Научная статья на тему 'Об одном альтернативном утверждении относительно исхода дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц в классе "контр"-стратегий'

Об одном альтернативном утверждении относительно исхода дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц в классе "контр"-стратегий Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
31
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
"ЧИСТЫЕ" СТРАТЕГИИ / "КОНТР"-СТРАТЕГИИ / СТАБИЛЬНЫЙ МОСТ / ТЕОРЕМА ОБ АЛЬТЕРНАТИВЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лутманов Сергей Викторович

Рассматривается позиционная дифференциальная игра "наведения-уклонения" нескольких лиц. Игра формализована в классе "контр"-стратегий. В предположении, что целевые множества игроков попарно не пересекаются, доказывается альтернативное утверждение относительно исходов игры. Смысл утверждения состоит в следующем. Для каждой начальной позиции либо существует единственный игрок, разрешающий задачу наведения на свое целевое множество в классе "контр"-стратегий ("чистых" стратегий), либо найдется такой способ управления всех игроков в классе "чистых" стратегий ("контр"-стратегий), что ни один из игроков-"уклонистов" не сможет привести фазовый вектор игры на свое целевое множество при условии, что остальные игроки придерживаются указанного способа управления. Данная статья является непосредственным продолжением работы [3].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об одном альтернативном утверждении относительно исхода дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц в классе "контр"-стратегий»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)

МЕХАНИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.6

Об одном альтернативном утверждении относительно исхода дифференциальной игры "наведения-уклонения” нескольких лиц в классе "контр"-стратегий

С. В. Лутманов

Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букерева, 15 [email protected]; (342)239-63-09

Рассматривается позиционная дифференциальная игра "наведения-уклонения" нескольких лиц. Игра формализована в классе "контр"-стратегий. В предположении, что целевые множества игроков попарно не пересекаются, доказывается альтернативное утверждение относительно исходов игры. Смысл утверждения состоит в следующем. Для каждой начальной позиции либо существует единственный игрок, разрешающий задачу наведения на свое целевое множество в классе "контр''-стратегий ("чистых" стратегий), либо найдется такой способ управления всех игроков в классе "чистых" стратегий ("контр"-стратегий), что ни один из игроков-"уклонистов" не сможет привести фазовый вектор игры на свое целевое множество при условии, что остальные игроки придерживаются указанного способа управления. Данная статья является непосредственным продолжением работы [3].

Ключевые слова: "чистые" стратегии; "контр"-стратегии; стабильный мост; теорема об альтернативе.

1. Постановка дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц в классе "контр"-стратегий

Динамика конфликтно-управляемого объекта описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением

X = f (/, X, и1,..., uk), (1.1)

где t е ^ 0, Т ] С R1 - текущее время,

х = (х1,..., хп) е Rn - фазовый вектор объекта,

© С. В. Лутманов, 2011

и1 е р С Кп - вектор управляющих пара-

-С ■ п1+п+п+...+гк . ип

метров 1-го игрока, / . К 1 к ^ К -вектор-функция, описывающая как внутреннее устройство объекта, так и воздействие различных внешних факторов. Будем предполагать, что множества Р1, 1 е к{1,...,к} компактны, а функция f непрерывна по совокупности переменных t,X,^,...,ик .

Относительно правых частей дифференциальных уравнений (1.1) принимаются стандартные в теории дифференциальных игр предположения.

1) локальные условия Липшица

VR > 0 З к > 0 :

,0)

f (t, xw , uj,...u ) - f(t, x[2),ul ,...Uk )|| < к x(1) - x(2) 11 < R,t e[t0,$],ut e p,i e K .

V

,(1)

< R,

,(2)

2) условия продолжимости решения

ЗА > 0:

|/(',х,и1,...,ик)| <Л(1+||х|Ме[^5,Т],хеК,ц еР,1еК

В пространстве Кп 1-му игроку ставится в соответствие компактное множество М1,1 е К, которое будем называть целевым

множеством этого игрока. Неформальная цель игрока состоит в приведении фазового вектора игры в конечный момент времени на свое целевое множество. В случае если в конечный момент времени фазовый вектор игры не принадлежит ни одному из целевых множеств, то считается, что в игре достигнут компромисс. Описанную дифференциальную игру назовем игрой "наведения-уклонения" нескольких лиц.

