CC BY
31
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 2(10)
УДК 534.113
М.А. Бубенчиков
ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ НАНОТРУБОК В ЕСТЕСТВЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ1
В работе описана гиродинамика нанотрубки, имеющей собственный магнитный момент за счет наличия в ней интеркалированного железа. Рассмотрены идеальные колебания трубки в естественном магнитном поле Земли. Построено аналитическое решение задачи о нелинейных колебаниях трубки. Численно найдены частотные характеристики, отвечающие различному уровню намагниченности.
Ключевые слова: момент инерции, углы Эйлера, собственный магнитный момент, внешнее поле, идеальные колебания, инерционная прецессия.
Эйлерово описание движения
Пусть нанотрубка имеет собственный магнитный момент, направленный по ее оси и имеющий величину ц. Для того чтобы определить влияние магнитного поля на ориентацию системы нанотрубок в пространстве, будем использовать подход Эйлера, хорошо известный в классический механике [1], то есть будем опираться на теорему о моменте количества движения, записанную в главных осях инерции тела для центра масс, и кинематические соотношения, определяющие проекции угловой скорости тела через углы Эйлера и их производные.
Пусть d - диаметр нанотрубки, а l - ее длина. Так как d << l, то моменты инерции относительно осей 0х и 0у можно принять равными моменту инерции стержня длиной l, взятому относительно оси, проходящей через его центр масс, то есть
л=B=mL, (1)
12
Здесь m - масса нанотрубки.
Момент инерции относительно собственной оси трубки можно принять равным моменту инерции однородного сплошного кругового цилиндра относительно его геометрической оси, то есть положить
с=m£L. (
8
Однако, как будет видно из дальнейшего, эта величина практически не будет оказывать влияния на вращение нанотрубки около ее центра масс.
Самый общий вид кинематических уравнений Эйлера следующий [1]:
p = у sin 9 sin ф + 9 cos ф,
q = уsin9cosф-9sinф, \. (3)
r = у cos 9 + ф.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).
Здесь р, д, г - проекции векора угловой скорости тела на оси подвижной системы координат 0х>г; ф - угол собственного вращения; у - угол прецессии; 0 - угол нутации (см. рис. 1).
Динамические же уравнения в рассматриваемом случае будут иметь вид [1]
ф
A-p + (С - A)qr = Ie),
A—q+(a - с)pr = le, dt
с= їй. dt
(4)
Пусть задано внешнее магнитное поле В = ( В^, Вп, ). Тогда момент, вра-
щающий нанотрубку, определится следующим образом [2]:
&]=ц[к, В ]. (5)
Здесь ц - собственный магнитный момент трубки, В - вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля, к - орт оси г, направленной по оси трубки.
Найдем проекции момента внешних сил на оси подвижной системы координат
Охуг, то есть найдем І-®^, І-Є^, І(/^. Для этого распишем векторное произведение,
выражающее момент внешних сил:
к
Le) = ц[, b ] =
і
0
Bx
j
0
В,,
= -i (y )+j (x )+k (0) .
(б)
I
(e)
I
(e)
Ie)
Как видим, проекция момента внешних сил на собственную ось вращения оказалась равной нулю. Поэтому третье уравнение (4) дает первый интеграл
r = const. (7)
Напомним, что мы изучаем лишь поворот трубки около своего центра масс. Это удобно сделать, введя в рассмотрение две системы координат: одну 0^пС, оси которой не меняют своей ориентации в пространстве, другую 0xyz, жестко связанную с телом и имеющую начало также в центре масс. В данный момент време-
ни каждая из осей подвижной системы составляет определенный угол с тремя осями неподвижной системы отсчета. Таким образом, имеется девять величин, называемых направляющими косинусами, фиксирующих положение подвижных осей относительно неподвижных.
Как известно из аналитической геометрии, декартовы координаты точек в обеих системах связаны равенствами:
x = а1| + Р1п + у1С,
У = a 2 ^ + P2 П + Y 2 C> (8)
z = аз1 + Р3П + Y зС-
Если для определения положения твердого тела в пространстве использовать углы Эйлера ф, у, 0 (см. рис. 1), то значение упомянутых выше косинусов углов будут следующими [3]:
aj = cos у cos ф-sin у sin ф cos 9, a2 =-cos у sin ф-sin у cos ф cos 9,
Pj = sin у cos ф + cos у sin ф cos 9, p2 =-sin у sin ф + cos у cos ф cos 9, (9)
Y1 = sinфsin9, y2 = cos фsin9.
Значения a3, P3, y3 мы не приводим, поскольку в дальнейшем они не понадобятся.
