CC BY
9
© А.О. Аристов, 2013
УДК 519.179.2:004.94 А.О. Аристов
ОБ ЭЛЕМЕНТАХ КВАЗИКЛЕТОЧНЫХ СЕТЕЙ
Рассмотрены элементы квазиклеточных сетей: генераторы, стоки, элементы клеточных автоматов, турникеты. Указанные элементы строятся на базе единых правил синтеза квазиклеточных сетей и расширяют их возможности при моделировании систем.
Ключевые слова: квазиклеточная сеть, дискретная структура, исток, сток, клеточный автомат, турникет, моделирование.
В работах [1, 2] рассмотрены квазиклеточные сети как фундаментальные дискретные структуры, не имеющие носителя (рис. 1). Основу динамики в квазиклеточной сети составляет циркуляция. Циркуляцией в квазиклеточной сети [1] называются изменения состояний клеток, вида
Г Sr (t + в) = Su (t)
I ^(t +в) = 0 ( )
при V( r, u), где для Qu = (xu, yu, Su) и Qr = (x,, у,, Sr) справедливо
(Xu - ^)2 + (Уи - Уг)2 < (2 • R)2. (2)
Следует отметить, что фактически понятие циркуляции основано на передаче состояния между клетками, удовлетворяющими условию (2). В работе [1] отмечалось, что состояние принимает вид вектора, тогда (1) действует для каждой компоненты такого вектора. Также следует отметить, что некоторые ограничения для циркуляций описаны в работах автора [1, 2].
Отдельно следует остановиться на вопросах синтеза начального состояния квазиклеточной сети и отдельных элементов её структуры, влияющих на циркуляцию.
Интуитивно понятным вариантом формирования начальных состояний является их случайное распределение:
Vu: jQu = (xu,Уи, Su), (3)
[Su = random,
где random - величина, принимающая случайное значение из множества S = (S S2...) возможных состояний клетки.
Другим вариантом формирования начального состояния сети является определение клеток-генераторов квазиклеточной сети.
Генератором в квазиклеточной сети называется клетка Qu = (xu,yu,Su(/)) , в которой состояние Su(t) приобретает значения из множества S = (SjS2...) в
моменты времени t = 0,6,20,36,... независимо от циркуляции в сети. Фактически, если рассматривать квазиклеточные сети с дискретными состояниями [2],
"Ч1
уУ0
^46
-
"V5
то генератор в квазиклеточной сети предполагает формирование в нём фишки в определённые моменты времени. При этом, сгенерированная фишка продолжает циркуляцию по сети.
Отдельно стоит остановится на вопросах, связанных с влиянием генератора в квазиклеточной сети на циркуляцию в ней. Пусть имеем генератор
~(х8>у8> 5\(^)) , где значение Бв(0 задано при 1 = °9 >29 >39 >■■■ . Рассмотрим клетку Я = (хи>уи>Б С)) , для которой выполняется:
( - )2 + (- Уи)2 - (2 • Я)2. (4) тогда переход вида ^ Я в момент времени 1 возможен при условии:
Я ( ') = ° Я С) =1
(5)
В результате перехода изменится состояние клеток в момент времени 1+0 предполагает изменение состояния:
Я (<+0 ) = 1
Я (+0 ) = 0
(6)
Рис. 1. Базовый граф и построенная на его основе квазиклеточная сеть
Однако, в случае, если генератор формирует фишку в момент времени
1+0 (Бё(1+0) = 1 ), то происходит
уменьшение количества фишек в квазиклеточной сети. Стоит заметить, что данная проблема тесно связана с вопросами одновременности работы генераторов и циркуляции фишек в сети. Несмотря на это, данная проблема решается путём ввода дополнительного условия циркуляции фишек в квазиклеточных сетях с генераторами. Дополнительное условие делает недопустимым переход фишки в клетку-генератор, если в следующий момент времени в ней должна появиться
фишка. Тогда, пусть имеем множество клеток-генераторов Бё = (■■■) ,
для которых появление фишек во времени определяется соответственно
функциями Б^ (() ,Б 2(,■■■ . Тогда переход Яи ^ Я примет вид:
Г 5, (1+0) = Б и (0 (7)
к (+0 )=0
при
( - X,)2 + (( - уг)2 <(2 • Я)2
5у е ^
5. й (8)
С) = 1
5, (*)* 1
5, (+в )* 1
При 5, й 5ё переход выполняется согласно подходам, описанным в [2].
