Об одном итерационном методе для смешанных схем конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 153, кн. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 519.68

ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ ДЛЯ СМЕШАННЫХ СХЕМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А.П. Гогип, М.М. Карчевский

Аннотация

Предлагается итерационный метод с седловым предобуславливателем для решения системы нелинейных уравнений, возникающей при аппроксимации квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка при помощи смешанной схемы конечных элементов типа Равьяра Тома. Указываются способы выбора итерационного параметра, обеспечивающие сходимость метода. Приводятся результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка, смешанный метод конечных элементов, итерационный метод, седловая матрица, исследование сходимости.

Введение

Настоящая работа посвящена построению и исследованию итерационного метода численной реализации смешанной схемы конечных элементов типа Равьяра Тома для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида. Реализация предлагаемого метода сводится к решению на каждом шаге системы линейных уравнений с седловой матрицей. Показано, что при выполнении условий сильной монотонности и липшиц-непрерывности для оператора исходной задачи метод сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Аналогичный, но двухступенчатый, итерационный метод для более общих эллиптических уравнений изучался в [1]. Предлагаемый в настоящей работе метод решения системы проще в реализации и. как показывают численные эксперименты, сходится существенно быстрее.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида

— а(х, Ум) = f (ж), ж £ П, (1)

м(х)=0, х £ дП. (2)

П С Д2 - ограниченная многоугольная область, Г - граница области П. Здесь а(х, £) = (в1(х, £), а2(ж, £)), £ £ Д2 для всех ж £ П.

Предполагаются выполненными условия

(а(х,£) — а(х,п)) ■ (£ — п) > со|£ — п|2 п £ Д2, ж £ П, (3)

|а<(х,£) — а<(х,п)|< С11£ — п| Vп £ Д2, ж £ П, г = 1, 2, (4)

со, С1 — положительные постоянные.

Хорошо известно, что при выполнении этих условий задача (1). (2) имеет единственное обобщенное решение из пространства Соболева Яд(П).

2. Смешанная схема конечных элементов

Через Тн будем обозначать регулярную (см., например, [3]) триангуляцию области о£ 0. Пусть далее

ЕТк(К) = (Рк(К))2 © хРк(К), х = (хь Х2).

есть пространство Равьяра-Тома (см. [4]). Поясним, что каждый элемент V из ЕТк(К) - вектор-функция вида

Р1 +РзХ1 Р2 + Рэх^ '

где рг £ Рк (К), г = 1, 2, 3, Рк(К) - пространство полиномов степени не выше к по совокупности переменных.

Определим, следуя [4], конечноэлементные пространства

N = {дн £ Н2; д\К £ ЯТк(К) VК £ Тн} ,

Мн = {Vн £ ¿2(0); vh\K £ Рк(К) VК £Тн} , (5)

Хн = Мн х Ян.

Здесь (см., например, [5])

Н2 = Я2(ё1у, 0) = {3 £ (¿2(0))2 | 3 £ ¿2(0)} .

Отметим, что принадлежность дн пространству Н2 обеспечивает непрерывность нормальных компонент вектор-функции дн при переходе через общую границу двух любых соседних элементов триангуляции Тн ■

Под приближенным решением задачи (1), (2) будем понимать пару функций (ин,3н) £ Хн таких, что

¿х = J /(х^н(х) ¿х, (6)

п п

! а-1(х, 3н) ■ дн ¿х + ^ ин div дн ¿х = 0 V(vh,дh) £ Хн. (7)

пп

Здесь а-1(х, ■) : К2 ^ Д2 - функция, обратная к а(х, ■) : К2 ^ К2 , существование функции а-1 очевидным образом следует из условий (3), (4). Отметим также, что для функции а-1(х, ■) выполнены неравенства

(а-1(х,£) - а-1(х, п)) ■ (С - п) > сэ|С - п|2 VС, п £ К2, х £ 0, (8)

|а-1(х,£) - а-1(х,п)|< С4|С - п1 VС, п £ К2, х £ 0, г = 1, 2. (9)

сз, С4 — положительные постоянные.

Исследование разрешимости дискретной задачи (6), (7) и оценки точности приближенного решения выполнены в работе [2]. В частности, в [2] показано, что если и, обобщенное решение задачи (1), (2), таково, что Уи, divУи £ Н 1(0), то Уи - ин||ь2(п) + 113 - 3н||ь2(п) + || div(j - з'н)||ь2(п) < сН, где с - положительная постоянная, не зависящая от параметра триангуляции Н.

