CC BY
46
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2017. № 4
А.В. Чусов*
ОБ ИНТЕРПРЕТАЦИЯХ СИМВОЛИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ Г.В. ЛЕЙБНИЦА: ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Статья посвящена онтологическим аспектам интерпретаций символической концепции Г.В. Лейбница. На основе материалов из истории математики, истории философии и философии науки показывается, что онтологическая множественность символического представления проявляется в различии между локальными и глобальными интерпретациями результатов математической работы в сфере математического анализа. Лейбниц колеблется между чисто формальной интерпретацией непосредственных операций с математическими символами и содержательной интерпретацией получающихся в ходе этих операций результатов. При этом сохраняется разрыв между статусом возможного существования символических сущностей и статусом интерпретируемых в мире полученных точных результатов. В основании этого разрыва лежит неявный переход между конструкциями счетными и конструкциями континуальными.
Ключевые слова: математический символизм, символическая концепция Лейбница, интерпретация символической концепции Лейбница, онтология представления.
A.V. C h u s o v. On interpretations of the symbolic concept of G.V. Leibniz: ontological duality
The article is devoted to the ontological aspects of interpretations of the symbolic concept of G.V. Leibniz. On the base of some texts from the history of mathematics, the history of philosophy and the philosophy of science, it is shown that the ontological multiplicity of the symbolic representation is manifested in the difference between local and global interpretations of the results of mathematical work in the field of mathematical analysis. Leibniz fluctuates between a purely formal interpretation of direct operations with mathematical symbols and meaningful interpretation of the results obtained during these operations. There persists a gap between the status of the possible existence of symbolic entities and the status of the obtained exact results as interpreted in the world. At the basis of this gap lies an implicit transition between countable constructs and continual constructs.
Key words: mathematical symbolism, Leibniz's concept of symbol, interpretation of Leibniz's concept of symbol, ontology of representation.
* Чусов Анатолий Витальевич — кандидат философских наук, доцент, доцент кафедры философии и методологии науки философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8 (916) 946-49-19; e-mail: [email protected]
Готфрид Вильгельм Лейбниц известен своими результатами и идеями во многих областях человеческой деятельности. Однако, пожалуй, наиболее часто его называют философом, логиком и математиком. Изобретенный им в математическом анализе символический аппарат дифференцирования и интегрирования оказался безусловно и абсолютно значимым и повсеместно используется по сию пору всеми (даже теми, кто о других его идеях имеет весьма слабое представление). Огромное множество исследователей изучали и изучают наследие Лейбница. Что же касается концепции символа у Лейбница, то ее изучение до сих пор в основном шло в двух не вполне связанных между собой направлениях. Основное внимание на роль разработанного им символического аппарата исследователи обращали прежде всего в контексте как истории математики, так и ее значения для современной математики1. Ряд философских соображений относительно символической концепции у Лейбница был выражен в работах логического2 и семиотического характера, прежде всего в связи с ее значением для символической и математической логики и, в меньшей степени, для семиотики. Сравнительно хорошо разработаны гносеологический и эпистемологический аспекты. Но гораздо в меньшей степени концепция символа у Лейбница рассматривалась с онтологической точки зрения. В целом наиболее подробно она была исследована Э. Касси-рером, который в рамках своей «философии символических форм» специально обращал внимание на этот аспект проблематики символа. Соображения по этому поводу высказывали также В.Н. Ка-тасонов и ряд других авторов. На наш взгляд, можно расширить и дополнить известные представления об онтологическом аспекте лейбницевского символизма, что и является основной задачей настоящей статьи.
1 Как история математики, так и ее философское осмысление не могут обойтись без упоминания символизма Лейбница, в том числе в связи с его развитием как в XIX в. в концепции Г. Грассмана, так и в XX в. в построениях нестандартного анализа и символической динамики. В аспекте истории математики упомянем лишь некоторые имена: Г.Г. Цейтен, А.П. Юшкевич, Г. Вилейтнер, Н. Бурбаки, Д.Я. Стройк, К.А. Рыбников, Д. Стиллвелл, W.S. Anglin.
2 Логическая проблематика интерпретации символических систем необозрима. Укажем лишь на одно прямо относящееся к логическому аспекту проблематики символизма утверждение: «Казалось естественным ожидать, что для любой математической дисциплины, скажем арифметики, удастся также найти полный набор специальных аксиом, или, более общо, дедуктивных средств, с помощью которых все истинные утверждения могли бы быть выведены логически. <...> По-видимому, такого рода надежды, более или менее явно сформулированные, питали такие умы, как Декарт, Лейбниц и в нашем веке Гильберт. .эти надежды рухнули» [Ю.И. Манин, 2008, с. 101].
