CC BY
53<<ШУШетиМ-ШУ©Ма1>>#Щ51)),2©2© / PUBLIC administration
85
УДК 372.851
Жмурова Ирина Юньевна
кандидат педагогических наук, доцен Волкова Алина Юрьевна студент бакалавриата Южный федеральный университет (г. Ростов-на-Дону) Р01: 10.24411/2520-6990-2020-11311 ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Zhmurova Irina Yunievna
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor
Volkova Alina Yuryevna
undergraduate student Southern Federal University (Rostov-on-Don)
ON THE USE OF VARIOUS RECEPTIONS OF MULTIPLICATION OF NATURAL NUMBERS
Аннотация
В данной статье рассматривается проблема формирования у учащихся школы прочных вычислительных навыков. Авторы обращают внимание на особую роль устных вычислений и обосновывают необходимость изучения различных способов выполнения арифметических операций, отличающихся от традиционно используемых в школьной практике. Рассматриваются некоторые алгоритмы умножения натуральных чисел, описываются примеры их использования, обсуждаются их достоинства и недостатки.
Abstract
This article discusses the problem of building strong computing skills in school students. The authors draw attention to the special role of oral computing and substantiate the need to study various ways of performing arithmetic operations that differ from those traditionally used in school practice. Some algorithms for multiplying natural numbers are considered, examples of their use are described, and their advantages and disadvantages are discussed.
Ключевые слова: вычисление, вычислительный навык, десятичная запись, письменное изображение, устный счет, рациональные приемы вычислений.
Keywords: computation, computational skill, decimal notation, written image, oral counting, rational computing techniques.
Формирование и развитие вычислительных навыков имеет большое значение в обучении математике на всех его этапах: как в начальной, так и средней школе. Устные вычисления помогают обучающимся производить необходимые расчеты «в уме», развивая тем самым внимание, сообразительность, наблюдательность, учат думать и повышают интерес к работе. Это объясняет то значение устных вычислений, которое им традиционно придается в отечественном математическом образовании [1, с. 20].
Кроме того, использование устных вычислений имеет и методическое значение. Устный счет разнообразит методические приемы обучения математике, и, что особенно важно, позволяет сэкономить время. Благодаря этому школьники могут быстро и правильно производить вычисления, устно решать задачи. Но в последнее время многие специалисты недооценивают значимость устных вычислений на уроках. Частично это можно объяснить развитием вычислительной техники, а также плохим знанием и пониманием приемов быстрого счета. Именно поэтому изучение и обоснование рациональных приемов быстрого счета является важным компонентом теоретико-числовой подготовки учителя математики, одним из разделов проектной деятельности [2, с.39].
Как показывает практика, обучающиеся не всегда могут правильно найти значение числового выражения, производя все необходимые вычисления письменно. Математические записи в тетрадях многих учеников свидетельствуют о неумении рационально вычислять и пользоваться устными вычислениями.
Это свидетельствует о том, что в ходе обучения следует сделать упор на изучение разнообразных нестандартных методов счета для сокращения времени, требуемого обучающимся для совершения математических действий, а также для развития абстрактного мышления.
Например, еще в средние века было разработано много приемов письменного умножения и деления, но сейчас используется так называемый обычный способ умножения, который, по сравнению с другими, является объемным и требует много вычислений, но, в тоже время, является самым распространенным. Этот способ без всякого изменения употребляется в школе и в настоящее время. Алгоритм умножения «столбиком» освоен еще в начальной школе и применяется постоянно.
На практике же, при большом количестве проделанных этих операций, такой способ является очень утомительным и энергозатратным, поэтому
86
PUBLIC ADMШISTRATЮN / <<Ш^ШМУМ~^®УГМа[1>>#Щ11)),2©2(1
употребление этого способа старались всегда заменить готовыми таблицами квадратов чисел, таблицами умножения и деления, вычислением на счетах или, в наше время, используя разнообразную вычислительную технику.
Рассмотрим альтернативные способы умножения и опишем их особенности. Для наглядности сравним эти способы умножения при нахождении значения одного и того же числового выражения.
Прежде всего, опишем кратчайший по письменному изображению способ на примере вычисления произведения 643 и 57 (рис. 1).
Рисунок 1. «Кратчайший» способ умножения Суть данного метода заключается в том, что производится 6 операций умножения и 7 операций сложения, и также три раза необходимо запомнить промежуточные результаты, а именно:
Находим произведение, содержащее единицы (3 • 7 = 21), и запоминаем цифру десятков.
Затем находим сумму произведений, содержащих десятки, и замеченной цифры ( 7 • 4 + 5 • 3 + 2 = 28 +15 + 2 = 45), и снова запоминаем цифру десятков. Аналогично этим действиям находим сумму произведений сотен и тысяч.
В итоге получаем следующий результат:36651.
6 4
Очевидно, что этот способ можно назвать кратким только по письменному изображению, все вычисления производятся в уме, что может взывать затруднения, и требует чрезмерной сосредоточенности. Он подойдет только для учащихся с хорошей математической подготовкой, которые без труда считают устно.
