Об итерационной процедуре статистического оценивания параметров второго уравнения Л. Торнквиста Текст научной статьи по специальности «Математика»

Цацулин А. Н

Об итерационной процедуре статистического оценивания параметров второго уравнения Л. Торнквиста

Цацулин Александр Николаевич

Северо-Западный институт управления — филиал РАНХиГС (Санкт-Петербург) Профессор кафедры финансового менеджмента Доктор экономических наук, профессор vash_64@mail .ru

РЕФЕРАТ

Статья посвящена анализу условий, особенностям и техникам применения метода последовательного приближения к уравнениям простой регрессии, которые не сводятся к каким-либо линейным формам в отношении собственных параметров и переменных. Такая практическая задача возникает достаточно часто при исследовании класса функций Торнквиста. В частности, второе уравнение этого класса удачно описывает расходы семей на приобретение сравнительно дорогих туристских продуктов для зарубежных путешествий. Итерационная процедура предусматривает построение системы нормальных уравнений с использованием способа Жордана-Гаусса и разложение в бесконечный ряд Тейлора функции поправок к параметрам искомого уравнения. Сами поправки позволяют рассчитать параметры функции Торнквиста (второе уравнение) и сделать по ним прогнозные оценки бюджетных расходов семей на дорогие турпродукты.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

последовательное приближение, линейная форма, уравнение регрессии, вероятностное распределение, функции Л. Торнквиста, генеральная совокупность, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, система нормальных уравнений

Tsatsulin A. N.

The Iterative Procedure of Statistical Evaluation the Parameters of the Tornkwist Function (2th Equation)

Tsatsulin Alexander Nickolaevich

North-West Institute of Management — branch of the Russian President Academy of National Economy and Public

Administration (Saint-Petersburg)

Professor of the Chair of Financial Management

Doctor of Sciences (Economy), Professor

Honorary worker of higher professional education of Russian Federation vash_64@mail .ru

ABSTRACT

Article reviews the analysis of conditions, peculiarities and application technics of step-by-step method of iteration to the equations simple regression, which are not reduced to any linear forms of their own parameters and variables. Such practical task is arises sufficiently often during the investigation of class of The Tornkwist functions. Particularly, the 2th equation of this class successfully describes familily's cost for the purchase of relatively expensive tourist products for foreign travels. The method of progressive approximation regards the plotting of the normal equations set with application of process Jordan-Gauß and the expansion into the Taylor's infinite series of the function of the corrections for parameters of the desired equation. The amendments itself are allowing to calculate the parameters of The Tornkwist functions (2th equation) and accomplish the forecast estimations of budget charges for purchase of the expensive tourist's products.

KEYWORDS

approximation approach, linear form, regression equation, probabilistic distribution, The Tornkwist functions, random component, large sample, universal set, maximum-likelihood method, least-squares method, normal equations set, iteration, budget charges, discretionary spending, tourist's product

со

<

о

о

«Случайность — это самая древняя аристократия мира, ее возвратил я всем вещам, я избавил их от подчинения цели».

Ф. Ницше,

«Так говорил Заратустра» [6, с. 424]

н- Выборка, произведенная по всем правилам статистического наблюдения из гене-< ральной совокупности социально-экономической природы, в итоге не обязательно оз оказывается репрезентативной. И даже после осуществления процедуры гомогенизации выборки однородность единиц частной совокупности может оказаться спорной. При этом корреляционная связь значений существенных признаков этих выборочных единиц может носить квазислучайный характер. А если, к тому же, регрессия, построенная на такой сомнительной информационной базе и призванная описать выявляемую закономерность (предварительно теоретически обоснованную), выражена нелинейным уравнением, никак не сводящимся к линейному виду, то перед аналитиком стоит множество самостоятельных проблем, требующих своего обстоятельного решения. Рассмотрению некоторых из них и посвящена настоящая статья.