Принимается, что в любой момент времени игроки имеют точную информацию о

реализовавшейся позиции {', х| игры. Однако осведомленность игроков о действиях друг друга зависит от того, является ли данный игрок игроком-уклонистом или нет. Дифференциальная игра в этом случае формализуется в классе позиционных "контр"-стратегий.

2. Формализация игры в классе "контр"- стратегий

Формализуем дифференциальную игру нескольких лиц в классе контр-стратегий.

Определение 1. Позиционной "контр"-

стратегией Ц ¡-го игрока называется произвольная функция

■€,*, : П Р *['0.Т]*Кп ^Р,

>еХN

где X, : ['0,Т]хКп ^ 2К .

Физический смысл "контр"-стратегии игрока состоит в том, что в каждой позиции

{', х} он назначает вектор своих управляющих воздействий, основываясь не только на информации о реализовавшейся позиции

{ ' , х} , но и на информации о выбранных в этой позиции управляющих параметрах игроками с индексами ] е X (', х) .

Соответствие между позиционной "контр"-стратегией U и реализующей ее паРой X [], U [] будем обозначать символом

$,* u ,х [], i e K . Очевидно, что набор позиционных "контр"-стратегий всех игроков должен быть согласованным относительно использования информации игроками о выборе ими векторов управляющих параметров других игроков.

Определение 2. Будем говорить, что

набор Uj,—, Uk "контр"-стратегии всех игроков является согласованным, если для всех позиций jt, x| e [t0, T] x Rn и последовательности попарно различных индексов i1, i2, —, im e K нельзя построить цепочку включений

i1 eX [t,x], i2 eX3 [t,x] ," —irm-j eXm [t,x] ,im eXj [UX] .

Для согласованных "контр"-стратегий исключена ситуация "порочного круга", когда в одной и той же позиции некоторый игрок при выборе своего управляющего вектора использует информацию о выбранном управляющем векторе другого игрока. Тот, в свою очередь, использует информацию о выбранном управляющем векторе следующего игрока и т. д., а некоторый игрок в этой цепочке использует информацию о выбранном управляющем векторе первого игрока.

Пусть U ^ Ui,Xi [ ] , i e K - согласованный набор позиционных "контр"-стратегий и А - конечное разбиение отрезка времени [t-Г], t.e[t0,T) точками

T , s=0,1,—,r0 = t..

Определение 3. Ломаной Эйлера xA (•,t.,x., Uj, • • •, Uk), выходящей из позиции

jt., x. I и порожденной набором позиционных ”контр”-стратегией Uj, —, U€k, назовем всякую абсолютно непрерывную функцию хА (•), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

Ха( t )= f ( U ХА (t) , UA1 (t) , —, UA (t),—, UAk (t)) , Ха( t») = x., Xa(Ts ) = tlim0 Ха( t) ,

4 ' 4 ' t^Ts-0 4 '

€ (t) = U,X [Ts, XA (Ts ), jUj (T, XA (Ts ))| j e Xi [Ts, XA (Ts ) J =

const, i e K, t e[rs,Ts+1), s = 0,1,... (2.1)

Определение 4. Движением, выходящим из позиции |ґ„, х„| и порожденным набором позиционных "контр"-стратегией Црі, і є К, назовем всякую функцию £(•), для которой найдется последовательность ломаных Эйлера

л( р)

(•, t., xр) ,Ui,-,и), р=1,2,-

равномерно сходящаяся к ней на отрезке ft,, T1 при условии lim sup и|р]-г|р 0.

s

Совокупность всех движений, выходящих из позиции jt,, x,} и порожденных набором позиционных "кошр"-стратегией U, i е K, будем обозначать символом X t,, X,,$!,...,$£ и называть пучком конструктивных движений. Можно показать [1], что для любой позиции jt,, X, | и любого согласованного набора позиционных "контр"-стратегий Ui.-Л пучок движений

ляющих воздействий ] -го игрока, ] е К (1),

определяется не в виде кусочно-постоянной функции (2.1), а в виде произвольного программного управления и . : ['., Т ] ^ Р^ . Пучок конструктивных движений, получающийся в результате перебора всех возможных действий со стороны игроков К(1), обозначим символом X '.,х., Ц

В общем случае множество номеров К поделим на множества L С К и К \ L . При построении ломаной Эйлера принимаем, что игроки с номерами из множества L формируют свои управляющие воздействия по формуле (2.1), а остальные игроки формируют их в виде произвольного программного управления и : ['., Т ] ^ р . Пучок конструктивных движений в этом случае обозначим символом

X

t., x. ,Uj|j є L

Очевидно, что

tn,x* ■

j єГ

t. , x.