Отдельно остановимся на проблеме перехода из генератора. Фактически, генератор представляет собой клетку с ненулевым состоянием (фишкой), поэтому все переходы будут осуществляться согласно правилам, описанным в [1, 2]. Однако возможен вариант, при котором после генерации в момент времени
0 допустимых переходов нет, при этом 5 (О) = 1 и 5 (О+в) = 1 . В такой ситуации возникает невозможность генерации фишек в сети, и генератор фактически не срабатывает. Такую ситуацию и её решение следует разбирать исходя из предметных интерпретаций квазиклеточных сетей.
Выше была рассмотрена проблема работы генераторов в квазиклеточных сетях с бинарным состоянием. Главная проблема связана с невозможностью одновременного синтеза фишек генератором и их циркуляции в квазиклеточной сети. Следует остановиться на возникновении данной проблемы в других типах квазиклеточных сетей [2]. Для сетей с переменным количеством фишек присутствие генератора и циркуляция не вызывают каких-либо конфликтов, поскольку одновременное формирование фишек в клетке и переход в неё фишек в результате циркуляции допустимы.
Для сетей суммирования проблема генерации и циркуляции влияет на количество фишек. Пусть имеем квазиклеточную сеть суммирования, в которой имеет место наличие генераторов. Тогда, для генератора справедливо
(°+в)=5 (О + г(О, (9)
где /(О) - функция, определяющая, количество генерируемых фишек в каждый момент времени. В случае, если клетка не является генератором, то для неё:
{ ( 0 = 0 , (10) Тогда, циркуляция в сетях суммирования в общем случае примет вид:
5„ (1+в) = 5„ (О +5 + Гг (о 5. (+в ) = 5и ()-5 + Ги
где 5 - количество фишек, передаваемое каждый момент времени в (5 < 5. (О))
для Qu= (хи'Уи,5и)и Qv=(Ху'УуЛ), где (-х,)2 + (у.-у,)2 <(2•Я)2 и и* у,
/и (¿) , /г (- функции генерации, определяющие количество генерируемых
фишек в каждый момент времени.
В общем случае предполагается, что состояние клетки определяется не одной переменной, а набором фазовых переменных, тогда для каждой из них вводятся ограничения и функции генерации.
В работах [1, 2] неоднократно отмечалось, что квазиклеточные сети обладают некоторыми свойствами клеточных автоматов. Рассмотренные типы квазиклеточных сетей предполагали циркуляцию вдоль одного направления, где распределение клеток осуществляется вдоль ребра базового графа. Однако, по определению квазиклеточных сетей допустимы и другие способы расположения их элементов.
Пусть имеем множество клеток Я, в котором
{а =(адл) (12)
I Я е Я
Соседние клетки
«С \ (13)
удовлетворяют условию
(х - х, )2 + (У, - у. )2 -(2 • Я)2 (14)
В частном случае возможно х1 = х. , тогда неравенство (14) примет соответственно вид:
(у, - у.)2 -(2 • Я)2 (15)
При у. = у, неравенство (14) примет вид:
(х- - )2 -(2 • Я)2 (16)
Очевидно, что при выполнении обращении условий (15) и (16) в равенства и отсутствии других соседних клеток, квазиклеточная сеть приобретает структуру клеточного автомата [3]. Однако, следует отметить, что при наличии соседних клеток Я, е Я, не удовлетворяющих условиям (15), (16), рассматриваемая
дискретная структура является квазиклеточной сетью по опеределению, однако не является клеточным автоматом.
Введём определение. Вкраплением клеточного автомата в квазиклеточную сеть или элементом клеточного автомата квазиклеточной сети или областью
клеточного автомата называется множество е Я для каждой клетки которого е ) выполняется не менее двух условий вида
(* - х,)2 = (2 • Я)2
(. = (х.,у.,Б.) справедливо е (К), при Бр ) для которой (р е при х 1 = х. или
(* - Хр)2 *(у - ур)2 <(2 • Е)2
(18)
Согласно определению клеточных автоматов и особенностям, рассмотренным выше, условие перехода в клеточном автомате соответствует циркуляции в квазиклеточной сети.
Остановимся подробнее на вопросах синтеза квазиклеточных сетей, включающих в себя элементы клеточного автомата. В качестве основы для синтеза следует рассматривать метод базового графа. Однако, предполагается, что базовый граф дополняется областями, преобразуемыми в клеточный автомат (рис. 2).
Фактически при синтезе квазиклеточной сети предполагается заполнение области элементами квазиклеточной сети согласно (15), (16). Пусть область клеточного автомата имеет ширину ш и длину 1. Тогда при синтезе клеточного автомата целесообразно задавать множество клеток в виде двухмерного массива, где каждая клетка (К) е ((К) задаётся в виде:
Считаем, что начало отсчёта области клеточного автомата имеет координа-
Исходя из соотношений (19), (20), (21) для базового графа (рис. 2) получаем струк-
(19)
ты (х0у0), тогда координаты клетки имеют вид:
(20), (21)
Уу=Уо + 2Я • 7
туру квазиклеточной сети, представленную на рис. 3.
