CC BY
21МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ 1
Альбрехт Э.Г., [email protected] Институт математики и механики УрО РАН
Рассматриваются процедуры построения и идентификации динамических математических моделей производственной деятельности отдельных предприятий, различных отраслей промышленности или промышленности и экономики региона с целью выработки сценариев краткосрочного или долгосрочного прогноза. Для построения предлагаемых моделей достаточно данных о производственной деятельности предприятий, которые они обязаны регулярно сообщать в местные статистические органы России. Модели строятся в форме дифференциальных (или разностных) уравнений по статистическим данным за некоторый промежуток времени и зависят от управляющих параметров. В качестве управляющих параметров для определенности рассматриваются налоговая ставка, ставка рефинансирования и курс национальной валюты, поскольку в настоящее время они определяют экономические условия хозяйствования в России. В общем случае набор управляющих параметров является произвольным и зависит от цели исследования и особенностей изучаемого объекта. Описывается итерационный алгоритм идентификации моделей, опирающийся на методы решения маршрутной задачи оптимального управления. Для построения долгосрочного прогноза предлагается использовать методы теории позиционных дифференциальных игр.
ВВЕДЕНИЕ
Построение динамических математических моделей макроэкономических процессов является актуальной и трудной проблемой, эффективное решение которой наталкивается на ряд препятствий не только технического плана, связанных с возможностью применения математических методов, но и принципиального гносеологического характера [37]. Укажем, например, работы [9,18,19,31,32,34,35,37], в которых представлены обзоры, дана краткая оценка результатов и направлений исследований, приведена обширная библиография.
Сложность, большое многообразие и быстрая изменчивость изучаемых в экономике явлений, наличие не формализуемых и неопределенных факторов, обусловленных иррациональным поведением человека — основные причины, которые препятствуют созданию математических моделей, адекватно описывающих эволюцию экономических субъектов. Отметим, прежде всего, что не решена проблема выбора обобщенных координат, однозначно и полно определяющих поведение или эволюцию объектов социально— экономической природы. Это объясняется тем, что, в отличие от таких естественных наук как физика и теоретическая механика, экономической науке не удалось установить фундаментальные и динамические количественные закономерности, которые связывали бы между собой различные числовые показатели. Изменчивость экономических процессов приводит к тому, что используемые при расчетах количественные закономерности в экономике через некоторый промежуток времени становятся неверными. Нередко
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проектам 00-01-00753 и 01-01-96450 - Урал.
применение различных экономических теорий к одним и тем же статистическим данным приводит [40] к противоположным результатам. Поэтому развитие метода динамических математических моделей, сводящего исследование некоторого процесса к математической задаче или цепочке задач, отвечающих иерархически упорядоченной системе идеализированных схем этого процесса, является важной и насущной проблемой.
Исследование экономических явлений должно, прежде всего, опираться на постоянный анализ статистических данных [34]. Для конструирования динамических моделей в экономике необходимо выработать, опирающиеся на экономическую теорию принципы, которые позволяли бы генерировать уравнения, однозначно определяющие эволюцию изучаемого процесса. Этот принцип должен быть таким, чтобы его можно было выразить через доступные измерению экономические показатели, содержащиеся в имеющихся статистических данных. Под математической моделью будем понимать аналитические соотношения, которые следуют из сформулированного принципа и разработанного способа обработки статистических данных. Соотношения, которые описывают динамику процесса, должны непрерывно корректироваться или уточняться по мере поступления новых данных.
В данной работе описывается новая методика [4, 5, 3] построения основанных на принципе максимизации прибыли [36,45] эконометрико— теоретических непрерывных или дискретных динамических математических моделей описания эволюции макроэкономических процессов, которые предназначены как для анализа текущих состояний, так и для краткосрочного или долгосрочного прогнозирования. Повидимому, это простейший принцип, который может быть положен в основу расчетов и который давно широко используется в экономической теории. Разнообразные задачи математического программирования, применяемые с середины ХХ века в экономике, являются его различными проявлениями.
Для практической реализации предлагаемых и исследуемых в работе моделей достаточно данных, сообщаемых предприятиями России в статистические органы. В модель вводятся управляющие параметры, что позволяет трактовать экономический процесс как управляемую динамическую систему и применять для его моделирования и исследования методы математической теории оптимальных управляемых процессов [1, 14, 23, 27, 28, 29, 33, 41,42, 43]. Модели строятся в форме дифференциальных (или разностных) уравнений по статистическим данным за некоторый промежуток времени. В качестве управляющих параметров для определенности рассматриваются налоговая ставка, ставка рефинансирования и курс национальной валюты, поскольку в настоящее время они определяют экономические условия хозяйствования в России. В общем случае набор управляющих параметров является произвольным и зависит от цели исследования и особенностей изучаемого объекта.
В настоящее время достаточно сильно развита математическая теория позиционных дифференциальных игр [28,29] — антагонистических, бескоалиционных, коалиционных, кооперативных, иерархических и т.д., источником которой являются экономические задачи [20,21,22,39]. Разработаны [46] эффективные процедуры вычисления оптимальных стратегий игроков и порождаемых ими эволюций управляемых процессов. Методы современной теории позиционных дифференциальных игр предлагается использовать для прогнозирования будущей эволюции изучаемого макроэкономического процесса с целью подготовки сценариев развития событий для лица, принимающего решения, и данных для принятия окончательных управленческих решений с гарантированной оценкой их последствий и описанием наиболее неблагоприятных для производства экономиче-
ских условий.
Описывается итерационная процедура идентификации моделей, которая опирается на принцип максимума для маршрутной задачи оптимального управления [8,11,12,13] и метод последовательных приближений Пикара [2] и обсуждаются условия ее сходимости. На основе метода итераций строится кусочно— постоянная аппроксимация решения задачи идентификации.
Прогноз по предлагаемым моделям опирается на прошлую историю производственной деятельности и вычисляется в зависимости от сценариев будущих управленческих решений, которые могут быть приняты местным или федеральным правительством, а также в зависимости от сценариев изменения курса национальной валюты, процентной ставки на банковские кредиты и внутренних параметров модели, оценивающих результат действий производителей материальных благ и производителей материальных ресурсов, направленных на увеличение сбыта произведенной продукции.
Для иллюстрации работоспособности предлагаемого подхода приводятся результаты моделирования работы промышленности Уральского экономического региона в 1970
- 1984 гг.
1 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ
В этом разделе обосновывается процедура построения динамических математических моделей макроэкономических процессов в форме дифференциальных (или разностных) уравнений, описывающих изменение валового продукта и материальных затрат фирмы (отрасли производства, промышленности региона) с течением времени. Модели строятся на базе основных понятий общей теории игр и опираются на принцип максимизации в экономическом анализе [45]. Эволюция изучаемого явления трактуется как движение вдоль градиентных кривых (или градиентных ломанных) потенциала системы
— эмпирической функции, выражающей прибыль через величины валового продукта и материальных затрат.
1.1 Макроэкономический потенциал
Для оценки эффективности и интенсификации производства в регионе используются [25] статистически данные о динамике конечного валового продукта р, материальных затрат q, прибыли Н и чистого продукта — вновь созданной стоимости, включающей прибыль, заработную плату и другие виды оплаты труда, налог с оборота, выплаты процентов по кредитам и т.д. Вследствие наличия балансового соотношения р = q + с для целей прогнозирования развития производства в регионе достаточно разработать динамическую модель, связывающую величины р, q и Н. Подчеркнем, что во многих работах по теории фирмы под прибылью понимается чистый продукт [22], который максимизируется в рамках различных задач математического программирования. Здесь, следуя [25] и опираясь на методику расчета статистическиж отчетов, под прибылью мы понимаем количество денег, которое остается у производителя после оплаты расходов на производство и реализацию продукции, выплаты по налогам и кредитам и т.д. Следовательно, величина Н зависит от валового продукта, материальных расходов, местного и федерального законодательства, определяющего экономические условия хозяйствования, взаимодействия спроса и предложения, а также от действий многих экономических
субъектов.
Будем предполагать, что вся произведенная продукция полностью реализуется на рынке и в каждый момент времени £ валовой продукт р — стоимость продукции действительно реализованной на рынке к этому моменту, а д — стоимость материальных ресурсов, использованных для производства этой продукции.
Опираясь на статистические данные, построим зависимость Н = С(р, д) прибыли от валового продукта и материальных затрат. По смыслу зависимости прибыли от валового продукта и материальных затрат, функция С(р, д) удовлетворяет условию:
С(0,д) = С(р, 0) = 0. (1.1)
Это условие означает, что при отсутствии выпуска продукции прибыль равна нулю или, если не было произведено материальных затрат, то выпуск продукции невозможен и, следовательно, прибыль не может быть получена.
Введем следующие обозначения. Пусть {£ = 0,1,.., N} — последовательные моменты времени, в которые известны значения валового продукта {р*(0), ...,р*^)}, материальных затрат {д*(0),..., д)} и прибыли {Н*(0),..., Н*^)}.
Вид аналитической зависимости функции С(р, д) от переменных р, д неизвестен, поэтому будем аппроксимировать ее многочленом некоторой степени переменных р, д с неопределенными коэффициентами, которые будем вычислять при помощи метода наименьших квадратов из условий:
Н*(£) = С(р*(£),д*(£)), {£ = 0,1,..^}. (1.2)
Чтобы получить результат, отображающий статистические данные с любой необходимой точностью, в соответствии с условием (1.1) будем полагать
С(р, д) = рд[а + /(1) (р, д) + ■ ■ ■ + /(т) (р, д)], (1.3)
где а - постоянная и символ /(т) означает однородную форму т-го порядка переменных р и д с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, число т зависит от точности, с которой необходимо вести расчеты и устанавливается экспериментально. Выбирая число т достаточно большим мы можем при помощи функции С(р, д) вида (1.3) аппроксимировать статистические данные сколь угодно точно, если только число N достаточно велико.
