Об одном классе бесконечных групп отражений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 1 (2011), с. 59-70.

УДК 514.12

А. И. Криворучко

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП

ОТРАЖЕНИЙ

Пусть С - бесконечная группа отражений, каждое собственное подмножество множества всех линейных оболочек орбит направлений симметрии которой является независимым. Вычисляются базисные инварианты группы С. Получены условия невырожденности алгебры полиномиальных инвариантов этой группы, а также условия полноты группы С.

Ключевые слова: отражение, группа, инвариант, орбита.

Введение

Известно, что линейная классификация нецилиндрических алгебраических гиперповерхностей с бесконечным множеством гиперплоскостей симметрии в конечномерном вещественном векторном пространстве V сводится к задаче о строении групп, порожденных объединением поэлементно коммутирующих квадратичных множеств отражений [1], т.е. множеств Ы\,..., Мд, удовлетворяющих следующим условиям:

(A) Каждое Мг определяется некоторой лежащей в V плоскостью Аг и соответствующей квадратичной формой это значит, что отражение относительно гиперплоскости Р в направлении вектора I принадлежит Мг тогда и только тогда, когда Р сопряжена I относительно а I € Аг \ Р.

(Б) Если два отражения принадлежат М1 и ■ ■ ■ и Мд и не коммутируют между собой, то некоторое Мг содержит оба эти отражения.

Как показано в работах А.Е.Залесского [2] и А.Е.Велесько [3], алгебра полиномиальных инвариантов группы, порожденной множеством М1 и ■ ■ ■ и Мд, может не быть свободной и не обязательно является конечно порожденной, даже если дополнительно предполагать, что М1,..., Мд удовлетворяют условию

(B) Каждое собственное подмножество множества {А1,..., Ад} независимо.

В связи с этим естественно возникает постановка следующей задачи:

Пусть О - группа, порожденная объединением множеств М1,..., Мд, которые удовлетворяют условиям (А)-(В). Найти алгебру полиномиальных инвариантов этой группы. Получить условия, при которых О действует на некоторой нецилиндрической алгебраической гиперповерхности и содержит все отражения, сохраняющие каждый инвариант группы О.

Цель работы - решение указанных задач.

Основные результаты работы: В п. 1° вычисляются образующие поля рациональных инвариантов и описывается алгебра полиномиальных инвариантов группы О. В п. 2° показывается, что О может действовать на нецилиндрических алгебраических гиперповерхностях, а М1 и ■ ■ ■ и Мд совпадать с множеством всех отражений, сохраняющих каждый инвариант группы О.

1°. Далее V - конечномерное вещественное векторное пространство; V - алгебра всех полиномиальных функций на пространстве V, 2 - поле всех рациональных функций на V; М1,..., Мд - квадратичные множества отражений, удовлетворяющие указанным выше условиям (А)-(В), к > 2, М = М1 и ■ ■ ■ и Мд, О - группа, порожденная множеством М; V° - алгебра всех полиномиальных инвариантов группы О, - поле всех рациональных инвариантов О.

Зафиксируем в V базис

(аг,з, Ъгд, ед : 1 < г < к; 1 < з < тг; 1 < I < 8г; 1 < д < ш) (1)

с соответствующим двойственным базисом

Ыл, Уг,1, : 1 < г < к; 1 < з < т,; 1 < I < 8»; 1 < д < т).

На основании леммы, доказанной в [4], выбирая соответствующим образом значения параметров ш,, 8,, ш и 8, мы можем (и будем) считать, что

А1 = (ам, Ъ2,р +-----+ Ъд,р, Ь1,1 : 1 < з < Ш1; 1 < р < 8; 1 < I < 81),

= X) х2,з +2 Е У1,1 ^1,- 2 Е У2^

3 I Р<в

Аг = (аг,з, Ъг,1 : 1 < з < шг; 1 < I < 8Г), = ^ + 2 ^ уг,г

3 I

(г = 2,..., к),

где е (21,..., 2т), € {-1; 1} для всех допустимых значений г, з, I.

Базис, удовлетворяющий всем перечисленным выше условиям, будем называть каноническим базисом множества М (определяющего множества М1,..., Мд однозначно с точностью до изменения их нумерации).

Полагаем

Л-1 = ^ж^ + 2^£м+гУ1,г, ^2 = ^2, ..., = ^д, 3 I

а если s > 0, то

А

6,i . . k,s , Ki = 6,i .