Распространенное в прошлом среди ортодоксальных (в лучшем семантическом смысле термина), т. е. последовательно, строго и неуклонно придерживающихся каких-либо сложившихся взглядов, именитых статистиков, мнение о том, что единицы (элементы) общей и частной статистической совокупности должны обладать «...по-настоящему качественной однородностью типа генеральной совокупности Я. Бернулли, с которой приходится иметь дело в конкретной деятельности.» [1, с. 20], все чаще в последнее время подвергается серьезной, но не всегда обоснованной критике.

Например, в подобных критических построениях предполагается, что современ-ная1 статистическая наука исходит из того, что специфика сложной совокупности не исчерпывается особенностями однородных ее частей, а заключается, главным образом, в структуре этой совокупности, а особенно — в характере связей и отношений между частями [2, с. 17-26]. Некоторые авторы полагают, что необходим системный подход для комплексного изучения сложных совокупностей, включающих в себя как однородные, так и неоднородные части, с позиций системного анализа — тот самый подход, что получил мощное развитие в самых разных областях науки, в том числе в общественных и гуманитарных ее отраслях. Неоднородность исследуемой совокупности в этом случае может не приниматься во внимание и препятствием для применения математического аппарата не является.

Тем не менее, решение достаточно широкого круга задач социально-экономического характера, связанных со статистическим анализом двумерных распределений при установленной причине явления, часто сводится к построению уравнений простой регрессии, нелинейной в отношении своих параметров и переменных. Пусть имеется уравнение такой регрессии результативного признака типа

В формуле выражения (1) f в общем случае является нелинейной функцией простой регрессии от одного учтенного причинного фактора х1 по совокупности п

1 Можно подумать, что если какой-либо взгляд на вещи, по воле его автора, снабдить коннотацией современный, то такое воззрение автоматически оказывается свободным от безусловных достижений предыдущего поколения исследователей, как в данном случае.

у® = (ак, х.) + £; = f(ao, ат, х) +е..

(1)

наблюдений, i = 1, n , с вектором ак неизвестных параметров при k = 0,m; el, или v ё, - случайная составляющая; она же — случайная компонента, или остаточная | величина, или «вектор невязки» и другие синонимические понятия, встречающие- ° ся в статистической литературе и характеризующие невязку эмпирических и тео- ° ретических уровней, а также отвечающие следующим обязательным требованиям ®

общей теории статистики: ^

а) E[el] = 0; б) cov(el> el') = 0; — 3, в) M{el} ~ N(0, сте2), (2) о

т. е. равенство нулю математического ожидания (E) случайной компоненты el, от- m сутствие статистической связи (ковариации — cov) и нормальность (N) математического распределения множества (М) случайных отклонений {el}. Знак «~» указывает на то обстоятельство, что исследуемая случайная величина имеет вероятностный характер распределения.

Разумеется, построению регрессии любой размерности предшествует анализ наличия статистической связи между результативным и формирующим (или формирующими) признаками: например, оценки зависимости между расходами на туристические поездки семьи и ее доходами. Определение вероятности того обстоятельства, что статистическая связь между изучаемыми признаками-факторами носит случайный характер, называется проверкой статистической значимости. В ходе такой оценочной процедуры, обычно в аналитическом пакете полнофункциональной системы SPSS-19.00 Statistics for Windows, устанавливают значения выбранного статистического критерия, число степеней свободы, показатель р-статистики и др.

Если вероятностная мера — р-критерий — ниже табличного уровня в 0,05, то связь переменных признается статистически значимой; если выше — такая связь не может считаться значимой. Естественно, что статистическая значимость возможной связи переменных зависит и от объема выборки. Отсюда следует формировать выборку из генеральной совокупности не ниже объема большой выборки, т. е. n > 101 [3, с. 254].

При оценивании параметров простой регрессии из выражения (2) могут возникнуть трудности, которые в основном связаны с возможностью (скорее, невозможностью) линеаризовать функцию f относительно своих параметров и переменной xl известными способами для последующей оценки методом наименьших квадратов (МНК), являющегося частным случаем метода максимального правдоподобия (ММП разработан К. Гауссом, П-С. Лапласом и Р. Фишером). Отсюда — для подобных отдельных случаев возникает неприемлемость именно процедуры МНК-оценивания параметров нелинейной формы, поскольку все разновидности МНК-оценок определяются на основе построенной системы нормальных уравнений.