Функция С(р, д) является результатом взаимодействия спроса и предложения на рынке промышленных товаров в течение выбранного промежутка времени в сложившихся экономических условиях хозяйствования. В неявной, опосредованной форме она отражает влияние всех трудно поддающихся учету и анализу неопределенных факторов, сопровождающих процесс реализации продукции на рынке: национальные и семейные традиции, индивидуальные предпочтения, ожидания инфляции, наличие конкурирующих фирм, существование теневой и полу-теневой экономики и т.д.
Как мы увидим ниже, эта функция определяет градиентную систему, которая однозначно описывает динамику изучаемого процесса. Поэтому по аналогии с терминологией, принятой в естественных науках, функцию С(р, д) будем называть потенциалом макроэкономической системы или просто потенциалом.
1.2 Модель краткосрочного прогнозирования
Современная фирма имеет сложную структуру, работники ее отдельных подразделений могут иметь различные экономические интересы, зависящие от их права на собственность, социального и общественного положения, однако, все они согласятся [36] с тем, что цель фирмы состоит в максимизации ее прибыли. Опираясь на эти рассуждения и принцип максимизации [45] в экономическом анализе при построении моделей будем исходить из следующей гипотезы.
Гипотеза. Рассматривается рынок, все участники которого имеют одну цель — максимизировать собственную прибыль.
Это означает, что производители товаров в каждый момент времени выбирали объем производства и цены продаж, стремясь максимизировать свою прибыль Н = С(р^), в то время как продавцы материальных ресурсов, стремясь также максимизировать свою прибыль, напротив, своими действиями минимизировали величину Н = С(р^). Следовательно, потенциал С(р, q) — эмпирический закон зависимости прибыли от объема производства и материальных расходов как результат взаимодействия спроса и предложения на некотором рынке промышленных товаров в течение выбранного промежутка времени — может быть истолкован как результат разрешения конфликта [16] между двумя обобщенными игроками: производителем товаров потребления и производителем материальных ресурсов. Этот конфликт разрешается в каждый текущий момент времени и вся деятельность обоих игроков по совершенствованию структуры управления производством, введению новых более экономичных и прогрессивных технологий, установлению цен, организации и поиска рынков сбыта, рекламе и т.д. направлена на достижение своей максимально возможной прибыли.
В реальной действительности эта цель, конечно, практически никогда не достигается: многие тысячи менеджеров постоянно сталкиваются с многочисленными неопределенными факторами, которые невозможно достоверно оценить, и успех зависит прежде всего от их искусства и предприимчивости, организаторской способности, умения увидеть и во-время предугадать грядущие изменения или действия своих конкурентов. В некоторые периоды фирма может и не стремиться к достижению максимально возможной прибыли, исходя из рекламных или других соображений, ожидая получить большие доходы в будущем.
Чтобы сформулировать строгую постановку игровой задачи необходимо выработать критерии оптимальности [16]. Однако, на основании имеющихся статистических данных это сделать невозможно. По аналогии с постановкой антагонистических дифференциальных игр [28,29] при воздействии на динамическую систему неопределенных помех потенциал (1.3) будем трактовать как функцию выигрыша в антагонистической игре, когда производитель товаров потребления и производитель материальных ресурсов выбирают независимо свои стратегии р е Р* и q е Q* из некоторых замкнутых и ограниченных множеств Р*, Q*. Такая постановка игры не может быть использована для вычисления оптимальных стратегий поведения методами статической теории игр [24,16], поскольку данных недостаточно, чтобы описать множества Р*, Q*. Но предлагаемая трактовка полезна в другом отношении. Поскольку по имеющимся данным невозможно построить стратегии оптимального поведения, мы в соответствии с принятой гипотезой будем исходить из того, что действия производителя товаров потребления были достаточно успешными и, следовательно, при любом значении q его прибыль С(р, q) по крайней мере не убывала при изменении р, а действия производителя материальных ресурсов были та-
ковы, что при любом значении p функция G(p, q) по крайней мере не возрастала при изменении q. Другими словами, действия обоих игроков в рассматриваемый промежуток времени, хотя и не были оптимальными, они не добивались максимально возможной прибыли, но их экономическое положение во всяком случае не ухудшалось.
Следовательно, эволюция {p(t),q(t)} изучаемого процесса рыночного конфликта и противоборства происходила вдоль градиентной кривой [15] функции G(p, q), т.е. функции {p(t), q(t)} являются решением системы дифференциальных уравнений
Ф /,4dG(p,q) dq /,4dG(p,q) (14)
— = u(t)—--, — = —v(t)—---(1.4)
dt w dp dt w dq v '
при начальных условиях p(0) = p*(0), q(0) = q*(0).
Здесь, с формальной точки зрения, ограниченные функции „(t) и v(t) служат для преобразования параметров градиентной кривой в реально текущее время t, и их надлежит определять из имеющихся статистических данных так, чтобы при {t = 1,.., N} решение {p(t), q(t)} уравнений (1.4) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяло равенствам
p(t) = p*(t), q(t) = q*(t), {t = 1,.., N}. (1.5)
Содержательный смысл функций „(t) и v(t) следующий: функция u(t) характеризует скорость, с которой производителю товаров потребления удавалось в действительности наращивать производство и сбыт своей продукции, а функция v(t) характеризует скорость роста его материальных расходов, или иначе: функция v(t) характеризует скорость, с которой производителю материальных ресурсов удавалось наращивать производство и сбыт своей продукции, необходимой для изготовления реализованных товаров потребления. Естественно, что в периоды, когда шел рост объема реализованных товаров, функции u(t) и v(t) будут положительными, и, напротив в периоды, когда происходил спад в реализации, функции u(t) и v(t) будут отрицательными.
В дискретной форме уравнения (1.4) имеют вид
p(t + 1) = p(t) + „(t) »iM,
q(t +1)= q(t) — v(t) dG(PW.gW), (16)
q
{t = 0,1,.., N}, p(0)= p*(0), q(0) = q*(0).
Градиентные уравнения (1.4) или (1.6), отвечающие потенциалу G(p, q), могут быть использованы для качественного и количественного анализа явлений, происходящих в регионе, по методике работы [25] c целью выработки предварительных управленческих решений о воздействии на экономику региона. Очевидно, что они также могут применяться для описания деятельности отдельных предприятий, отраслей производства и т.д. Как любая эмпирическая модель эти уравнения могут использоваться и для краткосрочного прогнозирования эволюции изучаемого макроэкономического процесса. Однако, чтобы принять окончательные управленческие решения с гарантированной оценкой их последствий, необходимы математические модели, содержащие управляющие параметры, позволяющие прогнозировать развитие наблюдаемых процессов в течение достаточно длительного промежутка времени в зависимости от сценариев принятых управленческих решений.
1.3 Модель долгосрочного прогнозирования
Опишем теперь схему алгоритма построения математической модели, пригодной для долгосрочного прогнозирования. Для этого по статистическим данным найдем зависимость прибыли от валового продукта, материальных затрат, а также от величины ставки налогообложения процентной ставки v на банковские кредиты, курса доллара Z и других параметров, которые могут быть взяты в качестве управляющих при исследовании изучаемого макроэкономического процесса, т.е. вычислим потенциальную функцию h = G(p, q, i, v, Z,...), где многоточие указывает на возможное присутствие других, содержательно не описанных выше, управляющих параметров. Функция G(p, q, ¡i, v, Z,...) может быть найдена при помощи метода наименьших квадратов из условий:
h*(t) = G(p* (t), q*(t), ¡(t), v (t),Z (t),...), {t = 0,1,.., N}. (1.7)
Чтобы получить результат, отображающий статистические данные с любой необходимой точностью, будем полагать
G(p,q,i,v,Z,...) = pq[a(i,v,Z,...) + f{1)(p,q,i,v,Z,...)+ .. 0.
/ \ (1.8) ... + f(m)(p,q,i,v,Z,...)],
где символ f(m) означает форму m-го порядка переменных p и q с неопределенными коэффициентами, зависящими от управляющих параметров, число m зависит от точности, с которой необходимо вести расчеты и определяется экспериментально.
Рассуждая аналогично предыдущему получим систему дифференциальных уравнений в непрерывном случае
dp dG(p,q,i,v,Z,...) dq дG(p,q, l,v,Z,...)
= u(t)---, — = —v(t)---, (1.9)
dt dp ' dt w dq ' v '
p(0)= p*(0), q(0) = q*(0). и систему разностных уравнений в дискретном случае
dG(p(t), q(t), ¡(t), v (t),Z (t),...)
p(t + 1) = p(t)+ u(t) q(t + 1) = q(t) - v(t)
dp
dG(p(t),q(t),i(t),v (t),Z (t),...) (1.10)
dq
{t = 1,.., N}, p(0)= p*(0), q(0) = q*(0).
Вне зоны эмпирических данных уравнения (1.9) и (1.10) позволяют вычислить эволюцию изучаемого процесса в зависимости от различных разработанных экспертами сценариев изменения управляющих параметров ^(Ь), V(Ь),((Ь) и функций и(Ь) и у(Ь). Отметим в заключение этого раздела, что модель (1.9) имеет вид
^р = q[au(t) + (Ь),С (Ь),...)],
^ = -р[ау(Ь) + ¡2(Ь,рл,/1(Ь)^ (Ь),( (Ь),...)].
Выражения в квадратных скобках не равны тождественно нулю. Пусть Т* — некоторый отрезок времени ненулевой длины. Если д(£) = 0 при £ е Т*, то из (1.9) следует, что р(£) = 0 и р(£) = 0 при £ е Т*. Это значит, что модель (1.9) правильно отражает очевидный факт: отсутствие материальных затрат ведет к остановке производства.