£k,i . . £k,s ki . . k,i

И

%з

6,i . . ki hi

. k,i hi

ji . . k,i hj

(i = 1,..., min{k; s}; j = 1,..., k). Пусть p - ранг матрицы А над полем Q. Этот ранг не изменяется при переходе от одного канонического базиса к другому каноническому базису множества M. Поэтому если p > 0, то можно считать, что Kp = 0.

Теорема 1. (а) Если p = 0 или s = 0, то

Qg = R(hi, ...,hk, zi,..., zm), PG = R[hi,..., hk ,zh...,zm].

(b) Если 0 < p <k, и Kp = 0, то

qG = R(Hp,p+i, . . . , Hp,k, z1^ . . , zm),

PG = P П R[Hp,p+i K-1,...,Hp,k Kp-1, zi,...,zm].

i

Г-1

V

(с) Если р = к, то QG = ..., zm), РG = ..., гт].

Доказательство. Далее 2 обозначает кортеж координатных функций Zl,..., zm. Эти функции - инварианты группы С.

Пусть С' - подгруппа группы С, порожденная объединением множеств М2,..., Ык и содержащегося в М1 квадратичного множества отражений М1, определяемого плоскостью (а1^ : ] > 1)ф(Ь1,г : I > 1) и квадратичной формой Н1. Из [5] следует, что

QG' = ЩЬ,1,...,Нк ,2), Р = ЩНь...,Нк ,2]. (2)

При этом

QG С QG', РG С РG'. (3)

Пусть отражение Я - принадлежащее М1 отражение относительно гиперплоскости Р в направлении вектора й. Тогда

й = ^ а а1'3 - Е Кр + в ь1,г,

] г>1 I

Р = кег 2, где

2 = ^ а £1,з х1,з+ ^ ъ ^1,р+ ^ в

p<s

l> i

Положим

а = 2(й).

Для каждого г = 1,..., к, действуя отражением Я на многочлен Нг, получаем

Нг • Я = Нг + 4 а-1 2 ^ тр &,р. (4)

р<в

В самом деле, форма инвариантна относительно К и поэтому

,р

Л1 ■ К = (+2 ^ у2,Р 6,р ) К = р! + 2 ■ К)

р<« р<«

= Л-1 - 2 ^ У2,р {1,р + 2^2(У2,Р + 2 > {1,

р<« Р<«

и получаем (4) для г = 1; если же г > 2, то

К ■ К = е^ х^ + 2 ^(у»,р + 2 7р {»,р + 2 ^ {»,г у»,г,

и опять получаем (4).

Из (2)-(4) следует утверждение (а).

Пусть теперь в > 0, р > 0. Тогда из (4) следует, что для любых г и ]

{1,1 . . {М Л1 К

Н»,з ■ К = {¿,1 . . Л» К

{3,1 . Л3 К

Щ,з + 4 ст-1 2 ^ 7р

{1,1 .. . {м {1,р

{¿,1 . . {¿,г {»,р

{3,1 . . {3,» {3,р

р<в

Поэтому Нр,р+1,..., Нр, к - инварианты группы С. В силу (2) и (3), остается доказать следующее:

Пусть 1 < г < р, Кг =0, ^ = /(Ль ..., Лк, -) е 2С П М(ЛЬ..., Лк, г); если г < к, то

д = / (0,..., 0, Яг,г+1 К-1,..., Нг,к К-1, -);

(5)

(6) (7)

если г = к, то

д = /(0,..., 0, -г). Докажем это индукцией по г.

Для каждых р е {1,..., в} и Ь е М пусть Т(р, Ь) - отражение относительно гиперплоскости е11 х11 + Ь{^р = 0 в направлении а1,1 — Ь(Ь2,р + ■ ■ ■ + Ьк,р). Допустим, что г = 1, К1 = ^1,1 = 0. Тогда

д = /(К ■ Т(1,Ь),..., Лк ■ Т(1,Ь), -г) (8)

в силу Т(1, Ь)-инвариантности д. Положим

Ь = 4 Ь (Х1,1 + Ье-1 {1,1).

Из (4) имеем:

Л» ■ Т(1,Ь) = Л» + ¿'{¿,1 (г = 1,..., к). (9)

При этом элемент поля 2(Ь) трансцендентен над 2, т.к. е 2. Значит, из (8) и (9) следует, что в поле 2(Ь) выполняется равенство

д = /(Л1 + Ь{1,1,..., Лк + Ь{к,1, -г).

Из этого равенства при £ = — Л-1 получим (6) для г = 1.