Как известно, параметры уравнений регрессии, которые оцениваются по методу наименьших квадратов, должны содержаться в линейных формах относительно независимых переменных и результативного признака. Однако не все уравнения как простой, так и множественной регрессии могут быть сведены к требуемому линейному виду. К подобным уравнениям относится и второе уравнение Торнквиста1.

Пусть имеются сведения по данным бюджетных и социологических обследований о семейных расходах на j-е товары и услуги определенного качества за год yj в зависимости от душевого дохода l-й семьи — xl. Эта исходная информация, сгруппированная по доходным группам, удачно аппроксимируется вторым уравнением Торнквиста, относящимся к группе замечательных нелинейных уравнений.

Аппроксимация, или приближение ^proxima^on approach, method of approximation), — самостоятельная задача; относится к классу задач, который изучают

1 Группа уравнений названа по имени известного скандинавского эконометрика Л. Торнквиста, — авторитетнейшего специалиста в области статистики спроса и потребления.

g разделы математики — теория приближения функций и численные методы анали-| за. Для вычисления значений сложных функций часто используется расчет значений о отрезка вариационного ряда, аппроксимирующего функцию. Таким образом, под о аппроксимацией понимается описание таблично заданной функции некоторой ма-m тематической зависимостью.

х Исходными данными для решения конкретной задачи обычно является таблица н- наблюдений — набор значений независимых переменных и соответствующие им < значения функции отклика. Число строк (узлов) таблично заданной функции {n} m называют объемом располагаемой выборки из изучаемой генеральной совокупности N, nе N, что и совпадает по смыслу с регламентированной процедурой разработки сказуемого статистических таблиц.

При обработке экспериментальных или натурных выборочных данных обычно рассматриваются два типичных случая. В первом аппроксимирующая функция ограничена диапазоном заданных точек и служит в качестве только интерполирующей зависимости. Во втором случае аппроксимирующая функция выступает в роли экономико-статистической закономерности — например, функций, или уравнений Торнквиста (Tornkwist functions), и уже с помощью этой функции допускается экстраполяция результативной переменной с элементами прогнозирования. Здесь приведенные натурные данные служат опорными точками для выявления закономерности изменения, скажем, у = f(xi) с известными граничными условиями и оказывают влияние на результативный признак yt, на независимую переменную, сформированную на базе какого-либо существенного признака, — xt.

Форма самого уравнения выбирается исследователем в соответствии с поведением аппроксимируемой функции в релевантном диапазоне изменения независимых переменных. Результатом же решения задачи аппроксимации являются оценки параметров (коэффициентов) этого уравнения. Очевидно, что коэффициенты уравнения следует подбирать так, чтобы рассчитываемые по уравнению значения функции отклика максимально близко совпадали с заданными в исходной таблице наблюдений счетными или измеряемыми оговоренным способом характеристиками.

Второе уравнение Торнквиста как функция спроса на товары второй необходимости (менее насущные), в соотношении с эмпирическим уровнем спроса на j-е благо, имеет следующий вид:

у? = + = + <з)

I 1

где а0, аг, а2 > 0.

Конфигурация уравнения и закономерности, описываемые им, приемлемы для представления процессов формирования спроса на отдельные ]-е бытовые услуги ремонтно-восстановительного характера, сравнительно дорогие турпродукты, потребительские товары второго ряда (менее насущные), качественные продовольственные товары (в том числе премиум-класса) и пр. Имеет следующий внешний вид, представленный на рис. 1.

Эта функция также имеет своим пределом а0, но более высокого уровня, нежели в первом уравнении Торнквиста; при этом спрос на эту группу товаров возникает лишь после того, как доход потребителей достигнет величины а2, что отсекается на оси абсцисс-доходов соответствующим отрезком х(0) = а2. График же функции — вогнутая кривая на рис. 1, т. е. для вогнутой функции каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды, график обращен вогнутостью книзу (выпуклостью кверху).

