CC BY
34
УДК 504.056
А.Н. СЕРЕБРОВСКИЙ, В.П. СТРЕЛЬНИКОВ
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЕРОЯТНОСТНО-ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОТКАЗОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ, ПОРОЖДАЮЩИХ ТЕХНОГЕННУЮ ОПАСНОСТЬ________________________________________________________________________
Abstract: The method for estimation the probability of elementary undesirable events which cause technogenic danger, is offered. The principles of probabilistic-physical models of failures are used. The work can be utilized when developing software of the automated systems for control and analysis of potential-hazardous objects safety.
Key words: hazardous object, probalistic analysis, technogenic hazard, models of failures.
Анотація: Пропонується методика оцінок імовірності елементарних небажаних подій, що породжують техногенну небезпеку. Методика використовує імовірнісно-фізичні моделі відмов. Робота може бути використана при розробці математичного забезпечення автоматизованих систем контролю й аналізу безпеки потенційно небезпечних об'єктів.
Ключові слова: небезпечний об’єкт, імовірнісний аналіз небезпеки, техногенна небезпека, моделі відмов.
Аннотация: Предлагается методика оценок вероятностей элементарных нежелательных событий, порождающих техногенную опасность. Методика использует вероятностно-физические модели отказов. Работа может быть использована при разработке математического обеспечения автоматизированных систем контроля и анализа безопасности потенциально опасных объектов.
Ключевые слова: опасный объект, вероятностный анализ опасности, техногенная опасность, модели отказов.
1. Введение
В вероятностном анализе безопасности исходной информацией являются данные о вероятностях элементарных нежелательных (базисных) событиях [1, 2]. Для базисных событий, представляющих собой отказы отдельных элементов и систем опасных объектов, вероятности возникновения могут быть оценены методами теории надежности. По данной проблематике имеются достаточно публикаций, в частности [3-5]. В данной работе приводятся методики использования вероятностнофизических моделей отказов для прогнозирования возникновения базисных событий в случаях, когда они являются отказами отдельных элементов или подсистем потенциально опасных объектов.
2. Краткое описание методики оценки вероятностей отказов
Данная методика включает в себя следующие основные этапы:
- выбор теоретической функции распределения наработки до отказа;
- проведение испытаний заданной совокупности изделий;
- вычисление оценок параметров распределения;
- расчет оценки вероятности отказа изделия на заданный момент времени.
Выбор теоретической функции распределения наработки до отказа
При выборе функции распределения целесообразно руководствоваться сравнительными характеристиками различных моделей отказов, изложенными в [4]. Выбор теоретического распределения возможен при наличии полученной ранее статистики отказов и при ее отсутствии. Выбор теоретической функции распределения с использованием статистики отказов При наличии статистики отказов выбор теоретической функции распределения (в кратчайшем изложении) сводится к следующим действиям [4]:
- выдвинуть гипотезы о возможных функциях распределения;
- оценить соответствие проверяемых гипотез имеющимся реальным статистическим данным и удалить из дальнейшего рассмотрения гипотезы, не удовлетворяющие критериям проверки;
- принять окончательное решение о выборе.
Выбор модели отказов при отсутствии статистики отказов
В этом случае проводят анализ превалирующих физических процессов деградации, приводящих к отказам исследуемого типа объектов (его составных частей).
Особенного внимания заслуживают диффузионные распределения. Эти модели ближе остальных к реальному процессу изменения определяющего параметра. Если физический процесс деградации описывается случайным процессом с монотонными реализациями, то в качестве теоретической модели отказов следует принять диффузионное монотонное распределение (БЫ -распределение).
(1)
где Ф(2) =Гехр
V 2р
ёх - нормированное нормальное распределение;
т - параметр масштаба, совпадающий с медианой распределения случайной величины t;
V - параметр формы распределения случайной величины I.
БЫ -распределение находит применение для процессов, имеющих необратимый характер (механический износ, разрушения при усталости т.п.). Подобные процессы характерны для механических объектов.
Если физический процесс деградации описывается случайным процессом с немонотонными реализациями, то распределение отказов будет аппроксимироваться диффузионным немонотонным распределением (БЫ -распределением).
Е (Г) = БЫ Ц;т,п) = Ф
,— + ехр^к )-*- ,
(2п~2 )ф
(2)
где т - параметр масштаба, совпадающий с математическим ожиданием случайной величины t;
V - параметр формы, равный коэффициенту вариации распределения величины t.