Существуют разные теории символа. И в целом можно различать два исторически достаточно отчетливо выраженных аспекта отношения к предметной области символа — формальный и практически содержательный. Формальное и более теоретическое отношение заключается в выделении в символической предметной области собственных понятийных структур. В другом, исторически дополнительном аспекте данность математики не просто очевидно связана с символикой и содержит ряд символических структур (учтем при этом, что отношение к математике было весьма разным на протяжении ее истории), но являет практический интерес к работе математических конструкций и видит в символизме прежде всего работающее средство.
Рассмотрим Лейбница как мыслителя, находящегося на пересечении этих понятийных линий. На наш взгляд, его позиция обнаруживает связи как с предыдущими, так и с последующими этапами развития этой проблематики. Знаковая концепция Лейбница непосредственно связана с идеей «универсальной характеристики», но в дифференциальном исчислении обнаруживает специфическую форму символической концепции.
Обратимся сначала к характеристике символической концепции Лейбница со стороны математиков. Взгляд с этой стороны обнаруживает прежде всего интерес к логической и формальной сторонам проблемы создания аппарата математического анализа. Общим местом стало, что математический анализ изначально не имел достаточного логического обоснования (например.: [К.А. Рыбников, 1994, с. 231]).
В сравнении с Ньютоном у Лейбница введение производных и интегралов происходит существенно иначе. Первый строил модели, в которых синтез содержания был основан не просто на физических соображениях, а на совокупностях явлений. У него и флюксии, и флюенты имеют значение реальных величин. Лейбниц, напротив, реализует символический подход к величинам, что непосредственно выражалось в отрыве знаков от непосредственно реализованных, физических значений и в дальнейшей работе с формулами. Он вводит дифференциальное исчисление на манер алгоритма. Фактически в дальнейшем развитии математики и математического естествознания реализовывались как ньютоновский, так и лейб-ницевский подходы — и решение реальных задач, и (похожее на имманентное) развитие математических оснований научных теорий. «По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы ис-
числения независимо друг от друга. <...> Оба отразили, исходя из разных посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых. Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц — несколько позже. Однако приоритет в публикации, преимущества в удобстве алгоритмов и символов, заслуги в активной пропаганде нового исчисления принадлежат Лейбницу» [там же, с. 232]3.
Что же касается заслуг Лейбница в создании математического анализа, то Д. Стиллвелл даже считает, что «работе Лейбница не хватало глубины и виртуозности Ньютона <...> Сила Лейбница лежала скорее в определении важных понятий, чем в их техническом развитии. Он. вопреки Ньютону, предпочитал выражения «конечного вида» бесконечным рядам. <...> Поиск конечных видов был погоней за недостижимым, но, как многие усилия решить трудно разрешимые задачи, он привел к стоящим результатам в других направлениях» [Д. Стиллвелл, 2004, с. 162—163].
Важнейшее место среди высказанных математиками спецификаций характерных особенностей символической концепции Лейбница занимает позиция Н. Бурбаки. Характеризуя общее положение математического анализа в XVII в., Бурбаки также констатируют отсутствие логической обоснованности: «.путь к современному анализу был открыт только тогда, когда Ньютон и Лейбниц, повернувшись спиной к прошлому, решили временно искать оправдание новым методам не в строгих доказательствах, а в обилии результатов и их взаимной согласованности» [Н. Бурбаки, 1963, с. 179]. Они выделяют у Лейбница следующие характерные моменты:
— он изначально был недостаточно знаком с математикой своего времени;
— изначально основывался на понимании науки вообще и математики в частности, используя восходящую к схоластической логике трактовку высказываний как субъектно-предикатных отношений между понятиями и аксиом как следствий из определений/дефиниций;
— был увлечен восходящей к Раймонду Луллию идеей метода, сводящего понятия к примитивам как к азбуке мысли;
— обязан Декарту идеей чисто символических обозначений;
— использовал алгебру в качестве модели языка;
3 Аналогично: «Ньютон и Лейбниц, каждый независимо друг от друга, свели основные операции исчисления бесконечно малых к алгоритму. Достаточно записать в символике, которой пользовались один или другой, задачу квадратуры или решения дифференциального уравнения, чтобы убедиться в ее алгебраической структуре, освобожденной от геометрической оболочки» [Н. Бурбаки, 1963, с. 192].