\j є L

X

t. , x. , содержит хотя бы одно 3. Стабильные мосты

движение.

Уклонение 1 -го, 1 е К игрока от стратегии, предписываемой ему набором согласованных "контр"-стратегий

будем моделировать тем, что в определении ломаной Эйлера реализация вектора управляющих воздействий 1 -го игрока определяется не в виде кусочно-постоянной функции

=€

Ъ,Ха(Ъ ) ,\fj Ь,ХаЫ)| .ЄХ [WTs )J

=anst,

t ЄК Д,+1 ) , s = °A... ,

а в виде произвольного программного управления и1 : ['., Т ] ^ р . Пучок конструктивных

движений, получающийся в результате перебора всех возможных уклонений 1 -го игрока, обозначим символом

X

t., x.,Uj|j є K (i)

Игрок под номером 1, принимая решение уклониться от стратегии, предписываемой ему каким-либо набором стратегий, должен учитывать возможность любых действий со стороны остальных игроков. Эту возможность будем моделировать тем, что в определении ломаной Эйлера реализация вектора управ-

В дальнейшем на базе сформулированной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц будет рассматриваться вспомогательная антагонистическая дифференциальная игра "наведения-уклонения" двух лиц [1]. В этой игре первый игрок отождествляется с подмножеством игроков L С К , а второй игрок - с подмножеством К \ L . Первый игрок решает задачу наведения на множество М с Кп, а второй - задачу уклонения от этого множества.

В зависимости от классов стратегий, в которых игра формализована, будем применять следующие обозначения:

G ((Д К \ L, М))- первый игрок применяет "контр"-стратегии;

G (L, й \ L, М ) - второй игрок применяет "контр"-стратегии.

Определение 5. Множество

W с['0,Т]хКп будем называть р-ста-бильным мостом, обрывающимся на множестве Мг, если оно является стабильным мостом первого игрока [3], в антагонистиче-

x

ской

игре G ({і } ■ К (і ), Мі) и при этом вы- р, = Ж, П(Ж5) *0, п = 1,2,— ■

полняется вложение где (Ж5 ) = (|^0, Т | х

Ж (Т ) = {х є Rn\{Т, х}єЖ }с Мг, і є К.

где (Ж5) = ([/0,Т]хRn)\Ж5 . Каждое из

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

множеств Ре , п = 1,2, • замкнуто и огра-

Дадим расшифровку приведенного оп- ничено, так как оно образовано пересечением

ределения. двух замкнутых множеств, одно из которых

Множество Ж будет ^--стабильным °граничен°.

мостом, 1 е К , если для любых позиций Из монотонного убывания последова-{'., х.}еЖ, отображений иЩ : р ^ П Р , тельности положительных чисел К} следу-

УеК(г) ет, что для любых номеров п. > п1 выполнено

ставящих каждому вектору и. е Р в соответ- Т7 ^ 17 т

■’ вложение Ре з ге . Отсюда в силу [2] вы-

ствие набор векторов 4 п

водим, что

ад

П р,=р *0.

("іМ^ ",-1 (",) ^ (",) «, (",))є П Р

}єК(і)

и моментов времени t* є (4, Т ], найдется такое решение дифференциального уравнения в Пусть и х }єР Тогда {t х } £ Ж

контингенциях

Из того факта, что множество Ж является х є со {!(/,х, "і ("і "і-і ("і ^ "і, "і+і ("і )3--- максимальным ^--стабильным (і -стабильным)

"к ("і ))|" є Р }, х(^) = х, мостом, обрывающимся на множестве Мг,

для которого {t*,х(^)}єЖ . следует, Что для начальной позиции К,х*}

не разрешима задача наведения в антагони-Из определения стабильности следует, стической дифференциальной игре

что если два множества являются стабильны- G ({і}, К (і),М ) (игре G (&•}, К (і),М ) ).