Для объектов, состоящих из изделий электронной техники или частично включающих в себя такие изделия, наиболее подходящей моделью отказов представляется БЫ -распределение. В случае, когда не удается установить превалирующие физические процессы деградации, приводящие к отказам, в качестве модели принимается БЫ -распределение. При оценках параметров БЫ - и БЫ -распределений, полученных на основе одинаковых значений исходных данных, БЫ -распределение дает менее оптимистические показатели надежности по сравнению с БЫ -распределением.
Проведение испытаний
На испытания ставится группа Ы однородных изделий. При этом возможны действия:
- регистрация отказов изделий (фиксация номера отказа г (г = ) и наработки до
отказов ti, где г - количество отказов за время испытания t);
- регистрация значения определяющего параметра X, характеризующего состояние изделия;
- регистрация отказов и значений определяющего параметра.
Оценивание параметров выбранного теоретического распределения на основе результатов испытаний
Оценку параметра масштаба и параметра формы выбранного распределения можно выполнить на основе данных о наработках до отказа и данных об изменении определяющего параметра.
Оценивание параметров распределения на основе данных о наработке до отказа
Здесь выделяются случаи вычисления оценок параметров методами [4]:
- максимального правдоподобия;
- моментальных оценок;
- квантилей.
Максимально правдоподобные (цпр,ппр) и моментные (т,п) оценки параметра масштаба
(т) и параметра формы (у), например, для БЫ - распределения и плана испытаний [ШЫ], имеют следующие выражения [3]:
1 'Ы
Мпр = Ы; <3>
Vnp д/ №пр
1 N 1 ( N Л 1
N У1 -N &
(4)
r 1 ^
m=—У t-; (5)
N ~!
v
1 N 2
где D =-У (ti-m) - выборочная дисперсия, ti — i = (.1,2,...,N) - наработка до отказа i -го
N — 1 i=i
изделия, N - количество изделий, поставленных на испытания.
Оценивание параметров распределения методом квантилей [5] при планах испытаний [NUT] или [NUR]
Возможны следующие случаи решения задачи:
- одновременный расчет оценок m и V ;
- нахождение оценки m в предположении, что известна оценка V .
Одновременный расчет оценок m и V
Допустим, что выбрано теоретическое распределение F(t; m,v). При испытаниях N изделий за время t1 зафиксировано r1 отказов, а за время t2 - r2 отказов. Тогда оценки Д и V могут быть получены решением системы вида
F(tx;mv) = rjN ; (7)
F (ti;mv)=rilN. (8)
Оценивание параметра масштаба Д при допущении, что известно априорное значение параметра формы V
Допустим, что в выбранном теоретическом распределении F(t1;m,v) априори известно значение параметра V = V0. За время T испытания N изделий (план испытаний [NUT]), зафиксированы отказы r изделий. Тогда оценку параметра масштаба m можно получить, решая уравнение
f (t ,m,V„ )=F(t ), (9)
где F(T) = r/N.
Эту оценку можно улучшить, используя данные о наработках всех отказавших изделий за время T. Для этого уравнение типа (9) решается для каждого i -го отказа (i = 1,...,r).
f (ti д ,V )=F(ti), (io)
где F(tt ) = i/N (i = 1,...,r);
tt - наработка i-го отказавшего изделия.
Тогда усредненная оценка параметра Д определяется выражением
- 1^-
т=-УДг, (ii)
r 7=1
где Д - результаты решений уравнений (10) при (i = 1,...,r).
Замечание. На практике вместо решения уравнений типа (10) используются результаты
предварительного табулирования функций теоретических распределений. Для удобства
табулирования вводится в рассмотрение понятие относительной наработки (х):
х=Уд • <12>
Например, для DN-распределения в выражении функции F(t;m,V) делается замена t = хд . После этого табулируется полученная функция F0(x;1,v) , устанавливающая зависимость
между относительной наработкой, коэффициентом вариации и вероятностью отказа [5]. Тогда правило расчета параметра m сводится к следующему:
- для каждого i (i = 1,...,r) вычисляется эмпирическая частота F(i )=/n ( N -количество испытуемых изделий);
- для полученного значения Н') и известного У = У0 по заранее сформулированной таблице функции распределения Е (х;1,у) определяется соответствующее значение относительной наработки X';
- определение значения Д = ^/Х' ;
- расчет оценки Д по формуле (11).
Оценивание параметров распределения на основе изменений определяющего параметра
В тех случаях, когда статистика отказов недостаточна или вовсе отсутствует, для построения функций распределения используется вероятностно-физический подход, который позволяет оценить скорость деградации параметра, вызывающего отказ, и использовать ее для прогноза отказов.