— под «универсальной характеристикой» понимал символический язык, «способный без двусмысленностей выражать все человеческие мысли, усилить нашу возможность дедукции, избегать ошибок благодаря чисто механическим усилиям внимания и, наконец, построенный так, что "химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогут быть записаны его знаками"»;
— формализованный язык рассматривал как чистую комбинацию знаков, доступную машинной обработке [там же, с. 15—16, 22, 192].
При этом Бурбаки делают акцент на «алгебраической», операциональной, символической сущности деятельности Лейбница по созданию аппарата математического анализа4.
Имея в виду указанные характеристики символической концепции Лейбница, обратимся теперь к ее онтологическому аспекту. Мы интерпретируем онтологию как систему предположений о типах существования и/или несуществования в отношении к некоторому представлению (репрезентации) [А.В. Чусов, 2010, с. 66]. Классическое понимание знаковой ситуации или ситуации представления заключается в том, что представление вообще имеет знаковую природу. Символические системы являются частными случаями знаковых систем вообще, и связанные с ними онтологии имеют в онтологическом плане общее строение. В отношении представления (или в знаковой ситуации) присутствуют в качестве его типичных элементов, с одной стороны, представляющее и означающее, с другой — представляемое и означаемое.
Неклассические семиотические и лингвистические теории расширяют классическую проблематику знака, значения и смысла, не только добавляя к ней типы референции, типы актуализации знака, коммуникативные аспекты (например: [У. Эко, 1998; И.Р. Гальперин, 2014; О.А. Крылова, 2009]), но и различая связываемые при этом регионы сущих.
На неклассический характер семиотического отношения указывал Э. Кассирер: «"Я" улавливает себя не только как сумму покоящихся состояний, но как сущность, простирающуюся во вре-
4 Например: «В описанной выше эволюции математических идей можно было заметить присутствующую в ней и возрастающую алгебраизацию анализа бесконечно малых, т.е. сведение его к операционному исчислению, оснащенному системой единообразных обозначений алгебраического характера. Как неоднократно и совершенно отчетливо указывал Лейбниц, надо было сделать для нового анализа то, что Виет в свое время сделал для теории уравнений, а Декарт — для геометрии» [там же, с. 198] А также: «Ньютон вводит флюксии высшего порядка только строго ограниченно. в каждом конкретном случае, Лейбниц уже с самого начала ориентируется на создание "операционного исчисления".» [там же, с. 201].
мени вперед, выходящую из настоящего в будущее. Без такой формы стремления нам никогда не дано то, что мы обычно называем "представлением", актуализацией некоего содержания. <...> Если мы станем мыслить "представление" статически, определять его не как силу, но только с помощью понятия бытия, самый смысл его от нас ускользает. Лейбниц употребил здесь остроумный неологизм — регеерШгШо, который у него оказывается равноправным с настоящим представлением, с регеерИо. Они неразрывно друг с другом связаны: сознание существует лишь потому, что оно не покоится в себе, но постоянно выходит за свои пределы — из данности настоящего к тому, что ему не дано» [5. Кассирер, 2002, с. 143]. Этот вывод имеет двойной онтологический характер, поскольку в нем присутствует прямая апелляция не только к актуализации как к типу данности содержания, но и к данности представления субъекту.
Обратим внимание на постановку вопроса о символической функции знака у Кассирера: «Для мира абстрактных понятий возможно и даже необходимо ограничиваться миром знаков. <...> В основе всякого понятийного познания с необходимостью лежит созерцание, а оно опирается на восприятие. Не следует ли тогда искать работу символической функции на этих предшествующих понятийному мышлению ступенях? Ведь их своеобразие заключается в том, что они таят в себе не опосредованное и дискурсивное знание, но непосредственную достоверность» [там же, с. 46]. Вопрос здесь стоит не только в плане генезиса эпистемологических и логических характеристик знания. Интерес заключается прежде всего в актуализации символической функции, рассматриваемой в ее процессуальном аспекте.
