ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДИКИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В СООТВЕТСТВИЕ С ТРЕХУРОВНЕВЫМИ ПЛАНАМИ БОКСА-БЕНКЕНА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.391

П.Н. Анисимов

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДИКИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В СООТВЕТСТВИЕ С ТРЕХУРОВНЕВЫМИ ПЛАНАМИ БОКСА-БЕНКЕНА

В статье рассматриваются вопросы использования методики планирования эксперимента в соответствие с трехуровневыми планами Бокса-Бенкена. Приведено сравнение с экспериментом, в котором уровни варьирования факторов меняются последовательно и по одиночке. Выявлены плюсы и минусы данной методики, а также необходимые условия для проведения эксперимента, в соответствие с данной методикой.

Ключевые слова: методика планирования эксперимента, трехуровневые планы Бокса-Бенкена, способы расчета, требования, условия проведения.

В статистике планы Бокса-Бенкена являются эспериментальными для методологии поверхностного отклика, планы разработали в 1960 году Джордж Бокс и Дональд Бенкен.

Методика планирования эксперимента в целом используется для уменьшения числа проведенных экспериментов. Например, при проведении эксперимента с 4 факторами и 3 уровнями варьирования факторов необходимо провести 81 опыт, а если использовать планы Бокса-Бенкена, то необходимо провести 27 опытов. Выходит, что выигрыш в числе проведенных опытов в 3 раза, а это является существенным выигрышем по времени.

Планы Бокса-Бенкена подходят только для условия трехуровневого варьирования факторов.

Планирование эксперимента в соответствие с планами Бокса-Бенкена:

1. Необходимо выбрать уровни варьирования факторов;

2. Закодировать значения факторов в удобные для дальнейших расчетов значения -1,0,+1;

3. Использовать матрицу планирования;

4. Провести дополнительные расчеты для уравнения регрессии в закодированных переменных;

5. Рассчитать коэффициенты регрессии;

6. Провести статистический анализ полученной модели.

Уровни варьирования факторов составляются следующим образом: выбирается центральное значение и от него на равных интервалах варьирования выбираются значения в положительную и в отрицательную сторону. Например, нам необходимо провести расчеты на центральной частоте 27 кГц, а интервал варьирования составляет 2 кГц, тогда получим значения 25 и 29 кГц соответственно.

Далее значения факторов необходимо закодировать в значения -1,0,+1 и это осуществляется с помощью соотношения:

^ — Сое

где XI - кодированное значение фактора (безразмерная величина);

С; и С01 - натуральные значения -го фактора;

I - натуральное размерное значение интервала варьирования факторов.

Матрица планирования при условии 4-х факторов и 3-х уровней варьирования факторов выглядит следующим образом:

№ опыта Xi Х4

1 +1 +1 0 0

2 +1 -1 0 0

3 -1 +1 0 0

4 -1 -1 0 0

5 0 0 +1 +1

6 0 0 +1 -1

© Анисимов П.Н., 2017.

Научный руководитель: Стаценко Владимир Николаевич - доктор технических наук, профессор, Дальневосточный Федеральный университет, Россия.

Окончание

7 0 0 -1 +1

8 0 0 -1 -1

9 0 0 0 0

10 +1 0 0 +1

11 +1 0 0 -1

12 -1 0 0 +1

13 -1 0 0 -1

14 0 +1 +1 0

15 0 +1 -1 0

16 0 -1 +1 0

17 0 -1 -1 0

18 0 0 0 0

19 +1 0 +1 0

20 +1 0 -1 0

21 -1 0 +1 0

22 -1 0 -1 0

23 0 +1 0 +1

24 0 +1 0 -1

25 0 -1 0 +1

26 0 -1 0 -1

27 0 0 0 0

Уравнение регрессии в закодированных переменных при условии 3-х уровней варьирования факторов и 4-х факторов выглядит следующим образом:

Г = Ьо + Ь1 • Х1 + Ьц • х2 + Ь2 • х2 + Ь22 • х% + Ь3 • х3 + Ь33 • х^ + Ь4 • Х4 + Ъ44 • х\ + Ьи • Х1 • х2 +

+Ъ,

■ х3 + Ъп

•х3+Ъ,А^х, • х.+ Ъп

■хА + Ъ3

■ х? • хл

где Ь0 - свободный член уравнения регрессии; ЪI - линейные коэффициенты регрессии;

Ьц - коэффициенты регрессии, характеризующие парное взаимодействие факторов. Расчет коэффициентов регрессии осуществляется по следующим формулам:

Значение свободного члена определяется как среднее арифметическое всех значений параметра оптимизации в матрице:

Ь,

=1у

Уи

где уи - значения параметра оптимизации в -м опыте; N - число опытов в матрице.

