ОБ ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 5.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-359-364

Об одном функциональном уравнении1

М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский

Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, Геофизический центр РАН (г. Москва). e-mail: [email protected]

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected], [email protected]

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected]

Аннотация

В работе изучается гиперболическая дзета-функция двумерной решётки приближений Дирихле. Найдено функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального fi, которое задаёт аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме точки а = 1, в которой полюс первого порядка.

Найденное функциональное уравнение позволяет ставить вопрос о непрерывности для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального fi.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция Гурвица.

Библиография: 6 названий.

Для цитирования:

М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский Об одном функциональном уравнении // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 5, С. 359-364.

1 Работа подготовлена по гранту РФФИ № 19-41-710004_р_а.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 5.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-359-364

About one functional equation

M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii

Dobrovol'skii Mikhail Nikolaevich — candidate of candidate of physical and mathematical sciences, Geophysical centre of RAS (Moscow). e-mail: [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State University (Tula). e-mail: [email protected], [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected]

Abstract

The hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations is studied. A functional equation is found for the hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations in the case of rational ¡3, which sets an analytical continuation on the entire complex plane, except for the point a = 1, in which the pole is of the first order.

The found functional equation allows us to raise the question of continuity for the hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations in the case of rational fi.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, Hurwitz zeta function.

Bibliography: 6 titles.

For citation:

M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "About one functional equation" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 359-364.

1. Введение

В работах [2] - [4] была решена проблема аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки. В работе [6] эта проблема нашла своё решение для случая гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки.

Уже случай двумерной решётки приближений Дирихле в случае иррационального fi не является декартовой решёткой.

Цель настоящей работы — найти удобное функциональное уравнение для двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального fi.

2. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле

Пусть у нас задано вещественное число fi > 0. Рассмотрим решетку Дирихле диофантовых приближений Л(Р), заданную равенством

Л(р) = {(q,qp - p))\q,p е Z}

с базисом Л1 = (1,/3), Л2 = (0, -1).

Если /3 — рациональное число, то решётка Л(/3) — декартова решётка, в противном случае она не является декартовой решёткой. В любом случае она является унимодулярной решёткой. Гиперболическая дзета-функция решётки Л(/3) задается равенством

ся(оди = Е щЬ^, а =+й, а> 1

(д,р) = (0,0) (ддР - р)

где х = тах(1, |ж|) для любого вещественного х.

Сначала рассмотрим случай рационального /3 = (а,Ь) = 1, Ь ^ 1. Найдём выражение гиперболической дзета-функции (я (Л (| а) решётки Л (через периодизированную дзета-функцию Гурвица (*(а,и)), которая в правой полуплоскости задается равенством

те

п-а, при {и)} = 0,

С*(а,ги)= ^ (п + ™Га = 4 П= ,а = + И,(г> 1.

п+т>0 | £ (П + {и)})-а, При {и)} > 0

п=0

Лемма 1. Справедливо равенство

Ся ( Л (I )|а)

(С * („*) + С • („1 - f) +2 -

2С (а)(1 + 20а» + ^ С * {а, I) + С * {а,1 - Ю

+ ^ Ъа

fc=i

ак\ 1 1 \

ь) {иг а - mrj

Доказательство. Действительно, сделаем замену переменных суммирования q = bn + к, к = 0,1,... ,Ь - 1, р = an + [О1] - т, получим

те / 1 1 \ те 1

ся (л(£) «) = Е {-щ; + рщО Е

п=1 411 1 17 т=—те

а

т=—оо

^ 1 ^ f у - 1 = ^^^^

+ ^ I \Ьп + к\а I -1 +

k=1 \п=—те 1 1 / \т=—а

1 \ = 2С(а)(1 + 2 ((а))

\bn + №М ^ т + г ok\а I Ъ°

1=1 \п=—те ' 1 / \т=—те т + \ ^ / /

I'

_Ъ/

I=i

+

— 1 С* (а, f) + С* (а, 1 - I)

(С (а,£) + С (а,1 - f) +2 „

ь)- {f}a (1 -{f]y

и лемма полностью доказана. □

Для получения аналитического продолжения потребуется продолжение периодизирован-ной дзета-функции Гурвица на всю комплексную плоскость (см. [5] ).

