CC BY
17
ISSN 1991-5497. МИР НАУКИ, КУЛЬТУРЫ, ОБРАЗОВАНИЯ. № 4 (95) 2022
УДК 514(075.8):81(075.8)
Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P Chkalova; senior lecturer, Plekhanov Russian University of Economics (Orenburg branch), Orenburg branch of PSUTI (Orenburg, Russia), Е-mail: docentirina@mail.ru Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru
ON SOLVING APPLIED PROBLEMS BY MATHEMATICAL METHODS. The article discusses features of studying one of the most beautiful transformations -affine, which is practically not studied in the course of high school geometry. The authors focus on the study of special properties of affine transformation using vector algebra. Some interesting properties of affine transformations are distinguished and proved. The important and invaluable role of tasks of this nature has been confirmed by many scientific discoveries in the field of technology, science, etc. The methodology of studying this issue presented in the article is implemented in a specific educational process in the classes of the course "Geometry" [1] at the Orenburg State Pedagogical University in the preparation of future bachelors in the direction of "Pedagogical Education" and allowed to increase the efficiency of assimilation of the studied material by students. Key words: affine transformation, straight line, vector, connected vectors, sliding vectors.
И.В. Прояева, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет имени В.П. Чкалова,
доц. Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова (Оренбургский филиал), ПГУТИ (Оренбургский филиал), г. Оренбург,
Е-mail: docentirina@mail.ru
АД. Сафарова, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, E-mail: aliya. safarova.66@mail.ru
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПРЯМЫХ АФФИННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В данной статье рассмотрены особенности изучения одного из красивейших преобразований - аффинного, практически не изучаемого в курсе геометрии средней школы. Основное внимание в работе авторы акцентируют на изучении особых свойств аффинного преобразования с использованием векторной алгебры. Выделяются и доказываются отдельные интересные свойства аффинных преобразований. Важная и неоценимая роль задач такого характера подтверждена многими научными открытиями в области техники, науки и т. п. Представленная в статье методика изучения данного вопроса была реализована в конкретном учебном процессе на занятиях по курсу «Геометрия» [1] в Оренбургском государственном педагогическом университете при подготовке будущих бакалавров по направлению «Педагогическое образование» и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала обучающимися.
Ключевые слова: аффинное преобразование, прямая, вектор, связные векторы.
Так как в программу по математике средней школы введены элементы векторной алгебры, то есть возможность изучать некоторые геометрические преобразования на векторной основе. Например, аппарат векторной алгебры можно использовать для вывода поворота с центром в данной точке на данный ориентированный угол, гомотетии. Рассмотрим доказательства некоторых свойств аффинных преобразований с использованием элементов векторной алгебры. Материал статьи может быть использован при проведении элективных курсов с учащимися 10-11 классов, а также для проектной работы со старшеклассниками. Согласно программе, в курсе геометрии 8 класса школьники знакомятся с понятием вектора и линейными операциями над векторами, в 9 классе - с координатами вектора и свойствами координат векторов, а также со скалярным произведением векторов и его свойствами. В старших классах изучаются элементы векторной алгебры в пространстве. Мы считаем возможным познакомить обучающихся с понятиями «связные векторы», «скользящие векторы», «свободные векторы», также следует отметить, что решение прикладных задач обладает огромным потенциалом для развития логического мышления человека, что показывает актуальность данного исследования и необходимость ее изучения. Новизна работы заключается в новом подходе к решению геометрических задач с использованием векторной алгебры. Цель исследования - рассмотреть применение математического аппарата для решения прикладных задач геометрии. Цель определила следующие задачи: 1. Показать применение векторного аппарата при решении задач теории аффинных преобразований; 2. Показать особенности и значимость точных наук в образовании обучающихся.
При изучении видов преобразований плоскости в курсе геометрии 9 класса весьма небольшое количество времени отводится на изучение нового материала. В курсе стереометрии у обучающихся возникает возможность изучить эту тему подробнее. Тем не менее времени рядовых уроков не хватает для достойного изучения этой темы, а также её взаимосвязи с практической деятельностью, которая, в свою очередь, является важнейшим смыслом изучения геометрии в целом.
Подводя обучающихся к изучению темы по геометрии, важно сначала объяснить им её практическую значимость. Всякие виды преобразований плоскости важны и имеют свою значимость в практическом применении. Аффинные преобразования не являются исключением. С их помощью создаются сложнейшие продукты компьютерной графики, требующие осмысленной кропотливой работы.
В связи с этим для общего развития обучающихся мы предлагаем провести элективный курс, в котором будет изучаться данная тема, которая играет большую роль во многих профессиях, например, программиста. Это может заинтересовать обучающихся и мотивировать их к изучению геометрии в целом. Также знакомство с данной темой обучающимися, несомненно, будет способствовать развитию их пространственно-образного и логического мышления, воображения, памяти, а также других, не менее важных для развития УУД как личностных, так и умственных качеств.
В нашей работе мы покажем предложение изучения данной темы на векторной основе. Как уже говорилось выше, это является новизной нашего исследования.
