Об истоках теоретической механики Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

2010

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 3(3)

УДК 531.534

Об истоках теоретической механики

В. И. Яковлев

Пермский государственный университет, Россия, 614990, ул. Букирева, 15 [email protected]; (342) 239-62-98

Рассматриваются технические, математические, философские истоки основных понятий, законов и принципов теоретической механики.

Ключевые слова: история механики; основные понятия механики; принципы и законы механики.

1. Техника, облегчающая жизнь

Механика как наука стала появляться, как и другие классические разделы современной науки, во времена Древней Греции. Именно тогда из практики использования разнообразных приспособлений, инструментов, простейших машин она превратилась в одну из "философских" теорий о том, какие существуют механизмы и как они устроены, почему все эти изобретения облегчают физический труд и как это облегчение сделать еще более эффективным.

Мир технических изобретений древних народов был достаточно велик и разнообразен. С незапамятных времен у разных народов с целью выращивания зерновых и плодовых растений использовались инструменты для обработки земли (аналог лопаты, топор, кирка, соха, борона), инструменты для сбора и обработки урожая (серп, коса, ручные, ветряные и водяные мельницы, прессы для выжимания сока, приспособления для обработки льна, джута, шерсти и кожи), инструменты для подъема и перемещения тяжестей, для строительства жилищ, хранилищ, больших судов и транспортных повозок, пирамид, каналов, мостов, архитектурных и культовых сооружений (колесо, наклонные плоскости, рычаги, клин, конструкции для подъема воды), инструменты для изготовления предметов быта и украшений (нож, гончарный круг, игла, ткацкий станок, печь для выплавки и обработки металлов).

© В. И. Яковлев, 2010

Для охоты, ведения захватнических и оборонительных войн были нужны оружие и боевые доспехи (лук и стрелы, копья, мечи, щиты, шлемы, метательные и осадные машины).

Весь этот арсенал технических изобретений непрерывно совершенствовался. Один из главных законов человеческого бытия: лучшее - враг хорошего. Побеждает тот, кто лучше вооружен, выживает тот, у кого лучше условия жизни, у кого больше единомышленников. Мозг homo sapiens, как и его сердце, руки и другие органы, непрерывно трудится в поисках лучшей доли. Присущая человеку от рождения потребность в непрерывном накоплении знаний и опыта, совершенствовании его мыслительных способностей, его физических возможностей, а также стремление к превосходству всегда были и остаются главными причинами и залогом научного и технического прогресса общества.

2. Философские истоки

Неведомые нам изобретатели всех первых технических приспособлений и были первыми механиками. Свои изобретения они передавали своим ученикам, которые сначала продолжали дело своих учителей, а затем передавали его своим последователям. И на каком-то этапе этой эстафеты знаний и умений, когда мыслительная деятельность человека стала достаточно совершенной, возникли вопросы о причинах. Почему летит брошенный камень, стрела, выпущенная из лука? Почему с помощью палки (рычага) можно поднять или передвинуть камень,

который нельзя сдвинуть руками? С помощью наклонной плоскости груз можно поднять на любую высоту, с помощью катков или колесной тележки его можно переместить на большое расстояние. В чем таинство, секрет этих изобретений?

Появился вопрос - появились желающие дать на него ответ, отличиться. Ими были первые "философы" - ученые, объяснявшие, что является первоосновой всех вещей, явлений и процессов. Отстаивая свои убеждения в полемике со своими предшественниками и современниками, они стремились открыть эти истины не только для себя, но и для других. И эти открытия они делали, опираясь, как правило, не на результаты опытов, реальных экспериментов, а на мощь своего ума, на способность предвидения, оперируя в основном абстрактными понятиями и представлениями об устройстве этого мира. Трактаты, сочинения Фалеса, Пифагора, Гераклита, Архита, Аристотеля, Евклида, Архимеда, Герона, Витрувия, их учеников и последователей стали отправной точкой развития наук и, в частности, научной механики. От них мы получили представления не только о конкретных вещах, но и об абстрактных понятиях о времени, пространстве, движении, бесконечности, о числах и геометрических фигурах, о соотношениях между этими понятиями. Язык научных понятий, созданный отцами древнегреческой философии, позволил сформулировать первые законы природы, техники и человеческого бытия. Далее этот язык совершенствовался, его лексикон расширялся, некоторые законы уточнялись, совершенствовались, а иногда и пересматривались, появлялись новые законы, новые представления о свойствах нашего мира.

