукции доказывается следующий аналог предложения 3.
Предложение 5. Пусть т > 1, / е М2т+2 и при некотором Т из [-2, -+») в
Б+ П 2 (1т ) или в Б- П 2 (1т ) имеется последовательность
(сп ,Хп )ПП=1 точек такая, что Ит | Яп |= Ит сгп = т Ф 0. Тогда (+)02к-1) =
= -41-2к, к = 1,2,...,т.
Положим V 5 > 1
Множества Mm и
t \(2к-1)
= -41-2к, к = 1,2,..., 5};
M2U: = {у е M2s+X: (y(e1) • e4)'
V h=u
от i t t \(2к-1)
МОТ: = П M 2U5+1 ={ У е Мш : (y(e') • e4 - e") = U, к = 1,2,.}.
5=1 V 't=U
Очевидно, что каждый класс М25+1 (или М2+) непуст, если в Мда (соответственно, в Мс° ) имеется хотя бы одна функция. Установим вначале, что Мш Ф (0. Пусть Р(х) и 2(х) - произвольные многочлены с вещественными коэффициентами, причем степень многочлена Q > 1, а его старший коэффициент отрицателен. Тогда Р(х) е^х) е Мш. Приведем еще один
общий пример функции из Мда. Пусть {Лк }^=1 - произвольно зафиксированная последовательность вещественных чисел такая, что 0 < Лк | +да.
Рассмотрим функцию /(г) = £ ^ке л,,г, где йк& С и коэффициенты йк по-
к=1
ш - 1
добраны так, что при р = 0,1,2,... £ | | е к (1к)р <+вд (например,
к=1
в л ш можно взять | dk |= е к -ук, где 0 < в < 1, 0 < ук < да и £ук < ). Тогда
к=1
Ш -Хх
любой ряд £ dk (Лк)р е кХ сходится равномерно и абсолютно в проме-
к=1
жутке [1, +да). Ясно, что /х) е Сда([1, +да)). Без ограничения общности можно считать, что d1 Ф 0. Из элементарной теории рядов Дирихле с вещественными показателями [1, гл. II, § 1] следует, что V 5 > 0
ЗК. е (0, +да) : V х > N -2- (1 )5 е~Ах <| /(5) (х) |< 11 d1 | (11)5 е--. Тогда
/ е Мда.
Покажем теперь, что класс содержит бесконечное множество линейно-независимых функций, каждая из которых зависит от счетного числа произвольных постоянных. С этой целью обратимся вначале к соотношениям (5), которым при всех т > 1 должна удовлетворять любая функция
из . Положим /(1) = С0, где С0 - произвольная постоянная. Из первого
1 С
из равенств (5) (при к = 1) находим: /'(1) = -4--4-. Далее в качестве
/"(1) возьмем любую произвольную постоянную С2, а из второго равенства в (5) (при к = 2) получим
/"' (1) = - Т" /" (1) - 77 /' (1) - = 64 4 16 64
= -—-С0 + — (1 + С0) - - С2 = -(1 + С0) -15 С2. 64 64 64 0 4 2 32 0 4 2
Точно так же при к = 3 полагаем //К)(1) = С4, где С4 - произвольная постоянная. Из равенства (+)05) =--1— определяем/^(1). Продолжая этот
64 -16
процесс неограниченно, получим последовательность {ak -0, где
а - f(1 лк - J0
ак -f(к^(1) и все а2к, к = 0, 1,... - произвольные постоянные. Искомую
функцию /х) из ищем теперь в виде /(х) = £ dкe л'х, где {1к }^=1 -
к=1
произвольно зафиксированная последовательность такая, что 0 < Хк \ +да, а подлежащие определению коэффициенты dk удовлетворяют соотношениям
2 dke(-Лк)m = am, m = 0,1,2,. (6)
k=1
, 1+4 + ••• + (¿к)m-1 A)m -1 л
Имеем при любом m > 1 lim-k-k-= lim —k-= 0.
k~ (¿k)m k -»лmm a -1)
По теореме Полиа [2, гл. 2, § 2.5], существует бесконечное множество линейно-независимых решений системы (6) таких, что все ряды в левых
Ш -Л z
частях (6) сходятся абсолютно. Но тогда функция f (z): = 2 dke kZ ана-
k=1
литична в открытой полуплоскости Re z > 1 и бесконечно дифференци-
руема в замкнутой полуплоскости Re z > 1. Её сужение f (x) = 2 dke k
ke ~X
k=1
на вещественную ось, как было показано, принадлежит Ыт. Следовательно, / е Ы1
Точно так же, задав любое к > 1, тем же методом можно построить в виде ряда Дирихле с положительными показателями функцию /к(х) из Мм
такую, что /к е М°к_1, но /к £ М°к+1. Более того, с помощью все той же
теоремы Полиа показывается, что М0к _1 \ М0к+1 для любого к > 1 содержит бесконечное множество линейно-независимых функций.