Иную (на наш взгляд, менее подходящую с семиотической точки зрения, но имеющую свои метафизические и гносеологические основания) интерпретацию онтологическому аспекту представления у Лейбница дает В.Н. Катасонов, считая, что представление в понимании Лейбница непосредственно является отражением [В.Н. Катасонов, 2011, с. 60]. Он полагает, что в основе идеи символизма «универсальной характеристики» Лейбница лежит стремление создать систему, способную отразить бесконечность мира [там же, 2011, с. 66]. Катасонов отмечает также новизну представлений Лейбница прежде всего в части онтологического понимания структуры континуума [там же, с. 40—41]. На наш взгляд, здесь, однако, проявляется двойственность онтологических оснований в системе представлений Лейбница, которую он так и не смог преодо-
леть. Фактически об этом говорит К.А. Рыбников, перечисляя идеи, которые Лейбниц пытался развернуть в связи с обоснованием математического анализа, но так и не смог их достаточно развить: «У него можно найти: трактовку бесконечно малых как неархимедовых величин; привлечение интуитивно воспринимаемой потенциальной бесконечной малости; ссылки на античный метод исчерпывания и сведение всех трудностей к нему; постулирование возможности замены отношения бесконечно малых отношением конечных величин; неразвитые представления о пределе, стремлении к нему; введение в рассуждения, в качестве опоры, непрерывности, будто бы присущей природе всех вещей» [К.А. Рыбников, 1994, с. 231].
В развитии идей символизма у Лейбница было два этапа: до 1673 г. (поездка в Париж) — первый, основанный на представлениях о финитной логической комбинаторике, и следующий, ознаменованный знакомством с Гюйгенсом, который ввел его в курс инфинитези-мальных проблем математики [там же, с. 228]. Символизм у Лейбница связан не только с «универсальной характеристикой», но и с дифференциалами и интегралами. И Кассирер также отмечает, что для первого этапа в большей степени характерно внимание Лейбница к финитным логическим конструкциям [Э. Кассирер, 2002, с. 277]. Начиная, по меньшей мере, с Николая Кузанского5 бесконечность в той или иной форме является основанием теорий символа как специального вида знаков. А на втором этапе Лейбниц специально разрабатывает представления, непосредственно включающие бесконечность. Кузанец развивал концепцию восхождения от знака к истине [Николай Кузанский, 1979, с. 64], в которой символ играет ведущую роль. Он утверждал, что математические конструкции имеют гносеологическое значение вследствие того, что они символизируют приближение к божественной истине. Это возможно благодаря способности символа указывать на бесконечное, приближать к познанию бесконечного, не «обозначая» последнее в точном смысле этого слова [там же, с. 66]. Эти идеи вполне характерны и для Лейбница.
Заметим, что проблема существования объекта, представленного знаковым образом, имеет непосредственное онтологическое измерение. И в отношении символической концепции Лейбница ее онтологические особенности устанавливались не только такими
5Согласимся с В.Н. Катасоновым: «Связь с "ученым незнанием" Николая из Кузы усматривается не только по логическим мотивам, но имеет под собой и историко-фактическую базу. Лейбниц, конечно, был знаком с трудами Николая из Кузы.» [В.Н. Катасонов, 2011, прим. 87 на с. 58].
исследователями, как Э. Кассирер, В.Н. Катасонов. Не имевший перед собой целей выявления философских коннотаций в работах Лейбница, К.А. Рыбников все же констатирует, что «еще в 1702 г. Г.В. Лейбницу приходилось писать, что мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» [К.А. Рыбников, 1994, с. 226]. Обратим внимание не только на выражения «бытие» и «небытие», но и на использование самим Лейбницем при обсуждении существования математических объектов (дифференциальных форм и мнимых чисел) таких выражений, как «амфибия» и «химера». В его рассуждениях явно присутствует указание на сущности со статусом существования иным, нежели существование объектов реальных, вещественных. Заметим, что имеющее непосредственные онтологические корни понимание особого типа существования таких математических объектов, как «вещественные числа», отличая их от чисел комплексных, терминологически закрепилось не сразу, но после того исчезло из поля зрения.
Но вернемся к Кассиреру. Он интерпретирует проблематику символизма у Лейбница, подчеркивая, что, с одной стороны, есть проблематика чистой комбинаторики знаков. С другой же стороны, знак служит не столько изложению, сколько обнаружению определенных логических взаимосвязей, не только символически резервирует знание, но и открывает новые пути в те области, что еще ему недоступны. Далее это положение связывается у Кассирера наличием синтетической силы сознания, а также с тем, что достигнутая в сознании концентрация содержания становится импульсом для расширения его границ.
