Об исследовании некоторых задач реконструкции и управления с помощью экстремального сдвига Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.077

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО СДВИГА 1

© В. И. Максимов

Ключевые слова: управление; реконструкция; экстремальный сдвиг.

Аннотация: В работе обсуждаются вопросы применения метода экстремального сдвига для решения некоторых задач реконструкции и управления динамическими системами с помощью экстремального сдвига; в частности, указывается алгоритм реконструкции неизвестного входа в линейной системе при измерении части фазовых координат.

Метод экстремального сдвига [1] — один из эффективнейших методов исследования задач управления по принципу обратной связи. Цель данного сообщения состоит в том, чтобы проиллюстрировать возможности этого метода на примерах некоторых задач робастного управления и динамической реконструкции неизвестных характеристик. Обратимся к одной задаче динамической реконструкции. Пусть имеется динамическая система £, которая функционирует на промежутке времени Т = [£о,$], $ < +го, и описывается дифференциальным уравнением

х(Ь) = Лх(Ь) + Еп({) + ¥(£), £ е Т, х(£0) = х0. (1)

Здесь x(t) е М™, п^) е М", ¥( ) е Ь2(Т; М™) — заданная функция, Л — и х и-мерная матрица, Е — и х Ж-мерная матрица. Траектория системы (1) х(£) = х(Ц £0,х0,п( )) е М™, £ е Т, зависит

х0

п(-) е Ь2(Т; М"). На промежутке Т взято равномерное разбиение А = [тг}т=0 с шагом 8, т+1 = = тг + 8, тт = $. В моменты тг измеряется выход системы у(Ь) = Ох(Ь) е Мг (О — г х и-мерная матрица). Выход измеряется с ошибкой. Результаты неточных измерений — вектора ^ е Мг — удовлетворяют неравенствам

— у(тг)\т ^ Ь, г е [0 : т — 1], (2)

где Н е (0,1) — величина информационной погрешности, символ \у\г означает евклидову норму г-мерного вектора у. Требуется построить алгоритм, позволяющий «синхронно с развитием процесса» по результатам неточных измерений у(-) восстанавливать как всю фазовую траекторию х(-), так и управление п(-), порождающее выход у(-). Именно требуется сформировать некоторую пару («траектория-управление») [,ш1£( ),п1£( )}, «близкую» к паре [х(-),п(-)}. Такова содержательная постановка задачи реконструкции. В дальнейшем считаем, что начальное условие системы (1) задано неточно. Именно, вместо вектора Х0 известен вектор х\х0 — х^\п ^ Н.

Перейдем к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи. Согласно подходу [1-3] для решения задачи следует указать уравнение вспомогательной управляемой системы М, называемой моделью, а также закон формирования управления ею. При этом как саму модель, так и закон управления (включающий интервалы «постоянства» управлений в модели) следует согласовать подходящим образом с величиной информационной погрешности Н. Фиксируем семейство [А^} разбиений отрезка Т на полуинтервалы [ть,г, тм+1) А^ = [ть,,г}г1=0^ тн,г+1 = ть,,г + 8, 8 = 8(Н),

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00008), Интеграционного проекта УрО РАН и Программы РАН «Математическая теория управления».

Th,0 = to, тh,mh = $, с диаметрами 5 = 5(h). Модель зададим системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

wh(t) = CBvh(t), t е [тъ$],

w h(t) = Awh(t)+ Bvh(t), (3)

w h(t) = wh(t),

где wh = {wh,wh,wh}, wh(t) = 0 при t е [t0,Tl].

После того, как модель определена, алгоритм решения задачи отождествляется с законом формирования управлений vh() в модели по принципу обратной связи, который отождествляется с парой Sh = (Ah, Wh), где Uh — функция, ставящая в соответствне четверке q(i\-) = = {Ti,Ci,Ci-i,wh(Ti)} i е [1 : m - 1], вектор

vh = Uh(q(i) (■)). (4)

При этом полагается

vh(t) = vh, t е [Ti,Ti+i), Ti = Th,i. (5)

Таким образом, тройка (Ah, M, Uh) при каждом h е (0,1) определяет некоторый алгоритм Dh на множестве измерений С() е E.(y(-),h), формирующий по принципу обратной связи (4), (5) выход