Рассмотрим для сравнения еще один древний способ индийского математика Бхаскары, жившего в XII веке. Этот способ представляет собой решетку с квадратами, разделенными пополам диагоналями, проведенными сверху слева направо. Сверху над каждым квадратом записываются цифры первого сомножителя, а слева, по направлению снизу вверх - цифры второго сомножителя. Над остальными сторонами квадрата, начиная сверху справа, записываются произведение цифр сомножителей. Затем единицы каждого отдельного произведения заполняются над диагональю квадрата. Десятки - под диагональю квадрата. Диагонали квадратов представляют собой продолжение одной прямой. Числа, стоящие в одной полосе, складываются. Если сумма окажется больше десяти, то пишется только цифра единиц суммы, а цифра десятков прибавляется к следующей сумме. Если же сумма меньше десяти, то она записывается под нижней цифрой полосы. В результате получается нужное произведение.
Рассмотрим пример нахождения произведения 643 и 57. Для этого заполним решетку с квадратами (рис. 2).
1 2
о 3 0 2 5 1
6
6
Рисунок 2. Умножение способом Бхаскары
1. Умножаем: 7 • 6 = 42, 7 • 4 = 28, 7 • 3 = 21, 5 • 6 = 30, 5 • 4 = 20, 5 • 3 = 15. При
этом число единиц записывается над диагональю, а число десятков - под диагональю каждого из квадратов.
2. Справа вверху поставленная в половине квадрата цифра 1 записывается у внешней стороны квадрата и обозначает единицы произведения.
3. Складываем далее: 8 + 2 + 5 = 15 . Число 5 записывается у внешней стороны квадрата - это десятки произведения, а 1 прибавляется к следующей сумме. Аналогично складываются числа, стоящие в каждой полосе: 2 + 2 + 0 +1 +1 = 6 - это сотни произведения; 4 + 2 + 0 = 6 - тысячи, а цифра 3 помещается у внешней стороны квадрата - это десятки тысяч произведения.
4. В итоге получаем произведение 36651.
Этим способом умножения можно заинтересовать учеников на уроке, предварив описание алгоритма рассказом об индийском математике Бхаскара. Также можно предложить решить один и тот же пример различными способами и проверить ответ обычным классическим методом.
К недостаткам данного метода следует отнести то, что вычерчивание решетки существенно замедляет выполнение действия, и, кроме того, сложение чисел в одной полосе вызывает определенные затруднения. Поэтому данный способ в школе не применяется.
Рассмотрим еще один способ умножения чисел. Для этого рассмотрим уже заполненную решетку с квадратами из предыдущего метода (рис. 3). Воспользуемся ей.
<<ШУШетиМ-ШУ©Ма1>>#Щ51)),2©2© / ривью ЛБМЕЧВТЯЛТЮМ
87
1 2
о 3 0 2 5 1
6
6
+ 4
Рисунок 3. «Упрощенный» способ Бхаскары
6 4 3
2 8 1
0 0 5
3 2 1
3 6 6 5 1
Данный способ состоит в написании произведений таблицы умножения. Сначала записываются единицы в первой строке под соответствующими единицами, а затем десятки во второй строке под соответствующими десятками. Таким образом, каждое произведение верхнего числа и цифры нижнего выражается в виде двух слагаемых, написанных друг под другом. Второе слагаемое состоит из тех цифр, которые в обычном способе запоминаются [3, с 118.].
При сравнении решетки с квадратами и нового способа, легко заметить, что последний есть не что иное, как расшифровка и совершенствование способа Бхаскары, освобожденного от всех недостатков.
Кроме того, для упрощения вычислений можно использовать законы сложения и умножения и десятичную запись чисел, так как любое натуральное число имеет единственную десятичную запись:
N = а -10й + а ,-10"-1 +... + а-10 + ап.
п "—1 1 0
Рассмотрим этот способ также на примере умножения 643 на 57. Данные числа представим в
десятичной форме: 643 = 6 -102 +4 -10 + 3 и 57 = 5 -10 + 7. Найдем их произведение, используя дистрибутивность умножения относительно сложения и коммутативность сложения на множестве:
643 • 57 = (6 • 102 + 4 • 10 + 3) =
= (60 + 40 + 3) • (50 + 7) = = 600 • 50 + 40 • 50 + 3 • 50 + 600 • 7 + 40 • 7 + 3 • 7 =
= 30000 + 2000 + 150 + 4200 + 280 + 21 = 36200 + 451 = 36651
С данным способом учащиеся знакомятся еще в начальной школе, поэтому для них не составит труда применять его на практике. Недостатком является его громоздкость при написании.
Не стоит забывать о важности свойств операций сложения и умножения. Их применение позволяет упрощать вычисления и легко решать сложные уравнения. Наиболее часто используется дистрибутивность умножения относительно сложения.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что каждый из рассмотренных способов хорош по-своему. Имеются различия и сходства, причем каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Однако все они требуют незначительных усилий в осваивании, так как необходимо лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. Владение несколькими способами позволяет при решении конкретного примера использовать самый рациональный.
Список литературы
1. Баврин И. И. Сельский учитель С. А. Ра-чинский и его задачи для умственного счета. - М.: Физматлит, 2003. - 112 с.
2. Жмурова И. Ю. Опыт использования проектной деятельности в профессиональной подготовке учителя математики // Уральский научный вестник. - 2016. - Том 7, № 1. - С. 34-38.
3. Хэндли Б. Как быстро считать в уме. - М.: Попурри, 2017. - 304 с.