Линейные коэффициенты регрессии рассчитываются по формуле:

^¿иУи,

где хЬи - кодированное значение фактора в -м опыте; у - номера факторов.

Коэффициенты регрессии, характеризующие парное взаимодействие факторов, находятся по фор-

муле:

N,n

u,i,j = l

Статистический анализ полученной математической модели необходим, так как математическая модель получена по ограниченному объему статистического материала. Статистический анализ состоит из:

1. Проверки однородности дисперсий и воспроизводимости опытов;

2. Проверки статистической значимости коэффициентов модели;

3. Проверки модели на адекватность.

Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов по критерию Кохрена заключается в следующем. Проверка однородности сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух случайных величин по расчетному значению критерия Кохрена, который показывает какую долю в общей сумме дисперсий занимает максимальная из них.

х

X

X

1

2

2

и=1

и=1

X

Сначала для каждой серии параллельных (повторных) опытов (т - количество повторных опытов) вычисляется среднее арифметическое значение из т повторных измерений у.

Уи

¿=1

Затем определяется дисперсия каждой серии повторных т опытов:

А,

¿=1

Для проверки однорожности дисперсий и воспроизводимости опытов используется критерий Кох-

рена.

Среди всей совокупности рассчитанных дисперсий выбирается максимальная Ои тах и выбирается отношение данной дисперсии к сумме всех рассчитанных дисперсий ^ , т.е. определяется расчетное значение критерия Кохрена

=

А,

р YN D

¿-¡и=1 ии

Критерий Кохрена показывает, какую долю в общей сумме дисперсий занимает максимальная из

них.

Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением От, которое определяется по значению /1 = т-1 (т - количество параллельных опытов) и значению /2 = N (Ы - количество экспериментов по плану).

Таблица 1

Значения критерия Кохрена

f2 =N fi =m-1

1 2 3 4 5 6 7 8

2 0,999 0,975 0,939 0,906 0,877 0,853 0,833 0,816

3 0,967 0,871 0,798 0,746 0,707 0,677 0,653 0,633

4 0,907 0,768 0,684 0,629 0,590 0,560 0,637 0,518

5 0,841 0,684 0,598 0,544 0,507 0,478 0,456 0,439

6 0,781 0,616 0,532 0,480 0,445 0,418 0,398 0,382

7 0,727 0,561 0,480 0,431 0,397 0,373 0,354 0,338

8 0,680 0,516 0,438 0,391 0,360 0,336 0,319 0,304

9 0,639 0,478 0,403 0,358 0,329 0,307 0,290 0,277

10 0,602 0,415 0,373 0,331 0,303 0,282 0,267 0,254

12 0,541 0,392 0,326 0,288 0,262 0,244 0,230 0,210

15 0,471 0,335 0,276 0,242 0,220 0,203 0,191 0,182

20 0,389 0,271 0,221 0,192 0,174 0,160 0,150 0,142

Если расчетное значение критерия Кохрена меньше табличного, т.е. выполняется условие Ор < Отабл, то все рассчитанные дисперсии признаются однородными, а опыты считаются воспроизводимыми.

Если выявлена неоднородность дисперсии воспроизводимости, то следует выявить и устранить её причины. Обычно неоднородность является следствием принятых решений по организации и проведению экспериментов.

Смысл проверки статистической значимости коэфициентов модели заключается в следующем.

Поскольку коэффициенты модели Ьо, Ь1,...,Ьк найдены лишь по ограниченному числу опытов (число опытов ограничено и ничтожно мало в сравнении с генеральной совокупностью), то они определены с некоторой погрешностью против соответствующих генеральных (истинных) коэффициентов и сами являются лишь их оценками.

Найденные коэффициенты уравнения регрессии необходимо оценить на статистическую значимость.