Предположим, что (6) доказано для г = I < к. Пусть г = I + 1 и Кг = 0. За счет изменения нумерации базисных векторов, при котором меняются местами первые I + 1 столбцов матрицы А и, следовательно, сохраняются функции Яг+^г+2 К+1, ..., Яг+^к К+1 (хотя не обязательно сохраняются Яг,г+ъ ..., Яг, к и Кг), можно считать, что Кг = 0. Тогда, по индуктивному предположению,

д = /(0,...,0, Яг,г+1 К-1,..., Яг, кК-1, г).

Отсюда и из Т(I + 1, ¿)-инвариантности д получаем

д = / (0,..., 0, (Яг,г+1 Кг"1) ■ Т (I + 1, *),..., (Яг, к Кг"1) ■ Т (I + 1, *), г). (10)

Для каждого ] € {I + 1,..., к}, полагая

£1,1 . . £1,1 £1,i+1

Ki,j = 6,1 . . £м £i, 1+1

£j,1 . . £j,i £j, i+1

из (5) имеем:

■ T(l + 1, t) = Hij- +4t (X1,1 + te-j £1,1) K^-. Используя это, как и в случае r = 1, из (10) в поле Q(t) получаем:

g = f (0,..., 0, (Hi>i+1 + iKi>i+i) K-1,..., (Hi>fc + iKi>fc) K-1, z). Из этого равенства при t = — H^, 1+1 K-учитывая, что K^+1 = K^+1, имеем:

g = f (0,..., 0, 0, (HM+2 KM+1 — Hi,i+1 Ki,i+2) K-1 K-11, ...

..., (Hi>fc Ki,i+1 — Hi,i+1 Ki,fc) K-1 K-11, z). (11)

По детерминантному тождеству Сильвестра,

Ki,i+1 — Hi,i+1 Ki,j = Hi+1, j Ki (j = l + 2,..., k).

Отсюда и из (11), при r = l + 1 < k получаем (6), а при r = l + 1 = k получаем (7).

2o. Пусть X С Q. Назовем X вырожденным, если для некоторых принадлежащих V* функций y1,..., yp, число которых меньше dim V, X С R(y1,..., yp). В противном случае X назовем невырожденным.

Если для некоторого i < k функции £¿,1,..., £i,Si линейно зависимы, то группа, порожденная множеством Mi, содержит сдвиги. В этом случае поле QG является вырожденным, и всякая неприводимая алгебраическая G-инвариантная поверхность цилиндрична.

Укажем условия, при которых G действует на нецилиндрических алгебраических поверхностях. При этом будем далее предполагать, что {M1,..., M&} - семейство основного типа. Это означает, что M1,..., M& удовлетворяют указанным

выше условиям (А)-(В), для каждого i функции £¿,1,..., £i,Si линейно независимы, а строки матрицы А пропорциональны друг другу. Изучению строения группы G (называемой группой основного типа), для которой {M1,..., Mk} - семейство основного типа, посвящен целый ряд работ (см., например, обзор [6] и список литературы из этого обзора).

Не нарушая общности, будем считать, что

£i,j = ••• = £kj (j = 1,...,в). (12)

Из теоремы 1 следует, что в этом случае

Qg = R(hi - h2 ,...,hi - hk ,z), PG = R[hi - h2,...,hi - hk, z]. (13)

Поэтому вырожденность QG эквивалентна вырожденности PG. Положим

Л = (£1,1,..., £i,s), Л% = (хц,..., Xi,mi, £¿,1,..., £i,Si) (i = l,...,k).

Очевидно, что Л С Л1 П • • • П Лк.

Теорема 2. G имеет невырожденную алгебру полиномиальных инвариантов тогда и только тогда, когда

Л1 П • • • П Лк = Л.

Доказательство. Если v £ V, f £ P, то f будет обозначать производную функции f по вектору v.

Из (13) следует, что вырожденность PG равносильна существованию ненулевого вектора

d = ai,j ai,j + ßil bi1, (14)

i,j i,l

для которого

(h1 - h2)d = ••• = (h1 - hk )d = 0. (15)

При этом если выполнено (14), то (15) равносильно системе равенств

ai,j = 0 (i = 1,..., k; j = l,...,mi), (16)

E ßhi £1,s+i = £ £i,i (i = 2,...,k). (17)

ll

Допустим, что существует ненулевой вектор d, удовлетворяющий условиям (14) и (15). Но тогда s1 > s и найдется l, для которого ß1,i = 0. Отсюда следует, что

Eß1,i£i,s+i G (Л1 п — пЛк) \Л.

i

Обратно, пусть £ G (Л1 П • • • П Лк) \ Л. Тогда

£ = £ Yi£n + £ ß1,i£1,s+i = £ Yj,i£n + £ ßj,i£j,i (j = 2,...,k).

i<s i i<s i>s

Полагая

j = Yj,i - Yi (j = 2,...,k; i = l,...,s), получаем ненулевой вектор d, для которого выполняются равенства (14)-(17).