О,
О,
МО
Стоит отметить, что циркуляция во вкраплении клеточного автомата возможна как по правилам, описанным в работах [1, 2], так и в соответствии с (19)-(21).
VI
\б
Пусть в области клеточного автомата осуществля-
ется циркуляция. Тогда
при Б у = 1 возможны пе-
Рис. 2. Базовый граф квазиклеточной сети с эле ментами клеточного автомата
С-
(К)
с
(К)
.ПК
V,-! Ц
Я К+
О:'.
(К)
ЯК)
соответственно при
Б,,
¡+1 и'
" 1
Б-1 ц
1
Бц =1
Б,ц-1 =1 .
Тогда для каждого такого перехода справедливо:
Рис. 3. Квазиклеточная сеть с элементом клеточного автомата
Б1
1+к
+Р
Б
(22)
(к (-(Р ( = 1 х+к = х+2Я • к Уц+Р = Уц + Ж • Р При (к (- (р (= ° предполагается, что состояние клетки либо остаётся неизменным, либо передаётся клеткам, не граничащим с рассматриваемой клеткой в соответствии с (18), а находящимся по диагонали по отношению к ней. Такую передачу состояния назовём диагональной циркуляцией. Считаем, что в зависимости от условия задачи и предметной интерпретации квазиклеточных сетей, диагональная циркуляция допустима при рассмотрении элементов клеточных автоматов в квазиклеточных сетях, несмотря на то, что указанный тип передачи состояния не соответствует определению циркуляции в квазиклеточных сетях.
Выше были рассмотрены элементы квазиклеточных сетей, позволяющие генерировать их состояние. Для интуитивно понятного представления циркуляция в квазиклеточных сетях рассматривается с помощью фишек, визуализирующих состояние клеток. Интуитивно понятно, что в задачах моделирования потоков возникают различные ситуации, предполагающие задержку потока на некоторое время. Типичными предметными интерпретациями задержки потока являются краны, турникеты, некоторые конечные манипуляции.
В таких ситуациях следует рассматривать некоторую клетку как особый элемент квазиклеточной сети - турникет.
Пусть клетка является турникетом. Тогда предполагается, что она способна задержать некоторое состояние Бк в течение времени т . Считаем, что в мо-
(23)
мент времени 0 клетка-турникет П7"2 приняла состояние Бк , т. е. Я7) = (*т,Ут,Бт (>))
А (• 0 ) = Бк
Тогда по определению указанное состояние клетки Бт (= Бк остаётся неизменным при ^ = 0,(,+1)• 0,(1+2)• 0,■■■,i• 0 + т . После наступления конечного
момента времени ¿ = 10 + т осуществляется переход состояния из клетки Q^т) в соседнюю клетку в соответствии с принципами, описанными в [1, 2].
Таким образом, очевидно, что клетка-турникет обладает рядом параметров, определяющих её состояние. При этом клетка-турникет обладает как состоянием, характерным для обычной клетки, так и состоянием турникета. Поскольку каждая клетка квазиклеточной сети имеет вид:
где Д - неизменные (базовые) параметры клетки, С1 - параметры клетки, изменяющиеся при прохождении фишек через клетку, Б1 - параметры фишки как объекта, находящегося в клетке, то очевидно, что для клетки-турникета обязательными являются параметры С1, определяющие открыт ли турникет, а также параметр, являющийся фактически таймером, определяющим время, прошедшее с момента закрытия турникета 1 = 1^ в до момента его открытия Ь = в + т по истечении времени т . При этом, следует понимать, что турникет открыт, если его состояние отлично некоторого Бк , которое турникет сохраняет в течение времени т .
Исходя из рассмотренного выше определим логику работы клетки-турникета. Пусть Бк - состояние, которое сохраняет турникет в течение времени т ; Бк - состояние (состояния), при нахождении в котором турникет открыт и из которого происходит переход турникета в состояние Бк ; ^ - момент времени открытия турникета после перехода в состояние Бк ; - внутреннее состояние турникета (открыт/закрыт) О(т) е (0,1). Учитывая, что Бт (/) е ( Бк,Бк ) , клетка-турникет примет вид:
Исходя из рассмотренного представим логику работы турникета (см. таблицу).
Таким образом, введение клеток-турникета позволяет обеспечить сохранение состояния в течение некоторого времени. Следует также отметить, что фактически клетки-турникеты не являются элементами квазиклеточных сетей, требующими ввода специфических элементов структуры, поскольку такая клетка отвечает (24).
