CC BY
11
УДК 519. 87
ОЬОДНСМ АЛ I ОРШМЬРЬШЬНИН ЗАДАЧ ИРОЬК I ИРОВАНИН СЛОЖНЫХ ИЗДЫ1ИЙ
Т. М. Орлова
Омский государственный медицинский университет, j, Омск, Россия
Аннотация - Статья посвящена исследованию и решению задач проектирования сложные изделий с учншм .ни ичнгкги*, [ipajiiHKiv н друтх hi риничрнин. Пшцтены \inie.iu цкшчнпгннш» .пин ни ниш программирования с использованием задача SAT к ее обобщений. Особое внимание уделяется разработке и анализу алгоритмов решении указании? задач. Приводятся результаты вычислительного зкеиерн мента, в том числе с реальными исходными данными.
Ключевые слова: дискретная оптимизация, целочисленное ирограммнроваппе, логические ограиичс ния. автоматизация проектирования, легкая промышленность, алгоритм.
I. Введение
В процессе проектирования сложных изделий во многих случаях зозннкаст необходимость использования
ЛОГИЧСГ КТГХ рггурснъпс ТГХНОГО-ИЧГГКТТХ И ДРЗПТХ ОГрг'НИ^ГКИЙ Ornfiyro роль ИГрЛШТ усгтотшж логттогского типа. гущесгвенко влияющее на выбор элементов, из юоторых формируются изделия. В частисстн. такие условия требуется учитывать на этапе проектирования в легкой промышленности.
В области проектировался сложных изделий имеются системы, которые обеспечивают достаточно высокое качество принимаемых решении, сокращают расход ресурсов к время на изготовление новых изделии, повышают эффективность труда спецшишеюв 11. 3. bj. Вместе с icm в указанных разработках недостаточно применяются модели и методы оптимизации
D настоящее время нами и другими авторами [1. 3] продолжает развиваться подход к выбору проектных решений (к'нониннмй на нримгнгнии мидглгй дигкрпьой (нггимихнции ^ih мндг.т прглгглклмкгг сиГой
щения известной задачи выполнимости логической формулы. Указанные логические ограничения могут быть жесткими н мягкими. Первые соответствуют задаче выполнимости логической формулы (SAT), вторые - задаче максимальной выполнимости логической формулы (MAX-SAT) [4]. В данной работе приводятся математические модели дтя задач проекшровапся сложных изделий, в том числе в легкой промышленности. Описывается алгоритм решения указанных задач.
П. Постановка задачи и математические модели
Предположим, что сложное изделие формируется из некоторого набора составляющих. Чтобы из этого набора составить изделие, необходимо ввести ограничения на возможные сочетания указанных элементов. Кроме того, можно рассматривать ресурсные ограничения Задача заключается в том. чтобы из имеющегося набора элементов создать сложное изделие, которое является наилучшим с точки зрения одного или нескольких высранных критериев прн условии выполнения используемых ограничении. Построим соответствующую математическую модель. Пусть: ./-множество номеров элементов изделия. J={l,...,r,}: \> - элемент изделия j € J;
tj — Л01МЧГГКЛ* иг-ргмгнния. принимающих хничгниг истина_ «ли кходиг к слсш ичдг.ти и — чничгниг* ложь в противном случае, / € J;
I- множество номеров всех логических формул, используемых з задаче, 1—{1.
I - множество номеров логических формул, которые должны быть обязательно выполнены 1—(1,. ,*п},
7'с 7;
С, - ошичеииш формула, сишвек: jb.v wlu:w /"-му лшкческому шраничению. I € 7. кошрая иредсгавлхсг собой дизъюнкцию переменных ху нилн их отрицаний X,-;
d. - вес формулы Сп характеризующий степень необходимости ее выполнения, i € 7 \ 7
Задача (обозначим ее Р) состоит в отыскании набора составляющих, для ко»лорых выполняются зсс фор.иу-
>/« C.i, / F / итккчиняцчк :ж:ш:тким шлычкс.кша (к-дюничкних/л, и км: кп.ни /нанчгих фортун (7/, i f / \ Т', i:txirrt-
вепктвующих мягким логическим ограничениям, будет максимальным.
С целью решения задачи Р1 построим модель иелочис ленного линейного программирования (ЦЛП)- Для Jioiu нсобхо-ымо иг лшичо-кнл иеремешшх иереши к булевым, а лшичпжме шргишчешш заменить эквивалентными нм линейными неравенствами. Заменим х, на булеву переменнуюyj, ее отрицание Д./ - на i->y, а сиу-
кол ДИЧНК1НН ция v — НИ мни к т Вкрдги ff И Cj — МНОЖГЧ1КН ИНДГКГИК НГрГМГННЫХ НХОДЯЩИХ н CloilkV cf
отрицанием и без него соответственно.
Модель ЦЛП для сформулированной выше задачи Р' имеет вид:
Yrf^. пах СО
.trr
при условиях
Z У J - Z -v/ ф'Г - и С Г' С2)
Z У: - + < |(3)
/еСГ * /«с:
yj4 z, € {ОЛ}, j б 7 \7', / € У (4)
Если в оптимальном решении этой задачи для некоторого г имеет место z-=l. тс соответствующая формула С, принимает значение истина.