Мы будем работать со связными векторами, у которых задано начало. Будем обозначать вектор ОА череза, то есть ОА=а. В дальнейшем понадобится понятие косого произведения векторов и его основные свойства. Поэтому дадим определение косого произведения векторов и сформулируем его свойства [1].
Косым произведением векторов а* и в, расположенных в ориентированной плоскости и взятых в определенном порядке, называется число, равное произведению длин этих векторов на синус угла между ними.
Обозначение: а» в. Таким образом, а»в = |а||в| sin ¿(а, в).
Геометрический смысл косого произведения векторов: косое произведение векторов а* и в, взятых в определенном порядке, равно площади ориентированного параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах.
Свойства косого произведения.
1) Косое произведение векторов антикоммутативно, то есть а>в = -в»а.
2) Если векторы а*и в коллинеарные, то косое произведение данных векторов равно нулю.
3) Постоянный множитель можно выносить за знак косого произведения, то есть а»Яв = Я(а»в).
4) Распределительное свойство: а»(в + в) = а»в + а»с.
Следствие. а»(в + Яа) = а»в!
5) Площадь ориентированного треугольника АВС вычисляется по формуле:
5(ДАВС) = ^(а*й + в*С-а*СС
Из пятого свойства следует условие коллинеарности трех точек (условие принадлежности трех точек одной прямой) А, В, С:
а»в + в»С-а»С*= 0.
Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование, которое каждой точке M(x,y) в аффинном репере R(O, е , e ) ставит в соответствии точку M(х,y) в аффинном репере R'(O',е',е'г).
1. Аффинные преобразования переводят точки в точки.
2. Аффинные преобразования переводят прямые в прямые, сохраняют принадлежность точек и прямых.
3. Аффинные преобразования сохраняют параллелизм прямых линий.
Простым отношением трёх точек A,B,C одной прямой называется число,
обозначаемое через (ABC), и удовлетворяющее условию
AC = (ABC) ■ CB
Если в репере R(O,е е2) точки A,B,C имеют координаты:
А(х1,У XВ(х2,У2),С(хз,Уз), то
ISSN 1991-5497. МИР НАУКИ, КУЛЬТУРЫ, ОБ РАЗОВАНИЯ. № 4(95) 2022
(АВС) = АС = 9в-А
СВ ККЛ - *3
у 3 - У1 .
ли 2 -Уз
дсли точка С лежит 1)«5жду тбч ками A, В, тб (ЛВС) > 0 ■ Срранедлинр и обратное собЙ(зтоо.
4. Аффинвое преоДрозововие сох|оо1Иятт простое «Бттнесэшиеэнютэ арэегх точек
РрЯМКБЙ.
Известно, что ;ос00рт1ито(т Ротобразованит плоскости одсозвачво определя-ттся тремя порами пеоивеозтиоумок почек. Пужсгт1к афОэинвок преоброзововие плоскости :ЗП^Д^•T^HEE точками А и Д/, в и 33Р С к СП.
дуитк точка М дклит АА0 о птв 01Ртвии 1 Найдкил точки N, P, которыю делятт 13В/И <р С0 П1 ТОм ЖИ ОтСОШрвии Я СООТВИТСВеввО. Выввним, CyLHTCTB^^T ли оосот зсач евие Я, крс к0т"0|С01)1 тбсисзюи IM, IN, |г лежат во о/виой прямой■ п|Я5ПпсзлEЗисхм, что такая прямая тyщ0cттн5т, и возов5п ее Я- пря^й /"nai-pnoi-c^ оффзывюго пр^обсо-зонгзви^ . Пгг условию зодочи и илеем,
АР0'!»09 м яЧЧА. Вв« 4 Щ ¡С9 4 хрЦ.
5
Рис.1Аффинноепреобразованиеплоскости
Выырозим из этих роЕвенсттв Bleквoрыl т, п, ¡д.
( У+ЯН в^Яв -- i^+Яс
т 4 —- ,п 4 —_ л 4 —_ где! ± -1. (1)
лоя ' о+Я m j+я w
По предположив ию точки IM, IM, У лзежот во одвой прямой, поэтому, по условию колливеорвости т|зех то-ек, имеем:
тс п-иПС р-|9с р 4 о. (О )
Подставляя (1) в (О), имеем:
аВ+/н 1+Я '
внвяс
внияв
-с
В+Я
вн+Яс 1+Я
а нсЯа 1+Я
сн+Яс
4 0. (3)
Приведем выlрожeвиe, стоящее в левой части (3), к обще му знопевотелю, плнполкзугзмся! тр^-ич1км, четвертвю, пятым свойствомт косого произведевия и учитывая что 1 9Я 10, иод ко кli-i по ""пределе виню, получ им свысротйoe Вроивеви и следующего вида:
^(Д/ШС) -С Я (о(Д/БеС) 9 5(ДЛЛ0О) 9 5(БЛВС0) о 5(Д4ВП)) 9 S^^C0) = 0. (4)
Кожды, й коревк зсодритвого уроввевия (4) определяет - прямую. В зависимости ся количество и вида корней уроввевия (4) возможвы следующие случаи:
Библиографический список
1) Корни уравнения (4) ко мплексн ые, тогда аффи нное преобразование вмеет две м ошпых К - ггрямыых.