Уравнение из выражения (1) никакими вспомогательными преобразованиями — такими, как логарифмирование, замена переменных и подстановка — к линейной

тыс. руб.

40

80

120

160

200 240

х„ тыс. руб.

Рис. 1. Общий вид второго уравнения Торнквиста, здесь — зависимость спроса на ]-й вид турпродукта от дохода семьи г-й доходной группы в поле эмпирических данных: в (*)В: у ¡(х1) = 0, численно совпадает с х[0) = а2

форме не приводится. Следовательно, затруднена оценка так называемых «истинных» значений параметров а0, а1, а2 этого уравнения. Применение же процедуры обычного МНК при единственном шаге статистического оценивания к форме

У(Хд*Хг = -а0*а2 - а1*у(хг) + а0*Х0 (4)

якобы линейной в отношении параметров и переменных уравнения, как это делает Н. М. Светлов [4], является некорректной процедурой оценивания, поскольку форма из выражения (4) не может быть разделена по зависимым и независимым переменным в правой и левой частях формы.

Но ценность самого второго уравнения Торнквиста для целей анализа и прогнозирования высока, необходимость знания параметров насущна, и в таких случаях может быть рекомендован метод последовательного приближения итеративного типа в рамках задачи стохастической аппроксимации, который осуществляется в несколько этапов (шагов).

Каким-либо способом оцениваются начальные (приближенные) значения параметров а0о), а[0\ а(20) уравнения из выражения (3) по трем парам значений (табл. 1).

Эти начальные значения в общем случае не совпадают с истинными и могут быть найдены путем решения системы нелинейных уравнений, составленных из функций Торнквиста и обладающих единственным корнем.

< Таблица 1

Исходная информация для аппроксимационной оценки параметров о второго уравнения Торнквиста методом пошаговой итерации

№ группа семей п/п Среднедушевой доход семьи в месяц по группе, тыс. руб. Средний расход на оплату /-го турпро-дукта*, тыс. руб.

г := 1, п XI

1 2 3

1 45,0 100,0

2 80,0 300,0

3 120,0 400,0

4 160,0 450,0

5 200,0 490,0

Примечание: * Рассчитано автором статьи для сравнительно дорогих туров в Мексику, Южную Америку и в ЮАР по материалам панельного обследования бюджетов петербургских потребителей в 2012-2013 гг., сгруппированных по большой выборке объемом в 142 ед. (семей), что показано на рис. 1, в пять доходных групп из табл. 11.

у((1) = а0

(0)

( - а20))

у(2) =

у(3) =

х1 + а10)

а00) ( - а20))

х2 + а10)

а00) (хз - а20))

хз + а10)

(5)

где у'1', у(2), у(3), х1, х2, х3 — эмпирические значения выборочных данных, например, три пары данных из табл. 1 по доходам и расходам групп семей, взятых из каждой трети размаха вариации по признаку х;.

1. Первый этап предусматривает решение системы уравнений из выражения (5), точнее, нахождение ее корней относительно начальных значений параметров а0°', а(1 , а(20) осуществляется методом Жордана-Гаусса. Найденные таким образом приблизительные значения параметров, как совокупность чисел-корней а° = а°0), а1 = а10), а2 = а(20) отличаются от истинных значений параметров а0, а^, ^ на величину соответствующих поправок а, Р, у2.

2. Второй этап предусматривает статистическую оценку этих поправок, которые и позволяют установить значения так называемых истинных параметров:

а0 = «00) + а, а1 = «10) + в, а2 = а(2] + у . (6)

1 Так как распределение членов семей по душевому доходу не является достоверным, то среднюю возможную ошибку выборочной средней ту бюджетных показателей для типологической выборки по способу механического отбора рассчитывают по формуле цу = (NN""1) '

2 При достаточно надежном подборе по определенным критериям аппроксимации уравнения простой регрессии поправки а, Р, у являются бесконечно малыми величинами первого порядка малости.