V!

V2

V =

ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ.

7

3. Итерационный метод. Исследование сходимости

Для построения и исследования итерационного метода решения задачи (6). (7) удобно ввести в рассмотрение конечномерный нелинейный оператор , квадратную матрицу М^, прямоугольную матрицу С^ и вектор /, определяемые следу-

ющими соотношениями1:

•qh =/a"1(xjh) •qh dx Vjh,qh G Q

Bj • = / jh • dx VjhG Q

ChVh • qh = J Vh div qh dx Vvh G Mh, qh G N„

Q

fh •Vh = / Ы dx VVh G Mh-

Q

Задача (6). (7) может быть теперь записана в виде

Lh c\\fjh А = f 0 А

-ct о j uj = ы •

(Ю)

Отметим используемые в дальнейшем свойства матриц Вh, Ch и оператора Lh. Матрица Bh, очевидно, симметрична и положительно определена. Пусть (jh,qh)Bh = Bhjh • qh _ энергетическое скалярное произведение, соответствующее матрице Bh. Как известно (см. [6, 7]), для любого p > 1

У Vh div qh dx

sup —-- >c\\vh\\bp(n) VvheMh, с = const > 0. (11)

qh eNh II qh H Lp(Q)

Поэтому

sup C,!>lh,, 4h >c||^||b,(n) Vvh G Mh, с = const > 0, (12)

qh£Nh ||qhyBh

следовательно, симметричная матрица Dh = CTВ—1Ch положительно определена. Из неравенств (8), (9), очевидно, вытекает, что

(Lh(jh) - Lh(qh)) • (jh - qh) > c5 ||jh - qhHBh> (13)

|Lh(jh) - Lh(qh)|B-i < С6 ||jh - qhbh (14)

h

для любых jh,qh из Nh, то есть оператор Lh сильно монотонен и липшиц-

Bh

Для решения системы нелинейных уравнений (10) используем итерационный процесс

(т-1В ChV-j 1 + ( L* ад\ = (0i, k=о,i,..., (18) v-cr о) I.»h+1 - «и V-chr о) W W

j0, «h заданы, т > 0 - итерационный параметр.

хКак обычно, мы используем одинаковые обозначения для функций из пространств Mh, Nh и векторов их узловых параметров.

Каждый шаг итерационного метода (15) сводится к решению системы линейных уравнений с матрицей

в»=С-СВГ' <"»

Вследствие невырожденности матрицы Пь матрица Вь — седловая невырожденная матрица. Для решения систем с такими матрицами хорошо известны эффективные прямые и итерационные методы (см.. например. [8 12]).

Сформулируем и докажем общую теорему о сходимости итерационных процессов вида (15). Из этой теоремы, в частности, следует сходимость изучаемого в настоящей работе итерационного метода.

Теорема 1. Пусть матрицы Бь, = СТ Б-1Сь положительно определены, оператор Ьь удовлетворяет условиям (13), (14),

О < т < 2сб/4 (17)

Тогда итерационный процесс (15) сходится при любом начальном приближении 31 иЬ ■

Доказательство. Пусть г^ и = иЬ — иь, г^ ^ = зк — - погрешность на к-м шаге итерационного процесса (15). Из (10), (15) непосредственно следует, что для любого к > О

Б^1 = Блг* ^ — т (Ьь(зк) — Ьн(3н)) — тСь г^1, (18)

СТ гк^1 =0. (19)

Умножим обе части (18) скалярно на г^1. Используя (19), получим, что

Бьг^1 • = (Блг* ^ — т(Ь3 — Ьь(зь))) • гк++1, (20)

откуда, очевидно, вытекает неравенство

Иг^к < ||Блгк,д- — т(Ь3 — Ьь(зь. (21)

Вследствие условий (13), (14)

||Б^. — т(Ьь(зк) — Ьь(зь))|в-1 < д(т)||г^., (22)

где д(т) = (1 — 2тс5 + т2с6)1/2 (см. теоремы 3 [13, с. 106], а также [14, гл. 13, § 1]). Таким образом,

Нгк+Чк < 9(т)||г^-||в„, к = 0,1... (23)

Далее, из (18) с учетом того, что уравнение (19) выполнено при всех к = 0,1,... , получаем, что

гТ-а-1п. ^+1 _ пТп

ь

следовательно,

СТБ-1Сьгк+и1 • гк+и1 = — Б-1^) — Ьь(зь)) • С^1, поэтому (см. (14))

||гк+и1К < ||Ьь(3к) — Ьь(зь < С1 1|гк,^||в„ к = 0,1,... (24)

Очевидно, что 0 < д(т) < 1 при выполнении условия (17). Вместе с оценками (23),

(24) это обеспечивает сходимость последовательностей ||гк^. ||в н, ||гки|д,1 к нулю.

