Об одном классе булевых алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 8.1999

УДК 517.98

Об одном классе булевых алгебр Ю.Н.Ловягин

В заметке вводится класс булевых алгебр, допускающих правильное погружение в подходящую булевозначную модель теории множеств, теория которого с точностью до модели теории множеств эквивалентна теории булевых алгебр с существенно положительной квазимерой.

1. Введение

В работах [1, 2] доказано, что теории нормированных булевых ал-г^эр и булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квази-гер эквивалентны с точностью до модели теории множеств. Иными .завами, всякая алгебра с достаточным множеством (о)-непрерывных ззазимер в подходящем булевозначном универсуме теории множеств реализуется как нормированная булева алгебра или, как говорят, допускает правильное погружение в подходящую булевозначную модель превращаясь там в нормированную алгебру). И наоборот, как отме-^•еяо в [2], спуск нормированной алгебры внутри булевозначного уни-эгрсума представляет собой булеву алгебру с достаточным числом (оо)-=-орерывных абстрактных (со значениями в К-пространстве) квази-з^р, а в случае, если универсум строится по дискретной булевой алге-'д-е. - булеву алгебру с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер вещественных).

В [1] также показано, что всякая (полная) булева алгебра в подхо-п^щей модели теории множеств изображается булевой алгеброй с суще-гзенно положительной квазимерой, а, с другой стороны, с точностью изоморфизма, является подалгеброй соединения булевых алгебр с •г пдественно положительными квазимерами.

х Ловягин Ю.Н., 1999.

В настоящей заметке мы, следуя идеям работы [2], выделим класс булевых алгебр, теория которого с точностью до модели теории множеств эквивалентна теории булевых алгебр с существенно положительной квазимерой.

2. Некоторые понятия и сокращения, используемые в дальнейшем

2.1. Сокращение ПБА означает полная булева алгебра, КМ - ква-зимера, то есть положительная аддитивная функция (на булевой алгебре), СП - существенно положительная (функция), то есть ф(х) = О влечет х = 0.

2.2. Множество КМ Ф называется достаточным (для булевой алгебры А), если для любого ненулевого элемента а € А существует КМ ф £ Ф такая, что ф(а) > 0.

2.3. Множество Е в булевой алгебре (или К-пространстве) будем называть компонентой, если Edd = Е, где Edd - множество элементов дизъюнктных множеству Е, то есть всем элементам этого множества.

Множество всех компонент К-пространства является полной булевой алгеброй и называется его базой.

2.3.1 В литературе (например [5]) понятие компоненты определяется по-другому, но там доказала равносильность вводимого определения нашему понятию компоненты.

2.4. К-пространство будем называть дискретным, если его база 'тисретна. Булева алгебра А называется дискретной, если в ней существует дизъюнктное множество атомов А, такое, что

2.4.1 для любого ненулевого элемента х € А существует элемент a £ А так, что а < х

2.4.2 для всякого элемента а € А не существует такого элемента ж £ А, что 0 < х < а.

2.5. Пусть имеется множество булевых алгебр (К-пространств)

Соединением или прямой суммой семейства назы-

вается множество которое представляет собой декартово

íes

произведение семейства булевых алгебр (К-пространств) с по-

координатными алгебраическими операциями и порядком.

Всякий элемент х £ имеет вид х = ф^ен^б где £ -

íes

"координаты" элемента х.

2.6. Тип булевой алгебры (или К-пространства) - это наибольшая мощность дизъюнктных подмножеств.

2.7. Более подробно терминология с соответствующими ссылками приведена в [1].

2.8. Следуя [6] две теории 7\ и Е2 в языках Ьг и Ь2 первого по-ридка будем называть эквивалентными с точностью до модели те-:рии множеств, если всякая модель теории 7\, будучи погруженой з некоторую (подходящую) булевозначную модель теории множеств, превращается в модель теории Т2, и, наоборот, спуск всякой модели ~шрии Т2 в булевозначном универсуме является моделью теории 7\.

Теории, эквивалентные с точностью до модели теории множеств, 2 шу екают "пареллельное" исследование. Например, многие результаты теории булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных -зазимер получаются путем "расшифровки" истинностных оценок со-: гзетствующих высказываний.

