CC BY
9случаю a € (1, b), а рис. 4 — случаю a € [—b, -1]. Знаком "плюс" отмечены ветви устойчивых движений, а знаком "минус" неустойчивых.
Случай l = 0 соответствует рис. 1 (при этом p = (л+д,-с,)тй,' ж* = nPaMbie на диаграммах Смей-ла определяются соотношениями q = f (±1), а кривые — соотношением q = f (жо) и отвечают соответственно равномерным вращениям и прецессионным движениям системы.
Совокупность прямых и кривых на диаграммах Смейла разбивает плоскость (p; q) на области, различающиеся топологическим типом областей возможности движения в конфигурационном пространстве системы: ниже всех прямых и кривых область возможности движения — пустое множество (0), выше всех прямых — трехмерный тор (T3), между прямы- Рис. 5
ми — прямое произведение отрезка на двумерный тор (D1 х T2), а между кривой и одной-двумя прямыми — прямое произведение двух отрезков на двумерный тор (2D1 х T2).
В заключение рассмотрим плоскость постоянных циклических интегралов (l; k) (рис. 5). Прямыми k = ±l и k = ±bl эта плоскость разбивается на области, соответствующие рис. 1-4 (помечены цифрами 1~4), а гиперболами
{к + 1){к + Ы) = т, (к — l)(bl — к) = г, (г = "g*) (5)
на области, в которых существуют (не заштрихованы) или не существуют (заштрихованы) прецессионные движения (ср. с [2|).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир. 1974.
2. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: Наука. 1986.
3. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС. 1998.
Поступила в редакцию 15.08.2018
УДК 62-531, 52-34
ОБ ОДНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ОРБИТ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
В. А. Прошкин1
В работе показано, что большие полуоси орбит соседних планет и орбит крупных спутников некоторых планет Солнечной системы близки к радиусам орбит в оптимальных решениях задачи об одноимпульсном перелете в планетной системе с круговой орбиты на бесконечность с гравитационным маневром.
Ключевые слова: планетная система, параметры орбит, импульсный перелет, гравитационный маневр.
In this paper it is shown that the semi-major axes of the orbits of neighboring planets and of the orbits of large satellites of some planets in the Solar system are close to the orbit radii in optimal solutions of the problem of single-pulse transfer in a planetary system from a circular orbit to infinity with a gravitational maneuver.
Key words: planetary system, orbital parameters, pnlse transfer, gravitational maneuver.
1 Прошкин Владимир Александрович канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. теоретической механики и мехатропикп
мех.-мат. ф-та МГУ. е-шаП: prosclikinOmail.ru.
1. Введение. Задача космодинамики об одноимпульсном перелете в планетной системе с круговой орбиты на бесконечность с гравитационным маневром — несложный пример использования метода сфер действия для приближенного построения орбит в планетных системах. Предметом публикации является не сама эта задача, а близость радиусов орбит в ее оптимальных решениях к размерам больших полуосей орбит соседних планет в Солнечной системе и в системах спутников Юпитера, Урана и отчасти Сатурна.
В настоящее время нет какой-нибудь общепризнанной теории, объясняющей распределение планет по орбитам. Есть наблюдения. Одно из первых таких наблюдений — это сформулированное в XVIII в. правило Тициуса-Боде [1]: большие полуоси почти всех планет Солнечной системы, выраженные в астрономических единицах, образуют сдвинутую геометрическую прогрессию:
а1 =0.4, а* = а1 +0.3 ■ 2^-2, г ^ 2.
В это правило не вписывается только Нептун. Позже предлагались и другие варианты подобных правил для систем спутников больших планет и планетных систем вообще (обзор можно найти, например, в [2]). Однако эти правила к динамике никакого отношения не имеют. Фундаментальное наблюдение, связанное с резонансностью орбит планет, наоборот имеет глубокую динамическую природу и подтверждает известную гипотезу [3] о резонансности достаточно долго эволюционирующих механических систем. Но почему эволюция привела планеты именно на те орбиты, которые они занимают сейчас, неизвестно. Для специалистов могут представлять интерес другие наблюдения, особенно имеющие связь с динамикой. Одно из них представлено в настоящей работе. Использованная задача напрямую тоже не относится к процессу формирования планетных систем, но некоторая ее интерпретация в терминах небесной механики все-таки возможна. Она приведена в заключении.