Заметим также, что универсальная характеристика, по мнению Лейбница, должна выражать не просто абстрактную формальную знаковую систему, а быть реальной (characteristica realis). Она выражает некие истинные сущностные параметры вещей. Этому есть математическая аналогия: разложение на простые числа (prime numbers) можно считать эквивалентным разложению на простые идеи. Заметим также, что в истории простые числа рассматривались как первые в генезисе некоторого класса чисел. Подобное понимание дает генетические и/или конструктивные основания для создания дальнейших математических (и не только числовых) конструкций.
В этом пункте проявляется также методологическая связь Лейбница и Декарта. Следуя Декарту (7-ое правило для руководства ума), в методически определенном познании необходимо создавать эну-
мерации простых идей [Р. Декарт, 1989, с. 96]. Именно это Лейбниц и делает. Его отличие от Декарта состоит в использовании бесконечных последовательностей энумерации. А это возможно лишь при принятии символической концепции знака, выражающего действительные величины. Заметим, что Ньютон решал, по сути, ту же проблему на совершенно иных онтологических основаниях. Он вводил бесконечно малые величины как действительно сущие, имеющие особый статус существования и подлежащие особым правилам обращения [А.В. Чусов, 2014]. В трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» он писал: «Все, чего обычный анализ достигает (когда это возможно) с помощью уравнений с конечным числом членов, здесь всегда достигается при помощи бесконечных уравнений. И я не колеблюсь употреблять и здесь термин: анализ. Действительно, рассуждения в нем не менее достоверны, чем в первом, и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все их члены так, чтобы точно узнать из них искомые величины» [И. Ньютон, 1937, с. 21].
В контексте онтологической проблематики символизма весьма значимо исследование В.С. Широковым связи математики Лейбница со средневековыми теориями. На наш взгляд, именно как онтологическую двойственность символической концепции Лейбница можно интерпретировать следующее замечание Широкова: «Часто в одном и том же сочинении Лейбниц совмещал различные теории строения континуума (которые он раньше считал несовместимыми)» [В.С. Широков, 1985, с. 74]. Он указывает, что проведенный Лейбницем анализ понятия движения привел его к такому выводу: «".суть этого понятия (и трудность его математического описания) заключается именно в границе, отделяющей точку и континуум: с одной стороны, континуум делим бесконечно; но, с другой, — он не может состоять только из границ, которые возникают при этом делении"» [там же, с. 71]. На наш взгляд, с онтологической точки зрения, в этих и подобных им рассуждениях Лейбниц непосредственно имел в виду сущие в универсуме. В ходе последовательного анализа и деления, при переходе к пределу, эти сущие представали как точки в математическом смысле. Отождествление абсолютно минимального элемента сущего с точкой при этом является репликой соответствующей концепции Николая Кузанского. При этом Лейбниц фактически полагает, что результат деления сущего должен сам быть сущим, или, иначе, что точка является не границей деления некоей величины (и имеет нулевую
размерность), а продолжает сохранять качественную определенность делимой величины. Двойственность его подхода заключается в том, что знак как сущность чисто символическая и семиотическая обладает свободой в отношении к тому, что он означает, но действительная универсальная характеристика относится к реалиям и подобной свободы не имеет. Лейбниц, можно сказать, онтологически осциллирует между этими двумя модусами.
Обратим внимание также на исследование Хенка Боса, специально посвященное фиксации отличий математической концепции Лейбница от современных представлений. Фактически развертывая указанную выше методологическую связь Лейбница с Декартом, Бос показывает, что изучение касательных и квадратур кривых приводит Лейбница к рассмотрению последовательностей как переменных, так и их разностей. При этом «бесконечно угольная ломаная зависит от того, что Лейбниц называл "прогрессией переменных"» [Х. Бос, 2004, с. 18]. И в этой прогрессии Лейбниц не фиксирует области определения и значения как типы (значение переменной — функция от этого значения), оставляя возможность создания основания прогрессии и по переменной, и по ее функции (эта идея позднее была развита в вариационном исчислении). Обратим внимание на то, что Лейбниц при этом с необходимостью был ограничен в своем рассмотрении лишь счетно-сконструи-рованными способами приближения к пределу. И мы можем критически отнестись к тому, что он «хотел сохранить свободу выбора приближающих ломаных, а еще точнее — прогрессий переменных» [там же, с. 19], как к желанию Лейбница сочетать математический символизм с возможностью содержательной интерпретации его результатов в духе монадологии. Ведь принципиальным порогом здесь является несчетность континуума.