2) К(ы|лни уравнепия (4) действ ители>н1>1е. Тлгдо возможкы! гсллсэду/ики-Цил слу-чани рaспулуження дейггтв птнгогьныт1х -ирямиых дф^сфинн омо преоЫразования на плоскости:
а) -прямы е переее кается,
б) -прями е совпадает,
2) -прямыые параллельн ы- .
ЕК случаях а) и в) корни уравнених (4)- разлинчыlе, в слач ае б) корни квадратно го уравнения (4) - совпадыюы, случай в) не воз можен [2].
Из доказ аннога ечвер)^<дениы следует, что:
е) Точка М является инвариантной точкой данного аффинного преобразования.
2) Если прямыне ак и а2 определяе)тся соответственно кор нями Я! и Я2 квадратного уравнен ия (Ы), то птымута( делит прямуе а2 в отношении Ак, а пря-маяа2 делно пирмте ак в от ношении Я2 [3].
Если инвариантную точку М принять за це нтр связки вектотоы и рассматривать олоскость как дан^ное векторное кpoстуанству, то собственным д^вто-рами аффинного преобразования т является такие вектияы с/К, что /(МХ) = „МХ = МХ/. где чи сло ц назы1вается суfкстве нны1м числом. Пактуку вевтурыl Я -прямые) ак и а2 явлыелся субсывенныlрlи, а ч <(4ла Яг, М,2,Х/ 14 = ЯгМХ, рачныы послам, противоположны!« собственныф ннслам преобразован пя. Для ирямой ак собстзенныы числ ом является -Яи, ьрямой! а2 субствекныlк числом является -Я2.
Таким обозом:
1. Если курни уравнения (4) комплексные, то в этом случае имеем две мнимые Я прямые.
о) Если корни уравнения (4) действительные, то возможны два случая:
a. курни равные, и Я - прямые совпадает;
b. курни различные, и Я - прямые пересекается.
3. Пересекающиеся Я - прямые является инвариантными прямыми.
4. Точка пересечения Я - прямых - инвариантная точка.
5. Определяемые Я - прямыми направления есть направления собственных векторов, собственными числами является числа, противоположные корням уравнения(4).
6. Я - прямые делят всякий отрезок, соединяещий лебые две соответственные точки в отношении, равном значение корня уравнения (4), который определяет прямуе, делящуе этот отрезок.
Можно заметить, что:
1. Если рассматривать преобразование подобие как частный случай аффинного преобразования, то получаем свойство инвариантных прямых подобия второго рода: они делят лебой отрезок, соединяещий две соответственные точки, внутренним или внешним образом в отношении, равном коэффициенту подобия.
2. Полное исследование уравнения (4) по корням и коэффициентам позволяет провести классификацие аффинных преобразований плоскости.
3. Кыше не рассматривалась гомотетия плоскости, так как в этом случае точки a, N. P совпадает, и рассматриваемая задача не имеет смысла [4].
Рассмотренное в статье аффинное преобразование и его особые свойства находят применение в компьютерном моделировании и машинной графике. Этот факт делает изучение данной темы наиболее интересной для обучаю щихся.
С помощью аффинного преобразования можно совершить растяжение, сжатие, поворот осей координатной плоскости, что позволит решить новые математические и физические примеры в упрощенной форме. Тема аффинных преобразований, с одной стороны, выходит за рамки основного курса геометрии, а с другой стороны - тесно с ним переплетается. К особым ее достоинствам можно отнести, пожалуй, тот факт, что она связывает все преобразования в единое целое. А изучение аффинного преобразования на векторной основе упрощает процесс её понимания обучающимися.
1. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА курсу «Геометрия». Оренбург: Издательство ОГПУ 2016.
2. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Об особенностях преподавания раздела геометрических преобразований в школьном курсе геометрии. Мир науки, культуры и образования. 2017; № 1(62): 150 - 152.
3. Прояева И.В. Компетентностный подход в преподавании математических дисциплин на инженерных специальностях. Материалы I Международной очно-заочной конференции. Оренбург, ПГУТИ, 2015.
4. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Векторные уравнения некоторых простейших преобразований плоскости. Мир науки, культуры, образования. 2018; № 5 (72): 189-193.
References
1. ProyaevaI.V.,Safarova A.D. Organizaciyasamostoyatel'nojraboty studentovpopodgotovke kGIAkursu «Geometriya». Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.
2. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Ob osobennostyah prepodavaniya razdela geometricheskih preobrazovanij v shkol'nom kurse geometrii. Mir nauki, kul'tury i obrazovaniya. 2017; № 1(62):150-152.
3. Proyaeva I.V. Kompetentnostnyj podhod v prepodavanii matematicheskih disciplin na inzhenernyh special'nostyah. Materialy I Mezhdunarodnoj ochno-zaochnoj konferencii. Orenburg, PGUTI,2015.
4. Proyaeva I.V.,Safarova A.D.Vektornye uravneniya nekotoryhprostejshih preobrazovanij ploskosti. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2018; № 5 (72): 189 - 193.
Статья поступила в редакцию 01.06.22