С этой целью представим отдельно второе уравнение Торнквиста из выражения (3) как функцию пока неизвестных истинных параметров а0, й(, а^ с учетом поправок из выражения (6)

У} (х,) = /(а0, а, а2,х,) = /(а00) + а, а10) + в, а(°} + у,х,). (7)

Разложим функцию из выражения (7), считая а0(0), а/0', а2(0) аргументами, а поправки а, Р, у — приращениями, в окрестностях вектора а^0 = (а^0),а}0),а20)) как

точечной оценки и координат точки А в Евклидовом пространстве Еп; А е Еп, в бесконечный ряд Тейлора. Как известно, ряд Тейлора представляет собой разложение заданной аналитической функции в бесконечную сумму степенных характеристик относительно некоторой узловой точки с координатами в точке А трехмерного пространства. Функция является бесконечно дифференцируемой в окрестностях (')А при а е [а'00), а0]; Р е [а((0), а(]; у е [а(20), а2].

Указанный ряд является сходящимся на поверхности а0, а(, а2, как это показано на рис. 2, где для простоты интерпретации схематично изображен первый положительный октант с поверхностью на также положительных поправках а, Р, у, и он имеет следующий вид степенного разложения в продолжение формулы из выражения (7) по частным производным начальных параметров а00), а(( ), а20):

у (х1) = /(а00) , а20), х;) + + + + ^ в, Г), (8)

где Я8(а, Р, у) — остаточный член разложения исходного ряда.

Компонента Я8(а, Р, у) представляет собой часть (остаточный член разложения по типу формы Лагранжа или Пеано), состоящую из частных производных более высоких порядков, нежели первый, в соответствующей комбинации с бесконечно малыми величинами (БМВ) а, Р, у второго и т. д. порядков малости: такими, например, как

в Э2У(ж) в д^Х) ЭЧ(х.) 2 ЭУ(х.) Э2У(х.) 2 ЭУ(х.) авда00)да10)' вУЭа10)Эа20)' Эа20)' а (0))2 ' в «>)2 ' У «))2 ' (9)

Все члены разложения, показанные в выражении (9), являются БМВ более высоких порядков малости, которыми можно пренебречь в соответствии с теоремой о свойствах БМВ (алгебраическая сумма конечного числа БМВ есть БМВ). По этой причине следует ограничиться членами разложения не выше второго порядка, Я8(а, Р, у) ^ 0, при объеме наблюдений п ^

3. Наконец, третий этап — последний шаг статистического оценивания параметров простой регрессии. Обозначим первые частные производные в формуле выражения (8) через соответствующие новые переменные

У(X) _ т. ¿М. — ,(0. дМ.

_ _('). - V Ч — 2(,). - У ч - 2(0 (10)

да00) _ 21 ' Эа<0) 2 ' да20) = ' (10)

Помня, что разностью между эмпирическими и теоретическими значениями функции спроса на турпродукты '-го вида для V х^ е [х1, хп] является вектор невязки е = Y - Y(X), формулу из выражения (1) можно зрительно упростить, за-

Рис. 2. Геометрическая интерпретация реализации процедуры оценивания параметров второго уравнения Торнквиста по аппроксимационному методу последовательного приближения

писав ее в виде уравнения множественной регрессии линейного типа с новыми заявленными переменными г^ и поправками в виде параметрических коэффициентов регрессии. Последние, в свою очередь, и подлежат статистическому оцени-

(0)

ванию по регрессии промежуточного вектора невязки ег

е (0) = а г® +р 4° +у 4°, (11)

(0) - V

где е характеризует случайную компоненту вектора спроса У и теоретических уровней спроса, вычисленных по функции с начальными параметрами

у. (а(0) , а(0), а(0),х.) .Компонента е(0), очевидно, в общем случае не совпадает со

случайной составляющей е1, т. е. с е(0) ф е, В противном случае, предполагая их равенство, необходимо будет доказывать свойства аддитивности компоненты для каждого конкретного случая набора новых переменных гк [5] в соотношениях е, = е0 + Д8(а, Р, у).