Замечание. Если G имеет вырожденную алгебру инвариантов, то найдется ненулевой вектор d, удовлетворяющий следующему условию: каждый инвариант группы G сохраняется любым отражением в направлении d. Если это условие выполнено, то из доказательства теоремы 2 следует, что d £ {bi,j : i > l; j > l) и поэтому d сохраняется каждым отражением, принадлежащим M; значит, d - G-инвариантный вектор. Но если R - отражение в направлении d, то R(d) = —d, и R £ G.

Отметим также, что множество всех отражений в направлении фиксированного вектора не может быть подмножеством объединения каких-либо поэлементно коммутирующих квадратичных множеств отражений.

Для каждого i < k пусть pi : Ai ^ Лi - линейный изоморфизм, сопоставляющий каждому вектору, принадлежащему Ai, линейную форму, ^-сопряженную этому вектору,

Л = П Лj;

j = i

если п £ Л, £ £ Л^ £(p-i(£)) = 0 (т.е. если Mi содержит отражение относительно гиперплоскости ker(£)), и

Vi(£,n)= Р-\£) + Е Р-1(п), (18)

j = i

то (£ — n)(vi(£,n)) = £(P-i(£)) =0 и поэтому определено отражение Т,,[£,п] относительно гиперплоскости ker(£ — п) в направлении вектора Vi(£,n). Положим

Mi = {Ti[£, п] : п £ К, £ £ Л^ £(pt-i(£)) = 0}, M = Mi и ■ ■ ■ и Mk.

Теорема 3. Пусть G имеет невырожденную алгебру полиномиальных инвариантов. Тогда M1,..., Mk - квадратичные множества отражений. При этом {Mi,..., Mk} - семейство основного типа, M - множество всех отражений, сохраняющих каждый инвариант группы G.

Доказательство. 1. Отметим сначала следующее свойство согласованости отображений pi,..., pk:

(V(ai,...,ak) £ ПA¡) ((Еai = 0) ^ (pi(ai) = ••• = Pk(ak))). (19) ii

В самом деле, если (ai,..., ak) £ Ai x ■ ■ ■ x Ak и ai + ■ ■ ■ + ak = 0, то используя разложение векторов ai,..., ak по базисным векторам (1), получаем, что найдутся вещественные Yi,..., Js, для которых

ai = Yi bi,i +-----+ Ys bi,s (i = 2,..., k). (20)

Применяя теперь равенства (12) и

6,Р = МЧр +-----+ (Р = !,...,«), (21)

получаем, что ^1(01) = ■ ■ ■ = Дд(ад).

Обратно, если ^1(а1) = ■ ■ ■ = (ак) = ш, то ш е Л1 П ■ ■ ■ П Лк, и, по теореме 2, найдутся вещественные 71,..., 7^, для которых ш = 71 £1,1 + ■ ■ ■ + 7^ Теперь из (12), (21) и инъективности отображений Д1,..., Дд получаем равенства (20) и равенство —а1 = а2 + ■ ■ ■ + ад.

2. Покажем, что М1,..., Мд - квадратичные множества отражений. Пусть г е {1,..., к},

V : Лг х Л^ ^ V

- линейное отображение, определяемое равенством (18); положим

Аг = ^(Л х лг). Если (£, п) и (£', п') принадлежат Лг х Лг и £ — п = С — п', то

С — £ = п' — п = ш е Лг П Лг = Л,

Ы£',п') = Ы£ + ш, п + ш) = ^"1(£ + п) + Е ^"1(п + ш) =

= ^г_1(£) + Е ^-_1(п) + Е ^-_1(ш) = ^г(£,п),

I

т.к. ^-1(ш) + ••• + ^-1(ш) = 0 в силу (19). Обратно, если ^(£, п) = ^(£', п'), то

дГ1 (£ — £') + Е — V') = о,

и из (19) следует, что £ — £' = V — V', т.е. £ — п = £' — п'. Таким образом,

(V (£, п) е Лг X Лг) (V (£', п') е Лг х Лг) (М£, п) = ^(£', п')) ^ (£ — п = £' — п')).