Качественные свойства уравнений такого типа и целесообразность их применения для моделирования и построения прогноза в различных областях науки обсуждаются в работе [7].
1.4 Модель региональной экономики
Уравнения типа (1.9) или (1.10) могут использоваться для описания развития региональной или государственной экономики с целью выработки сценариев краткосрочного или долгосрочного прогноза. Для построения таких моделей также достаточно официальных статистических данных за некоторый промежуток времени. Разница с предыдущим материалом состоит в изменении содержательного смысла величин, фигурирующих в моделях (1.9) и (1.10).
Пусть {£ = 0,1,..^} — последовательные моменты времени, в которые в ценах базового года известны значения {р*(0), ...,р*^)} валового внутреннего продукта (ВВП) в рыночных ценах, характеризующего стоимость товаров и услуг, произведенных в регионе (или стране) во всех отраслях экономики и использованных для конечного потребления и экспорта в другие регионы (или страны) в отчетный период, величины {д*(0),..., д*^)} промежуточного потребления (ПП), состоящие из стоимости товаров и услуг, которые трансформируются или полностью потребляются в процессе производства в соответствующем периоде, а также {Н*(0),..., Н*^)} величины чистой прибыли (ЧП) экономики, включающие в себя смешанный чистый доход. Пусть величины р(£),д(£) и Н(£) обозначают ВВП, ПП и ЧП, соответственно, которые определяются в процессе вычислений по обсуждаемым моделям. Опираясь на эти статистические данные, при помощи метода наименьших квадратов построим макроэкономический потенциал, т.е. функцию Н = С(р, д, V, ...) — зависимости ЧП от ВВП, ПП и управляющих параметров в виде (1.8).
Эмпирическая функция С(р, д, V, ...) является результатом взаимодействия спроса и предложения на рынке промышленных товаров и услуг в течение выбранного промежутка времени в сложившихся экономических условиях хозяйствования и взаимодействия регионов (или стран). В неявной, опосредованной форме она отражает влияние всех трудно поддающихся учету и анализу неопределенных факторов, сопровождающих процесс реализации продукции и услуг на государственном (или международном) рынке. Потенциал С(р, д, V, ...) может быть истолкован может быть истолкован как результат разрешения конфликта [16] между двумя обобщенными игроками: первый игрок — совокупность всех производителей товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, и второй игрок — совокупность всех производителей товаров и услуг, предназначенных для промежуточного потребления. Проводя далее рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем параграфе, придем к выводу, что развитие региональной или государственной экономики описывается непрерывными математическими моделями вида (1.9) или дискретными моделями вида (1.10).
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf 62
1.5 Многофакторная модель фирмы
В этом разделе предлагается многофакторная модель фирмы для оценки и прогноза объемов сбыта ее продукции. Такая модель может быть использована в целях планирования и организации работы фирмы по наращивании производства и сбыта своей продукции. В отличие от предыдущего предполагается, что на отрезке [0,Ж] известны объемы всех видов материальных ресурсов, которые используются фирмой при производстве продукции, т.е. материальная затрата q = ...,уп} е Еп является вектором заданной размерности п, каждая компонента которого имеет определенный содержательный смысл. В качестве компонент вектора q е Кп могут фигурировать используемые фирмой в единицу времени объемы основных фондов, рабочей силы, металла, электрической энергии и т.д. в натуральных или стоимостных показателях. Будем предполагать, что вектор q е Яп составлен из всех необходимых для данного производства материальных затрат так, что, если хотя бы одна затрата qj• = 0, то выпуск продукции невозможен.
Такие детализированные данные о материальных затратах предприятия не сообщают в местные статистические органы, поэтому описываемая ниже модель может быть получена и использована только работниками рассматриваемой фирмы.
Также как и выше, вследствие наличия балансового соотношения р = q1 + ... + qn + с, для анализа деятельности фирмы достаточно построить динамическую модель, связывающую величины р^1 ,...^п и К. Пусть {Ь = 0,1,..,Ж} - последовательные моменты времени, в которые известны значения реализованного валового продукта {р*(0), ...,р*(М)}, материальных затрат ^*(0), ...^*(М)}, (з = 1,...,п) и прибыли {К*(0), ...,К*(Ж)}. Вычислим потенциальную функцию К = 0(р^, ...) = С(р, q1, ...,qn,у,v,(,...). Причем, по построению, имеем
С(0^1,...^п,^,1;,(,...) = G(p, 0^2 ,..,%п,^^,С,...) = ...
= G(p,ql,,..,qn-l, 0, у, V, (,...) = 0.
Функция G(p, q, у, V, (,...) может быть найдена при помощи метода наименьших квадратов из условий (1.7). Будем полагать
п
G(p,q,у,v,C,...) = pX\qj [а(у,^С,...)+
]=1 (1.11)
/ (1)(р^,у^,(,...) +... + / (т)(р^,у^х,...)],
Эволюция процесса {р(Ь)^-]_(Ь), ...,уп(Ь)} удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
¿р _ ^(р^,у,и,(,...) dqj _ & =и(Ь) др , =(Ь) % , (1Л2)
(3 = 1,...,п), р(0)= р*(0), ф (0) = q*(0).
Функции и(Ь) и Vj(Ь), (з = 1,..., п) будем искать по имеющимся статистическим данным так, чтобы при {Ь = 1,.., N} решение {р(Ь), q(t)} уравнений (1.12) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяло равенствам (1.5).
Дифференциальные уравнения (1.12) позволяют прогнозировать объем продукции, которая может быть реализована фирмой в будущем и необходимый для ее производства объем затрат. Такие расчеты могут быть использованы для планирования производственной и организационной деятельности фирмы, а также оценки последствий для фирмы управляющих решений, принятых локальными или федеральными правительственными органами.
1.6 Вычисление долгосрочного прогноза
Опираясь на современную математическую теорию оптимальных управляемых процессов и модели (1.9), (1.10) можно вычислять гарантированные прогнозы последствий принятых управленческих решений или готовить различные сценарии будущего развития событий для лица принимающего решения, используя эффективные численные методы построения оптимальных стратегий игроков, развитые в теории позиционных дифференциальных игр [28,29,46].
Отметим, что предлагаемый нами подход к моделированию макроэкономических процессов может быть использован и в более сложных ситуациях. Используя принцип максимизации в экономическом анализе и методы теории позиционных дифференциальных игр можно строить непрерывные и дискретные математические модели для анализа различных экономических явлений, с учетом иерархических, коалиционных, кооперативных, антагонистических, и т.д. взаимоотношений между участниками некоторого
Рассмотрим возможные постановки математических задач о вычислении прогноза развития макроэкономического процесса на некотором будущем промежутке [Ж, N1], когда не ожидаются существенные изменения в технологиях и во всей экономике региона в целом.
Простейший путь — выработать сценарии изменения функций и(£),г>(£),^(£), V(£), ((£) на отрезке [Ж, Ж1], с помощью эконометрических методов, использующих вычисления, проведенные на отрезке [0,Ж], и найти порождаемое ими решение системы дифференциальных уравнений (1.9).
Более трудный путь — выработать сценарии изменения функций ^(¿), V(£), ((£) и дать (или выбрать) оценки [а1, в1], [а2, в2] на возможные значения функций и(£), г>(£) в течение отрезка [Ж, N1], соответственно, и ввести в рассмотрение антагонистическую игру двух игроков с платой
которая равна прибыли на отрезке [Ж, N1].
Предположим, что первый игрок стремится максимизировать плату (1.13) выбором управляющего воздействия и е [а1,в1], а второй игрок, напротив, стремится ее минимизировать выбором управляющего воздействия V е [а2,в2]. Любые функции и = и(£,р, д) е [а1,в1] и V = V(£,р, д) е [а2,в2], £ е [Ж, Ж1] называются позиционными стратегиями и, V первого и второго игроков, соответственно. Требуется найти оптимальные позиционные стратегии первого игрока и0 и второго игрока V0, разрешающие максиминную и минимаксную задачи [28,29].
рынка [20,21,22,39].
(1.13)
Наконец, опишем наиболее сложный вариант процедуры построения прогноза. Предположим, что выбраны или получены экспертным путем оценки на возможные значения всех управляющих параметров на отрезке [Ж, Ж1] и рассмотрим антагонистическую игру, в которой первый игрок стремится максимизировать плату (1.13) выбором управляющего воздействия и е [а1,в1], а второй игрок, напротив, стремится ее минимизировать выбором управляющего воздействия и> = (}, где V е [а2,Дг],^ е [а3,вз], V е [а4,в4],С е [а5,в5]. Требуется найти оптимальные позиционные стратегии первого игрока и0 и второго игрока Ш0, разрешающие максиминную и минимаксную задачи.
Оптимальные стратегии {и0, Ш0} (или {и0, V0}) определяют оптимальный гарантированный результат для производителя, т.е. I[и0, Ш0] ^ I[и0, Ш] для любой реализации = ^(¿), ^(¿), V(£), С(£)}. Оптимальная стратегия Ш0 описывает самые неблагоприятные экономические условия для производителя.
Вычисление оптимальных стратегий {и0, Ш0} (или {и0, V0}) в нелинейных системах (1.9) — (1.12) является трудной проблемой, которая может быть решена эффективными численными методами [46] построения оптимальных стратегий игроков, развитые в теории позиционных дифференциальных игр [28, 29].
Возможность практической реализации алгоритма построения предлагаемых моделей, целесообразность их, а также адекватность изучаемым макроэкономическим процессам проверены в результате обработки статистических данных о работе промышленности Уральского экономического региона за 1970 — 1984 гг.