Пожалуй, наиболее интересным представителем класса является
ад 2
функция /0(х): = 2с(х), где х) = 2 е~пп х (обозначение ю(х) взято из
п=1
[3, гл. III, § 2]). Как было установлено еще Риманом [4, гл. II, п. 6], Уу е С2 : = С\{0, 1} справедливо равенство
(п)_У г(2)С(у) = —Ц--+ ( х^ + х*) йх. (7)
Ч2/ у(у _1) 1 х V /
После замены у = г + -2 (7) примет такой вид
(п)_ г+2) г(( + 1 )С( Г + ¿) + I с (х) х-4 (х2 + х^ ) йх = Е/0 (г),
г _ 4 1 (8)
г е С1.
Здесь С(г) - хорошо известная дзета-функция Римана. Из соотношения (8) следует, что множество всех нетривиальных нулей £(г + у) (т.е. всех
нулей, отличных от гт =_ у _ 2т, т = 1,2,.) совпадает с 2 (Е/0). Как
было показано в конце XIX в. Ж. Адамаром [4] с помощью теории целых функций, множество нулей £(г), лежащих в полосе 0 < Яе г < 1, бесконечно. Используя этот результат для функции £( г + "2) и применяя следствие
1 предложения 3 (при Т = -2), заключаем, что для функции /0 = 2ю имеют место равенства (5): (+)02к - 1)1 = -41 - 2к, к = 1, 2,... . В частности,
1
(+)01} =( /o(t) е1^) = /о'(1) + 4
V >t=o 4
/о(1) = 2
«'(1)
откуда 4
«'(1) + =-1. (9)
4 8
Равенство (9) было известно еще Риману, который получил его, продифференцировав функциональное уравнение для ю(х) в [1, +да):
(i)-
) +1
и положив затем x = 1. Возможно, что таким
2«( х) +1 = — л/х
путем можно получить (в случае, когда /=/) и остальные равенства (5). Отметим, что Риман использовал равенство (9) при выводе известного функционального уравнения для £(г) [4, гл. II].
Остановимся несколько подробнее на равенствах (5). Предварительно
1
напомним, что последовательность <-— > является асимптотиче-
.4" 1 2п |„=0
ской в промежутке (-2, +ю) при X ^ +да, так как для любого п > 0
4-"-1 Л-2"-2 = о(4-п Л-2") (здесь и далее в этом параграфе используются обозначения и термины из § 1-2 гл. II [5]). Выше показано, что для любой
функции / из Мда и VX е Я !ш Е/ОХ) = 0; Яе ¥г (Л ) = —21--+
21
Я 2 +1
ад t Xt
+J /(et) е4 cos—dt. Отсюда VX > V" > 1
о 2 2
1 S (-1)" 1)t 4-k Я -2k-2 + (-1)" Я"2-2"4-"
= S .k „2k+ 2 = S (-1) 4 X +"
0 2 . 1 f-1 лк 12k + 2 f-1 v ' i i 1
Я + 4 к=o4 Я к=0 1 + 4X2
= s
"-1 (-1)k (-1)"
k=0 4k Я 2k+2 4" Я 2" (4 Я 2 +1)'
J /(e ) ¿4 cos ^ = s (-1)k 4-k2(k+)02"-1) + (-1)"+l21-4" J^D^d,
■> J v ' ") f-' 12k 12 n+1 J v ' ")
0 z k=1 Я Я o z
Следовательно, Vn > 1, VЯ : | Я |> -2 имеем
-ТТ+Т + Í /(et) е^ cosfdt = [4k(+)02k-1) + 41-k] +
Я o 2 k=1 Я
4 1 (10) (-1)" 2 • 4" (-1)"+1 » 4(2n+1) . Я/ ,
+-„ „-+-^— J (+)(2"+1) sin—dt.
4" Я (4Я +1) Я2"+1 0 2
ад
Л
Напомним, что Г1~ Г2, где Л= {Лп }П=0, если все коэффициенты (при одинаковых степенях X4) асимптотических разложений в смысле Пуанкаре (или асимптотических рядов) функции Г и Г2 в промежутке 1 < X < совпадают. Непосредственно из равенств (10) вытекают
Л
Предложение 6. Для любой функции/из Мт Г/ (¿Л)~0 тогда и только тогда, когда при всех т > 1 выполняются соотношения (5).
Предложение 7. Для любой функции / из М° и всех Л0 таких, что
2и+1
"'А
м
< — и постоянная м из
Л
' 2 ад Л X
|Х0| > 1, (Л) = 0 » Иш — | (+)(2п+1) Ж = 0.