ми мостами, то и их объединение также будет ч/ ) \1 ' ч/ )

стабильным мостом. Тогда существует мак-

¿г - По теореме об альтернативе [і] в игре

симальный стабильный мост, содержащий в ^ і- .і г

себе любой другой стабильный мост. В работе G ({і}, К (і),Мг ) (игре G ({і}, К (і),Мг ))

[і] показано, что максимальный стабильный ' ' ' '

мост замкнут. в позиции {£,, х,} разрешима задача об укло-

Лемма 1. Пусть Ж - максимальный €- нении от некоторой открытой к -окрестности

стабильный (і -стабильный [3]) мост, обры- множества Мі. Следовательно^ позиция

вающийся на множестве Мі, і є К . Тогда для {^, х,} не может принадлежать ни одному из

любого 5 > 0 найдется є > 0 такое, что бу- мостов Жє , для которых єп < к,. Последнее

дет выполнено п

\ утверждение невозможно, т. к. из включения

Жє сЖ =({t■ х},х-^1 <5,^єЖ(t),tє[70,Т]}. і, і т?

є 11 ’ )’|Н II ’ V /’ І °’ 1) {£,, х,}є Р должно следовать включение

Здесь Жє - максимальный €- {^, х,} є ЖЄп при всех п = і,2, — . Получен-

стабильный (і -стабильный) мост, обрываю- ное противоречие доказывает лемму.

щийся на множестве М, . Множество М, Определение 6. Множество Ж будем

представляет собой замкнутую є-окрестность называть К() -стабильным мостом в диффе-

множества Мі, і є К . ренциальной игре "наведения-уклонения"

_ _ нескольких лиц, если оно является стабиль-

Доказательство. Допустим, что утвер-

ным мостом второго игрока [3] в антагони-

ждение леммы неверно. Тогда найдутся число 5 > 0 и последовательность монотонно убы- стической игре

вающих чисел {є, } ^ 0 , таких, что

g im, к

(i ) , Мг ) , i

є к.

Дадим расшифровку приведенного определения.

ставящих каждому набору векторов

(U,uг+l,-,uk)є П P

.єК (і)

в соответствие вектор и1 е Р1, и моментов

Множество Ж будет Кч1) -стабильным ,»

■’ 4' времени t е (, 1 ] найдется такое решение

дифференциального уравнения в контин-генциях

мостом, і є К, если для любых позиций jt.,х.]єЖ, отображений U : П Pj ^P

jєК (О і

хє со(t,хUl,■■■,u-l,u (Ul,■■■,uг-l,U,.+1, —,Uk),U,.+1,—,Uk)|(Ul,■■■,uг-l,u+1,—,uk)є П P

І ієЩ

..

' (t.) = x., для которого jt *, x (' ')IeW .

G

i|, к (і), M,).

Определение 7. Систему множеств является экстремальной стратегий первого

Ж1, — ,Жк с['0,Т]х^п будем называть Ё- игрока кмножеству Ж в игре

стабильной, если для всех 1 е К множество

(['0, Т] х Rn) \ Жг является К"(/) -стабильным

мостом в дифференциальной игре "наведения-уклонения" нескольких лиц.

4. Экстремальное прицеливание

Пусть Ж С['0 , Т ] х Rn — замкнутое

множество.

Определение 8. "Контр"-стратегия

и [ К (1 )]+ €. КИ['] 1 -го игрока называется

экстремальной к множеству Ж, если она

Дадим расшифровку приведенного определения. Полагаем

s = x - w,, llx - w J = min llx - wll. (4.1)

'' ^ we^ (t ''

В случае когда точек w eW (t), доставляющих min в (4.1), более одной, берется любая из них.

"Контр"-стратегия U* ■¥ Щк^ f], i е K будет экстремальной к множеству W, если

max

(U1,-Ui-1,Ui+1-,Uk )є П Pj

jeK(i)

max min s

(U1,'"Ui-1,Ui+r",Uk)є П Pj иієРі

jeK(i)

f (t, x, U^ • • •, U, -1, % (і) [Ч x, [U\j є K (і )|], U+1, -, Uk ) =

•f (t, x, U^ U, Ui+l, —, Uk)

для

тех позиций jt, х|, в которых W (t) ^ 0 .

В остальных позициях

К (,)

t, x,jUj j є к (. )|]-

произвольный вектор из множества Р .