Dh?(■) = {wht),vht)}, h е (0,1). (6)

Выход алгоритма Dh (при каждом h и Ch() е ’E(y^), h)) определяется согласно (6), где wh() = = {wh(^),wh^)}, wh(■) — часть траектории модели, «аппроксимирующая» некоторую функцию x( ) гада x(t) = x(t) + f (t), t е T (f (■) — известная функция), wh(■) — вспомогательная часть

модельной траектории. Символ E.(y(^),h) означает множество всех кусочно-постоянных функций Сh( ) Сh(t) = t е 5hi = [Th,i, Th,i+l), удовлетворяющих (2) при Ti = Thi е Ah-

Семейство алгоритмов Dh = (Ah, M,Uh), (3)-(6), h е (0,1), назовем регуляризирующим [2, 3], если a) vh( ) ^ п(^) в L2(T; RN); b) wh( ) ^ Х( ) в C(T; Rn) при h ^ 0. Пусть

(CB)-l\5-l(Ch - С-i) - CAxh(Ti) - CF(Ti) -Uh((fi (■)) = ^ CAw>h(Ti) si/\si\r, если \si\r = 0

r

0, ,

при i е [1 : m - 1^ m = m^. Здесь xh(■) = x(■; to,xh, 0) — решение системы x(t) = Ax(t) + F(t), t е T, x(to) = xft, Si = Ch-l - Со - f C{F(t) + Axh(T)} dT - wftfa) - CAw'h(Ti).

to

Теорема. Пусть r = N; rank CB = r, а функция F(■) непрерывна. Пусть также vh(t) = 0 при t е [to,^i^ 5(h) ^ 0 h/5(h) ^ 0 щи h ^ 0. Тогда семейство алгоритмов Dh, h е (0,1), (3)-(6) является регуляризирующим. При этом wh( ) = wh( ) ^ x( ) в C(T; Rn) при h ^ 0, если x(t) = x(t) + f (t) при t е T, f (t) = xl(t) — решение системы (1) с начальным условием xl(t0) = x0 и u(t) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Basel, Gordon and Breach, 1995.

2. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

3. Maksimov V.I. Dynamical inverse problems of distributed systems. VSP, Boston, 2002.

Abstract: in this paper the questions of extremal shift method application for solution of some reconstruction and dynamic systems control problems are discussed; in particular, the algorithm of unknown input reconstruction in linear system at some phase coordinates measuring is shown.

Keywords: control; reconstruction; extremal shift.

Ключевые слова: параллельная компьютерная алгебра; строение классов; структуры данных; внешняя память.

Аннотация: Описывается новый проект параллельной компьютерной алгебры; две главные особенности этого проекта - это новая структура классов и новые структуры данных, которые предназначены для хранения данных во внешней памяти; особое внимание уделяется параллельному ядру системы.

1. Введение

Одной из очень важных задач, стоящих сегодня перед человечеством, является задача сохранения и применения накопленных знаний. В первую очередь это относится к естествознанию и техническому знанию.

Как известно, языком естествознания, а вместе с ним и всего технического знания, является математика. Поэтому главной задачей всей той компьютерной науки, которая ориентирована на естествознание и технику, является задача сохранения и применения математического знания.

Существующие сегодня математические пакеты отражают состояние решения этой задачи на данный момент. Эти пакеты делятся на два класса численные пакеты и символьные или аналитические пакеты, которые еще называют системами компьютерной алгебры. Признанным лидером в этом классе систем компьютерной алгебры является система “Mathematica” компании Wolfram Research, за ней следуют MAPLE, Magma, MACSYMA, AXIOM (IBM), REDUCE, CoCoA, Macaulay, SINGULAR и др.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.

Максимов Вячеслав Иванович д. ф.-м. н., профессор Институт математики и механики УрО РАН

Россия, Екатеринбург e-mail: maksimov@imm.uran.ru

Vyacheslav Maksimov

doctor of phys.-math. sciences, professor

Institute of Mathematics and Mechanics

of UrD RAS

Russia, Ekaterinburg

e-mail: maksimov@imm.uran.ru

УДК 519.85

© Г. И. Малашонок