Отсюда следует, что равенство Дг(^(£,п)) = £ — п однозначно определяет линейный изоморфизм

Дг : АТг ^ Лг + Лг. При этом если (£, п) и (£', п') принадлежат Лг х Лг, то

(£ — п)(дг_1(£') + Е Д-1(п')) = £(Д-г1(£')) =

= £'(Д-г1(£)) = (£' — п')^"1 (£) + Е Дг1(п)).

Значит, для любых а и а', принадлежащих ¡йг(а)(а') = Дг(а')(а). Поэтому плоскость Ai и отображение Дг определяют квадратичное множество отражений, содержащее отражение R относительно гиперплоскости P в направлении d тогда и только тогда, когда P = ker(/Ii(d)) и d € \ P. Это равносильно условию R € Мг. 3. M - множество всех отражений, сохраняющих каждый инвариант группы G. В самом деле, пусть

d = ^ ai,j а„- + ^ bi,i + Е Yq Cq € V, в € V*, ö(d) = Ü, P = ker(0),

i,j i,i q

R - и отражение относительно P в направлении d. Это отражение сохраняет каждый инвариант группы G в том и только том случае, если

(zq )d II в (q = 1,..., m), (hl - hi)d II в (i = 2,...,k),

т.е. если

Yi = ''' = Ym = Ü, (22)

E"i,j xi,j - E ai,j £i,j xi,j + E вг,г £i,i - E ви II в j j i i

(i = 2,...,k). (23)

Из (22) и невырожденности PG следует, что найдется натуральное число т > 1, для которого (hi — hT)d - ненулевая линейная форма.

3.1. Допустим, что R сохраняет все инварианты группы G. Тогда найдется ар,д, не равное Ü; в самом деле, если это не так, то из (23) при i = т следует, что в принадлежит (zi,..., zm), а тогда, в силу (22), в^) = Ü. Если p = 1, то, в силу (23) при i = 2, можно считать, что

в = Е ai,j £i,j xi,j - Е a2,j £2,j x2,j + E ei,i £i, s+i - E в2,1 j j i i

Отсюда и из (23) при i > 2 получаем:

и в = £ — п, где

= 0 (г = 2,..., к; j = 1,..., тг),

£ = Е + Е £М+ь (24)

I

П = Евг,г£г,г (г = 2,..., к). (25)

I

Значит, £ е Л1, п € Л1, Д = 1\[£, п] € Мь

Если же р > 1, то, в силу (23) при г = р, можно считать, что

0 = Е - Е ^ ^ + Е £р,1 - Е в1,1 £1,.

Отсюда и из (23) при г = р получаем:

агз = 0 (г = 1,..., к; г = р; ] = 1,..., тг),

и в = £ — п, где

£ = £ аР,з £р,З хР,З + £ вР1 £Р,1 , (26)

з I

П = £ вц £г,8+1 = £ вг,1 £т,1 (г = 2,...,к; г = р). (27)

I I

Значит, £ е Лр, п е Л'р и К = Тр[£, п] е Мр.

3.2. Покажем, что если К е М, то К сохраняет все инварианты группы С.

Пусть р е{1,...,к}, К е Мр, £' е Лр, п' е лр, Р = кег(£' — п'), = ^р(£', п'). Если р = 1, то £' = £ + £о, где £о е Л, а £ удовлетворяет равенству (24); поэтому полагая п = п'—£о, получаем: п принадлежит Л1 и поэтому удовлетворяет равенствам (25).

Если же р > 1, то п' = п + по, где п е {£1, : I > 1), п0 е Л. Следовательно, п принадлежит Лр и поэтому удовлетворяет равенствам (27). Полагая £ = £' — по, имеем: £ принадлежит Лр и поэтому удовлетворяет равенствам (26).

Таким образом, для любого р > 1 получаем: £' — п' = £ — п. Поэтому d = кР(£, п). Но при р = 1 из (24) и (25), а при р > 1 из (26) и (27) следует, что

М£,п) = £ аР,з аР,з + £ ЬЦ. з г,1

Отсюда (г1)'а = ••• = (гт)'а = 0. При этом если р = 1, то из (24) и (25) имеем:

(¡11 — ^ = ••• = (}ц — Нк )>л = 2(£ — п),

а если р > 1, то из (26) и (27) следует, что

(¡1 — Нр)'л = 2(£ — п), (¡1 — Нг)'а = 0 (г = 2,..., к; г = р). Значит, К сохраняет все инварианты группы С.

