Методы экстремального управления и задачи динамического обращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 184-185

МЕТОДЫ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ОБРАЩЕНИЯ

А.В. Кряжимский1, В.И. Максимов2

'Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва 2Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Обсуждаются три типа задач - отслеживание управления, отслеживание траектории, а также управление динамической системой при наличии неконтролируемых возмущений. Приводятся алгоритмы решения указанных задач, устойчивые к информационным помехам и погрешностям вычислений. Алгоритмы, ориентированные на компьютерную реализацию, позволяют осуществлять процесс решения в режиме «реального» времени. Они адаптивно учитывают неточные измерения и являются регулирующими в том смысле, что конечный результат тем лучше, чем точнее поступающая информация. Основная цель исследования - показать, что для решения столь разных по своей структуре задач может быть использован единый подход, основанный на известном в теории гарантированного управления методе экстремального сдвига Н.Н. Красовского.

Ключевые слова: динамическое обращение, экстремальный сдвиг

УДК 517.977

© 2011 г.

Для исследования трех довольно разных по своей природе задач — отслеживания эталонного движения, робастного управления и динамического восстановления входа — может быть использован единый подход, развитый в работах [1—3]. Суть обсуждаемых задач состоит в следующем. Рассматривается уравнение

) = 10, х(г)) + В(и(0 - у(0),

г е Т = [г0, Э], (1)

где х е Я" — фазовое пространство; и, V е Як; х(^) = х0; В — «х£-мерная матрица, функция /— липшицева по совокупности аргументов; v(t) — помеха, и(0 — управление.

На промежутке времени Т фиксирована равномерная сетка А = {т г }”=0, тг = тг—1 + 5, т0 = ^0, Тт = Ф. Решение уравнения (1) х( ) = х(-; ^ , х0 , и( ), v(.)) зависит от изменяющегося во времени управления и() и неизвестного возмущения v(•). Функция х( ) также неизвестна. В моменты Тг е е А измеряется с ошибкой все фазовое состояние х(тг) системы (1) или его часть х1(тг) е Я (I < "). Результаты измерений — векторы Ъ. еЯ" (уК е е Я1), г е [0: т -1] — удовлетворяют неравенствам

|ЪгЙ - Х(Т. )Я" < И, (|У? - ХДТ. ) |д, < И).

Здесь И е (0, 1) — величина информационной погрешности.

Задача отслеживания эталонного движения

Предполагается, что в правой части уравнения (1) V = v(ґ) = 0, ґ є Т. Задано число є > 0. Имеется эталонное движение, которое описывается также уравнением вида (1), в котором, однако,

V = 0, а и = и*(ґ). При этом как функция и*(.), так и решение эталонного уравнения g(■), неизвестны. Известно лишь, что и *(•) є Ь2(Т;Як). менты тг є А наряду с х(тг) измеряется (с ошибкой) состояние g(тг)■ Результаты измерений неточны. Требуется указать алгоритм формирования по принципу обратной связи управления и = и() такой, что решение уравнения (1) останется при всех ґ є Т в некоторой «є-окрестности» эталонного движения.

Задача отслеживания эталонного управления

Пусть в правой части (1) управление равно нулю, то есть и = и(ґ) = 0, ґ є Т. Требуется построить динамический алгоритм, который позволяет восстановить неизвестный вход (возмущение)

V = v(■) в «реальном времени».

Задача робастного управления

Пусть Р и Q — фиксированные множества, и(ґ) є Р, v(ґ) є Q■ И пусть заданы два семейства

замкнутых множеств: (Ы{){еТ с Я", (№^)еТ с Я", М{ с N, Vt е Т. Требуется указать алгоритм формирования по принципу обратной связи управления и = и(^ уг) е Р, t е Т. уравнением (1), обладающий следующими свойствами. Каково бы ни было возмущение v(•) (V = v(t) е Q, t е Т), «расстояние» от фазового состояния х(т) = х(т; t0 , х0 , и(), !<•)) в некоторый момент т < Ф до множества Мт не должно превышать значения £. При этом x(t) е N , t е [0, т].

Для решения всех трех типов задач, описанных выше, может быть использован единый подход, основанный на методе вспомогательных позиционно-управляемых моделей. При этом законы выбора управлений в моделях основываются на тех или иных модификациях принципа экстремального сдвига. Метод экстремального сдвига — один из эффективнейших методов исследования задач управления по принципу обратной связи — был предложен Н.Н. Красовским [1]. В дальнейшем он широко применялся, в том числе и при исследовании задач игрового управления.

Приведем один из результатов, для простоты остановившись на случае, когда размерность управления (входа) и фазового вектора системы совпадают, т.е. п = к. Рассмотрим задачу отслеживания эталонного управления. В этом случае траектория системы зависит лишь от возмущения v(•). Задача состоит в построении алгоритма приближенного восстановления v(•), обладающего свойствами динамичности и устойчивости. Таким образом, необходимо сконструировать алгоритм приближенного вычисления управления иИ( ), играющего роль приближения v(•).

Возьмем некоторое семейство разбиений

АИ = {тИ,г } г=0, ТИ,0 = t0, ТК,тИ = Э, ТИ,г+1 = ТИ,г +^(И)

отрезка Т с шагом 5(И) и функцию

а(И): Я+^ (0,1), Я+ = {г е Я: г > 0},

такие, что при И ^ 0

5(И) ^ 0, а(И) ^ 0, (И + 5(И))/ а(И) ^ 0. (2)

Затем введем вспомогательную управляемую систему (ее часто называют моделью), описываемую линейным векторным дифференциальным уравнением

w h (t) = f (т к1, %) - Buh (t), teShi = [хй,, т*+1), i e [0 : m -1] (3)

с начальным условием wh(t0) = x0.

До начала работы алгоритма фиксируем величину h и разбиение Ah. Работу алгоритма разобьем на m — 1 (m = mh) однотипных шагов. В течение i-го шага, осуществляемого на промежутке времени 5h i , выполняются следующие операции. Сначала в момент Ti вычисляется вектор

ui = argmin{2(%h - wh(тh l),Bv) + a|v|R :

ve Rn} = -iB'&h - wh(тhl)). a

Здесь штрих означает транспонирование. Затем на вход системы (3) при т е 5h i подается управление uh (t) = uh. Работа алгоритма заканчивается в момент б.

Теорема. Пусть матрица B является невырожденной. Пусть также выполнены условия (2). Тогда имеет место сходимость uh(.) ^ v(.) в L2(T; Rk) при h ^ 0.

Если функция v(.) является функцией ограниченной вариации, то может быть выписана оценка скорости сходимости алгоритма.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00042.

Список литературы

1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

2. Osipov Ju.S., Kryazhimskii A.V Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

3. Maksimov V.I. Dynamical inverse problems of distributed systems. VSP, Utrecht, 2000.

EXTREMAL CONTROL METHODS AND DYNAMIC INVERSION PROBLEMS A. V. Kryazhimskii, V.I. Maksimov

In the report, three types of problems (the control tracking problem, the trajectory tracking problem, and the control problem for a dynamical system under uncontrolled disturbances) are under discussion. Algorithms for solving the problems above, which are stable with respect to informational noises and computational errors, are suggested. The algorithms oriented to computer realization allow us to implement the solving process in «real time» mode. They adaptively take into account inaccurate measurements and are regularizing in the sense that the more precise is incoming information, the better is final result. The main goal of the report is to show that one integrated approach can be used to solve such different problems as ones above. This approach is based on the extremal shift method by N.N.Krasovskii, which is known in the theory of guaranteed control.

Keywords: dynamic inversion, extremal shift.