Об обратной задаче для невольтерровых интегро-дифференциальных уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. А. Бутерин

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕВОЛЬ ГЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*

1. Фиксируем п > 1. Пусть {кк} - спектр краевой задачи L = L(M,g,v):

fy := i"yin) + )м(х - t)y(nX\t)dt + g{x)]y(t)v (t)dt = A.y, Q<x<n, (1) о 0

Я0) = /(0)=... = ^(0)=0, (2)

где (я - x)M(x)e ¿2(0,л), g(x), v(x)e W^ [0,7i], a:=ig(0)v(ti)^0. Рассмотрим следующую обратную задачу.

ЗАДАЧА 1. Даны g(x), v(x), найти функцию М(х). В [1] исследовалось восстановление функции М(х) по спектру в случае, когда g(x)v(/) = 0, п = 2 и вместо (2) наложены краевые условия Дирихле. Отметим, что невольтерровость в интегро-дифференциальном выражении (1) вносит дополнительные трудности в исследование обратной задачи. Кроме того, здесь наблюдается качественно новый эффект по сравнению со случаем компактного оператора из [2, 3], где изучалось восстановление интегрального оператора свертки по спектру его одномерного возмущения. А именно, как видно из дальнейшего, для разрешимости задачи 1 здесь не требуется согласования спектра с функциями g(x), v(x). Как и в [1 — 3], обратная задача сводится к некоторому нелинейному интегральному уравнению (см. ниже уравнение (9)). В [3] получено глобальное решение нелинейных уравнений такого вида. В настоящей статье доказывается единственность решения задачи 1 и получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Последние даются в терминах характеристической функции краевой задачи L. Заметим, что обратные спектральные задачи дм интегро-дифференциальных операторов в различных постановках исследовались также в [4 — 7] и других работах,

2. Наряду с L рассмотрим краевую задачу! = l(m,g,v) вида (1), (2)

со спектром [л,4 | и с теми же функциями g(x), v(x).

ТЕОРЕМА 1.Если то М(х) = М(х) почти всюду на (0,л).

Пусть функция у = и(хД) является решением задачи Коши

iny(n) + )м{х - t)y{n^](t)dt + g(x) = ку, >-(0) = /(0) =... = >>Ч)(0) = 0. о

Тогда {Хк } совпадает с множеством нулей характеристической функции

"Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00007).

22

Д(л)= 1 -

Введем обозначения:

/ 1 / \ 1 •П*Л) =—^тЕ—ехр(-г©урх), ц0(х)= Д0(х)=ц0(т1-х),

"Р М®] где р" = "к, Шу = 1, со у при у * /.

ЛЕММА 1. При Я * 0 характеристическая функция имеет вид

Л 71

Д(А.) = 1+ |ц0(х)5,"(хД)Л+ м*(х) е Ь2 (0,7г). (3)

Здесь

1<х)=4-Иг,г-х)ц0(г)л, где />(х,,) = (4)

¿¿с ' и=1 и!

Я*1 = Я, Я*(и+1) = Я*Я*и,афункция Я(х), (тс - х)Н(х)е ¿2(0,л), является решением уравнения

= 0<х<тг. (5)

7 = 2 о О " 2)!

Любая функция Д(А.) вида (3) является целой тогда и только тогда,

когда

[хм?(х)сЬс = 0.

(6)

Заметим, что для характеристической функции условие (6) следует из (4).

ЛЕММА 2. Характеристическая функция Доопределяется своими нулями Хк однозначно по формуле

1

X

схр

Д(Х.) = Сп ехр(б„А,)Д' (А.), где А*(к) = кр П

хк*о

где р - кратность нулевого собственного значения,

.-■-А-^ОО С1=ПшехР(-6,4А1(^)Г. >->0, X

1,4 ■

Ьп =-Нш

с„

а .. ехр(- /ш,ря) ,

:-11Ш—---!Г-Н1, < 0, р->оо, п> 1.

«со, Д>(Х)рй+1 '

, (7)

(8)

Тождество (4) является нелинейным уравнением относительно Я(х):

& ; = |1 п

где 6,(х) = 0, Ь]{х)=1'+\п-хУ ¡]\, у > 2;

23

, 0 < х < я, (9)

В) (х, t) = {iZ fr (j{j - l)p0 (*-/)-2j(n - хШх -t) + {%-x)2v"0{x- 4

ТЕОРЕМА 2 (см. [3]). Для любой функции w(x)e L2{0,n), удовлетворяющей условию (6), уравнение (9) имеет единственное решение Н{х), такое что (я - х)Н(х)е 12(0,тг).

ТЕОРЕМА 3. Пусть заданы функции g(x), v(x)e W\ [0,л], g(0)v(7t) # 0, и последовательность комплексных чисел определяю-

щая некоторую целую функцию Д(А.) по формулам (7), (8), где р - количество элементов равных нулю (р <ао). Тогда для существования функции М{х), (я - х)М(х)е ¿2 (0, л), такой что последовательность {X.¿} является спектром задачи L = L(M,g,v), необходимо и достаточно, чтобы функция Д(л) имела вид (3).

Доказательство теорем 1, 3. Необходимость условий теоремы 3 была установлена выше. Докажем достаточность. Рассмотрим функцию w(x)e ¿2(0,л), определяемую формулой (3), с данной функцией Д(Х). Так как w(x) удовлетворяет (6), то согласно теореме 2 уравнение (9) имеет единственное решение Я(х), (к - х)н(х)е ¿2(0,11). Строим функцию М(х) по формуле (5). Ясно, что (л - х)М(х)е L2{0,k). Рассмотрим задачу L = L(M,g,v). Нетрудно увидеть, что Д().) является характеристической функцией задачи L, а значит, спектр последней совпадает с {Хк}. Теорема 3 доказана. Утверждение теоремы 1 следует из (3), (7), (8) и единственности решения уравнения (9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бутерин С. А. Восстановление интегро-диференциального оператора свертки по спектру // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 15-18.

2. Бутерин С. А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором // Мат. заметки. 2006. Т. 80, № 5. С. 668 - 682.

3. Бутерин С. А. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки. Саратов, 2003. 84 с. Деп. в ВИНИТИ 01.10.03, № 1754-В2003.

4. Маламуд М. М. О некоторых обратных задачах // Краевые задачи математической физики. Киев, 1979. С. 116 - 124.

5. Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов первого порядка// Функциональный анализ. Ульяновск, 1984. Вып. 22. С. 144-151.

6 .Юрко В. А. Обратная задача для ингегро-дифференциальньгх операторов // Мат. заметки. Т. 50, №5. 1991.С. 134-146.

7. Курышова Ю. В. Об одной обратной задаче для интегро-дифференциальных операторов. Саратов, 2001. 47 с. Деп. в ВИНИТИ 08.08.2001, № 1835 - В2001.