В кратчайшем изложении эта методика сводится к следующим шагам:
- принятие решения об определяющем параметре, характеризующем процесс деградации;
- оценка предельного значения определяющего параметра (Ппр);
- постановка на испытания группы однотипных изделий (N единиц);
- регистрация состояний изделий в начальный момент (;н) испытаний, хн1 - значения определяющего параметра в момент ; = ;н обозначим (' = 1,2);
- фиксирование значений определяющего параметра ' -го изделия в моменты ;1 и ;2 ;
- вычисление оценок средней физической скорости деградации (а) и средней
нормированной скорости деградации (ан):
а = (Х2 - Хх): (;2 - *1); (13)
ан =а(ппр - Пн), (14)
N
N
N
где
(15)
х.
Пн = I х„/N, Х1 = I Х„/N, X2 = I Х2,1 N;
'=1 '=1 '=1
1 ,Хц,х2г (' = 1,2,...,N) - значения определяющего параметра '-го изделия в моменты
;н ,*1,;2 ;
Ппр - предельное значение определяющего параметра;
вычисление оценки коэффициента вариации процесса деградации у .
~ 1
у = — ■{ 2
Х
IX
I (х„ - X,)
'=1
N -1
+ -
Х
IX
I (хл - Х_, )2
'=1
N -1
(16)
Расчет оценки вероятности отказа изделия до заданного момента времени
1
1
Полученные результаты дают возможность сделать оценку вероятности отказа изделия до произвольного момента будущего, не доводя изделия до разрушения. Расчет выполняется подстановкой заданного момента времени в предварительно сформированное распределение отказов. При этом для DN-распределения и DN-распределения параметр масштаба Д и параметр формы у определяются [4] выражениями
Пример 1. Группа из N изделий прошла испытания, во время которых наблюдались начальные значения определяющего параметра хні, а также значения при двух «замерах»,
разнесенных во времени в моменты Ї1 и ї2. Стоит задача - определить вероятность отказа изделия до заданного момента .
Допустим, что в процессе предварительного анализа изделий данного типа установлено возможное предельное значение определяющего параметра и в качестве теоретической модели отказов выбрано DN -распределение.
Одно из возможных представлений DN -распределения есть [3]
где Ф - функция нормированного нормального распределения, а - средняя физическая скорость деградации, у - коэффициент вариации скорости роста деградации, ; - момент времени, для которого делается прогноз, Ппр - предельное значение определяющего параметра, Пн - среднее
начальное значение определяющего параметра.
По результатам «замеров» определяются оценки параметров у и а (согласно формулам (13-16). Рассчитанные значения оценок обозначим соответственно ~ и а и, подставив в выражение (19), получим
Данное выражение позволяет рассчитать вероятность отказа до произвольного заданного
нормального распределения, соответствующего моменту ; = , и подставив в (20), получим
окончательное выражение для расчета искомой вероятности:
(17)
V = ~ .
(18)
О + Пн - П,
(19)
сО + Пн - П,
(20)
момента времени
Вычислив значение аргумента
функции нормированного
аі, + П н - П
(21)
Пример 2. Условия примера аналогичны примеру 1, только в качестве теоретического распределения выбрано DN -распределение (см. (2)).
По результатам испытаний вычисляются средняя нормированная скорость деградации (ан) и коэффициент вариации процесса деградации (~) согласно выражениям (13)-(16). На основании этих оценок и соотношений (17), (18) определяются оценки параметра масштаба и параметра формы. Обозначим их соответственно Д и ~ и, подставив в выражение DN-распределения, получим
FDМ (* )= Ф
С . г - д
V
№
+
2ехр(2~ 2 )ф
V
(22)
Искомая вероятность отказа до заданного момента вычисляется подстановкой в выражение (22) значения г = .
3. Заключение
В работе излагается методика использования вероятностно-физических моделей отказов для оценки вероятностей возникновения базисных событий, порождающих техногенную опасность. Данная работа может быть использована при разработке математического обеспечения автоматизированных систем контроля и анализа безопасности потенциально-опасных объектов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бегун В.В., Горбунов О.В., Каденко И.Н. и др. Вероятностный анализ безопасности атомных станций (ВАБ).
- Киев: НТУУ ”КПИ, 2000. - 568 с.
2. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно сложных систем. - СПб.: Изд-во «Политехника», 2000.
- 248 с.
3. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. -К.: Логос, 2002. - 486 с.
4. ГОСТ 27.005-97. Надежность в технике. Основные положения. Модели отказов; Введ. 05.12.97. - К.: Межгосударственный совет по стандартизации, метрологи и сертификации. - 45 с.
5. Погребинский С.П., Стрельников В.П. Проектирование и надежность многопроцессорных ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988. - 168 с.