Подобную двойственность счетного и превышающего всякий счет фиксирует у Лейбница и В. Энглин: «Сам Лейбниц не думал, что действительно существуют бесконечно малые величины. Он считал, что они "фиктивны" — полезны, но частью вселенной не являются. Таким же образом он рассматривал и комплексные числа, и бесконечные числа» (Новые опыты... II 17). С другой стороны, в письме Симону Фуше в 1693 г. Лейбниц утверждал, что «наименьшая частица должна рассматриваться как мир, наполненный бесконечным числом созданий. Хотя, по Лейбницу, им не соответствует никакое математическое число, в природе существует бесконечно много объектов» [Ж& Anglin, 1994, р. 183].
Таким образом, можно подвести некоторые итоги нашего рассмотрения.
Существенная для всякого символизма множественность предположенных в нем типов существования может быть скрыта от непосредственного взгляда формальной выполнимостью операций с символами в реализованном через их посредство представлении. Однако на метатеоретическом уровне, на котором происходит содержательная интерпретация результатов, полученных в ходе такого оперирования, возникают проблемы соотнесения онтологически разных сущностей. Чисто формальное понимание точности результата у Лейбница сопровождается поиском точных решений. Но перспектива их соединения в рамках предустановленной гармонии мира не имеет основания не только в силу принципиальной множественности математических порядков, но и по причине недостаточности для целей классического математического анализа счетно-конструируемых множеств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бос Х.И.М. Основополагающие понятия Лейбницева исчисления // Математика в высшем образовании. 2004. № 2. С. 11—26.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с фр. И.Г Башмаковой; Под ред. К.А.Рыбникова. М., 1963.
Гальперин И.Р. Текст как объект лингвистического исследования / Отв. ред. Г.В. Степанов. 8-е изд. М., 2014.
Декарт. Соч.: В 2 т. / Пер. с лат. и фр. С.Ф. Васильева и др.; Сост., ред., вступ. ст. В.В. Соколова. М., 1989. Т. 1.
Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века / Отв. ред. А.П. Огурцов. 2-е изд. М., 2011.
Кассирер Э. Философия символических форм. Т. 3. Феноменология познания / Пер. с нем. С.А. Ромашко. М.; СПб., 2002.
Крылова О.А. Коммуникативный синтаксис русского языка. 2-е изд., испр. и доп. М., 2009.
Лейбниц Г^. Соч.: В 4 т. Т. 1 / Ред. и сост., вступ. статья и примеч. В.В. Соколов; Пер. Я.М. Боровского и др. М., 1982.
Лейбниц Г^. Соч.: В 4 т. Т. 2 / Ред., авт. вступ. статьи и примеч. И.С. Нар-ский. М., 1983.
Лейбниц Г.B. Соч.: В 4 т. Т. 3 / Ред. и сост., авт. вступ. статей и примеч. Г.Г. Майоров и А.Л. Субботин; Пер. Я.М. Боровского и др. М., 1984.
Лейбниц Г.B. Соч.: В 4 т. Т. 4 / Редкол.: Б.Э. Быховский, Г.Г. Майоров, И.С. Нарский и др.; Ред. тома, авт. вступ. ст. и примеч. В.В. Соколов. М., 1989.
Манин Ю.И. Математика как метафора. М., 2008.
Николай Кузанский. Соч.: В 2 т. / Пер. с лат., общ. ред. и вступ. статья З.А. Тажуризиной. М., 1979. Т. 1.
Ньютон И. Математические работы / Пер. с лат., вводная статья и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М.; Л., 1937.
Рыбников К.А. История математики: Учебное пособие. М., 1960. Рыбников К.А. История математики: Учебник. М., 1994. Стиллвелл Д. Математика и ее история. М.; Ижевск, 2004. Чусов А.В. Об изменении онтологии понимания пространства в XIX веке // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. 2010. № 4. С. 64-74.
Чусов А.В. О категориях математического и физического методов у Ньютона // Философия, наука, гуманитарное знание: Сб. статей / Отв. ред. В.Г. Кузнецов, А.А. Печенкин. М., 2014. С. 117-143.
Широков В.С. Средневековая математика и Лейбниц // Историко-ма-тематические исследования: Сб. статей. Вып. XXIX / Отв. ред. А.П. Юшкевич. М., 1985. С. 69-76.
Эко У. Отсутствующая структура: Введение в семиологию / Пер с фр. А.Г. Погоняйло, В.Г. Резник. 1998.
Anglin W.S. Mathematics: A œncise history and philosophy N.Y; Berlin; Heidelberg; L.; P., Токуо; Нощ Kxing; Barcetana; Budapest, 1994.