В этом длительном и сложном сплетении идей, правил, методов, приоритетов может помочь разобраться изучение истории науки. Но это очень непростая задача. Мало, обратившись к первоисточникам, прочитать какую-то цитату из сочинения классика. Современный опыт жизни и склад мышления не всегда позволяют правильно понять идеи наших великих предшественников. Даже современному греку, живущему в городе Платона и Аристотеля, необходимо ясное понимание того, что его далекие земляки были совсем другими, жили в других условиях и другими интересами, поэтому произнесенные ими слова могут означать

совсем иное, чем то, что он думает. Необходимо изучать и понимать особенности, дух ушедшей эпохи - все то, что подпадает под понятие "история".

А нужно ли вообще изучать историю наук? Может достаточно перечислить современному мученику науки основные понятия, законы, правила, теоремы, методы решения задач и он станет ученым, специалистом? Опыт показывает, что перечислить - мало, заставить запомнить, поверить - мало. Необходимо, чтобы все премудрости наук стали понятны учащемуся, чтобы он мог ими пользоваться при решении новых задач, чтобы приобретаемые познания складывались в целостную стройную систему знаний, чтобы он сам мог внести свою лепту в формирование новых представлений о свойствах нашего меняющегося мира и общества, в создание новых методов решения проблем. Язык понятий современной науки настолько обширен, а понятия часто настолько абстрактны, что их понимание только через словесные определения, иллюстрации или некоторые (например математические) формулы порой невозможно. Необходимо изучение истории того или иного понятия. Только проследив путь возникновения, развития научного понятия (числа, бесконечно малой, предела, функции, дифференциала, интеграла, скорости, силы, массы...), можно осознать его истинный смысл и вооружиться им для постижения новых научных вершин. Изучение наук (образование), дальнейшее развитие науки без понимания ее истории невозможны.

3. Математические истоки

Важнейшую роль в современной системе наук играет математика, точнее, ее язык понятий и методы. В далекие времена было обнаружено, что окружающие нас предметы, тела, события обладают определенными особенностями, свойствами. Наряду со словами, обозначающими предметы и явления (дерево, рука, животное, река, гора,...дождь,... ), неизбежно появились слова, понятия, обозначающие свойства. Например, форма и размеры тела, его цвет, тяжесть, состав,... Понятие множества отражало повторяемость некоторых предметов: в лесу много деревьев, в стаде много животных, в мешке много зерен, у человека два глаза, две руки, на каждой из которых по пять пальцев,

одна голова,.. Составы множеств могут быть различными. Множество может состоять из одного элемента (голова), из двух (глаза), из пяти (пальцы руки), из многих. Для определения этих разных множеств появились слова-понятия один, два, три,. - слова, определяющие, говоря современным языком, числа натурального ряда.

Математические операции сложения и вычитания, понятия, соответствующие этим операциям, отражали реальные события, связанные с увеличением или уменьшением множеств. Более сложные операции умножения, деления, извлечения корня и соответствующие слова-понятия возникли позднее, в процессе совершенствования техники счета. Появившаяся письменность включала в себя не только слова-предметы, слова-явления, но и слова-свойства, слова-числа, слова-операции. Совершенствование письменности, техники счета привело к идее замены слов-чисел буквами или специальными значками. Так появились цифры, операции над ними, а позднее и наука арифметика.

Происхождение первых геометрических образов, понятий также связано с необходимостью определения, выражения формы и размеров реальных тел: нить, палка, поле, участок земли, Луна, сосуд для хранения вина

или масла, гора, пирамида, колесо...... Для

определения размеров появились слова-меры: длина, ширина, высота, площадь, объем. Появились и меры веса, времени, угловые и денежные меры, а с ними и эталоны меры -единицы их измерения. После этого возникла возможность, используя числа единиц меры, считать не только тела, но и их размеры - длину палки, площадь участка, объем пирамиды. Длина палки - это число эталонов длины, которые можно на ней расположить. Площадь участка - это количество квадратиков (мера площади - квадрат со стороной, равной единице длины), которые можно расположить на участке. С появлением меры появилось и понятие части меры - дроби.