Приведем ещё другое доказательство принадлежности /0 классу Мад, основанное на простейших фактах теории асимптотических методов [5] и известных асимптотических оценках для |Г(г)| и |<Т(г)|. Как хорошо известно, если функция g из Мм имеет на (1, +<») оценку вида | g(х) |< Бе~ах, где
Л
Б е (0, +да), а е (0, +<»), то g ~0 (как и прежде Л = {ЛГп}П=0). Так же хорошо известны асимптотическая оценка для |Г(г)| [6, с. 331]:
| Г(ст + ¿Л) |= Л ст_1е^1^ [1 + О (Л)], где
(0, -+») зависит лишь от Т е [-2, +ад), еслист е [_Т, Т], и оценка сверху для |<Т(г)| на
множестве {(ст, Л): ст е [_Т, Т ], 1 <| Л |< +ад}: 1 <| Л |< +ад}: | С (у + ¿Л) |< БЛЬ, в которой постоянные Б и Ь из (0, -+») зависят от Т (по поводу второй оценки [4]). Применяя эти оценки к равенству (8), находим, что для всех
г = о+ ¿X из множества {_-2 < ст < -2, 1 <| Л |< +ад} | Г/ (ст + ¿Л) |< й е ~*Л, где
й е (0, +да). Отсюда следует, что /0 е М°.
Заключение
Согласно следствию 1 предложения 3, если / е Мад и множество Б+ (или Б_) при некотором Т из [-2, ад) содержит бесконечное число нулей функции Г/, то / е М,00, т.е. справедливы соотношения
! < ± _ X\(2к _1)
(/(ех)е4 _е 4) = 0, к = 1,2,.
Естественным образом возникает вопрос о возможности обращения этого утверждения. К сожалению, попытки получить какие-либо конкретные результаты в этом направлении оказались безуспешными. Однако автору представляется весьма правдоподобными следующие гипотезы.
Гипотеза А1. Если / е Мш, то VT е [-2, +ш) в Б+ (а также в БТ) имеется бесконечное число нулей Е/.
Гипотеза А2. Если / е МЩ, то все нули Е/ лежат на мнимой оси. Гипотеза А3. Если / е МЩ, то все нули Е/- простые. Возможно, что гипотезы Л^ 1 <] < 3, справедливы, если /принадлежит не всему классу МЩ, а его более узкому подклассу МЩ, состоящему из всех функций / из МЩ, представимых в виде ряда Дирихле /х) =
= £ dke Лх, в котором {Лк }Щ=1 - произвольная последовательность по-
к=1
1п к
ложительных чисел такая, что 0 < Хк | +да, Иш-= 0, а коэффициенты
к Лк
{йк} удовлетворяют условию Иш —|—— < 0. Соответствующие резуль-
к^+ш Лк
таты будем называть ослабленными гипотезами Л(для их формулировки достаточно заменить в гипотезах Л^ МЩ на МЩ). Заметим, что из ослабленной гипотезы Л2 следует хорошо известная гипотеза Римана о нулях функции С(г).
Всюду в данной работе рассматривались четные мероморфные функции Е/ вида (1). Очевидно, что Д(Е/) совпадает с множеством Z(G/) всех нулей
, > ш - з г
четной целой функции G/(г):= 1 + ( --4 /(х) х 4скхйх. Далее, если
/е М0 и В - полуполоса {г : --2 < Яег < -2}, то, как нетрудно проверить, множество Д (Е/) П В совпадает с множеством всех принадлежащих В ну-
1 Щ 3 1 - г
леи
функции Hf (z):- — Jx 4(f (x) + x )• (x2 + x 2)dx из A(B). Для функ-
21
ций Gf и Н/ также можно сформулировать аналоги гипотез Лj и ослабленных гипотез Л}- (1 < j < 3). Читатель без труда получит соответствующие формулировки. Кроме того, для тех же функций методом, изложенным выше (причем с более простыми выкладками), можно получить точные аналоги предложений 1-5 и их следствий.
Некоторые свойства множеств Z(Re и Z(Im Пусть v(x, у) - гармоническая в области G из С функция. Будем говорить, что у(х, у) сохраняет постоянный знак в G, если V- = х + 1у е G v(x, у) > 0 (или V- = G у(х, у) < 0). Пусть Д(у; G) - множество всех нулей V в G.
Лемма. Если у - гармоническая в области О функция, то следующие утверждения равносильны: Б) 2(у; О) = 0; Е) у сохраняет постоянный знак в О.