Поправки-коэффициенты а, Р, у в выражении (11) являются обычными (ординарными) МНК-оценками, для чего решается система нормальных уравнений, построенная так называемым «механическим» способом на базе исходного линейного уравнения множественной регрессии:

п

(О _(0

г3

о

п п <

£е (0) г« = а£(г« ) + г« г« + у£ г* i=l i=l i=l i=l

£ е(0)г® = а£г«г« + в£) + у£г«г« . (12)

i=1 i=1 i=1 i=1

£ е (0) г« = аj^г1i>г3i> + в £ г«г« + у £ (г«) ^=1 i=1 i=1 i=1

Алгоритм решения систем нормальных уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в режиме пошаговой итерации в порядке следующих стадий.

1. Проверяется, не является ли система уравнений несовместной; если система содержит какое-либо противоречивое уравнение, то она несовместна.

2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений; если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.

3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы, а если необходимо, то частные решения.

4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают соответствующий разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом. Далее заново переходят к п. 1 пошаговой итерации.

Способы решения систем линейных алгебраических уравнений типа, показанного в выражении (12), в основном разделяются на две группы методов:

1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы вычисления корней (матричный метод, правило Крамера, метод Гаусса и др.);

2) итерационные методы, позволяющие получать корни с заданной точностью путем сходящихся процессов.

Следует обратить внимание, что в приведенной форме система нормальных уравнений линейного типа справа содержит слагаемые, содержащие неизвестные величины поправок, причем порядок следования аргументов в каждом уравнении должен быть строго одинаковым.

Параметры а0, ах, а2, определенные методом последовательного приближения, обладают статистическим свойством несмещенности: т. е. Е(а^ ) = ак;

Е

акп - а

к

= 0, и математическое ожидание совпадает с истинной оценкой

параметра. Другими словами, УМО выборочного коэффициента равно нулю при с пТ и/или п ^ Ы, где N — численность конкретной генеральной совокупности: например, совокупность всех семей Петербурга в указанном диапазоне изменения уровня дохода. Все это имеет место для линейной регрессионной модели в отношении вектора невязки.

Однако следует признать, что в самом общем случае эти параметры не являются оптимальными оценками, так как не обнаруживают асимптотическую эффективность при увеличении объема выборки {п}Т, т. е. не являются вполне эффективными оценками в традиционном понимании свойств МНК-оценок. Поэтому дополнительно следует осуществить проверку значимости на уровне 5% (р < 0,05) как параметров этой регрессии, так и собственно второго уравнения Торнквиста. Величина р-значения (p-vаlue) свидетельствует о том, насколько неожиданным окажется такое событие (факт), что полученные данные соответствуют нулевой гипо-

тезе — Н0. Малые р-значения обозначают большую неожиданность обнаружения этого факта и обосновывают отказ аналитика от Н0. Принято отвергать гипотезу Н0, когда р-значения меньше величины в 0,05.

Для того чтобы оценить, насколько надежно параметры а0, а(, а2 отражают исследуемый процесс формирования спроса на дорогой турпродукт и не являются ли эти значения результатом воздействия случайных величин, рассчитываются средние ошибки выборочных параметров — расчетная погрешность < в общем случае для Аак с соответствующими дисперсионными характеристиками а&к, стх, сту и коэффициентом парной корреляции ту^х, а также ¿-критерии Стьюдента

Ьак = 1 ак \ _ \ ак \ ^хУ"-2 (13)

о

2

y\x

Проведенные расчеты показали сравнительно высокое качество аналитического выравнивания — коэффициент детерминации оказался равным dy = 0,8376, т. е. в общей колеблемости результативного признака 83,76% ее может быть «объяснено» вариацией доходного фактора xv

Счетные характеристики параметров а0, ах, а2 представлены в табл. 2.