Генеральная дисперсия воспроизводимости 5в является средней из всех построчных дисперсий

1 М

D„

А,

и=1

Среднее квадратичное отклонение определения значений коэффициентов

°к =

•т

где N - общее количество экспериментов; т - количество повторных опытов.

Оценка значимости коэффициентов в уравнении регрессии производится по /-критерию Стьюдента. Для каждого коэффициента Ьк нужно вычислить расчётный коэффициент:

, -М

р = <

Табличное значение критерия Стьюдента /табл при числе степеней свободы/=М(т-\) выбирается из табл. 2. Найденное табличное значение сравнивается с расчётным значением коэффициента /р.

Таблица 2

Значения £ - критерия Стьюдента

Число степеней свободы f t Число степеней свободы f t

1 12,71 11 2,20

2 4,30 12 2,18

3 3,18 13 2,16

4 2,78 14 2,14

5 2,57 15 2,13

6 2,45 16 2,12

7 2,36 17 2,11

8 2,31 18 2,10

9 2,26 19 2,09

10 2,23 20 2,09

Если выполняется неравенство (р<(табл, то считается, что найденный коэффициент Ьк является статистически незначимым и его следует исключить из уравнения регрессии.

Смысл проверки на адекватность состоит в следующем.

Оценка адекватности характеризуется величинами отклонения между экспериментальными результатами и значениями, рассчитанными по уравнению регрессии.

Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту. Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения уи, полученные экспериментально и значения у^, полученные расчетом из уравнения регрессии. Для этого используют дисперсию адекватности

т X"1 V ?

и=1

где Ь - число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Адекватность модели проверяют по ^ - критерию Фишера как отношение дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости

Аш

с —

ив

Найденные расчетным путем ^ сравнивают с табличным значением ^табл, которое определяется по степеням свободы = N — Ь и /в = N(т — 1) .

Таблица 3

Значения критерия Фишера

Число степеней сво-б°ды fe Число степеней свободы fa()

1 2 3 4 5 6 7 8

1 161,45 199,05 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15

Окончание таблицы 3

Число степеней сво-б°ды /е Число степеней свободы /а()

1 2 3 4 5 6 7 8

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,24

10 4,97 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,10 3,01 2,95

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85

14 4,6 3,7 3,3 3,1 3,0 2,9 2,81 2,76

16 4,5 3,6 3,2 3,0 2,9 2,7 2,73 2,68

18 4,4 3,6 3,2 2,9 2,8 2,7 2,67 2,64

20 4,4 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 2,6

Если Рр < Ртабл , то полученная математическая модель адекватна экспериментальным данным.

Причиной неадекватности могут являться: ошибки в организации и проведении опытов, например, неконтролируемое изменение неучтенных в модели факторов, погрешности в задании исходных данных и в измерении результатов, большой размах варьирования факторов и другие причины.

Выводы:

Методика полного факторного эксперимента в соответствие с трехуровневыми планами Бокса-Бен-кена позволяет уменьшить число проводимых опытов в 3 раза, а, следовательно, сократить затраченное время.

С помощью данной математической модели можно рассмотреть любой процесс, т.к. данные кодируются и дальнейшие расчеты уже ведутся в закодированных переменных. Следовательно, методика является универсальной, надо иметь только входные и выходные данные, а теоретический расчет является единым для всех видов эксперимента.

По полученным значениям можно выявить комбинацию факторов, которые оказывают наибольшее влияние на результаты эксперимента и рассмотреть их более подробно, либо выявить комбинацию факторов, при которой не оказывается практически никакого влияния на результаты эксперимента и исключить их.

Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов, проверка статистической значимости коэффициентов модели и проверка модели на адекватность позволяют исключить ошибки при проведении опытов.

Однако данная методика имеет ряд недостатков. Для методики планирования экспериментов в соответствие с планами Бокса-Бенкена необходимо повторение экспериментов для минимизации дисперсии результатов эксперимента, поскольку уравнение регрессии составлено по ограниченному числу опытов. Данная методика не идеально подходит для физических экспериментов - это обусловлено тем, что при малейшем отклонении от заданного числа фактора уравнение регрессии может быть неточным. Но идеально подходит для мысленных экспериментов, моделированных экспериментов и экспериментов, где значением факторов является число людей.

АНИСИМОВ ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ - магистрант, Дальневосточный Федеральный университет, Россия.