Используя принцип максимизации в экономическом анализе и методы теории позиционных дифференциальных игр можно строить непрерывные и дискретные математические модели для анализа различных экономических явлений, с учетом иерархических, коалиционных, кооперативных, антагонистических, и т.д. взаимоотношений между участниками некоторого рынка. Разработанные нами алгоритмы идентификации и верификации моделей типа (1.9) — (1.12) эффективно реализуются на ПЭВМ и позволяют использовать методы компьютерной алгебры в сочетании с процедурами численных вычислений.
2 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
В этом разделе описывается процедура вычисления функций и(£) и v(t), завершающая построение моделей (1.4), (1.6) или (1.9), (1.10), (1.12). Для определенности будем вести рассуждения для модели (1.4), поскольку во всех остальных случаях надлежит проводить аналогичные построения. Как было показано выше, ограниченные функции и(£) и v(t) следует определять по имеющимися статистическим данным так, чтобы при {£ = 1,.., Ж} решение {р(£), д(£)} уравнений (1.4) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяло равенствам (1.5). Это задача апостериорного оценивания неизвестных сил (помех или параметров) в динамических системах по результатам измерения фазовых координат в заданные дискретные моменты времени. Такие проблемы называют обратными задачами динамики, которые составляют активно развивающуюся область современной математики, возникновение которой обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и содержательной интерпретации результатов наблюдений. Различным направлениям теории обратных задач динамики посвящена обширная литература, на-
пример, [10,17,26,30,38].
В настоящей работе для решения обратной задачи в случае системы (1.4) мы будем опираться на свойства решений маршрутной задачи оптимального управления [8,10,11,12]. Ниже в этом разделе сначала приводятся необходимые факты из теории оптимального управления, а затем строится алгоритм кусочно-постоянной аппроксимации функций u(t) и v(t).
2.1 Линейная маршрутная задача
Рассмотрим линейную управляемую систему
х = р (г)п, (2.1)
где х е Яп — вектор фазовых координат системы, п е Ят — вектор управляющих сил, Р(г) е Япт — заданная непрерывная матрица.
Пусть заданы последовательность моментов времени г0 < тг < ... < тn = и последовательность точек х(\ {] = 0,1,..., N}.
Задача 2.1. Задано начальное условие х(г0) = х(0\ Требуется найти оптимальное управление п° (г), минимизирующее на движениях системы (2.1) функционал
г*1 м 1
I [п]= п'(г)п(г) ¿г — ) - х(]))'(х(т]) - хи)). (2.2)
Л> а
Здесь и в дальнейшем штрих означает транспонирование, а^ — параметры точности. Будем предполагать, что выполнено следующее условие.
Условие 2.1. При всех значениях г е [Ьо^г] строки матрицы Р(г) линейно независимы.
Следовательно, определенно положительны матрицы
Б = Гр(г)Р'(г)¿г, {3 = 1,...^} (2.3)
Проведя необходимые вычисления и преобразования в соответствии с принципом максимума [11,12] можно показать, что для определения решения задачи 2.1 надлежит найти решение {ф(1\ф(2\... ,ф(м)} системы векторных линейных неоднородных уравнений
D + оцЕ )ф(1) + D1ф(2) + D1ф(3) + ••• + D^(N) = 2(x(1) - x(0)),
M)
D^(1) + D + а2Е )ф(2) + D^(3) + ••• + D^(n ) = 2(x(2) - x(0)), D^(1) + D2^(2) + (D3 + а3Е )ф(3) + ••• + D3ф(N ) = 2(x(3) - x(0)),
....................................................................(2.4)
Бгф^ + Б2ф(2) + Бф3 + ••• + (БМ + ам Е )ф(м > = 2(х(м > - х(0)).
Здесь Е е Япп — единичная матрица и е Яп, {] = 1,...^} — вспомогательные величины, определяющие сопряженные переменные в принципе максимума. Можно проверить, что при выполнении условия 2.1 система (2.4) имеет единственное решение.
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf 66
Оптимальное управление и0(£) является кусочно-непрерывной функцией и опреде-
ляется равенствами
1 Л
01
и0(^) = 2Р'(^^I е [тв_1,тв], {в = 1,...,Ж} (2.5)
3=а
Можно проверить [6], что, если все параметры точности a.j, = 1,...,Ж} устремить к нулю, то в пределе получится оптимальное управление, которое порождает движение системы (2.1), проходящее в заданные моменты времени £ = ^, = 1,...,Ж} через заданные точки я^, = 1,...,Ж}. Следовательно, при достаточно малых значениях параметров точности aj, = 1,..., Ж} управление и0(£), (2.5) порождает движение системы (2.1), проходящее в заданные моменты времени £ = т?, = 1,..., Ж} в любой сколь угодно малой окрестности заданных точек я^, = 1,...,Ж}.
2.2 Нелинейная маршрутная задача
Рассмотрим нелинейную управляемую систему
я = Р (£,я)и, (2.6)
где я е Кп — вектор фазовых координат системы, и е Кт — вектор управляющих сил, Р(£, я) е Кпт — заданная матрица непрерывная по £ и удовлетворяющая глобальному условию Липшица по я е Кп.
Изучим маршрутную задачу 2.1 в случае системы (2.6). В такой ситуации для построения решения нелинейной краевой задачи принципа максимума необходимо использовать процедуры численных вычислений [15,47,44,44]. Будем опираться на метод последовательных приближений, предложенный в работе [2]. Для этого введем в рассмотрение следующую последовательность линейных управляемых систем
Я(в) = Р(£,я(5-1)(£))и = Рм(£)и, (в = 1, 2,...). (2.7)
Последовательность систем (2.7) строится следующим образом. Выбираем произвольную функцию я(0)(£), удовлетворяющую при £ = Tj, = 0,1,..., Ж} условиям я(0)(г?-) = я^, и в правой части уравнений (2.6) полагаем я = я(0)(£), т.е. рассматриваем линейную управляемую систему
я(1) = Р (£,я(0)(£))и = Р (1)(£)и.
Для этой системы решаем маршрутную задачу 2.1 и находим оптимальное управление и(1) (£) и порождаемое им оптимальное движение я(1)(£). Затем снова в правой части уравнений (2.6) полагаем я = я(1)(£) и для полученной системы решаем маршрутную задачу 2.1 и находим оптимальное управление и(2)(£) и оптимальное движение я(2)(£) и т.д. В результате получим последовательность линейных оптимальных процессов {я(а)(£), и(а)(£), (в = 1, 2,...)}. Аналогично тому, как это сделано в работе [2], можно показать, что последовательность функций {я(а)(£), и(а)(£), (в = 1, 2,...)} равномерно по £ е [£0,£1] сходится при в ^ то к некоторому управляемому процессу {я*(£), и*(£)} в исходной нелинейной системе (2.6), если только постоянная Липшица функции Р(£, я) достаточно мала. Это означает, что управление и*(£) порождает в системе (2.6) движение я*(£), которое при £ = Tj, = 0,1,..., Ж} удовлетворяет нужным нам условиям я*(тj) = я^ в пределе при aj ^ 0, = 1,..., Ж}.
Отметим в заключение этого раздела, что предельное управление и*(£) не является оптимальным в смысле задачи 2.1 для системы (2.6). Это просто некоторое допустимое управление в нелинейной системе (2.6), которое порождает движение я*(£), проходящее в заданные моменты времени £ = ^, = 1,..., Ж} в любой сколь угодно малой окрестности заданных точек я(:,), = 1,..., Ж} при подходящем выборе параметров точности aj, = 1,...,Ж}. Этого свойства достаточно, чтобы использовать описанную выше итерационную процедуру для идентификации модели (1.4).
2.3 Процедура идентификации
В соответствии с вышеизложенным задачу об идентификации модели (1.4) сформулируем следующим образом.
Задача2.2. Задано начальное условиер(0) = р*(0), д(0) = д*(0). Требуется найти такие кусочно-постоянные функции и(£), г>(£), £ е [0,Ж], которые порождают решение {р(£),д(£)} уравнений (1.4) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяющее равенствам (1.5).
Выберем стартовый процесс я(0)(£) = {р(0)(£), д(0)(£)}, необходимый для составления последовательности систем вида (2.7). Воспользуемся тем, что, как правило, приращения экономических показателей за единицу времени (месяц, квартал, год) достаточно малы по сравнению с их номинальными значениями. Следовательно, в качестве первого приближения разумно взять ломаную линию, составленную из прямолинейных отрезков. Таким образом, будем полагать
р(0)(£) = р*(к - 1)(к - £) + р*(к)(£ - (к - 1)), д(0)(£) = - 1)(к - £) + д*(к)(* - (к - 1)), (2.8)
£ е [к - 1,к], {к = 1,...,Ж}.
При любом значении в ^ 1 итерационная система (2.7), составленная для уравнений (1.4), распадается на две независимые подсистемы первого порядка:
Р(') = им зс(Р('_1)(£),д('_1) <*>■< М-") = роцно, (2.9)
др
= -*м дс(р('_1) м-с (')■•••) = д(.)(()„Й, (2.10)
{в = 1, 2,...}
Для каждой из этих подсистем будем рассматривать маршрутную задачу 2.1, соответственно, при условии минимума функционалов:
Г*1 И 1
/1[и]=/ и2(£) ^ + У —(р(к) - р*(к))2, (2.11)
Ло к=1 а
Г* 1 М 1
/2М=/ *2(*) Л + £ -^(к) - д*(к))2. (2.12)
к=1
Таким образом, мы видим, что структура исходной системы (1.4) такова, что при использовании предлагаемой итерационной процедуры аппроксимации задачи идентификации на каждом шаге автоматически происходит ее декомпозиция на две более простых задачи. Это важно с вычислительной точки зрения, поскольку наличие декомпозиции позволяет распараллеливать процесс счета на две независимые друг от друга цепочки, причем объем вычислений в каждой в два раза меньше, чем в общей исходной процедуре. Отметим еще, что в любом развивающемся процессе скалярные функции р(з) (ь),<з(з)(ь) при любом ^ ^ 1 не равны тождественно нулю на заданном отрезке [0, Ж]. Следовательно, при любом ^ ^ 1 выполнено условие 2.1, обеспечивающее разрешимость маршрутных задач для систем (2.9), (2.10) при условии минимума функционалов (2.11), (2.12), соответственно.