3. Булевы алгебры с СПКМ в Vе

3.1. Пусть В - ПБА, Vе - соответствующий отделимый буле-зазначный универсум теории множеств [4], - множество вещественных чисел внутри V5, ф - СПКМ на ПБА X внутри V3. Тогда

I,1.1 (со спуск-операциями и порядком) - расширенное К-простран-ство с базой, изоморфной В (см. [4])

II.2 XI - ПБА (см. [3])

I 1.3 Ф1 - СП |-значная квазимера (абстрактная квазимера) на X то есть

(¡) если х А у = 0, то ф I (х V у) = ф | (ж) + ф | (у) (п) для всех ненулевых элементов х 6 X | ф [ (х) > О

Это утверждение доказывается путем расшифровки оценки высказывания [|ф - СПКМ на ПБА Х\] = 1.

1.4 если функция ф (о)-непрерывна внутри

ув

, то функция ф [ является (оо)-непрерывной

3.2. Для каждого элемента Ь £ В рассмотрим функцию фь : X » (3? где (Ж - компонента К-пространства соответствующая Ь € В (по сути дела это и есть компонента Ь), определенную равенством фь(х) = Ь Л ф [ (ж). Иными словами, эта функция есть композиция проекции на компоненту Ь и функции ф

3.2.1 Легко видеть, что ф | (3? |)б-значная квазимера.

3.2.2 Так как, если х е X ! и х > 0, то есть [|я € Хкх > 0|] = 1, то [|ф)х) > 0|], то есть ф I (х) > 0. Тогда существует Ь £ В так, что фь(х) > 0. Таким образом множество абстрактных квазимер фв = {¿>6 : Ь 6 В} является достаточным для булевой алгебры

XI

3.2.3 Определим для двух КМ фь1 и фь2 алгебраические операции соотношением

(Фь А Фьз)(х) = Фь!ЛЬз(х) » {Фь,У = Ф1 ~фь!•

Точно так же, как и в [2], получаем, что Фв является полной булевой алгеброй, изоморфной В.

3.3. ИВА А назовем В~алгеброй (В - ПБА), если она имеет достаточную булеву алгебру КМ, изоморфную В.

3.3.1 Из вышесказанного (см. 3.2) следует, что для того, чтобы некоторая (полная) булева алгебра была 5-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она допускала правильное погружение в Vй.

3.4. Предположим теперь, что ПБА В - дискретна. Тогда ясно, что она изоморфна ПБА 2", где к - мощность множества атомов В, а соответствующее К-пространство Щ изоморфно К-прострацству К".

3.4.1 В этом случае каждая КМ фь определена теми атомами, из которых "строится" компонента Ь. Точнее, фь определена некото-рам множеством {ф3}я€ть, где Ть - множество атомов такое, что эир Ть = Ь.

Так как булева алгебра В - дискретна, 5 - атом, то ясно, что компонента (3?|)я является одномерным К-пространством, то есть изоморфна полю вещественных чисел Е.

-.2 Если х - ненулевой элемент то для некоторого Ь € В фь{х) > 0. Тогда ясно, что существует элемент I € Ть такой, что фг(х) > 0. Действительно, в противном случае все проекции из Ть переведут Ф1 (х) в нуль и, следовательно, ф[ (ж) = 0, то есть х — 0.

Так как ~ одномерная компонента, ф1 - КМ. Таким образом множество КМ : I £ Т}, где Т - множество атомов В,

является достаточным, то есть справедливо утверждение

- 3 Если ИВА В - дискретна, то всякая /¡¿-алгебра имеет достаточное множество КМ мощности, равной мощности В.

3.5. Из общей теории спусков следует, что множество Жоюпагтохо -.лично, а из результатов работы [2] следует, что цикличность алге-1. XI равносильна выполнению условия,

. если ф1 (х) = $ где е^ € Щ, то существуют элементы х^ € Х{ такие, что для всех £ € Е Ф1 (х^) -- е^ и х = : £ € Е}.

_ Если алгебра В - дискретна, то предыдущее условие имеет вид:

если ф[ (ж) = ф е<, то существуют элементы xt € Х[ такие, что гет

- = ©{.!■( : г € Г} и # (ж*) = е4. Таким образом, имеет место

! 2.1 Если X - ПБА внутри Vй и В - дискретная ПБА типа к, то ПБА XI представляется в виде соединения к булевых алгебр с СПКМ.

4. Обращение результата 3.5„2 Л:.

4.1 Пусть А=фЛа, где Аа - ПБА с СПКМ фа.

а<к

Д.каждого а £ Л положим фа(а) — фа о рга(а). Тогда, если а > 0, = : а < к}, аа Е Аа и не все координаты равны нулю.

: :: сбразом, существует элемент а0 < и такой, что фао(а) > 0. То :г;ество КМ {фа ; а < к} является достаточным для ПБА А.

