Об обратной задаче для интегро-дифференциальных операторов второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.А. Бутерин

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Пусть {Ak}k>i - спектр краевой задачи L = L(q, M) вида

px

-y" + q(x)y +/ M(x — t)y(t) dt = Ay, 0 < x < п, (1)

J 0

y(0) = y (п) = 0, (2)

где q(x), (п — x)M(x) G L2(0,n). Собственные значения Ak, k > 1, имеют вид

Ak = (k + ^ J q(x) dx + Kk^)2, К} G ¿2- (3)

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Обратная задача 1. По заданному спектру {Ak}k>1 найти функцию M(x) в предположении, что функция q(x) известна априори.

В [1] доказана разрешимость этой обратной задачи «в малом», то есть когда последовательность {Ak}k>1 достаточно близка в метрике пространства ¿2 к спектру известной модельной задачи L = L(q, М). Кроме того, там доказана устойчивость и глобальная единственность решения. Иным методом мы доказываем глобальную разрешимость рассматриваемой обратной задачи.

Теорема 1. Пусть дана функция q(x) G L2(0,n). Тогда для всякой последовательности комплексных чисел {Ak}k>1 вида (3) существует единственная (с точностью до значений на множестве меры нуль) функция M(x), (п — x)M(x) G L2(0,n), такая что {Ak}k>1 является спектром краевой задачи L(q,M) вида (1), (2).

Таким образом, асимптотика (3) является необходимым и достаточным условием разрешимости обратной задачи.

Доказательство теоремы 1 конструктивно и дает алгоритм решения обратной задачи, которая сводится к решению так называемого основного нелинейного интегрального уравнения относительно функции M(x) (см. ниже уравнение (9)). Доказана его глобальная разрешимость в соответствующем классе функций. В [2] теорема 1 была получена для частного случая q(x) = const. Отметим, что общий случай функции q(x) значительно осложняет исследование основного уравнения обратной задачи.

2. Прежде чем перейти непосредственно к доказательству теоремы 1, приведем несколько вспомогательных утверждений. Рассмотрим интегральное уравнение

рх—2 рЬ рх рЬ

2Р(х,г) = / д(з) (1в + (х — г)М(з) (в + д(з) (в Р(в, С) (С+

рЬ р2в—Ь рх р2(в—х)+Ь

+ д(з) (з Р (в, С) ^ — д(з) (з Р (в, С) ^+

Jo Jx—2 ¿0

РЬ РХ рЬ—в

+ М(з) ¿в (С Р(С — з,п) ио Jt Л

РЬ РЬ Р 2£—Ь—З

+ М(з) (в (С Р(С — в, п) ¿п—

Л Jо

РЬ РХ р2(^—х)+Ь—в

— м(в) (в (С Р(С — в, п) (п, о < г < х < п.

]о З^+х Л

(4)

Лемма 1. Уравнение (4) имеет единственное решение Р(х,г), являющееся непрерывной функцией. При этом

1 Г

Р(х, х) = 0, Р(х, 0) = - д(г) (г.

2 } о

Пусть функция Б(х, Л) является решением уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям

Б(0, Л) = 0, Б'(0, Л) = 1.

Лемма 2. Положим р2 = Л. Тогда имеет место представление

Б (х, Л) = ^ПРх + [х Р (х, г)8"1 р(х — г) Ш, (5)

Р ]о Р

где Р(х,г) -решение уравнения (4).

Собственные значения Лк краевой задачи Ь совпадают с нулями ее характеристической функции Д(Л) := Б(п,Л). Согласно (4), (5) будем иметь

Д(Л) = 81П^ + Гцх)8^(х, ш(х) е ^[0,п], (6)

Р Jо Р

причем

1 Г

ш(0) = 0, ш(п) = ~ д(х) (х. (7)

20

Здесь

ш(п — х) = Р (п,х). (8)

Чтобы подчеркнуть зависимость Р(x,t) от M(x) будем писать Р(x,t; M). Обозначим

д

R(x,t; M) := —Р(x,t; M). Тогда, дифференцируя обе части (8) по x, получим

—w'(n — x) = R(n,x; M), 0 < x < п. (9)

На соотношение (9) можно смотреть как на нелинейное уравнение относительно функции M(x), которое назовем основным нелинейным интегральным уравнением обратной задачи. Отметим, что формула (8) принимает в частном случае q := q(x) = const наиболее простой вид [2]

га ( _ )V

w(n — x) = ^ (п ;x) H(x), 0 < x < п,

v=1 V'

где H*1 (x) = H(x), H*(v+1)(x) = H * H(x), а функция H(x) связана с M(x) соотношением

px px pt

q + / M(t) dt = 2H(x) — dt j H(t — т)H(т) dr. Jo Jo Jo

Справедлива следующая

Теорема 2. Для любой функции w(x) G Ж2[0,п], удовлетворяющей (7), уравнение (9) имеет единственное решение M(x), (п — x)M(x) G L2(0,n).

В основе доказательства теоремы 2 лежит развитие идеи доказательства глобальной разрешимости нелинейного интегрального уравнения в свертках (см. [2, 3]).

Всякая функция A(A) вида (6), (7) имеет счетное множество нулей Ak, k > 1, вида (3) и определяется своими нулями однозначно по формуле

A _ \

A(A) = пД^Р • (10)

k=1 k

Справедливо также и обратное утверждение.

Лемма 3. Пусть заданы произвольные комплексные числа Ak, k > 1, вида (3). Тогда функция A(A), определенная по формуле (10), имеет вид

(6), (7).

Доказательство теоремы 1. По заданной последовательности {Ak}k>1 вида (3) строим функцию A(A) по формуле (10). Согласно лемме 3 построенная функция A(A) имеет представление (6) с некоторой функцией w(x) G Ж2[0,п], удовлетворяющей (7). Пусть M(x), (п — x)M(x) G L2(0^),

является решением уравнения (9) с функцией w(x). Рассмотрим соответствующую краевую задачу L = L(q,M). Нетрудно увидеть, что функция Д(А) является характеристической функцией этой задачи L. Таким образом, спектр последней совпадает {Ак}k>i- Единственность функции M(x) следует из единственности решения основного уравнения (9). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых (проект МК-1701.2007.1) и грантов РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки. 1991. Т. 50 (5). С. 134-144.

2. Buterin S.A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator // Result. Math. 2007. Vol. 50. P. 173-181.

3. Бутерин С.А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором // Мат. заметки. 2006. Т. 80 (5). С. 668-682.

УДК 517.518.82

И.Ю. Выгодчикова

О СРЕДНЕГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

Постановка задачи

Пусть значениями функции Ф(-) в узлах сетки T = {to < ti < ... < tN} являются фиксированные отрезки (сегменты) Ф(^) = [yi,k; ], причем У2,к > yi,k, k G [0 : N]. Рассмотрим задачу:

n(A) := max d(A,tk) —> min , (1)

ke[0:N] AeRn+i

где d(A,tk) = di(A,tk) • d2(A,tk), di(A,tk) = |pn(A,t*) - i G [1 : 2], k G [0 : N], pn(A,t) = a0 + a1t +... + antn - алгебраический полином степени не выше n с вектором коэффициентов A = (а0,а1,... ,an) G Rn+1. Задачу (1) можно записать в виде

max

ke[0:N ]

Pn (A,tk) -- 1 '

2

min ,

AeRn+1'

то есть требуется минимизировать максимальное по всем узлам сетки Т расстояние между квадратом разности значения алгебраического полинома

2