Опишем теперь процедуру вычисления параметров точности [а^, вк\ [к = 1,...,Ы}, [з = 1, 2,...}} на произвольном з-ом шаге итераций. Для этого, опираясь на (2.4), (2.5), вычислим оптимальные управления и(з)(1,аг ,...,аы),у^ (Ь, вг,..., вы) и порождаемые ими оптимальные движения р(3\Ь, аг,..., аы), д(3\Ь, в\, ...,вм) в системах (2.9), (2.10) на шаге с номером з. Квадратичная ошибка решения маршрутной задачи на этом шаге зависит от параметров точности и определяется при [з = 1,2,...} равенствами:
N
,]{з)(аъ..,аы ) = £ (р(з) (к,аъ..,аы) - р*(к))2, (2.13)
к=1
N
О? в ,...,вы )) = £ (д(в)(к,в1,...,вы) - д\к))2. (2.14)
к=1
Искомые значения параметров [а^, вк\ [к = 1,...,М}, [з = 1, 2,...}} являются решением следующих экстремальных задач
шт[о1\аг,..., аы) аг ^ 0,..., аы ^ 0},
" () (2.15)
т1п[О{2з)(вг,...,вы) вг > 0,...,вы > 0}.
Решения задач (2.15) окончательно определяют искомые оптимальные управления и(я) (Ь), (Ь) и оптимальные движения р(я) (Ь), д(в) (Ь) на шаге т.е.
и(з)(Ь) = и(Ь,а<?\...,аЫ),Р(а)(Ь)= р(а)(Ь,а<?\...,аЫ),
(2.16)
ь(з)(Ь) = и(Ь,в( , ...,вы ), д{з)(Ь)= Р(\Ь,в\ \ ...,вы ).
Отметим, что большая точность вычислений достигается при малых значениях параметров а, в, поэтому в соотношениях (2.13) — (2.16) можно ограничиваться членами первого порядка относительно этих параметров. Для этого при любом значении 8 достаточно вычислять обратную матрицу системы (2.4) с точностью до членов первого порядка относительно а, в.
Введем критерий остановки счета в итерационной процедуре. Для этого зафиксируем 8 и введем в рассмотрение величины
к
Ри = Р{3)(Ь) СЬ, [к =1,...,М}, (2.17)
кк1
¡•к
о£° = О^)Ф {к =1,...,^}. (2.18)
Jk-1
Предположим, что величины рк^, ок^, {к = 1,..., N} отличны от нуля и вычислим средние значения оптимальных управлений п(в)(£), у(5)(£) при £ е [к — 1, к]:
1 рк
п^ = — Р «(£)п«(£) Л, {к =1,...,Ж}, (2.19)
Р() ^ к-1
1 С к
= 3(в)(Ф(в)(*) ф {к = 1,..., N}. (2.20)
Очевидно, что управления п(£) = п^,-^) = -к^ переводят системы (2.9), (2.10) в то же самое состояние, что и исходные управления, которым они отвечают. Если же какая-либо из величин рк^, Ок^, {к = 1, — , N} равна нулю, то в качестве среднего значения соответствующего управления можно выбирать произвольную конечную величину. Мы будем выбирать такое среднее значение управления из условия непрерывности, т.е. равным его предыдущему среднему значению.
Примем следующий критерий остановки счета в итерационной процедуре: при выбранных значениях параметров точности а^, вк^ счет прекращается на шаге с номером в, если
тах{| п« — пк*-1) |, | — 4*-1) |, {к = 1,..., N}} < в, (2.21)
где в — заданное заранее достаточно малое положительное число.
2.4 Итерационный алгоритм построения моделей
Таким образом, на основании вышеизложенного, приходим к выводу, что для построения предлагаемых макроэкономических моделей необходимо выполнить следующие вычисления.
1. Одним из стандартных методов провести фильтрацию статистических данных, т.е. избавиться от больших случайных выбросов (ошибок).
2. Вычислить макроэкономический потенциал С(р, д, р, V, ...).
3. Вычислить дифференциальные уравнения модели и осуществить процедуру ее идентификации, которая состоит из операций:
3.1. Выбрать произвольным образом стартовый процесс {р(0)(£),д(0)(£)}. (Можно, например, в виде (2.8).)
3.2. На произвольном шаге в ^ 1 итераций найти решение задачи 2.1, т.е. опираясь на (2.4), (2.5), вычислить оптимальные управления п(в)(£, а1,..., а^),у(5)(£,въ ...,вм) и порождаемые ими оптимальные движения р(в)(£, а1,..., а^), д(в)(£, в1,..., вм) в системах (2.9), (2.10).
3.3. Вычислить решение экстремальных задач (2.15) и построить по правилу (2.16) функции п(5) (£), у(5) (£) и р(5) (£), д(в) (£).
3.4. Функции п(а)(£),-(в)(£) ир(в)(£), д(5)(£) взять в качестве исходных и при {з = 1, 2,...} повторить вычисления пунктов 3.2, 3.3 до тех пор, пока при некотором з* не будет выполнено условие (2.21) остановки счета в итерационной процедуре.
3.5. Проверить правильность результата. Для этого результирующие управления и(з*)(Ь),у(з*)(Ь), или их средние значения и^ ), следует подставить в исходную нелинейную систему (1.4) и убедиться в том, что равенства (1.5) выполняются с требуемой точностью.
Описанная процедура идентификации опирается на решение маршрутной задачи 2.2 с критерием оптимальности (2.2). Критерий оптимальности выбран в таком виде потому, что при наличии интегрального квадратичного функционала в (2.2) решение линейной маршрутной задачи 2.2 находится в явном аналитическом виде (2.4), (2.5) и искомые функции и(Ь) и ь(Ь) будут ограниченными. Возможны разнообразные по форме способы выбора критерия оптимальности [11, 12, 27]. Для других критериев оптимальности решение маршрутной задачи 2.2 может не иметь явного аналитического представления, что существенно может увеличить объем вычислений, которые необходимо выполнить при осуществлении процедуры идентификации. Разным критериям оптимальности соответствуют различные модели (2.6), адекватные одним и тем же статистическим данным. Очевидно, что право на существование имеют лишь те модели, в которых не происходит неоправданно высокий (низкий) рост (спад) производства внутри каждого из промежутков [к — 1,к], [к = 1, 2,..., N}. Вообще говоря, задачу 2.2 надлежит решать при наличии ограничений на управления, оценивающих скорость роста. В экономических задачах такие ограничения на рост производства могут быть указаны экспертным путем, на основании объема основного капитала и особенностей используемых технологий. В приводимом ниже примере не потребовалось вводить ограничения на искомые функции и(Ь) и ь(Ь), поэтому постановка задачи идентификации сформулирована в наиболее простом виде.
Подчеркнем в заключение, что по построению правая часть системы (1.4) не удовлетворяет глобальному условию Липшица, поэтому используемая итерационная процедура может расходиться, несмотря на регуляризирующую роль параметров точности. Причины расходимости могут быть различными и их установление составляет трудную самостоятельную задачу. Главная причина возможной расходимости — существенно нелинейная структура системы (1.4), что может приводить к возникновению хаотических явлений [35]. В случае расходимости предлагаемой процедуры идентификации надлежит пытаться определить нужные величины вручную.
3 ПРИМЕР
Рассмотрим пример, иллюстрирующий процедуру верификации модели (1.4) по данным [25] о работе промышленности Уральского экономического региона за 1970 - 1984 гг., которые приведены в табл.1 приложения в масштабе 10000 руб. = 1.
В данном разделе обсуждаются результаты вычислительных экспериментов по построению модели краткосрочного прогнозирования (1.4) при использовании современных систем компьютерной алгебры. Фильтрация исходных данных не проводилась, чтобы оценить особенности вычислений, которые вызываются сравнительно большими случайными выбросами в исходных данных.
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf
3.1 Построение потенциала
Найдем потенциальную функцию С(р, д). Данных табл.1 достаточно чтобы вести вычисления при т = 4. Расчеты проводились при различных значениях т. В результате было выяснено, что при т = 0 и т = 1 отображение исходных данных производится с большой, неприемлемой ошибкой и такие ситуации не следует рассматривать.
Будем сначала изучать функцию С(р, д) при т =2, т.е. искать ее в виде
= рд(а(1) + а^1) р + а2^д + а3^р2 + а41)рд + а^д2). Выполнив необходимые вычисления, найдем неопределенные коэффициенты
(3.1)
а( а1 а2 а3
а4
а5
0.020074449947086486496930230929, 0.000290735517824865121394649335, 0.000302295098206252339298228850, 0.000090889912500902805074523300, 0.000292250870771659261297185093, 0.000243794000475553049646151165.
Результаты вычислений прибыли Н по потенциалу С1 (р, д) приведены в табл. 2 приложения и показывают, что выбор числа т = 2 обеспечивает приемлемую точность вычисления прибыли и, следовательно, потенциала. Чтобы получить правильный результат, вычисления с плавающей запятой выполнялись с 30-разрядными числами.
Вычислим еще потенциальную функцию С(р, д) при т = 3 и т = 4, соответственно, в виде
С2 = рд(а (2) + а12)р + а22)д + а32)р2 + а42)рд+
( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 3 а5 д + а6 р + а7 р д + а§ рд + а9 д .