4.2. Пусть функция ф определена правилом (ф(а))а = фа{о)- Тогда ф - Позначная СПКМ на А.

Пусть ф(а) = ф еа. Положим х : (х)а = аа и 9х)р = 0 при ¡3 ф а.

а<к

где аа - координаты а. Тогда ясно, что ф(ха) — еа, ха G А, а = ®ха.

Тем самым выполнены условия 3.5.2, и, следовательно, ПБА А допускает правильное погружение в V2".

Как следствие 4.1 и 4.2, получаем

4.3. Пусть к - кардинальное число. Для того чтобы ПБА А была 2,;-алгеброй (или, что то же самое, допускала правильное погружение в V2K), необходимо и достаточно, чтобы А была соединением к булевых алгебр с СПКМ.

Таким образом, имеет место утверждение

4.3.1 Теория соединений алгебр с СПКМ с точностью до модели теории множеств эквивалентна теории ПБА с СПКМ.

5. Погружение произвольной ПБА в ПБА с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер

5.1. Как известно (см. напр. [5] стр. 155 - 156, 227) ПБА А с СПКМ ф допускает изоморфное вложение in в ПБА А с мерой //. являющуюся метрическим пополнением (метрического) пространства < А, ф(. +2 •) >, где +2 - симметрическая разность в А. При этом имеет место равенство in о // = ф.

Боле того, (о)-топология на А является следом (о)-топологии А. Последняя как известно совпадает с метрической топологией, порожденной метрикой fi(. + 2 •)•

5.2. Пусть теперь А - ф Аа, где Аа - ПБА с СПКМ фа (для

а<к

каждого а < к).

Пусть, далее Ал - стандартное имя А в универсуме V2", фл -СПКМ на булевой алгебре АА внутри V2" и А - нормированная ПБА из 5.1 внутри V2*.

Положим С — /1! Тогда согласно [1, 2] С - ПБА с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер или, что то же самое, соединение к нормированных ПБА, а функция (А о in) j является изоморфным вложением А в С.

Таким образом, имеет место утверждение

5.2.1 Всякая булева алгебра является, с точностью до изоморфизма, подалгеброй некоторой полной булевой алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер.

5.2.1.1 Тот же результат получается, если рассмотреть как в [1] изоморфизм А в соединение булевых алгебр с СПКМ, каждую из которых погрузив затем изоморфно в нормированную ПБА.

6. Регулярная 2к-алгебра нормируема

Пусть ПБА А - есть (полное) соединение ПБА Аа с СПКМ фа, а < к, к - кардинальное число, В = 2К.

Доказательство разобьем на 2 этапа.

6.1. В условиях утверждения для каждого а булева алгебра Аа регулярна.

Если булева алгебра А счетного типа, то, очевидно, что к < К0.

Если булева алгебра А удовлетворяет принципу диагонали, то, как показано в [1], каждая булева Аа также удовлетворяет принципу диагонали.

6.2. Каждая ПБА Аа нормируема. Действительно, Аа - регулярная ПБА с СПКМ. Тогда, согласно теореме А.Г.Пинскера - [7] стр.428 - 430, - она нормируема.

Таким образом, регулярная алгебра А является ПБА с четного типа с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер и, следовательно, нормируема - см. [1].

Литература

1. Ловягин Ю.Н. Булевы алгебры с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер. Деп в ВИНИТИ №3111-В97. 25 с.

2. Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П. Классификация булевых алгебр с достаточным числом (о)-непрерывных квазимер // Вестник Сыкт. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып.З. С. 103-110.

3. Гордон Е.И. Вещественные числа вбулевозначных моделях теории множеств в K-пространства // Докл. АН СССР. Т. 337. M 4-С.773-775.

4. Solovay R., Tennenbaum S. Itherated Cohen extension and Souslin's problem ¡¡An. of Math. 1971. V.94- №. P.SOI 375.

5. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 318 с.

6. Ловягин Ю.Н. Об эквивалентности некоторых теорий, рассматриваемых в функциональном анализе // Теория функций. Тезисы докладов Всероссийского семинара. Сыкт.: Сыкт. ун-т. 199S. С. 35-36.

7. Канторович JT.B., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. M.-JI.: Госте-хиздат, 1950. 546 с.

Summary

Lovyagin Y.N. About one class of the Boolean algebras

In the paper, we introduce a class of the Boolean algebras, admitting the correct immersion in a suitable boolean-valued model of the set theory. This theory is equivalent, up to the model of the set theory, to the theory of Boolean algebras with an essentially positive quasimeasure.

Сыктывкарский университет Поступила 20.09.98