Когда-то древние мудрецы, жрецы обнаружили, что одну и ту же мысль часто можно выразить по-разному, что некоторые множества бывают одинаковыми по количеству элементов, по каким-то другим признакам. Это представление о похожести или даже идентичности событий, явлений, о равенстве множеств привело к появлению математического понятия уравнения. Это,

несомненно, одно из важнейших достижений математики, позволившее находить (определять) неизвестную величину, используя известные. Не просто предсказывать (фантазировать, обещать), а предвычислять числа, обозначающие некоторые величины, события, явления.

У царя была казна (куб со стороной а), но он потребовал построить ему казну в два раза большего размера. Задумались мудрецы. Сейчас объем казны а3, царю нужна казна-куб объемом 2а3. Какой же должна быть сторона х этого нового куба? (Задача об удвоении куба). Ответ кроется в уравнении 2а3 = х3. Говоря современным языком, для ответа на вопрос необходимо решить это уравнение, найти его корни. Можно было бы сторону нового куба найти и экспериментально, построив несколько вспомогательных кубов, потратив, естественно, много времени, сил и материалов, однако поиск точного решения этой задачи (этого уравнения) захватил не руки, а умы многих математиков-философов Древней Греции. Может, им показалось, что думать проще, чем делать, может, они не в полной мере доверяли своим органам чувств (не секрет, что иногда они нас подводят), но поиск решений этой и подобных задач затянулся на многие столетия. Об исходных проблемах постепенно забыли, а осталась достаточно универсальная теория (понятия, аксиомы, теоремы, методы) решения задач и игры мысли, называемая "математика".

Современная математика создавалась лучшими умами человечества на протяжении всей его истории. Она отражает самые фундаментальные свойства нашего мира такими, какими мы их представляем. Не математика правит миром, она только отражает представления современных ученых о свойствах этого мира. Это означает, что с развитием, изменением наших представлений об устройстве природы, о законах общественного бытия будет развиваться и математика. В этом один из залогов ее развития. Вторым важнейшим стимулом ее совершенствования является внутренняя логика ее развития, совершенствования теории.

4. Математическая механика

Механика была одной из первых наук, в которой математика играла важнейшую роль. Это убедительно подтверждается древней-

шими трактатами "Механические проблемы" (начало III в. до н.э.), "Свод механики" (Филон Византийский, середина III в. до н.э.), сочинениями псевдо-Евклида ("Книга о весах"), Архимеда ("О весах", "О равновесии плоских тел и центрах тяжести плоских фигур", "О плавающих телах" и др.), Герона ("Механика", "Книга о подъемных механизмах", "Пневматика", "Книга о военных машинах", "Театр автоматов" и др.), Витрувия ("Об архитектуре"), Паппа ("Математическое собрание").

Можно утверждать, что на протяжении двух последних тысячелетий математические методы настолько сильно внедрились в задачи механики, что механика стала одним из главных стимулов развития математики. Этот неразрывный симбиоз математики и механики привел к тому, что во второй половине XVII в. в Парижской академии наук основоположников современной механики именовали "геометрами", а после XVIII в. теоретическую механику стали не без оснований называть прикладной математикой. Основоположники современной аналитической динамики -Г.Галилей, И.Кеплер, Р.Декарт, Х.Гюйгенс, И.Ньютон, Г.В.Лейбниц, Я. и И.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Л.Даламбер, Ж.Л.Лагранж, У.Р. Гамильтон - были "по совместительству" создателями основ математического анализа, аналитической геометрии и других разделов современной математики. "Механика - рай математических наук", - еще до этого утверждал Леонардо да Винчи.

Одним из первых создателей теоретической, т. е. математической, механики был Архимед. Это он первым экспериментально установленное правило равновесия рычага сформулировал в виде математического уравнения. Закон равенства моментов сил, сформулированный Архимедом для конкретного технического изобретения, позднее превратился в один из главных законов природы. Он подтверждался экспериментально, был сформулирован словесно и записан в виде математического уравнения. Решение этого простого уравнения (методы решения были хорошо известны) позволяло найти ответы на многие практические вопросы при создании подъемных механизмов, разнообразных весов. Именно поэтому принципы движения тел, законы динамики, открытые в XVII-XVШ вв., формулировались в виде математических уравнений по аналогии со статическим законом моментов. В этом идейная преем-

ственность механики от Архимеда до Лагранжа и его коллег по Парижской политехнической школе.