(3.2)
С3 = рд(а(3) + а13)р + а23)д + а33)р2 + а43)рд+
а53)д2 + а63)р3 + а73)р2д + а83)рд2 + а93)д3+ (3.3)
(3) 4 , (3) 3 , (3) 2 2 , (3) 3 , (3) 4\
«10р + а11 рд + ® 12рд + а1эрд + а14 д).
Выполнив необходимые вычисления, найдем неопределенные коэффициенты
а(2) = 0.026206257918434756097425709210,
а12) = - 0.001724366540883260780836186601,
а22) = 0.001594710562965027242918489777,
а332) = 0.000088756336894365408876210168,
а42) = - 0.000212184641692971481710025394,
а52) = 0.000129267829224593776567580336,
а^2) = 0.000008060317133365366553866515,
а72) = - 0.000039926982262164356739167175,
а82) = 0.000064985181356072496809300225,
а^2) = - 0.000034829627377417760721179883,
а(3) =
а^ =
а^3 =
(3)
а3 ) =
(3)
а\) =
(3)
а5 ) =
(3)
а6) =
а73 =
а^3 =
а93) =
а(3) =
аго
(3)
а11 =
а
(3)
12
(3) =
13 = г13) = ^14
1.038658878539492732038804372200, 0.389359385042560318657088297831, 0.529230732480830568438127272466, 0.055684610054716196861804842321, 0.153845936744084174791915593781, 0.106811649432041520369020500429, 0.002432035121411518276212613430, 0.009220619154626795932569910735, 0.011321888133807857480597076131, 0.004421821562569791554069264656, 0.000057368354537261489893210804, 0.000435826108966901507568858908, 0.001184463013865856104161841455, 0.001386269808420485617710900633, 0.000594678842962270937946028594.
Результаты вычислений прибыли Н по потенциалам С2(р, д) и С3(р, д) приведены в табл. 3, 4 приложения и показывают, что при т = 4 точность аппроксимации исходных данных на порядок выше, чем при потенциале Сг(р,д), она практически идеальна. Однако, потенциал С3(р, д) аккумулирует в себе все погрешности, содержащиеся в исходных данных. Хорошо это или плохо ? Чтобы ответить на такой вопрос необходимо провести глубокий анализ результатов вычислений. Системы первого приближения, отвечающие Ог(р, д), С2(р, д), незначительно отличаются, в то время как система первого приближения, которая соответствует С3(р, д), описывает принципиально другое поведение исследуемого процесса.
Потенциалы Сг(р, д), 02(р, д), С3(р, д) позволяют построить три различные по сложности модели вида (1.4), адекватные одним и тем же статистическим данным. Ниже кратко анализируются особенности процедуры идентификации этих моделей и различия в их свойствах.
3.2 Результаты идентификации
По данным табл. 1 алгоритм идентификации следует осуществлять при N = 15, однако, к сожалению, это оказалось невозможным выполнить в среде системы аналитических вычислений. При попытках провести такие расчеты появляется сообщение: слишком много вычислений. Во всех случаях необходимый объем вычислений успешно выполняется при N = 4. Результаты таких вычислений и приводятся ниже.
При N = 4 статистические данные регулярны и не требуется введение параметров точности, поэтому при равных нулю параметрах точности осуществлялась итерационная процедура вычисления средних значений ик )), [к = 1, 2, 3} искомых управлений (пункт 3.4 алгоритма идентификации). В качестве стартового процесса использовались соотношения (2.8). Для иллюстрации скорости сходимости в табл. 5 приведены результаты расчетов по 8 = 10 итерациям в случае, когда используется потенциал Сг(р, д). Эти данные показывают, что точность результата 10-3 достигается после 5 итераций, 10-4 — после 7 итераций, 10-5 — после 9 итераций. Точность 10-18 достигается после 30 итера-
ций. Аналогичный результат при N = 4 получается также в случае, когда используются потенциалы С2(р, д), С3(р, д).
Была выполнена проверка правильности результата вычислений. Для этого средние значения управлений иI ,, при различных значениях в подставлялись в исходную нелинейную систему (1.4) и производилось вычисление порождаемого ими решения. Оказалось, что приемлемый результат для рассматриваемых статистических данных получается сразу после первой итерации! Это значит, что предложенный выше стартовый процесс (2.8) является весьма удачным. Чтобы оценить пригодность моделей для прогноза при значениях £ ^ 3 управления предполагались постоянными и равными и35 ),^з^ ). Результаты таких вычислений при в = 1 приведены в табл. 7 — 12.
В табл. 7, 8 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при С = С^р,д), (3.1) для начальных условий р(0) = р*(0), д(0) = д*(0) и следующих управляющих функциях:
и(1)(£) =
и11) и(121)
и(231)
7.8894907027 8.4194377032 9.6809524513
, 0 ^ £ < 1 , 1 ^ £ < 2 , 2 ^ £ ^ 15
(1)
(1)
5.7031822649 5.3397219282 5.9266375608
0 ^ £ < 1 1 ^ £ < 2 2 < £ < 15
В табл. 9, 10 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при С
С2(р,д), (3.2) для начальных условий р(0) ций:
р*(0), д(0) = д*(0) и управляющих функ-
и
и
(1)
и
и
,(1)(£) =
15.4804298923 18.9891608202 22.7744300419
20.6216898744 24.7590338414 26.0659706658
0 ^ £ < 1 1 ^ £ < 2 2 ^ £ ^ 15
0 ^ £ < 1 1 ^ £ < 2 2 < £ < 15
В табл. 9, 10 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при С = С3(р,д), (3.3) для начальных условий р(0) = р*(0), д(0) = д*(0) и управляющих функций:
1.1734547807 , 0 ^ £< 1 1.1725439941 , 1 ^ £< 2 1.1725439946 , 2 < £ < 15
и
(1)
и1 и2 и3
V
,(1)(£) =
( 1
41
0.6396305143 0.5646256255 0.8873636559
0 ^ £ < 1 1 ^ £ < 2 2 < £ < 15
Данные табл. 7 — 12 показывают, что идентификация моделей по первым четырем точкам статистических данных производится практически безошибочно в случае, когда используются потенциалы С1(р, д), С2(р, д) (табл. 7 — 10). В случае, когда используется
3
1
2
V
1
V
2
(
V
3
потенциал С3(р, д), ошибка идентификации приемлема (табл. 11, 12). Вполне возможно, что эта ошибка может быть уменьшена, если провести более точные вычисления. Дело в том, что выбирая стартовый процесс (2.8), мы ищем функции и(з\Ь), ь^ (Ь) в виде отрезков рядов по степеням Ь. При переходе к следующему шагу при использовании потенциала С3(р, д) старшая степень таких отрезков возрастает в 5 раз. Следовательно, объем вычислений катастрофически растет и практически на третьем шаге итераций не хватает ресурсов используемого пакета символьных вычислений. Из-за этого в программу вычислений вводились ограничения на старшую степень используемых полиномов. Допустимые пределы таких ограничений оценить не удалось. Поэтому вопрос о возможности использования потенциала С3 (р, д) для моделирования остается открытым.
Из результатов расчетов, приведенных в табл. 7 — 12 следует, что модели вида (1.4), отвечающие потенциалам Сг (р, д) С2(р, д) вполне пригодны для долгосрочного прогноза (до 10 лет). Максимальная ошибка прогноза при не реалистическом предположении, что в экономике будут отсутствовать изменения, в отдельные годы менее 14 процентов, качественный характер развития процесса полностью подтверждается. Подчеркнем, что столь оптимистичный вывод справедлив только в рамках изучаемых данных. В общем случае достоверность прогноза по модели (1.4) целиком зависит от качественных экспертных сценариев изменения темпов роста производства.
Чтобы продолжить процедуру идентификации при N > 4 необходимо провести аналогичные вычисления для следующих четырех точек исходных данных. Для этих данных в целях регуляризации процедуры вычислений необходимо вводить параметры точности. Путем вычислительных экспериментов мы убедились, что при соответствующем выборе параметров точности итерационный алгоритм идентификации сходится. Однако, высокой точности в обеспечении необходимого равенства (1.5) добиться не удалось. Это объясняется тем, что предварительно не была проведена фильтрация исходных данных и их разброс здесь оказывает существенное влияние.
Для проведения точных расчетов при N = 5 были введены параметры точности, которые вычислялись как решения экстремальных задач (2.15). Полученные после первой итерации средние значения управлений и^^к1 при к = 1, 2, 3,4 для прогноза при значениях Ь ^ 4 были продолжены постоянными и равными и^1 ,ь4г). В результате решение модели (1.4) при С = С1(р, д), (3.1) вычислялось при управлениях:
, 0 ^ Ь< 1 , 1^ Ь<2 , 2 ^ Ь<3 , , 3 ^ Ь ^ 15
, 0 ^ Ь < 1 , 1 ^ Ь < 2 , 2 ^ Ь < 3 ' , 3 ^ Ь ^ 15
Результаты таких вычислений приведены в табл. 13,14. Они показывают, что точность идентификации и прогноза существенно улучшились. Появившиеся колебания в данных привели, естественно, к сокращению допустимых сроков прогноза.
и(1)(Ь)
ь(1)(Ь)
и^ и?
и31)
и?
ь11) „(1)
7.8894907027 8.4194377032 9.6809524513 12.9151313628
-- 5.7031822649 5.3397219282 5.9266375608 7.2919026749
3
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf 75
3.3 Приложение
Таблица 1.
Данные о работе промышленности Уральского экономического района в 1970 - 1985 гг.