о мпим Н 1« ЧЛДЙНЙ (1)44) 1КЛМГГГМ .vp-ijiv.IIHOH, iЯК НИ* И]К*ДГ1ИКЛИП <<>(Х1Й 1КХ|()1ЦГННГ И-СНГГГНПЙ ЧИДИчи
MAX-SAT
Может сказаться полезным использование ресурсных ограничении, в частности, неравенств вида
То,у, <h
I J' J »
гас с,- — объем некоторого ресурса, требуемого для изготовления./- го элемента. Ь- имеющийся объем этого ресурса.
Во многих случаях целесообразно ввести дополнительные ограничения. сокращающие возможности выбора элементов хтя включения в сложные изделия, например, они могут иметь вид:
2>, -р ™ ур-
/е.' /=/
I X р - некоторая коногаша.
В налагал щшифокшш л едкий иуимышоенносш мшл ие лшнчолше формулы С, ирецставдшн собой дкзъюнкцню двух литералов, которые являются отрицаниями переменных, т.е. имеют вид х' V х". где х', х " —
разные логические перемешше. Отметим. что в таком случае |сг| — 2. а мпожеспю С* будет пустым. Введем обозначения
- множество номеров жестких логических ограничении, представляющих собой дизъюнкцию двух литералов, / С /';
^ множество номероз мягких логических ограничений, представляющих собой дизъюнкцию двух литералов. / с /. / г» Г = 0;
Запишем модель ЦШ1 с учетом указанных услоЕнй ЮЬозначнм ее 1Ь):
Т. 11. г. -у шах
(5)
прк условиях
/ест /еСГ
>>;<!,'>?, (8) УвСГ
<2 .¡с?, &
(10)
Ус;у <Ь. О1)
Хло ^ р,
л/
у-V У
у..1. е {0.1}ле! \1\] eJ. (12)
Для далкнгйшгш каожкннх м-игригм;я, кмделим иол«личу (обтнлчим гг г*5). [-огптшую и:ч цглгкий функции (5) и <и|>;1ничгний (8*»—?)
Ш. АЛГОРИТМ*??*
В дашгсм разделе излехагм алгор:пм С'Р точного решения задачи Р '. Для задачи Р" применимы различные алгор:гтмы ЦЛП и пакеты программ. Число ограипеиий (6)-(10} может оказаться достаточно большим, лоэто му их следует строить и присседшмть постепенно, ик это делается в алгоритмах огсече1шя (см например [21). 1'с.ссмотрнм процедуру (алгоритм С7*). основанную на использовании отсечений и пакета СРЬЕХ, з которой допускается варьирование числа добгвляомых к текущей задаче ограничении к стратегий их Еыборп. Опишем алгор?пм СР по шагам:
Шас С. Пусть начгльнгя задача ЦЛП представляет собой (5). (8)-(12). без учете ограничений из (6). (7).
Шас 1. Находим оптимальное решение текущей задачи. Если оно существует, переходим на шаг 2. иначе -на шаг 4.
Шаг 2. Пели для решения, полученного на шаге 1. нарушено хотя оы одно ограничение из (б). (7). то добавляем к хеку шей задаче наиболее нарушенное ш нлх. идем на шаг 1. илаче - на шш 3. Наиволае нарушенным пудем считать ограничеч^е с максимальной кетткой
Ша? И. Ргччгчтие техутей чядачн якляетгя оптимальным для яллячи (3)—(1 ?)
Л 1с." 4. Заляча Р не им"т допут-ттлых р^гтений
Отметим, что на шагах. 3, 4 алгоритм заканчивает работу. На шаге 2 используется варьирование числа добавляемых к текущей задаче нарушенных, ограничений н стратегий их выбора. На шаге 1 для решения указанных задач ЦЛП использовался пакет CPLEX.
Для предложенного алгоритма был проведен вычислительный эксперимент, цель которого заключалась в апробации моделей н процедуры решения. Расчеты проводились на компьютере с процессором In reí® Core™2 Duo CPU T6600 @2.20GHz.
В эксперименте использовались серии тестовых задач, в том числе с реальными исходными данными Эти задачи имели 37 составляющих и 146 ограничений системы (6)—(11).
IV. Заключение
В работе предложены новые варианты математических моделей н алгоритмов решения задач проектирования сложных изделий с учетом особенностей продукции легкой промышленности. Проведенные расчеты на реальных исходных данных подтвердили перспективность применения развиваемого подхода.
список литературы
1. Колоколов А. А., Орлова Т. М. Разработка н анализ моделей дискретной оптимизации лля проектирования одного класса сложных изделии // Омский научный вестник 2012. № 2 (1L0). С. 22—24.
2. Колоколов А. А._ Цнглер И. А.. Рубанова Н. А. Решение задач формирования малых групп с использованием дискретной оптимизации // Информационные технологии интеллекту альной поддержки принятия решений: материалы 4 Междунар. конф . 17-19 мая, 2016 г. Уфа, 2016 Т. 1. С. 215—217.
3. Колоколов А. А., Ярош А. В. Автоматизация проектирования сложных изделий с использованием дискретной оптимизации и информационных технологий // Омский научный вестннк. 2010. № 2 (90). С. 234—237.
4 Kolokolov A. A.. Adelshin А V.. Yagofarova D. I. Analysis and solving SAT and MAX-SAT problems using anL-partition approach It Journal of Mathematical Modeling and Algorithms 2013. Vol.12, no .2. P. 136.
5. Sano Т.. Yamamoto H. Computer aided design system for Japanese kimono Instrumentation and Measurement Technology Conference. IMTC 2001. Proceedings of the IS01 IEEE. 2001. Vol. 1. P. 326-331.