Согласно (6), для задания компонент момента внешних сил, входящих в динамические уравнения (4), необходимо выразить значения компонент внешнего магнитного поля Bx , By через заданные величины B^, Bn, B^ . Следуя формулам (8) и (9), найдем
Bx = B^ (cos у cos ф-sin у sin ф cos 9) +
+Bn (sin у cos ф + cos у sin ф cos 9) + +z sin ф sin 9, (10)
By =-B^( cos у sin ф + sin у cos ф cos 9)--Bn (sin у sin ф-cos у cos ф cos 9) + cos ф sin 9. (11)
Заметим, что для интегрирования уравнений (3), (4) необходимо задать следующие начальные данные:
ф(0) = ф0> у(0) = уо> 9(0) = 9 p(0) = Po, q(0) = qo, r(0) = r0.
Здесь ф0, у0, 90, p0, q0, r0 - некоторые константы. Будем считать трубки случайным образом ориентированными в пространстве. Это означает, что ф0, у0, 90 будут случайными числами. Имея в виду интеграл (7), получим
r (t ) = r0.
Для нанотрубок С ^ Л это приводит к дальнейшему упрощению динамических уравнений Эйлера.
С учетом сказанного, а также с учетом (7), (10) и (11) уравнения Эйлера (4) можно переписать следующим образом:
f = qr0 +Л ( b^ (cos у sin ф + sin у cos ф cos 9) +
+ Bn (sin у sin ф-cos у cos ф cos 9)-cos ф sin 9); (12)
— = - pr0 +—(B^ (cos у cos ф-sin у sin ф cos 9) +
dt Л
+Bn (sin у cos ф + cos у sin ф cos 9) + ) sin ф sin 9), r= r0. (13)
Интегрируя уравнения (12), (13) численно совместно с уравнениями (3), например, при нулевых начальных условиях, найдем ф = ф^), у = у^), 9=9(t), а
также p = p(t), q = q (t). Заметим, B^, Bn, B^ , входящие в уравнения (12), (13),
могут быть функциями времени. Так что по приведенным уравнениям можно исследовать влияние внешнего переменного магнитного поля.
Численное решение задачи
Для численного интегрирования системы ОДУ (12), (13) совместно с системой ОДУ (3) будем использовать метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Предварительно проведем преобразования уравнений (3). Первое уравнение системы (3) умножим на sin ф и сложим со вторым, умноженным на cos ф. Получим
p sin ф + q cos ф = у sin 9 . (14)
Из первого уравнения (3), умноженного на cos ф, вычтем второе, умноженное на
sin ф , получим
pcosф-qsinф = 9 . (15)
И, наконец, третье уравнение (3) с учетом полученного интеграла перепишем следующим образом:
ф = r0-(psinф + 9cosф)ctg9 . (16)
Структурная запись уравнение (12) - (16) следующая:
dp dt
dq dt
d9 dt
d у dt
d ф dt
Здесь буквами P, Q, 0,¥,Ф обозначены правые части уравнений (12) - (16).
Сначала вычисляем большие величины, выражающие правые части (17) - (21) с индексом один:
P = P (qn, фп, уn,9n ) ; (22)
Q1 = Q (pn, фп , уn, 9n ) ; (23)
-~P ( ф, у, 9); (17)
--Q (p, ф, у, 9); (18)
= 0^ q, ф); (19)
= T(p, q, ф, 9) ; (20)
= Ф(p,q,у,9) . (21)
®1 =©(рп,дп,ф”); (24)
Т1 = т( рп, дп, фп, 0” ); (25)
ф1 = ф(рп,дп,фп,0”) . (26)
Далее эти же величины с индексами два, три и четыре. Разберем это на примере лишь первого уравнения (17):
р2=р (дп + 7 е1, ф” + 2 ф1, уп +7 т1,0” + 7 ®1); (27)
р = Р(д” +702,ф” + |Ф2, Vп + -2Т2,0” + 2®2); (28)
р4 = р (дп + 703, фп + 1Ф3, у” + 3,0” +1®3). (29)
Окончательно для нахождения величины проекции угловой скорости на ось 0х на расчетном слое по времени пишем
рп+1 = р” + 7 ( + 2 р2 + 2 р3 + р4). (30)
6
Здесь 1 - шаг по времени, п, п+1 - предыдущий и расчетный слои по времени. Аналогично для д, 0, у и ф имеем
дп+1 = д" ■+6 и + 2 2 + 203 + 04 ) ; (31)
0п+1 = 0” +6( + 2® 2 + 2®3 +®4); (32)
уп+1 = = уп +7 (Т‘ 6 2 * 2 + 4 * + 3 * 2 + (33)
Фп+1 = ф” 7и +6 (Ф1 6 + 2 2 + 2Ф3 +Ф4). (34)
Проводя последовательные вычисления по указанной выше схеме, найдем решение эволюционной задачи об идеальных колебаниях нанотрубки около центра масс.
Точное аналитическое решение
По соображениям простоты примем, что в начальный момент времени ф(0) = у (0) = 0 , 0(0) = 0О ^ 0 , кроме того г0 = 0 . Тогда в этой позиции плоскость ОхС, будет совпадать с плоскостью 0^л. Примем также, что вектор магнитной индукции внешнего постоянного магнитного поля направлен по оси 0^, то есть В = (0,0, В). Так как собственный магнитный момент трубки направлен по оси
02, то оба этих вектора будут лежать в указанной выше общей плоскости и все последующее движение будет осуществляться в этой же плоскости. Тогда будем иметь ф = у = 0 во все время движения, а 0 (/) будет искомой функцией.