Валовый Материальные Чистая
продукт расходы прибыль Прибыль
£ Год р* д* с* Н*
0 1970 37.88 21.69 16.19 6.17
1 1971 40.63 23.70 16.93 6.31
2 1972 43.25 25.45 17.80 6.68
3 1973 46.00 27.30 18.70 6.98
4 1974 49.33 29.44 19.89 7.04
5 1975 53.04 32.16 20.88 7.27
6 1976 57.03 35.01 22.02 7.62
7 1977 59.85 36.92 22.93 8.00
8 1978 62.72 38.69 24.03 8.27
9 1979 63.45 38.76 24.69 8.42
10 1980 65.74 39.96 25.78 8.61
11 1981 65.90 39.75 26.15 8.21
12 1982 69.22 41.31 27.91 9.65
13 1983 64.52 37.86 26.66 9.28
14 1984 71.03 42.04 28.99 10.26
15 1985 74.69 45.05 29.64 10.76
Таблица 2.
Ошибка вычисления прибыли по потенциалу С1(р, д)
Расчетное Абсолют- Относитель-
Прибыль значение ная ная ошибка
Ь Год Н Н = С1 (р, д) ошибка в проц.
0 1970 6.17 6.16 -0.01 -0.16
1 1971 6.31 6.41 0.10 1.58
2 1972 6.68 6.65 -0.03 -0.45
3 1973 6.98 6.85 -0.13 - 1.86
4 1974 7.04 7.09 0.05 0.71
5 1975 7.27 7.27 0.00 0.00
6 1976 7.62 7.64 0.02 0.26
7 1977 8.00 8.00 0.00 0.00
8 1978 8.27 8.34 0.06 0.73
9 1979 8.42 8.23 -0.19 -2.26
10 1980 8.61 8.51 -0.10 - 1.16
11 1981 8.21 8.56 0.35 4.26
12 1982 9.65 9.45 -0.20 -2.07
13 1983 9.28 9.26 -0.02 -0.22
14 1984 10.26 10.33 0.07 0.68
15 1985 10.76 10.76 0.00 0.00
Таблица 3.
Ошибка вычисления прибыли по потенциалу С2(р, д)
Расчетное Абсолют- Относитель-
Прибыль значение ная ная ошибка
Ь Год Н Н = С 2 (р,д) ошибка в проц.
0 1970 6.17 6.13 -0.04 -0.65
1 1971 6.31 6.43 0.12 1.90
2 1972 6.68 6.66 -0.02 -0.30
3 1973 6.98 6.86 -0.12 - 1.72
4 1974 7.04 7.07 0.03 0.43
5 1975 7.27 7.28 0.01 0.14
6 1976 7.62 7.65 0.03 0.39
7 1977 8.00 7.99 -0.01 -0.13
8 1978 8.27 8.34 0.07 0.85
9 1979 8.42 8.23 -0.19 -2.26
10 1980 8.61 8.53 -0.08 -0.93
11 1981 8.21 8.55 0.34 4.14
12 1982 9.65 9.43 -0.22 -2.28
13 1983 9.28 9.28 0.00 0.00
14 1984 10.26 10.32 0.06 0.58
15 1985 10.76 10.78 0.02 0.19
Таблица 4.
Ошибка вычисления прибыли по потенциалу С3(р, д)
Расчетное Абсолют- Относитель-
Прибыль значение ная ная ошибка
£ Год Н* Н = С2 (р, д) ошибка в проц.
0 1970 6.17 6.17 0.00 0.00
1 1971 6.31 6.32 0.01 0.16
2 1972 6.68 6.73 0.05 0.75
3 1973 6.98 6.93 -0.05 -0.72
4 1974 7.04 7.05 0.01 0.14
5 1975 7.27 7.28 0.01 0.14
6 1976 7.62 7.62 0.00 0.00
7 1977 8.00 8.00 0.00 0.00
8 1978 8.27 8.27 0.00 0.00
9 1979 8.42 8.43 0.01 0.12
10 1980 8.61 8.61 0.00 0.00
11 1981 8.21 8.21 0.00 0.00
12 1982 9.65 9.65 0.00 0.00
13 1983 9.28 9.28 0.00 0.00
14 1984 10.26 10.26 0.00 0.00
15 1985 10.76 10.76 0.00 0.00
Таблица 5. Результаты вычисления управления «(£) в случае потенциала С1 (р, д)
5 («) «1у «2 ) «3 )
1 7.8894907027 8.4194377032 9.6809524513
2 7.8642200452 8.2905601169 9.6107454171
3 7.8669343259 8.2937372433 9.6151816022
4 7.8693012986 8.2978586957 9.6212273018
5 7.8692837594 8.2977957479 9.6211144789
6 7.8692069435 8.2977009643 9.6207512810
7 7.8692042645 8.2977009394 9.6207455221
8 7.8692064731 8.2977029192 9.6207674498
9 7.8692066577 8.2977029622 9.6207686031
10 7.8692065988 8.2977029230 9.6207672963
Таблица 6. Результаты вычисления управления г>(£) в случае потенциала 61 (р, д)
5 ^2 ) ^з )
1 5.7031822649 5.3397219282 5.9266375608
2 5.6637320230 5.2196892970 5.8578597703
3 5.6663630164 5.2226708707 5.8615661636
4 5.6685737890 5.2259671334 5.8663700522
5 5.6685521717 5.2259037152 5.8662685565
6 5.6684821117 5.2258296029 5.8659816450
7 5.6684798503 5.2258299069 5.8659778632
8 5.6684818638 5.2258314485 5.8659952046
9 5.6684820265 5.2258314753 5.8659960682
10 5.6684819725 5.2258314448 5.8659950329
Таблица 7.
Вычисление валового продукта по модели (1.4), отвечающей потенциалу С1(р, д), после первой итерации
Валовый Расчетное Абсолют- Относитель-
продукт значение ная ная ошибка
Ь Год р* р ошибка в проц.
0 1970 37.88
1 1971 40.63 40.63 0.00 0.00
2 1972 43.25 43.26 0.01 0.02
3 1973 46.00 46.00 0.00 0.00
4 1974 49.33 48.35 -0.98 - 1.99
5 1975 53.04 50.34 -2.70 -5.09
6 1976 57.03 52.16 -4.87 -8.54
7 1977 59.85 53.89 -5.96 -9.96
8 1978 62.72 55.64 -7.08 - 11.29
9 1979 63.45 57.48 -5.92 -9.33
10 1980 65.74 59.52 -6.22 -9.46
11 1981 65.90 61.91 -3,99 -6.05
12 1982 69.22 64.91 -4.31 -6.23
13 1983 64.52 69.02 4.50 6.97
14 1984 71.03 75.52 4.49 6.32
15 1985 74.69 89.13 14.44 19.33
Таблица 8.
Вычисление материальных расходов по модели (1.4), отвечающей потенциалу С1(р, д), после первой итерации
Материальные Расчетное Абсолют- Относитель-
расходы значение ная ная ошибка
Ь Год д* д ошибка в проц.
0 1970 21.69
1 1971 23.70 23.70 0.00 0.00
2 1972 25.45 25.46 0.01 0.04
3 1973 27.30 27.31 0.01 0.04
4 1974 29.44 28.89 -0.55 -1.87
5 1975 32.16 30.20 - 1.96 -6.09
6 1976 35.01 31.36 -3.65 -10.43
7 1977 36.92 32.44 -4.48 -12.13
8 1978 38.69 33.52 -5.17 -13.36
9 1979 38.76 34.64 -4.12 -10.63
10 1980 39.96 35.87 -4.09 -10.24
11 1981 39.75 37.30 -2.45 -6.16
12 1982 41.31 39.07 -2.24 - 5.42
13 1983 37.86 40.48 2.62 6.92
14 1984 42.04 45.24 3.20 7.61
15 1985 45.05 52.96 7.91 17.56
Таблица 9.
Вычисление валового продукта по модели (1.4), отвечающей потенциалу С2(р, д), после первой итерации
Валовый Расчетное Абсолют- Относитель-
продукт значение ная ная ошибка
г Год р* р ошибка в проц.
0 1970 37.88
1 1971 40.63 40.60 -0.03 -0.07
2 1972 43.25 43.25 0.00 0.00
3 1973 46.00 45.98 -0.02 -0.04
4 1974 49.33 48.26 - 1.07 -2.17
5 1975 53.04 50.29 -2.75 -5.18
6 1976 57.03 52.24 -4.79 -8.40
7 1977 59.85 54.25 -5.60 -9.36
8 1978 62.72 56.46 -6.26 -9.98
9 1979 63.45 59.12 -4.33 -6.82
10 1980 65.74 62.63 -3.11 -4.73
11 1981 65.90 67.92 1.72 2.61
12 1982 69.22 77.50 8.28 11.96
13 1983 64.52 99.48
14 1984 71.03 133.34
15 1985 74.69 139.04
Таблица 10.
Вычисление материальных расходов по модели (1.4), отвечающей потенциалу С2(р, д), после первой итерации
Материальные Расчетное Абсолют- Относитель-
расходы значение ная ная ошибка
г Год д* д ошибка в проц.
0 1970 21.69
1 1971 23.70 23.65 -0.05 -0.21
2 1972 25.45 25.47 0.02 0.08
3 1973 27.30 27.29 -0.01 -0.04
4 1974 29.44 28.80 -0.64 -2.17
5 1975 32.16 30.13 -2.03 -6.31
6 1976 35.01 31.38 -3.63 -10.37
7 1977 36.92 32.66 -4.26 -11.54
8 1978 38.69 34.04 -4.65 -12.02
9 1979 38.76 35.68 -3.08 -7,95
10 1980 39.96 37.82 -2.14 -5.36
11 1981 39.75 40.98 1.23 3.09
12 1982 41.31 46.56 5.25 12.71
13 1983 37.86 59.09
14 1984 42.04 78.20
15 1985 45.05 81.41
Таблица 11.