Доказательство. 1) Если 2(у; О) Ф 0, то 3(х0, у0) е О : у(х0, у0) = 0. По принципу максимума и минимума для гармонической функции в любой окрестности и0 точки (х0, у0) найдутся точки (ху, у) (У = 1, 2) такие, что у(хь ух) < 0, у(х2, у2) < 0. Следовательно, у не сохраняет постоянный знак в О. Таким образом, Е) ^ Б).
2) Пусть, обратно, у не сохраняет постоянный знак в О. Тогда при У = 1, 2 3(ху-, у) е О : у(хь у{) < 0, у(х2, у2) > 0. Соединим точки (хь у1) и (х2, у2) непрерывной кривой Ь, лежащей в О. Тогда З(х3, у3) е Ь : у(х3, у3) = 0. Отсюда 2 (у; О) Ф 00. Таким образом, Б)^ Е).
Замечание. Так как для любых точек (хь у0 и (х2, у2) из О существует бесконечное (и даже несчетное, с мощностью континуума) множество лежащих в О непрерывных кривых, имеющих в качестве общих точек только начальную (хь у{) и конечную (х2, у2) точки, то следующие утверждения равносильны:
1) 2 (у; О) Ф 0;
2) 2(у; О) - бесконечное (более того, несчетное, с мощностью континуума) множество;
3) у не сохраняет постоянный знак в О.
Предложение 8. Пусть / е М0 и на линии 1+ ; X = !ш г > 1, Яе г = 0 (или на линии Г ; X < -1, Яе г = 0) имеется хотя бы один нуль Яе Г/. Тогда
функция Яе Г/ не сохраняет постоянный знак в области Б+ (соответственно, Б_) при любом Т е (0, -+»).
Доказательство. Пусть (Яе Г/)(0, Л0) = 0, 1 < Л0 < +®. Тогда в любой окрестности и0 точки (0, Л0) найдутся точки (о, ЛД у = 1, 2, такие, что (Яе ГДсть Л!) < 0, (Яе Г/)(о2, Л2) > 0. При этом (-оу, Л) е и0, у = 1, 2. Без ограничения общности можно считать, что оу Ф 0, у = 1, 2. Ясно, что из четырех точек (оь Л1), (-01, Л1), (о2, Л2), (-о2, Л2) две принадлежат правой полуокрестности и+ : = и0 П , причем функция Яе Г/ в этих точках принимает значения разных знаков.
Замечание. Из доказательства предложения следует, что если Яе Г/ имеет на линии 1+ (или Г) хотя бы один нуль, то 2 (Яе Г/; П+) (соответственно, 2(ЯеГ/; Б_)) - бесконечное несчетное множество, УТ е (0, +<»).
Отметим еще один простой результат для !ш Г/.
Предложение 9. Пусть / е М0 и при некотором Т из [-2, +ад) функция Iш Г/ сохраняет постоянный знак в П+. Тогда Г/ не имеет нулей в Б+.
Доказательство. Если предположения предложения выполнены, то по лемме Д (1ш Е/; Б+) = 0. Подавно Е/ не имеет нулей в Б+.
Литература
1. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976.
2. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М., 1960.
3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М., 1975.
4. ТитчмаршЕ.К. Теория дзета-функции Римана. М., 1953.
5. Копсон Э. Асимптотические разложения. М., 1966.
6. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М., 1994.
Ростовский государственный университет, Владикавказский НИИ прикладной математики
и информатики РАН 10 апреля 2006 г.
УДК 519.254
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОТОКА ПАКЕТОВ В СЕТИ
© 2006 г. В.А. Нестеренко
In this article we consider some aspects of statistical methods of detection of abnormal events in a network. We offer a method of definition of local statistical characteristics of a stream in a network during some time interval and definition of size of this interval depending on statistical characteristics of a stream of packages in a network on the big time interval.
Статистические методы обнаружения аномальных событий в сети основаны на сравнении текущих, локальных характеристик потока пакетов с усреднёнными, глобальными характеристиками [1-3]. Если локальные характеристики сильно отличаются от соответствующих глобальных, усреднённых за продолжительный промежуток времени, то вполне вероятна попытка сканирования сети или сетевой атаки (SYN сканирование, Flood атака, DoS атака и т.п.). Таким образом, возникают задачи построения эффективных методов вычислений локальных статистических характеристик в течение некоторого ограниченного интервала времени и определения величины этого интервала в зависимости от глобальных статистических характеристик потока в сети на большом промежутке времени.
В данной статье предлагается метод вычисления локальных статистических характеристик потока пакетов и рассматривается набор весовых функций, позволяющий реализовать эффективные вычисления этих характеристик.
Пусть величина xt характеризует некоторое событие из потока событий, произошедшее в момент времени t. Введём весовую функцию F(z) и определим величину