□

СТ Б-1Сьгк+и1 = —СТ Б-1(Ьь(зк) — Ьь(зь)),

ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ.

9

-3

-2

-1

-1

-2

-35

2

3

4

5

6

7

8

9

Рис. 1. Погрешность итерационного метода

Замечание. Если дополнительно к условиям теоремы 1 предположить, что оператор Ьь дифференцируем по Гато и его производная симметрична (применительно к задаче (1), (2) это требование означает, что функция а(х, £) дифференцируема по второму аргументу), то оценка (22). а следовательно, и оценка скорости сходимости итерационного метода (15) могут быть улучшены (подробнее см. [13.

В качестве иллюстрации приведем результаты решения задачи (1). (2) при а(х, £) = ((1 + |£|2)/(1 + 2|£|2))£. Данная функция удовлетворяет условиям (3), (4). Поэтому задача (6), (7) при любой правой части / имеет единственное решение. В расчетах полагалось f = 0. Ясно, что в этом случае точное решение задачи (6), (7) есть пь = 0, зь, = 0. Область П - единичный квадрат. Начальное приближение выбиралось случайным образом. Параметр т определялся из условия минимума функции д(т). Линейная система алгебраических уравнений с матрицей (16) на каждом шаге итерационного процесса решалась стандартным методом треугольной факторизации с выбором главных элементов. Учитывалась разреженность матрицы (16). Итерации продолжались до выполнения условия Н*нН < еЦзЬИ- Здесь 11*^11 = Н^Л^ + Н^^Цб^, £ = 10-5. На рис. 1 по оси абсцисс - помер итерации, по оси ординат - МЦ^Ц/Ц*0!), п ~ количество разбиений стороны квадрата П при построении триангуляции, состоящей из равнобедренных прямоугольных треугольников. Видно, что скорость сходимости метода практически не зависит от параметра триангуляции (числа узлов конечноэлементной сетки).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 09-01-00814. 11-01-00667).

A.P. Gogin, M.M. Karchevsky. An Iterative Method for Mixed Finite Element Schemes. This article proposes and investigates an iterative method with a saddle preconditioner for solving a system of nonlinear equations that arises in the approximation of a quasilinear second-order elliptic equation with a mixed scheme of finite elements of Raviart. Thomas type. The ways of choosing iteration parameters to ensure convergence of the method are indicated. The results of numerical experiments are presented.

Key words: second-order quasilinear elliptic equation, mixed finite element method, iterative method, saddle matrix, convergence investigation.

c. 107]).

Summary

Литература

1. Karchevsky М.М., Fedutuv А.Е. Error estimates and iterative procedure for mixed finite element, solution of second-order quasi-linear elliptic problems // Comput. Motli. Appl. Math. 2004. V. 4, No 4. P. 445 463.

2. Карневсклш M.M., Федотов А.Е. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений // Исслед. по прикл. матом, и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 74 80.

3. Сья'рле. Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980. 512 с.

4. Brezzi F., Fortin М. Mixed and Hybrid Finite Element. Methods. N. Y.: Springer-Verlag, 1991. 362 p.

5. Temam R. Navier St.okes Equation. Theory and Numerical Analysis. Amsterdam: N. Y.: Oxford: North-Holland Publ. Сотр., 1979. 504 p.

6. Farhluul M. A mixed finite element, method for a nonlinear Diriclilet. problem // IMA. J. Num. Anal. 1998. V. 18, No 1. P. 121 132.

7. Farhloul M., Manouzi H. On a mixed finite element method for the p-Laplacian // Can. Appl. Math. Quart.. 2000. V. 8, No 1. P. 67 78.

8. Масловская JI.B. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, Л» 1. С. 67 74.

9. Масловская JI.B. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, Л' 3. С. 339 347.

10. Икрамов Х.Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, Л' 7. С. 1126 1130.

11. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. 272 с.

12. Бынспков Ю.В., Чи-жопков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М: Вином. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.

13. Карчсвский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. 156 с.

14. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 591 с.

Поступила в редакцию 20.10.11

Гогин Алексей Павлович аспирант кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: Mikhail.KarchevskyQksu.ru