2. Задача о перелете. Под планетной системой будем понимать систему материальных точек, одна из которых (Солнце) имеет массу, много большую, чем все остальные (планеты). Точку, движение которой нас интересует, будем называть космическим аппаратом (КА). Его массу считаем микроскопической по сравнению с массами планет и влиянием КА на движение планет пренебрегаем. Дополнительно считаем, что К А и все планеты движутся в одной плоскости, причем планеты — по известным кеплеровским окружностям вокруг Солнца. Полученная задача о движении К А довольно сложная и решается в основном численно. Доступная для аналитического анализа, но достаточно близкая задача получается в результате дальнейших ограничений. Главное из них использовал еще П.-С. Лаплас, выделивший в окрестности каждой планеты область, внутри которой можно пренебречь влиянием Солнца и других планет на относительное движение К А, а вне — влиянием самой планеты на движение КА относительно Солнца. Ее граница оказалась близкой к сфере и в литературе получила название сферы действия [4]. Полная траектория в этом методе образуется склеиванием траекторий задач Кеплера вне и внутри сферы действия. Однако достаточно эффективной для приближенного построения траекторий оказалась еще более простая модель. Она основана на том, что отношение радиуса сферы действия к расстоянию от планеты до Солнца стремится к нулю одновременно с отношением массы планеты к массе Солнца. В этой модели радиус сферы действия принимается равным нулю, а влияние планеты на К А сводится к мгновенному скачку скорости его движения относительно Солнца. Этот скачок происходит при попадании КА в планету и рассчитывается в соответствии со свойствами траекторий внутренней задачи Кеплера, в частности модули относительных скоростей входа КА в сферу действия и выхода из нее одинаковы. Угол между этими векторами зависит от типа внутренней траектории и от размеров планеты, но в самой простой модели он может быть выбран любым. Обоснование всех этих допущений можно найти, например, в работе [5] или в книге [6] одного из основоположников динамики космического полета в планетных системах В.А. Егорова. Использование гравитационных полей планет при перелетах в планетной системе называют гравитационными маневрами. Будем считать, что управление движением КА осуществляется с помощью "двигателя большой тяги", т.е. двигателя, способного создать в любой точке траектории для КА ускорение, много большее гравитационного. Такое управление обычно аппроксимируется импульсным, оно приводит к мгновенному изменению вектора скорости КА (импульсу скорости), а соответствующие затраты горючего измеряются модулем этого импульса [7].
Рассмотрим задачу об оптимальном (с наименьшими затратами горючего) одноимпульсном перелете КА с круговой орбиты вокруг Солнца за пределы планетной системы (на бесконечность) с гравитационным маневром вблизи некоторой планеты в рамках описанной модели. И найдем наилучшую планету для такого перелета. Считаем, что импульс скорости добавляется только в некоторой
точке на начальной орбите и что все планеты и КА на начальной орбите вращаются вокруг Солнца в одну сторону.
Единицы измерения выберем так, чтобы радиус начальной орбиты К А и его скорость на ней были равны единице. Обозначим через р угол между вектором скорости \ко на начальной орбите и импульсом скорости ДУ, а терез V модуль ДУ. Выразим через эти параметры квадрат модуля V_ вектора скорости КА относительно планеты, движущейся по орбите радиуса г, в момент попадания в нее К А, предположив, что это произошло. В терминах описанной выше модели перелетов с гравитационным маневром это будет квадрат модуля относительной скорости входа КА в сферу действия планеты. Использовав интегралы энергии и площадей, после несложных вычислений получим
V- = V2 - 2Av - /(г),
где Л = (г3 — 1) сое у, /(г) = 2г3 — Зг2 + 1, г = 1 /г модуль скорости планеты. Отметим, что /(г) ^ 0 при г ^ 0. Выразим отсюда V, имея в виду, что V ^ 0:
v =
А+ \Jx2 + f(z)+v2_.