5. Из истории принципов механики

Говоря о математических методах современной механики, нельзя забывать о ее идейных, философских основах и принципах. Первые представления о первоосновах тел, о свойствах и причинах их движения со времен "Физики" Аристотеля неоднократно пересматривались и уточнялись. Представления Аристотеля о том, что все тела обладают врожденным свойством тяжести, которое и является причиной их падения, о том, что тяжелые тела падают быстрее легких, о том, что брошенное тело, как и некоторые другие, движется под действием обтекающего его воздуха, вызывали сомнения у мыслителей более поздних эпох.

Наиболее завершенный вид имела теория рычага, ставшая основой для изучения и конструирования разнообразных весов. Слово "статика" происходит от латинского "81айке" -искусство взвешивания. Семь постулатов равновесия рычага позволили Архимеду сформулировать принцип равновесия: грузы уравновешиваются на длинах (расстояние до точки опоры, плечо), обратно пропорциональных тяжестям. Математически этот принцип можно представить как равенство отношений плеч и весов, как алгебраическое уравнение равенства моментов сил ("силы веса"), как равенство нулю суммы моментов сил.

А что произойдет с покоящимся рычагом, если мысленно немного отклонить его от положения равновесия? Грузы переместятся на расстояния, пропорциональные плечам. Пользуясь современной терминологией, мы получаем иное выражение условия равновесия рычага: работы (произведение веса на перемещение), совершаемые грузами, равны или сумма работ равна нулю. С математической точки зрения эти условия равновесия одинаковы, однако физический смысл у них различен. Это различие определяется разницей физической сущности понятий момента и работы силы. Идея мысленного малого отклонения тела от положения равновесия привела к понятиям возможного, виртуального перемещения, вариации и производных понятий.

В Средние века в работах арабских ученых укрепляется математический (геомет-

рический, алгебраический) стиль изложения научных теорий, обсуждаются проблемы движения и равновесия (теория весов, используется аналог понятия момента силы) тел. В сочинениях европейских ученых появляются понятия "импетуса", равномерного и неравномерного движений, мгновенной скорости, скорости равномерного движения, ускорения. Наряду с теориями философского и математического содержания появляются попытки их экспериментального подтверждения (Роджер Бэкон).

Иордан Неморарий (XIII в.), опровергая Аристотеля и подтверждая мнение Филопона (VI в.), утверждал, что тела равной тяжести, но разной формы падают по-разному, что тела разной тяжести падают одинаково быстро. Важный вклад в представления о свойствах движения внесли английские "калькуляторы" (профессора Оксфордского университета, XIII в.), создавшие учение об "униформном" (равномерном) и "дифформном" (неравномерном) движении, и профессора Парижского университета Жан Буридан, Николь Орем, Альберт Саксонский. Именно они развивали теорию импетуса - некоего врожденного или приобретенного в результате толчка свойства, которое и является причиной движения тела. Понятие импетуса оказалось прообразом более поздних понятий импульса силы, количества движения, "живой силы", кинетической энергии.

Наиболее заметный вклад в механику эпохи Возрождения внесли Николай Кузан-ский, Леонардо да Винчи, Николо Тарталья, Джироламо Кардано, Юлий Скалигер, Доминико Сото, Джамбатиста Бенедетти, Гвидо Убальдо дель Монте. Гелиоцентрическая система устройства Вселенной, предложенная Н.Коперником, и многолетние астрономические наблюдения Т.Браге позволили в начале XVII в. сформулировать законы движения планет - законы Кеплера. Это уже были не умозрительные философские законы, а законы природы и техники, законы небесной механики, позднее получившие математическое выражение.

В XVI-XVII вв. появляются новые физические представления:

1) о существовании взаимодействия (притяжения или отталкивания) между телами (его причина не понятна) и о том, что тяжесть тела - это проявление притяжения тела к Земле (И.Кеплер, Г.Галилей, И.Бульо, Ж.П.