Лемма 2. Пусть Ж с['0, Т]х Rn —

замкнутый 1 -стабильный (€-стабильный) мост в дифференциальной игре ''наведения-уклонения" нескольких лиц, "контр"-

стратегия ие - и [] ('чистая" стратегия

Щ - " [•] [3]) является экстремальной к множеству Ж и {^,х,}єЖ. Тогда для всякого движения х(•) є X |^0, х0, и** ] , (х(•) є X |^0, х0,и/] ) будет выполнено включение х(t*) є Ж(t*) для всех t* є ['., Т ] , если Ж (‘) * 0 при всех t є , t*] .

Справедливость данной леммы следует непосредственно из лемм 82.і, 82.2 книги [і].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

s

Пусть Wj,---,Wk 3ft0,T]xRn - система по- множеств W1,---,Wk з ft0, T ]x Rn , если при

всех i e K и позиций jt, xjeWi, для которых

к0

парно непересекающихся открытых множеств.

Определение 9. Набор "контр"- (['0, Т1Х Rn \ Ж )(, ),0 , имеют место ра-

стратегий и1 + ^ [.].■■■.и°í + ^ [] бу- венст^а

дем называть экстремальным к системе

[', х] = {/'}, 7 е К (1),

: я• / (', x, ^ [', x, и ], ■, /£—!,{.} [', x, и ], и, и0+1,и [', x, и ], ■, и°,и [', x, и ]) =

max;

U, єР,

= max

min

Uі єРі (ul,--Ui-l,Ui+l--,Uk )є П Pj

jeK(i)

• f (t,

, u¡-l, U, u¡+l,

:) .

где

s = x - w,, llx - w, II = min ||x - w\\ .(4.2)

we(fto,T ]xRn\W )(t)"

В случае когда точек

w, e(ft0,T]xRn \Wi)(t), доставляющих

min в (4.2), более одной, берется любая из них. Для остальных позиций управляющие воздействия игроков принимаются произвольными допустимыми воздействиями.

Заметим, что в силу условия Wi П Wj = 0, i j, i, j e K набор "контр"-стратегий игроков, экстремальный к системе множеств W1,...,Wk з fto,T ] x Rn, является

согласованным.

Лемма

система

3. Пусть

Ж„-,Жк с[<0,Т]хRn - попарно непересе-кающихся открытых множеств является К-стабильной [3] (К -стабильной). Набор "контр"-стратегий и”,— , и- ("чистых"

стратегий Ц0,---,Ц-0 [3]) всех игроков экстремален к системе множеств

Щ,-,Жк з[^, Т ]х Rn, и

К,х,}еЖ = ([(„,Т]хК')\I уЖ1

V ]еК

Тогда для любого номера 1 е К и всякого движения х (•) е X Г',, х,, Ц 17 е К (1)

(движения х(•) е X Г',, х,, и017 е К (1)])

будет выполнено

х('>Ж(/•) и Ж ('').

УеК(!)

для всех ' * е ['., т ] , если

включение

Ж (') и Ж}- (') * 0 при всех ' е Г',,'*].

}еК (¿)

Справедливость данной леммы следует непосредственно из лемм 82.1, 82.2 книги [1].

5. Теорема об альтернативе

Предположим, что целевые множества игроков попарно не пересекаются. Дадим определения возможных исходов дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц.

Определение 10. Будем говорить, что в начальной позиции {',, х,} "чистая" стратегия

и. ("контр"-стратегия и) 1 -го игрока 1 е К,

решает задачу наведения на целевое множество этого игрока, если для всех

х(.)е X [',, х,,Ц ] (для всех х(.)е X

выполнено включение х (Т) е М1^.

Определение 11. Будем говорить, что в начальной позиции {',, х,} набор "чистых"

стратегий всех игроков и1, — ,ик (согласованный набор "контр"-стратегий всех игроков и»-А) является компромиссным, если существует г > 0, что для всех 1 е К и х (.)е X [',, х^П^ е К (/)] (х(.)е X [',, х,А |у е К (/)]) выполняется условие х(Т) £Мг = {х еRn|||x — т|| <г, т е} .

Лемма 4. Пусть выполнено условие Мг П М} =0, 1 * 7,1,7 е К.

Тогда Ж П Ж: = 0, 1 * 7,1,7 е К, где

4, х.,и

)

Ws, S є j/, j| - максимальный s -стабильный

s

U

мост (^-стабильный мост), обрывающийся на множестве М5, 5 е К .