При фиксированном z — это возрастающая функция А и v_. Так как модуль относительной ско-
v-
это та минимальная добавка к скорости планеты, которая превращает траекторию относительно Солнца в неограниченную, т.е. в параболу Следовательно, minv_ = z(y/2 — 1). При любом фиксированном z очевидно min А = —| z3 — 11. Это значит, что на оптимальном перелете cos р = 1 при z < 1 (r > 1 — разгон), cos р = — 1 при z > 1 (r < 1 — торможение). Итак, получена формула для
1
с гравитационным маневром около планеты с радиусом орбиты r = 1/z2:
3 - 1| + \Jz6 -2sßz2 + 2.
vmin —
Предположение о том, что при такой добавке к скорости на исходной орбите К А действительно достигнет орбиты радиуса г, требует проверки. Для этого сравним ее с той добавкой, которая в самом деле является минимальной и обеспечивает переход на хомановский эллипс [8] эллиптическую траекторию, касающуюся в апсидаль-ных точках обеих круговых орбит; в наших обозначениях это
1
z2 + 1
На рисунке представлены графики зависимостей vmin от г (кривая 1) и vx от г (кривая 2). Там, где vx > vmin (г > г* « 4.73), оп-
тимальным будет vx, так как с меньшей добавкой достичь планеты невозможно, а относительная скорость входа КА в сферу дей-
1 г+ 2 4 г* 6 г
Зависимость оптимального импульса скорости ^^^ — от радиуса орбиты планеты ствия планеты будет не меньше минимально необходимой уже на хомановской траектории. Следовательно, Vopt — тах^тщ
Функция г'ор^?") имеет два локальных минимума: и± = ; ГДС г± = 9± \/81-48л/2 ^ При
этом г+ ~ 1.58, ^ ~ 0.18, г_ ~ 0.67, V- ~ 0.23. Это означает, что из всех возможных планет для оптимального перелета на бесконечность локально наиболее выгодны планеты с радиусами орбит г±, а глобальный минимум достигается при г = г+.
3. Оптимальность соседних орбит в Солнечной системе. Трудно не обратить внимание па то, что радиусы г± довольно близки к большим полуосям Марса и Венеры, выраженным в астрономических единицах. Оказалось, что вообще для планет Солнечной системы и для систем крупных спутников Юпитера, Урана, а также для нижних спутников Сатурна приближенно верно правило: чтобы получить большие полуоси а± соседних планет (спутников) сверху и снизу, следует большую полуось данной планеты (спутника) а умножить на г± соответственно. В табл. 1 в среднем столбце
Таблица1 расположены округленные размеры в астрономических единицах больших полуосей а орбит планет Солнечной системы, в соседних столбцах — соответствующие ат±, а в крайних — относительные разности: Д± = ౕ Числа Д± — это как раз расстояния (со знаком) по оси абсцисс па рисунке от точек т± до больших полуосей ближайших соседей по Солнечной системе той планеты, большая полуось орбиты которой принята за единицу длины (а = 1). В табл. 2 представлена аналогичная информация о системах крупных спутников Юпитера и Урана, только длины в ней даны в тысячах километров.
Использованные данные можно найти, например, на сайте https://ssd.jpl.nasa.gov/ . В табл. 1 включены и большие полуоси карликовых планет. Вместо Плутона можно также использовать очень близкие данные любой из карликовых планет Хаумеа или Макемаке, модули соответствующих Д± при этом даже немного уменьшатся. В табл. 2 использованы параметры только достаточно крупных спутников с диаметрами более 300 км.