Роберваль, Р.Гук, И.Ньютон);

2) причиной движения или равновесия тела является действие на него других тел;

3) движение и равновесие тел всегда относительно (Г. Г алилей);

4) свободное тело (на него не действуют другие тела) будет покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно (Г.Галилей, Р.Декарт, И.Ньютон);

5) все тела падают с одинаковым ускорением, скорость падения пропорциональна времени (Д,Бенедетти, Г.Галилей), а высота, с которой падает тело, пропорциональна квадрату времени (Н.Орем, Г.Галилей);

6) всякому действию тела соответствует равное противодействие (С.Стевин, Г,Гали-лей, Ж.П.Роберваль, Х.Гюйгенс);

7) тело иногда можно ассоциировать с его центром тяжести (считать точкой);

8) понятие силы как величины, численной меры взаимодействия между телами (за единицу меры выбирается вес какого-то эталонного тела), имеющей точку приложения и направление, которую можно изображать направленным отрезком прямой; при действии на тело нескольких сил их можно заменять одной (равнодействующей), величина и направление которой определяются правилом параллелограмма (С.Стевин, Г.Га-лилей, Ж.П.Роберваль, Х.Гюйгенс, И.Ньютон, Г.В.Лейбниц, П.Вариньон);

9) понятие массы как меры плотности (характеристики физических свойств) и объема тела (Р.Декарт, И.Ньютон, Г.В.Лейбниц);

10) понятия количества движения (mv; Р.Декарт, И.Ньютон), "живой силы" (т^; Х.Гюйгенс, Г.В.Лейбниц, братья Бернулли), момента инерции, центробежной силы (Х. Гюйгенс), центра удара, центра колебаний (Ж.П.Роберваль, Х.Гюйгенс).

Сложившиеся физические представления в конце XVII в. формулируются как некоторые законы (в том числе законы сохранения), принципы (статические принципы равенства моментов сил или работ сил, принцип невозможности вечного движения и "принцип отвердевания" С.Стевина, принципы независимости движений (прямолинейного и вращательного), относительности движения, невозможности движения под действием среды Г.Галилея, сохранения количества движения Р.Декарта, сохранения высоты центра тяжести системы тел Х.Гюйгенса, сохранения живой силы Г.В.Лейбница), запи-

сываются в виде математических уравнений, теорем и составляют основы первых механико-математических теорий о движении планет (И.Кеплер), об ударе тел (Г.Галилей, Э.Торричелли, И.М.Марци, Р.Декарт, Х.Гюйгенс, Дж.Уоллес, К.Рен, Э.Мариотт, И.Ньютон), о колебаниях маятника (Х.Гюйгенс), о центробежных силах (Х.Гюйгенс), о притяжении тел (И.Кеплер, И.Бульо, Ж.П.Роберваль, Дж.Борелли, Р.Гук, И.Ньютон, Г.В. Лейбниц), о равновесии тел (С.Стевин, Г.Галилей, Ж.П.Роберваль, П.Вариньон).

В XVIII в. продолжилось формирование принципов и математического аппарата механики, которую сейчас принято называть классической. Осмысление понятий силы, момента силы, центробежной силы на примере задачи о колебаниях маятника (Я.Бернулли, Я Германн, И.Бернулли, Л.Эйлер) привело Ж.Л. Даламбера к формулировке принципа, позднее названного его именем. По форме он напоминает архимедово уравнение равновесия сил, но фактически является иной формулировкой, иной записью второго закона И.Нью-тона. Введенное Г.В.Лейбницем понятие действия, получившее развитие в работах Я. и И.

Бернулли и других его последователей, привело к появлению принципа наименьшего действия, который первоначально был

применен к задачам статики (П.М.Л.Мопер-тюи), а позднее распространен и на динамические задачи (Л.Эйлер, Г.Куртиврон, П.Дар-си, Ж.Л.Лагранж, У.Гамильтон, К.Якоби). Идеи разумности устройства Мира, соответствия наших представлений о его устройстве истинным законам мироздания, оптимальности происходящих в нем процессов получили в механике новое подтверждение.

Понимание истоков, знание основных этапов формирования современного содержания механики - важнейшее условие успешного освоения и преподавания механикоматематических наук.

Список литературы

1. Яковлев В.И. Начала механики. М.; Ижевск:

РХД, 2005. 350 с.

2. Тюлина И.А., Чиненова В.Н. История меха-

ники. М.: Изд-во МГУ, 2002.

3. Яковлев В.И. Математические начала. М.:

Ижевск: РХД, 2005. 223 с.

About sources of theoretical mechanics

V. I. Yakovlev

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 [email protected], (342) 239-62-98

The article discusses the main philosophical, technical and mathematical sources of theoretical mechanics.

Key words: history of mechanics; fundamental notions; principles of mechanics.