Об игровых динамических моделях некоторых макроэкономических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ИГРОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ НЕКОТОРЫХ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ © Э.Г. Альбрехт (Екатеринбург)

Рассматривается методика построения непрерывных (или дискретных) динамических математических моделей эволюции предприятий, производящих только один вид продукции, которые предназначены для анализа текущих состояний и прогнозирования их производственной деятельности в зависимости от таких управляющих параметров как величины ставки налогообложения, процентной ставки на банковские кредиты и курса доллара. Перечень управляющих параметров может быть расширен в зависимости от особенностей функционирования изучаемого предприятия и целей исследования. Предлагаемые модели строятся на базе статистических данных о производственной деятельности предприятия, основных понятиях общей теории игр, теории позиционных дифференциальных игр и опираются на принцип максимизации в экономическом анализе П.А. Са-муэльсона. Для верификации моделей используются методы оптимального управления.

Для оценки эффективности и интенсификации производства используются данные о динамике валового продукта р, материальных затрат q = {дь...,дп}> прибыли к и чистого продукта с - вновь созданной стоимости, включающей прибыль, заработную плату и другие виды оплаты труда, налог с оборота и т. д. Вследствие наличия балансового соотношения р = q\ +... + qn + с достаточно построить динамическую модель, связывающую величины р, <?1,..., <7п и Ь. Опираясь на статистические данные, построим зависимость прибыли от валового продукта, материальных затрат, а также от величины ставки налогообложения р, процентной ставки и на банковские кредиты, курса доллара С и других параметров, которые могут быть взяты в качестве управляющих, т.е. вычислим функцию /1 = Я(р, (/, р, I/, С, ■ • •)> где многоточие указывает на возможное присутствие других, содержательно не описанных выше, управляющих параметров. Для этого введем следующие обозначения. Пусть {£ = 0,1,/V} - последовательные моменты времени, в которые известны значения валового продукта {р*(0),... ,р*(АГ)}, материальных затрат ^*(0),... ^ = 1,...,п)

и прибыли {/1*(0),...,/?,*(./У)}. Функция Я(р, д, р, I/, £,...) может быть найдена при помощи метода наименьших квадратов из условий:

/?*(*) = #(р*(*),д*(*),р(£), !/(*), С(*),...)* * = 0,1,..,АТ.

Причем Я(0,дь...,дп,р,1/,С,...) = #(р, 0,д2, • • • ”, С« • • •) = ••• = Н(Р, • • • ,9«-1,0,р, и, С,...

...) = 0. Чтобы получить результат, отображающий статистические данные с любой необходимой точностью, надлежит полагать

тт *

Я(р, я, р, и, С,.. •) = Р П Ь «Л С. • ■ •) + /(1)(Р> 0. ^ с» •••) + ••• + /(т)(р> 9, А*, С, • • •)]»

.7=1

где символ /(т) означает форму т-го порядка переменных р и qj, (^ = 1,... ,п) с коэффициентами, зависящими от управляющих параметров, число т зависит от точности, с которой необходимо вести расчеты, и определяется экспериментально.

Функция Я(р,<?,р,//,£,...) является результатом взаимодействия спроса и предложения на рынке промышленных товаров в течение выбранного промежутка времени. Из принципа максимизации следует, что производители в каждый момент времени выбирали объём производства и цены продажи, стремясь максимизировать свою прибыль к = Н(р, <?,р, I/, С,...), в то время как продавцы материальных ресурсов, стремясь также максимизировать свою прибыль, напротив, своими действиями минимизировали величину Н = Я(р, д, р, г/, С, • • •)• Следовательно, функция

Н(р, <7, ц, и, С, • • •) ~ эмпирический закон зависимости прибыли от объема производства и материальных расходов при существующих на отрезке времени [0, ЛГ] условиях хозяйствования - может быть истолкована как плата в антагонистической игре двух лиц. Эволюция (р(£),у(£)} этого процесса рыночного противоборства происходит вдоль градиентной кривой (или ломаной) функции платы, т. е. является решением системы дифференциальных уравнений

И=и{1)------------д-р------1 = ~щ(г)--------Щ---------’ Ь-1--") «

при начальных условиях

р(0)=р*(0), 9(0) = </*(0).

Здесь неотрицательные ограниченные функции и(Ь) и г^(£) служат для преобразования параметров градиентной кривой в реально текущее время £, и их надлежит определять из имеющихся статистических данных так, чтобы при {£ = 1,..,ЛГ} решение {р(£),<?(£)} уравнений (1) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяло равенствам

р(£)=р*(г), я(г) = 9*(0- (2)

Функции и(£) и = 1,... ,п) будем искать как решение задачи о сближении траектории

управляемой системы (1) в заданные моменты времени {£ = 1,..., -/V} с заданным числом неподвижных точек (2) при условии минимума функционала

1[и,у) = [ [«2(*) + ^»?(0]Л + ^[(р(*)-рЧ*))2 + (Ф)-9*(в))2]Л*в» (3)

]=1 5=1

где Лз - параметры точности.

Решение задачи о сближении может быть найдено из необходимых условий экстремума в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина, установленных Ю.И. Бердышевым и А.Г. Ченцовым.

Вне зоны эмпирических данных уравнения (1) позволяют вычислить эволюцию изучаемого процесса в зависимости от разработанных экспертами сценариев изменения управляющих параметров /X, и, С И фуНКЦИЙ п(£) И Vj{t).

Опираясь на современную математическую теорию оптимальных управляемых процессов и модель (1), можно вычислять гарантированные прогнозы последствий принятых управленческих решений или готовить различные сценарии будущего развития событий для лица, принимающего решения, используя эффективные численные методы построения оптимальных стратегий игроков, развитые в теории позиционных дифференциальных игр. Рассмотрим возможные постановки математических задач о вычислении прогноза развития макроэкономического процесса на некотором будущем промежутке [Л^, ], когда не ожидаются существенные изменения в технологи-

ях и во всей экономике в целом. Простейший путь - выработать сценарии изменения функций и(£), г;(£), //(£), С(£) на отрезке [ЛГ, ] и найти порождаемое ими решение системы (1).

Опишем наиболее пессимистичный для производителя вариант построения прогноза. Предположим, что выбраны или получены экспертным путем оценки на возможные значения всех управляющих параметров на отрезке [ЛГ, N1 ] и введем в рассмотрение антагонистическую игру двух игроков с платой

/•ЛГ 1

/1[и,и’]=/ я(р(г),д(г),/Дг),1/(г),с(*),...)<й, (з)

которая равна прибыли на отрезке [ЛГ, N1]. Пусть первый игрок выбором управляющего воздействия и стремится максимизировать плату (3), а второй игрок, напротив, стремится ее минимизировать выбором управляющего воздействия и.' = {г, //, 1/, С}- Требуется найти оптимальные позиционные стратегии первого игрока 1Г° и второго игрока 1У0, разрешающие максиминную и минимаксную задачи. Оптимальные стратегии {С/°,И^0} определяют гарантированный результат для производителя, т. е. /1 [С/0, И^0] ^ /1 [С/0, И^] при любой реализации гг(£) = {г(<), //(£), ^(£), С(0}- Оптимальная стратегия \\Л) описывает самые неблагоприятные экономические условия для производителя.