С>;Ь) =

' Е (п+ь)-

0 <п+b

11 , - + — - ЫаЛ 1),

= <

1

1

1

----h

{b}a 2 а — 1

+ (1 — W) (V—h (а; 1 -{b}, {Ь})

2(2тт)0-1Г(1-а)[ вт —

(ка ^ cos2irnb ж а ^ sin 2кпЬ\

sin — > —z--heos — >

2 L^t n1—a 2

п= 1

1—a

п=1

где Г(ж) — гамма функция и

а > 1,

(Ь}=0, а> — 1

{Ь}=0,

а> — 1

а < 0,

т , а(а + 1) [ {х}2 — {х} ,

I 2(а; q, 0) = -Ц;—- / { } , {2 } dx, q> 0, 0 <0 < 1.

2

(х + 0)2

(1)

В работе [5] показано, что для а = а + И, а < 0 справедливо равенство

С*( а; w) + С*(а; 1 — w) = 2М (а) (**(1 — а; w),

где М (а) = Щ1—a) sin ^f - множитель Римана,

i* ^ eos 2кп b

( (а; Ъ) = ^ —, (а> 1).

п=1

na

(2)

— дзета-функция Гурвица второго рода.

Кроме этого нам потребуется функциональное уравнение для дзета-функции Римана: (( а) = М (а)((1 -а).

Учитывая всё выше изложенное, получаем новое функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовой решётки Л (

а < 0

с- (л (f)

а =

2М(а)((1 — а)(1 + 2М(а)((1 — а)) ^ 2М(а)(** (1 — а; £)

+

к= 1

^2М(а)Г* (1 — а,^ +2 —

ЬГ- ma (1 — {а_к})а

Доказательство. Действительно, по лемме 1 имеем:

2С(а)(1 + 2С(а))

ъ— 1 a* к

a

+

к= 1

С (а, I) + С* (а. 1 — к)

^ ( A ( f )Н

(с* {а,т) + — т) + 2 — {# — (Г—^,

Подставляя сюда функциональное уравнение для дзета-функции Римана и периодизирован-ной дзета-функции Гурвица, получим:

. ( /ач ч 2М (а)((1 -а)(1 + 2М (а)((1 -а)) + ^ 2М (а) (** (1 -а; к)

Ся ^ =-¥-+ ^-¥--

к= 1

a

•(Ш(а)Г (l -a,ki) + 2 - ^ - )

и теорема полностью доказана. □

3. Заключение

Найденное функциональное уравнение позволяет ставить вопрос о непрерывности для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального ft в левой полуплоскости. Изучение этого вопроса будет темой следующих статей по этой теме.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л.П.Добровольская, М.Н.Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.

2. Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // Чебышевский сборник 2006. Т. 3, вып. 2(4). С. 43-59.

3. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // ДАН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302-304.

4. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18-23.

5. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб., 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72-105.

6. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv М. N., Dobrovol'skii N. \!.. Dobrovolskv N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices // Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0^2.

REFERENCES

1. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, "The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients", Chebvshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4-107.

2. Dobrovol'skii, M. N. 2006, "Dirichlet series with periodic coefficients and a functional equation for hyperbolic dzeta-function of integer lattices", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 43-59.

3. Dobrovol'skii, M. N. 2007, "Functional equation for hyperbolic dzeta-function of integer lattices", Dokladv akademii nauk, vol. 412, no. 3, pp. 302-304.

4. Dobrovol'skii, M. N. 2007, "Functional equation for hyperbolic dzeta-function of integer lattices", Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriva 1: Matematika. Mekhanika, no. 3, pp. 18-23.

5. Dobrovol'skii, N. М., Dobrovol'skii, N. N., Sobolev, D.K., Soboleva, V.N., Dobrovol'skava, L. P. k, Bocharova, О. E. 2016, "On the hyperbolic Hurwitz Zeta function ", Chebvshevskij sbornik, vol. 17, no. 3, pp. 72-105.ский, В. H. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб., 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72-105.

6. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, М. N., Dobrovol'skii, N. М. к, Dobrovol'skii, N. N. 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices", Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23-62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0^2.

Получено 19.06.2021 г. Принято в печать 21.12.2021 г.