В связи с тем, что в составе населения России довольно значительную группу образует круг лиц с доходами, многократно превышающими 200 тыс. руб. в мес. на члена семьи, особый интерес представляет оценка емкости рынка дорогого турпродукта (индивидуально разрабатываемые маршруты в затратных дестинациях, престижные и всемирно известные курорты и пр.) для платежеспособных, успешных, отдыхающих по несколько раз в год и путешествующих россиян. Исследование емкости такого эксклюзивного российского рынка можно осуществлять с помощью рассмотренной и оцененной выше экономико-статистической модели.

Этот потребительский рынок впечатляет своими объемами, поскольку по неравенству распределения имущества и доходов Россия находится на одном из первых мест в мире. Об этом говорится в ежегодном (за 2013 г.) исследовании Credit Suisse Research Institute (CSRI)1; там же сообщается, что в России 110 миллиардеров контролируют до 35% богатств всех домохозяйств — в то время как в мире на их долю приходится, в среднем, 1-2%. Количество же миллионеров в долларовом исполнении оценивается в России в 84 000 чел. [8].

Совместно с мировым лидером в области изучения рынков — аналитической фирмой AC Nielsen — CSRI опубликовали результаты второго ежегодного исследования Emerging Consumer Survey — подробного исследования потребительских настроений в странах БРИК (Бразилии, России, Индии и Китае). Исследование ставило целью выявить специфику структуры расходов и потребительских предпочтений населения этих стран, которые находятся в центре структурных изменений мирового спроса. Основная структурная особенность, характеризующая потребителей указанных стран и их оптимизм, заключается в переходе от жизненно необходимых расходов к более дискреционным (discretionary spending — траты на дорогостоящие товары), что более типично для стран с развитой экономикой. Это отражает глобальные изменения в балансе потребительских расходов.

1 Credit Suisse Research Institute. [Электронный ресурс]. URL: www.credit-suisse.com (дата обращения: 12.05.2014).

Таблица 2

Счетные характеристики параметров а0, а1, а2

№ п/п Наименование счетной характеристики Оцененные параметры второго уравнения Торнквиста, тыс. руб.

а0 а1 а2

1 Уровень истинного параметра 633,3940 133,3840 35,7895

2 Расчетная погрешность параметра из выражения (13) 2,026808 0,5736 0,1365

3 Нижняя граница доверительного интервала 627,3134 131,6059 35,3815

4 Верхняя граница доверительного интервала 639,4746 135,1621 36,1975

5 р-значения на 5%-ном уровне значимости 0,000347 0,000211 0,000076

Несмотря на то, что цены на экспортируемое сырье в последние годы все еще оставались благоприятными для российской экономики, заметного влияния на траты рядового потребителя это не оказывало. Уровень оптимизма здесь остается одним из самых низких в странах БРИК. С учетом неравенства доходов возможности для повышения благосостояния в России обеспечиваются, в основном, населением с высоким уровнем доходов в сегменте дискреционных покупок.

Аналитики CSRI зафиксировали увеличение в России дискреционных расходов в различных категориях: в частности, в категории дорогостоящих благ, включая технологические продукты, предметы роскоши и зарубежной недвижимости. Этому есть два простых объяснения. Во-первых, в силу отмеченного значительного неравенства доходов и заметной инфляции, население с высокими доходами по-прежнему активно совершает дорогостоящие покупки. Во-вторых, отечественный рынок дискреционных товаров — таких, как часы, смартфоны, антиквариат, модная одежда, косметика, парфюмерия, турпродукты, — остается явно недоосвоенным, что предполагает возможность дальнейшего структурного роста. Наш рядовой миллионер продолжит увеличивать свои дискреционные расходы.

Изложенные в настоящей статье соображения позволяют сделать три локальных вывода по применимости рассматриваемой процедуры при решении подобных и близких по содержанию экономико-статистических задач исследования спроса и потребления турпродуктов высокого уровня [7].

