CC BY
9УДК 510:164
ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЯХ, ПРОСТРАНСТВЕ МОДЕЛЕЙ И ^-ПРЕДЕЛАХ
П, В, Черников
Далее будем использовать терминологию и обозначения из [1].
1. Пусть — непрерывная логика с множеством значений X, где X — компактное хаусдорфово пространство. Пусть — совокупность всех моделей логики «5?, наделенная элементарной топологией. Обозначим через £ & множество всех высказываний логики .
В [1, с. 66] указано, что если в — (элементарная) теория и К с то имеют место соотношения
в э ТЬ(тос1(в)), (*)
К с то<1(ТЬ(К)). (**)
Возникает вопрос: когда в соотношениях (*) и (**) имеют место ра-
КК
К
Вопрос о том, когда имеет место равенство в (*), в [1] подробно не рассматривался. Отмечено лишь, что
КК
[1, с. 67]. В данной работе приводится необходимое и достаточное условие, при котором выполняется равенство в соотношении (*).
Определение [2]. Пусть У — топологическое пространство. Множество Е с У называется плотным в множестве У0 с У, если Е эУо-
©2011 Черников П. В.
Теорема 1. Для того чтобы для теории в С Х5^ выполнялось равенство в = Т^тосЦв)), необходимо и достаточно, чтобы существовала теория в0 С плотная в в и такая, что в0 = ТЬ(тос1(во)).
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Для теории во выполняется равенство во = ТЬ(тос1(во)), вС
цева пространство, определяемое элементарной топологией на компактно [1,с. 91]. Тогда согласно упражнению ЗС^ из [1,с. 68] тео-
Х
в в Х
т. е. в0 С ТЦЖ^). Значит, в С в0 С поэтому
вв
вСХ
в в в
в
Приведем пример, показывающий, что в общем случае включение
(*) строгое.
Пример. Рассмотрим классическую двузначную логику I [1]. Для теории в = {£I х 1} С 2х 1 \ ТЬ(имеет место ТЬ(тос1(в)) = 0.
Х
несвязное компактное хаусдорфово пространство. Напомним, что топологическое пространство У называют вполне несвязным, если несвязно всякое его подпространство, содержащее более одной точки [3].
Определим на множестве отношение эквивалентности К следующим образом: если модели Л, В принадлежат то А = В(Мос1 Д) тогда и только тогда, когда [Л] = [В] [1]. В [4, с. 230] доказана
Теорема 2. Пространство Жг/К является вполне несвязным компактным хаусдорфовым пространством.
Следующее утверждение обобщает эту теорему.
Об элементарных теориях
157
Теорема 3. Пространство /Я является вполне несвязным компактным хаусдорфовым пространством.
/Я
/Я
пространства [1]. Так как компакт X вполне несвязен, по тео-
реме 5 из [3, с. 173] имеем шс1Х = 0. Тогда из предложения 6 в [3,с. 92] вытекает, что МХ5^ = 0. Согласно предложению 7о из [3,с. 162] имеем 1п(1 = 0. Из предложения 2 [3,с. 170] следует, что про-
/Я
/Я
прострапства .
По теореме о компактности А. И. Мальцева пространство .уМ^е, определяемое элементарной топологией на компактно. Отсюда
/Я
на.
Замечание. Вполне несвязные компактные хаусдорфовы пространства называют также булевыми пространствами. В этих терминах мы показали, что если пространство значений X логики булево,
/Я
3. Остановимся на понятии Б-предела из [1]. В этом пункте через X обозначается произвольное компактное хаусдорфово пространство (как и в п. 1). Пусть I — произвольное непустое множество и Б — ультрафильтр над I. В [1] доказано, что для всякой функции / £ X1 существует единственная точка щ £ X, обладающая свойством: для любой окрестности V точки хо
{г £ I-.fi £ V}£Б.
Эта точка х0 называется Б-предтом функции f и обозначается так: Б — Ит f.
Покажем, что справедлива
Теорема 4. Пусть {Бп}^=1 — последовательность ультрафильтров над множеством I, п пусть f £ X1. Тогда последовательность
{Dn — Um f }™=1 сходится к точке x G X тогда н только тогда, когда для всякой окрестности V точки x существует такой номер N, что {i : f (i) G V}g Dn при всех n > N.
V
точки x в пространстве X. Существует такой номер N, что Dn — lim f G V при всех n > N. Тогда {i f (i) G V}g Dn при всех n > N.
Достаточность. Пусть U — окрестность точки x в пространстве X. Докуем, что существует номер N такой, что Dn — Um f G U при всех n > N. Пространство X компактно и хаусдорфово, поэтому X
V
в X, что х G V и V С U. По условию найдется номер N, для которого {i : f(i) G V} G Dn при всех n > N. Покажем, что Yn = Dn — lim / G V при n Js N. Допустим, что при некотором щ ^ N имеем Yno ^ V. Тогда найдется такая окрестность W точки Yno, что V П W = 0. Имеем
{i: fi G V}n{i: fi G W} = {i: f(i) G V П W} = 0 G Dn0,
что невозможно. Таким образом, Dn — lim / G V С U при всех n > N. Теорема доказана.
Отметим, что теорема 3 данной работы предварительно опубликована в [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Кейслер Г. Дж., Чэн Чень-чунь. Теория непрерывных моделей. М.: Мир, 1971.
2. Канторович Л. В., Акимов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
3. Александров П. С., Пасынков В. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.
4. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.
5. Черников П. В. О пространстве моделей. М., 2003. Депонировано в ВИНИТИ, №1180-В2003.
г. Новосибирск
20 декабря 2010 г.