С учетом этого уравнения (12), (13) запишутся в виде
dp = -Ji B sin 0 ; (35)
dt A
dl = 0. (36)
dt
При этом уравнение (15) запишется следующим образом:
p = 0 . (37)
При p (0) = q (0) = 0 из уравнения (36) следует, что q = 0 во все время движения,
то есть поворот вокруг оси 0y будет отсутствовать или, другими словами, движе-
ние трубки будет плоским и осуществляться в плоскости 0Zn.
Подставляя (37) в (35) найдем
0 = -—sin0 . (38)
A
В уравнении (38) сделаем замену переменных, вводя новую искомую величину
Z = 02. (39)
Дифференцируя (39) по времени, получим
Z = 200.
V 1 Z 1 dZ/dt 1 dZ
Отсюда 9 = —- = —-{г—г =-----------------.
2 0 2 d0/ 2 d0
dt
Тогда (38) перепишется следующим образом:
- — = --^B-sin0 . (40)
2 d 0 A
Умножая (40) на d 0 и интегрируя в пределах от 00 до 0, найдем
Z -Z0 = 2B(c0S0-cos0о).
Так как p (0) = 0 , то Z0 = 02 (0) = p2 (0) = 0 , поэтому окончательно
Z = 2B (os 0-cos 0о)
или Є = +y~jB'(osЄ-cosЄ0) . (4і)
Это решение использовано для проверки правильности работы численной процедуры. Результаты расчетов показали высокую точность согласования точного и численного решений.
Оценка значений исходных параметров
Первые два из уравнений (4) можно переписать следующим образом:
"І-“r +^г1к,в]-, (
Здесь Б0 - модуль вектора магнитной индукции внешнего поля, к, в - безразмерные единичные векторы, причем к направлен по оси трубки, в показывает направление внешнего магнитного поля. Коэффициент перед квадратными скобками в правых частях <42), <43) обозначим через Е:
Е = ЦЬ (с-2).
А ' '
Оценим численное значение этого коэффициента. В порядке записи величин, в нем содержащихся, стоит величина собственного магнитного момента нанотрубки ц. Принимаем, что эта величина зависит от количества атомов интеркалиро-ванного железа. В дальнейшем будем проводить расчеты для ц = (1 -г- 100)цРе,
причем известно, что цРе = 7 -10-21 Дж/Тл.
Масса нанотрубки определяется по формуле
4л/3 -2
тнт = ^ тс пё • 1а . (44)
Здесь тс = 1,993-10-26 кг - масса атома углерода, а - расстояние между атомами углерода в кристаллической решетке трубки, ё - диаметр трубки, I - ее длина. Далее, по порядку: ё = 20 нм = 2-10-8 м; I = 50 мкм = 5• 10-5 м; а = 0,141 нм = = 1,4110-10 м.
Таким образом, согласно формуле <44), приближенно получаем
тнт = 2,4-10-19 кг.
Магнитная индукция Земли Б0 =50 мкТл = 5-10-5 Тл. Следовательно, величина параметра Е для случая ц = цРе будет равна Е = 70 с-2.
Результаты расчетов
На рис. 2 - 5 представлены данные вычислений, отвечающие случаю: Е = 70 с-2, 0(0) = 1, у<0) = -1, ф(0) = 0, р<0) = п/2, д<0) = 0, г(0) = 0. В этом примере частота собственных колебаний трубки оказалась согласованной с частотой инерционного движения трубки вокруг оси 0х <за счет изначально заданного вращения вокруг указанной оси, р<0) Ф 0). Как видно из рис. 2, каждый из концов нанотрубки описывает идеальную сферическую ромашку, имеющую тринадцать лепестков. Для всех последующих движений рассматриваемые точки будут в точности повторять контуры лепестков, поскольку реализуемые движения согласованы и осуществляются без учета диссипативных сил <сил трения). Кроме того, из рис. 3 следует, что идеальные колебания с инерциальной прецессией индуцируют собственное вращение трубки в направлении, определенном знаком р<0).
На рис. 4, 5 представлен вариант с Е = 7-103 с-2 и с теми же начальными данными. Как видим, в этом случае частота собственных колебаний увеличилась практически на порядок. При этом амплитуда колебаний остается той же, как и в предыдущем примере, во все время движения, что говорит о выполнении закона сохранения энергии при идеальных колебаниях.
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
ЛИТЕРАТУРА
1. Томилов Е.Д. Теоретическая механика: в 2 ч. Томск: Изд-во ТГУ, 1970. Ч. 2. 317 с.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1976. 464 с.
3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. М.: Изд-во ТТЛ, 1955. 520 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич - ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-таі1: [email protected]
Статья принята в печать 04.05.2010 г .