Доказательство. От противного приходим к паре индексов 1,7 е К , для которых

Ж П Ж} * 0 . Пусть , х,} е Ж П Ж}. Тогда в силу леммы 2 стратегия А/— и [•] а — чН), экстремальная к множеству Ж,

и стратегия и;—и 7 НА; — и7 []) , экстремальная к множеству Ж}-, игроков 1 и 7 соответственно обеспечат включения

х(т)ем1, Ух(•)еX ,х,,А;

(Ух(•) е X[',,х,,А;]),

х} (т)ем7, Ух(.)еX ,х,,и;

(Ух (•) е X[',, х, ,и; ]).

С другой стороны, справедливо вложение X ',,х,,Ц 5е{1,_/'} ^ ',,х,,и П№ ',,хА *0

(X ',,х,, А 5 е{1,7}] 0X4, х,,Ц]ПX[t,, х,, Ц] *0). Для любого

найдется число 8 > 0, что {',, х,}£ и Ж5г ,

5еК

х (•) е X , х, ,Ц; 5 е{1, 7}

(х(•) е X , х,,и;|5 е{1,7}

)

должно выполняться

х(Т) е Мг ПМ} =0 .

Последнее невозможно, что и доказывает справедливость леммы.

Из доказанной леммы следует, что для

начальной позиции {',, х,} е ['0,Т]хRn справедливо одно и только одно из следующих двух утверждений:

1) существует номер 1 е К , что

{',,х,} еЖг;

2) (г,, х,} е(['0, Т ]х К' )\|и Ж

Л

ч,еК У

где Ж — максимальный 5 -стабильный (€ стабильный мост), обрывающийся на множестве М,, 5 е К .

В первом случае очевидно разрешима задача наведения 1 -го игрока в классе "контр"-стратегий ("чистых" стратегий). Пусть имеет место второй случай. Тогда по лемме 1

где Жг — максимальный 5 -стабильный (€ стабильный) мост, обрывающийся на множестве мг . Для всех номеров 5 е К множество и Ж5* является открытым. Оно представляет

а<г

собой совокупность тех и только тех начальных позиций, для которых не разрешима задача уклонения второго игрока в антагонистической дифференциальной игре

G ( к (5) ,{5}, к' \ мг) (G (К (5 ),{5}, к' \ мг)).

Тогда множество {(['0, Т ] х Кп ) \ Жг является

максимальным стабильным мостом первого игрока в игре

G (К (5) ,{5}, Кп \М1)

(в игре G (К (5), {5}, Кп \Мг )) и, следовательно, К (5 ) -стабильным (К"(5 ) -стабиль-

ным) мостом. Отсюда следует, что система открытых множеств Ж1г,- ,Жкг является К -

стабильной (К -стабильной.). Тогда по лемме 3 для всякой начальной позиции

{г,,х,} е(['0,Т]хК)\1 и Ж

Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ч5еК у

набор "контр"-стратегий ("чистых" стратегий) всех игроков, экстремальный к системе множеств Ж1г,-,Жкг , будет компромиссным.

Таким образом, доказано следующее альтернативное утверждение относительно исходов дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц.

Теорема 1. Пусть в дифференциальной игре "наведения-уклонения" нескольких лиц целевые множества игроков попарно не пересекаются. Тогда для любой начальной позиции либо существует игрок, решающий задачу наведения на свое целевое множество в классе "контр"-стратегий ("чистых" стратегий), либо существует компромиссный набор "чистых" стратегий ("контр"-стратегий) всех игроков.

Список литература

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позици- 3. Лутманов С.В. Об одном альтернативном

онные дифференциальные игры. М.: Нау- утверждении относительно исхода диффе-

ка, 1974. 456 с. ренциальной игры "наведения-уклонения"

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы нескольких лиц в классе "чистых" и "сме-

теории функций и функционального ана- шанных" стратегий // Вестн. Перм. ун-та.

лиза. М.: Наука, 1976. 544 с. Сер. Математика. Механика. Информати-

ка. 2011. Вып. 1(5). С.53-61.

On one alternative statement relative to an outcome of the differential "training-evading” game of several persons in the class of ”counter”-strategies

S. V. Lutmanov

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 [email protected]; (342)239-63-09

The positional differential "training-evading" game of several persons is discussed. The game is formalized in the class of "t counter"-strategies. On the assumption that players’ target sets do not intersect in pairs, the alternative statement relative to outcomes of the game is proved.

Key words: "pure" strategies; "counter"-strategies; stable bridge; theorem on an alternative.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.