4. Проверим, что ]11,..., рк удовлетворяют условию согласованности, аналогичному условию (19) согласованности отображений р1,..., рк. Пусть

£г е Лг, пг е Л[, Уг = щ(£г, пг), ¡г = £г + £ пз (г = 1,..., к).

з=г

Тогда

£ Уг = £ р-\£г) + ££ р—1 (пг) = г г г з=г

= £ р-гЧ£г) + ££ р-1 (пз ) = £ Р-Чшг).

г г з=г г

В силу (19), vi + ■ ■ ■ + Vk = 0 тогда и только тогда, когда = ■ ■ ■ = Wk. Но для любых i и j

W = Wj ^^ & + nj = к + ni ^^ - ni = - nj ^^ pi (vi) = pj (vj). Поэтому

Vi +-----+ Vk = 0 ^^ Pi(vi) = ■ ■ ■ = Pk(Vk). (28)

5. Каждое собственное подмножество множества {Ai,..., Ak} независимо. В самом деле, пусть (v]^,..., Vk) £ Ai х ■ ■ ■ х Ak, v1 + ■ ■ ■ + Vk = 0 и при этом найдется i, для которого Vi, = 0. Тогда р(vi) = 0 и из (28) следует, что p1(v1) = ■ ■ ■ = pk(vk) = 0. Значит, v1 = ■ ■ ■ = Vk = 0. Теорема доказана.

Следствие. M1 U ■ ■ ■ U Mk - множество всех отражений, сохраняюших каждый инвариант группы G, тогда и только тогда, когда Л] = ■ ■ ■ = Л^ = Л.

Выводы

В работе продолжено исследование строения бесконечной группы G, порожденной объединением квадратичных множеств отражений. Построены базисные рациональные инварианты группы G в том случае, когда каждое собственное подмножество множества всех линейных оболочек G-орбит направлений симметрии отражений, принадлежащих группе, образует прямую сумму. Получены условия, при которых такая группа действует на нецилиндрических алгебраических гиперповерхностях, а множество всех отражений, сохраняющих каждый полиномиальный инвариант группы G, совпадает с порождающим ее объединением квадратичных множеств отражений.

Список литературы

[1] Криворучко А.И. О строении множества орбит отражений бесконечной группы, порожденной отражениями // Таврический вестник информатики и математики. - 2003. - № 1. - С. 78-92.

[2] Zalesskii A.E. The fixed algebra of a group generated by reflections is not always free // Arch. Math. - 1983. - V.41, № 5. - P. 434-437.

[3] Велесько А.Е. Существование групп, порожденных отражениями, с бесконечно порожденными кольцами инвариантов // Докл. АН БССР. - 1985. - Т.30, № 2. - С. 105-107.

[4] Криворучко А.И.О двойном отношении четверки линейных оболочек орбит направлений симметрии бесконечной группы, порожденной отражениями // Ученые записки ТНУ. Сер. "Математика". - 2001.- Т.14, № 1. - С. 60-64.

[5] Криворучко А.И.О бесконечных группах отражений с двумя линейными оболочками орбит направлений симметрии// Ученые записки ТНУ. Сер. "Матем. Мех. Информ. и киберн.". - 2009. - Т.22, № 1. - С. 78-85.

[6] Игнатенко В.Ф. Диаметральная теория алгебраических поверхностей и геометрическая теория инвариантов групп, порожденных отражениями. III // Укр. математ. журн. - 1998. - Т. 50, № 10. - С. 1324-1340.

Про деяк нескшченш групи вщдзеркалень

Нехай G е нескгнченна група вгддзеркалень, кожна власна пгдмножи-на множини всгх лгнгйних оболонок G-орбгт напрямкгв симетргй яког незалежна. Обчислюються базиснг гнварганти групи G. Отриманг умови невиродженостг алгебри гнваргантгв цгег групи, а також умови повноти групи G.

Ключов1 слова: вщдзеркалення, група, орб1та, швар1ант.

On some infinite reflection groups

Let G be an ги;р,тЬе reflection group and each proper subset of the set of all Unear spans of G-orMts of symmetry dгrectгons гз гndependent. In the paper all basгc гnvarгants of G are calculated and the condгtгons of completeness of G are obtaгned.

Keywords: reflection, group, orbit, invariant.