1. В гносеологическом и методологическом аспектах сформулированной проблемы оценивания параметров в условиях типовых нелинейностей данный прием (последовательная итерационная процедура) не дает окончательного решения, т. е. полученные результаты не обладают полностью завершенным и безукоризненным характером статистической чистоты.

2. Вследствие неизбежных округлений даже надежные и точные методы измерения экономических параметров являются приближенными. При использовании итерационных процедур аппроксимации добавляется погрешность реализации собственно метода, а эффективность его применения зависит от более или менее удачного выбора начальных условий приближения и скорости сходимости самого процесса итерации.

3. И, наконец, общий подход к стохастической аппроксимации нелинейной функции понимается автором через применение рядов Тейлора и поиск многочленов под-

2 ходящих форм. В частности, линеаризация уравнений простой регрессии с типичной нелинейностью должна осуществляться путем разложения в степенной о ряд и отсечения от дальнейших расчетов всех членов ряда выше первого по-о рядка малости.

х

лз Литература

—

< 1. Смит М. Н. Теория и практика советской статистики : сб. статей. Общество статистиков-т марксистов. 2-е изд., перераб. и доп. М.; Л.: Государственное социально-экономическое

издательство, 1931. 247 с.

2. Илышев А. М. Общая теория статистики : учебник для студентов вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. 535 с.

3. Сондерс М., Льюис Ф., Торнхилл Э. Методы проведения экономических исследований : профессиональное издание для бизнеса. 3-е изд. : пер. с англ. М.: Эксмо, 2006. 640 с.

4. Светлов Н. М. Моделирование рынка: оценивание функций Торнквиста. М.: Изд-во РГАУ-МСХА им. Тимирязева, 2008. 144 с.

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия : пер. с англ. Т. 2. М.: Статистика, 1977. 346 с.

6. Ницше Ф. По ту сторону добра и зла / пер. Ю. М. Антоновского. М.: Эксмо-Пресс; Харьков: Фолио, 1999. 1056 с.

7. Цацулин А. Н. Экономический анализ : учебник для вузов. В 2 тт. Т. 1. СПб.: Изд-во СЗИУ РАНХиГС при Президенте РФ. 2013. 924 с.

References

1. Smith M. N. Theory and practice of the Soviet statistics: collection of articles. Society of statisticians Marxists [Teoriya i praktika sovetskoi statistiki: sbornik statei. Obshchestvo statistikov-marksistov]. 2nd ed. M. ; L.: State social and economic publishing house [Gosudarstvennoe sotsial'no-ekonomicheskoe izdatel'stvo], 1931. 247 p.

2. Ilyshev A. M. General theory of statistics [Obshchaya teoriya statistiki] : the textbook for students of higher education institutions. M.: YUNITI-DANA, 2008. 535 p.

3. Saunders M., Lewis P., Thornhill A. Methods of carrying out economic researches: professional edition for business [Metody provedeniya ekonomicheskikh issledovanii: professional'noe izdanie dlya biznesa]. 3rd ed. : translation from English M.: Eksmo, 2006. 640 p.

4. Svetlov N. M. Market modeling: estimation of functions of Tornquist [Modelirovanie rynka: ot-senivanie funktsii Tornkvista]. M.: RSAU-MTAA of Timiryazev publishing house [Izd-vo RGAU-MSKhA im. Timiryazeva], 2008. 144 p.

5. Kane E. Economic statistics and econometrics [Ekonomicheskaya statistika i ekonometriya]. Translation from English, v. 2. M.: Statistics [Statistika], 1977. 346 p.

6. Nietzsche F. Beyond Good and Evill [Po tu storonu dobra i zla] / translation from English of M. Antonovsky. M.: Eksmo-Press ; Kharkov: Folio, 1999. 1056 p.

7. Tsatsulin A. N. Economic analysis [Ekonomicheskii analiz] : the textbook for higher education institutions. In 2 vol. V. 1. SPb.: Publishing house of SZIU RAN EPA [Izd-vo SZIU RANKhiGS], 2013. 924 p.