Об однолистности одного отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Разумовская

УДК 517.54

ОБ ОДНОЛИСТНОСТИ ОДНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть П = {г : 0 < 1т г < п}, П = {г : —п <

< 1т г < п}, / — конформное отображение П в себя. Угловыми производными / в бесконечно удаленных точках П называются с±(/) = Нт (г — /(г)) г е Па = {г : а <

< 1т г < (1 — а)п}, а е (0; 2). Совокупность всех конформных отображений / : П ^ П с с±(/) < то обозначают I, а через I обозначают подмножество / из I, которые, оставляя инвариантной вещественную ось, аналитически продолжаются через неё в полосу П с f (0) = 0.

В работе [1] получен полный аналог уравнения Лёвнера для конформных отображений полосы, причём в данной конструкции, как и в классической конструкции Лёвнера, присутствует «стирание» разреза. Однако, в отличие от классического случая, когда параметризация связана с конформным радиусом переменной области, здесь временной параметр выбран как разность 7(/) = с+(/) — с— (/) с целью сохранения граничных условий. А именно, если Г — жорданова кривая в П : £ = = ^(в), г < в < Т, 1т^(Т) = п, 0 < г < Т, Д = П \ Г^ то семейство отображений д : П ^ д е I с 7 (д^) = Т — г является решением задачи Коши

д д ег — 1 1

) = тг дДг)

дг п у дх к V + ек^ 1 + е—'

д*(г = г,

где к (г) — непрерывная вещественнозначная функция и д—1(^(г)) =

= к(г) + ¿п.

Рассмотрим вопрос об однолистности этого семейства отображений. Введем цепь подчинения:

эд(г,г) = ехр(дД^г)), 1тг> 0,

функций, отображающих верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость с разрезом по жордановой кривой Ь(г) : 0 < г < г0, 1т Ь(г0) = 0, причем выбираем ветвь логарифма, дающую П. В такой конструкции сохраняется «гидродинамическая» нормировка:

Нт (эд(г, г) — г) = 0,

г^-оо

обеспеченная конечностью угловой производной c+(f) = lim (z—

Re z^+то

— gt(z)) с дополнительным условием — «стягиванием» к нулю верхней полуокрестности z = 0, вызываемым конечностью c— (f) = lim (z—

Re z^—ж

— gt(z))-

Используем условие однолистности производящей функции для полуплоскости:

Im 4z—'— > 0, Im z> 0.

f(z,t) ,

В нашем случае оно эквивалентно условию

ek(t) >-——, Re z< 1. l-2Re z' 2

Обозначив ek(t) = A, получаем в П область П^, ограниченную w(1)

log(\/A2 + Ae^ — A), 0 < ^ < n w[2) = t + i • 0 —то < t <

< А2 + А - А) = г + гп, -то < г < А2 + А+ + А) которая однолистно отображается д^ на часть так как в цепи подчинения остальные (за исключением д^) отображения обладали свойством однолистности.

Таким образом, получили теорему:

Теорема. Для отображения д^ существует, область Па С П отображаемая д^ однолистно. Эта область ограничена следующими кривыми: и>(1) = ^(\/А2 + Ае^ - А),

о < ^ < п ^|2) = г + г • о -то < г <

< ^(-А2 + А - А); ^(3) = г + гп -то < г < ^(-А2 + А + А), где А =

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Дубовиков Д.А. Аналог уравнений Лёвнера для отображений полое // Изв. вузов. Сер, Математика, 2007, № 8(543), С, 77-80,

УДК 517.51

Е.В. Разумовская, В.Г. Тимофеев ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В [1] для класса функций и е С(Лп), п > 2, оператор

п 2

Лапласа которых Ди = ^ дХи принадлежит пространству Ьто(Яп) и

¿=1 1