Вычисление валового продукта по модели (1.4), отвечающей потенциалу С3(р, д), после первой итерации
Валовый Расчетное Абсолют- Относитель-
продукт значение ная ная ошибка
г Год р* Р ошибка в проц.
0 1970 37.88
1 1971 40.63 40.51 -0.12 -0.30
2 1972 43.25 42.95 -0.30 -0.69
3 1973 46.00 45.42 -0.58 -1.26
4 1974 49.33 46.96 -2.37 -4.80
5 1975 53.04 47.91 -5.13 -9.67
6 1976 57.03 48.37
7 1977 59.85 48.41
8 1978 62.72 48.16
9 1979 63.45 47.77
10 1980 65.74 47.37
11 1981 65.90 47.02
12 1982 69.22 46.74
13 1983 64.52 46.55
14 1984 71.03 46.42
15 1985 74.69 46.33
Таблица 12.
Вычисление материальных расходов по модели (1.4), отвечающей потенциалу С3(р, д), после первой итерации
Материальные Расчетное Абсолют- Относитель-
расходы значение ная ная ошибка
г Год д* д ошибка в проц.
0 1970 21.69
1 1971 23.70 23.60 -0.10 -0.42
2 1972 25.45 25.23 -0.22 -0.86
3 1973 27.30 26.88 -0.42 -1.54
4 1974 29.44 27.92 -1.52 -5.16
5 1975 32.16 28.55 -3.61 -11.23
6 1976 35.01 28.85
7 1977 36.92 28.86
8 1978 38.69 28.67
9 1979 38.76 28.39
10 1980 39.96 28.10
11 1981 39.75 27.86
12 1982 41.31 27.67
13 1983 37.86 27.54
14 1984 42.04 27.45
15 1985 45.05 27.39
Таблица 13.
Вычисление валового продукта по модели (1.4), отвечающей потенциалу С^р, д), после первой итерации
при N = 5
Валовый Расчетное Абсолют- Относитель-
продукт значение ная ная ошибка
г Год р* р ошибка в проц.
0 1970 37.88
1 1971 40.63 40.63 0.00 0.00
2 1972 43.25 43.26 0.01 0.02
3 1973 46.00 46.00 0.00 0.00
4 1974 49.33 49.34 0.01 0.02
5 1975 53.04 52.31 -0.73 -1.38
6 1976 57.03 55.08 - 1.95 -3.42
7 1977 59.85 57.95 - 1.90 -3.17
8 1978 62.72 61.33 - 1.39 -2.22
9 1979 63.45 65.93 2.48 3.91
10 1980 65.74 73.75 8.01 12.18
Таблица 14.
Вычисление материальных расходов по модели (1.4), отвечающей потенциалу С^р, д), после первой итерации
при N = 5
Материальные Расчетное Абсолют- Относитель-
расходы значение ная ная ошибка
г Год д* д ошибка в проц.
0 1970 21.69
1 1971 23.70 23.70 0.00 0.00
2 1972 25.45 25.46 0.01 0.04
3 1973 27.30 27.31 0.01 0.04
4 1974 29.44 29.45 0.01 0.03
5 1975 32.16 31.38 -0.78 -2.43
6 1976 35.01 33.12 - 1.89 -5.40
7 1977 36.92 34.88 -2.04 -5.53
8 1978 38.69 36.90 - 1.79 -4.63
9 1979 38.76 39.61 0.85 2.19
10 1980 39.96 44.12 4.16 10.41
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработан итерационный алгоритм идентификации динамических математических моделей [3,4,5] производственной деятельности отдельных предприятий, различных отраслей промышленности или промышленности и всей экономики региона с целью выработки сценариев краткосрочного или долгосрочного прогноза. Проведены вычислительные эксперименты по его реализации, которые показали, что модели изучаемого вида могут быть верифицированы с высокой точностью. Они могут успешно использоваться для краткосрочного количественного прогноза и долгосрочного прогноза по экспертным оценкам темпов роста производства. Следовательно, целесообразно проведение работ по разработке специального математического обеспечения, позволяющего автоматически генерировать модели нужного типа по заданным статистическим данным.
Динамические математические модели макроэкономики строятся в форме градиентной системы, которая определяется макроэкономическим потенциалом. Макроэкономический потенциал — эмпирическая функция, выражающая прибыль через величины валового продукта и материальных затрат. Эта функция является результатом взаимодействия спроса и предложения на рынке промышленных товаров и услуг в течение выбранного промежутка времени в сложившихся экономических условиях хозяйствования. В неявной, опосредованной форме она отражает влияние всех трудно поддающихся учету и анализу при моделировании макроэкономических процессов неопределенных факторов, сопровождающих процесс реализации продукции на рынке: национальные и семейные традиции, индивидуальные предпочтения, ожидания инфляции, наличие конкурирующих фирм, существование теневой экономики и т.д. Косвенный учет неопределенностей, сопровождающих эволюцию развивающейся экономической системы, позволяет обойти многие теоретические и чисто технические затруднения, которые возникают при ее моделировании.
Предлагаемые динамические математические модели макроэкономики по существу представляют собой информационную систему, которая состоит из постоянно расширяющейся базы статистических данных и способа обработки данных, генерирующего постоянно уточняемые математические модели развития и прогноза.
Вычислительные эксперименты по моделированию работы промышленности Уральского экономического региона в 1970 — 1984 гг. показывают, что динамические макроэкономические модели по существу являются нелинейными и нестационарными.
Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf 84
Список литературы
[1] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,Наука, 1979.
[2] Альбрехт Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем. Труды второго Болгарского национального конгресса по теоретической и прикладной механике. София, 1975, т. 1.С.522 - 526.
[3] Альбрехт Э.Г. Об игровых динамических моделях некоторых макроэкономических процессов. // Вестник Тамбовского университета. / Серия: Естественные и технические науки, т. 5, вып. 4, 2000. Стр. 402 — 403.
[4] Альбрехт Э.Г., Быстрай Г.П. О динамических моделях эволюции некоторых макроэкономических процессов. // Исследование федерализма в России: междисциплинарный подход. / Институт философии и права УрО РАН. Екатеринбург, 1999. Стр. 214 — 232.
[5] Альбрехт Э.Г., Быстрай Г.П. О моделировании и прогнозировании эволюции некоторых макроэкономических процессов. Тезисы докладов II Всероссйской научно-практической конференции "Страхование в условиях формирования рыночных отношений". Часть I. Екатеринбург, 1999. С. 51-56.
[6] Альбрехт З.Г., Соболев О.Н. О связи задач оптимального управления с подвижными и закрепленными концами. Проблемы управления с гарантированным результатом. С.3-14. УрО РАН,Саердловск, 1992.
[7] Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. Доклад на научно — практическом семинаре "Аналитика в государственных учреждениях". Москва, 1997. С. 24.
[8] Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997, 256 с.
[9] Aubin J.-P. Dynamic Economic Theory. Springer - Verlag,1997. 510 p.
[10] Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие числовой информации, приложения. РАН УО ИММ, Екатеринбург, 1999, 297 с.
[11] Бердышев Ю.И. О необходимых условиях оптимальности в одной задаче последовательной оптимизации. АН СССР, УО. Сб. Негладкие задачи оптимизации и управление. Свердловск, 1988, с. 12 -19.
[12] Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. О некоторых задачах последовательной оптимизации управляемых систем. Деп. ВИНИТИ, № 109 — 83, 1982.
[13] Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления. Кибернетика, 1986, вып.1, с. 59 - 64.
[14] Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969,408 с.
[15] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, 518с.
[16] Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов — кибернетиков. М.: Наука, 1985, 271 с.
[17] Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1986.
[18] Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983,350 с.
[19] Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1965.
[20] Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. Тбилиси: МЕЦНИЕРЕБА, 1998, 464 с.
[21] Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно - квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994, 320 с.
[22] Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.
[23] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974,479 с.
[24] Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964,838 с.
[25] Ковалева Г.А., Соловьева Н.С. Методологические основы оценки эффективности и интенсификации общественного производства в регионе. Научные доклады. АН СССР, УрО, Институт экономики. Свердловск, 1991. Ч.1, С.38; 4.II, С.45.
[26] Короткий А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Известия вузов. Математика. N11. 1995. С.101—124.
[27] Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968, 475 с.
[28] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985, 518 с.
[29] Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Positional Differential Games. Moskow: Nauka, 1974.
[30] Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука. 1988.
[31] Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О дифференциально - эволюционных играх. Труды Математического института РАН. 1995, т. 211, с. 257 - 287.
[32] Кугаенко А.А. Синтез динамических моделей народного хозяйства и методы прогнозирования социально—экономических процессов. М.: Прометей, 1991, 294 с.
[33] Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977,392с.
[34] Leontiev W. Essays in Economics (theories, theorizing, facts, and policies). Trans- action Books. New Brunswick (U.S.A.) and Oxford (U.K.). 1984.
[35] Lorenz H.-W. Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion. Springer - Verlag, 1993. P.319.
[36] Mas-Colell A., Whinston M.D., Green, J. Microeconomic theory. Oxford: Oxford University Press, 1995. P. 981.
[37] Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. М.: Знание, 1973. С.64.
[38] OsipovYu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary dyfferential equations: dynamical solutions. London. Gordon and Breach. 1995.
[39] Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Издательство Томского университета.Томск, 1985, 276 с.
[40] Полтерович В.М. Неизвестная экономика. Доклад на научном семинаре Отделения экономики и ЦЭМИ РАН, 1997. С. 21.
[41] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961, 391 с.
[42] Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969, 152 с.
[43] Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980, 319 с.
[44] Пшеничный Б.Н. Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975,319 с.
[45] Samuelson PA. Maximum Principle in Analytical Economics. The American Economic Review, June 1972, v.62, No.3, p.249-262.
[46] Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления. ПММ, т. 51, выл. 2, 1987, с. 216-222.
[47] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М. : Наука, 1978,488 с.