В системе Нептуна всего три таких спутника. Два из них обращаются по своим орбитам в одну
д_ аг_ Планета, а аг+ А+
_ 0.26 Меркурий, 0.39 0.62 0.26
-0.125 0.48 Венера, 0.72 1.14 -0.19
0.05 0.67 Земля, 1.00 1.58 -0.06
-0.013 1.02 Марс, 1.52 2.40 0.24
-0.12 1.86 Церера, 2.77 4.38 0.30
-0.14 3.48 Юпитер, 5.20 8.22 0.25
-0.125 6.39 Сатурн, 9.54 15.07 0.43
-0.17 12.86 Уран, 19.19 30.32 -0.01
-0.03 20.15 Нептун, 30.07 47.51 -0.27
0.09 26.45 Плутон, 39.48 62.38 0.13
-0.09 45.34 Эрида, 67.67 106.92 _
сторону, а третий
Тритон, самый крупный, Таблица2
Система Юпитера
Д_ аг_ Спутник, а аг+ А+
_ 282 По, 422 665 0.014
-0.04 450 Европа, 671 1044 0.04
-0.04 717 Ганимед, 1070 1692 0.18
-0.10 1262 Калисто, 1883 2976 _
Система Урана
Д_ аг_ Спутник, а аг+ А+
_ 86.4 Миранда, 129 203.8 -0.1
0.05 128 Ариэль, 191 301 -0.19
0.05 178 Умбриэль, 266 420 0.06
-0.06 292 Титания, 436 689 -0.24
0.08 391 Оберон, 583 921 _
в другую. Сформулированному правилу большие полуоси их орбит не удовлетворяют. Но здесь нарушено одно из условий задачи о перелете: планеты должны вращаться в одну сторону.
В системе Сатурна нижние пять спутников — Мимас, Энцелад, Тефия, Диона, Рея — хорошо вписываются в данное правило, а вот самый крупный, Титан, и большой Япет из него выпадают.
Заметим, что почти все числа т± + Д± попадают в окрестности точек т±, в которых значения -иор, отличаются от локально минимальных не более чем на пять процентов.
4. Заключение. Задаче об оптимальном перелете на бесконечность можно дать следующую интерпретацию в терминах небесной механики. Предположим, что по исходной круговой орбите движется некоторая планета. Рассмотрим частицу, пролетающую сквозь ее сферу действия. При выходе из этой сферы частица приобретает скорость, равную сумме вектора ее относительной скорости выхода и вектора скорости планеты. В задаче о перелете такую скорость получает КА на исходной орбите после добавления импульса скорости, равного относительной скорости выхода частицы. "Пронумеруем" все частицы, которые могут войти в сферу действия данной планеты, модулями их относительных скоростей выхода (и входа, конечно). Тогда чем меньше положительное число х, тем больше будет частиц с относительными скоростями, по модулю большими х, и имеет право па существование следующая интерпретация описанного наблюдения. Две соседние планеты располагаются по отношению к данной планете так, чтобы наибольшее число частиц, пролетающих через ее сферу действия, имело ненулевую вероятность покинуть планетную систему после однократного пролета через сферу действия соседа. Речь можно вести только о вероятности, так как естественные частицы неуправляемы и, в отличие от К А, не могут, например, гарантированно попасть в сферу действия соседней планеты, а также иметь нужное направление относительной скорости выхода из нее.
Следует дополнительно заметить, что найденные экстремальные орбиты обладают и свойством резонансности низкого порядка. Действительно, по третьему закону Кеплера можно найти отношение периодов То, Т± обращения по орбитам с радиусами то = 1, т± соответственно:
Т+ Т0
^» 1.982, -
^ ~ 1-814,
что довольно близко к резонансу 2:1.
Автор приносит глубокую благодарность профессору Е.И. Кугушеву за поддержку этой публикации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ньето М. Закон Тицпуса-Боде. История и теория. М.: Мир, 1976.
2. Bovaird T., Lineweaver С.H. Exoplanet Predictions Based on the Generalised Titius-Bode Relation // arXiv: 1304.3341v4 [astro-ph.EP], 2013.
3. Moltchanov A.M. The resonant structure of the Solar System. The law of planetary distances // Icarus. 1968. 8, N 2. 203-215.
4. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.
5. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Луне // Успехи физ. наук. 1957. 63, вып. 1а. 73-117.
6. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны. М.: Наука, 1965.
7. Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. Г.С. Нариманова, М.К. Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972.
8. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper: Untersuchungen über das Raumfartproblem. München: Verlag von R. Oldenbourg, 1994.
Поступила в редакцию 12.09.2018