Кроме того, учитывая возможности задания случайного значения Т , а также возможность организовать турникет в каждой клетки, обеспечивается неравномерная циркуляция, предполагающая, что состояние каждой клетки сохраняется в течение случайного промежутка времени. Тогда каждая клетка квазиклеточной сети примет вид:
Тогда циркуляция в квазиклеточной сети предполагает изменение состояний клеток, вида
( в^Б )
(24)
((т) = (хт,ут,Бт (*т, От))
(25)
(26)
Логика работы турникета
Иллюстрация 1 Бт (0 С + т О <т)
ООО от К в (1 - 1) 0 1
ст. от •) 1=в (1 -1) 0 1
• от о г = в • 1 в 1 + т 1
сто от в 1 > * > в • 1 + т в 1 + т 0
ст оТ о * = в 1 + т в 1 + т 0
•• оТ С) * = в •!+ т + в 5 0 1
Бг ( + в )=5„ (*) (27)
\ ( + в ) = 0 при Уу,и (переход состояния вида ((и ^ (),
где для ои=(Хи,уи,5и(()Ши + )) и ог=(ху,уу,5у (0,с + т °)) справедливо
( - )2 + ( - /V)2 - ( • К) , (28)
а также выполняется: О() = 1 . (29)
1=1 + т
ти и
Таким образом, все виды циркуляции рассмотренные ранее при условии выполнения (29) и передачи состояний между клетками вида (26) являются неравномерными.
Выше были рассмотрены генераторы, предполагающие наличие определённого состояния, независимо от циркуляции в сети. Также частным случаем генератора можно считать сток.
Пусть имеем квазиклеточную сеть, состояние которой бинарно:
га=(у,),) (30)
1 Б, е(0,1) ( )
Ранее состояние такой сети визуализировали в виде фишки, считая, что 1 - наличие фишки в клетке, 0 - отсутствие фишки в клетке. Тогда источник (генератор) каждый момент времени принимает состояние 1, т.е фактически порождает фишку. Интуитивно понятным элементом квазиклеточной сети является клетка, поглощающая фишки. Для такой клетки справедливо
(0= (х,,у,,Б) (31)
Б е(0,1) Б (() = 0
Назовём клетку, поглощающую фишки стоком квазиклеточной сети. В случае бинарных квазиклеточных сетей, клетка-сток независимо от времени приобретает нулевое значение, т. е. фактически поглощает фишки.
Обобщая понятие стока для квазиклеточных сетей различных типов, следует определить, какое состояние следует считать «обнулением» клетки. Это состояние будет принимать сток каждый момент времени, независимо от циркуляции
в квазиклеточной сети. Пусть Б^0) - состояние, которое предполагает «обнуление» клетки. Тогда для стока в общем случае справедливо:
(с= (х1,у1,Б) (32)
Б е (Б(о),Б(1),..) Б (()= Б(0)
Рассмотренные типы клеток - генераторы и стоки схожи с истоками и стоками в теории потоков в сетях[4]. Но в отличие от потоков в сетях, источники и стоки квазиклеточных сетей влияют как на их микропараметры, так и на макропараметры, в то время, как потоки в сетях предполагают построение макромоделей [1,4]. Также следует отметить, что в отличие от по-
токов в сетях, истоки и стоки квазиклеточных сетей являются динамическими объектами, влияющими на состояние клеток и циркуляцию, что существенно отличает их от аналогичных элементов в теории потоков в сетях.
Таким образом, рассмотрены отдельные объекты, входящие в структуру квазиклеточных сетей. Предлагаемые элементы соответствуют базовым принципам построения квазиклеточных сетей и позволяют приспособить их для моделирования широкого круга предметных задач, в которых приложение рассмотренных элементов является интуитивно понятным.
1. Аристов А. О. Квазиклеточные сети. Синтез и циркуляция // Горный информационно-аналитический бюллетень №2, 2013
— С. 125-131
2. Аристов А.О. Теория квазиклеточных сетей и её приложения // Всероссийская выставка Научно-технического творчества молодёжи. II Международная научно-практическая конференция «Научно-техническое творчество молодёжи
— путь к обществу, основанному на зна-
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ниях»:сборник научных докладов/ Мос. гос. строит. ун-т - М.:МГСУ,2013 — с.230-234
3. Клеточные автоматы // Материал из Википедии - свободной энциклопедии. Режим доступа:
Ьйр://ш.ш1ЫреШа.огд/ш1Ы/Клеточный_авто мат дата обращения: 31.08.2013
4. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход — М.: Мир, 1978 —
432 с. ЕПЗ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Аристов Антон Олегович - доцент кафедры САПР, Московский государственный горный университет, e-mail: batan-87@mail.ru.
ГОРНАЯ КНИГА -
Производственные процессы подземной разработки рудных месторождений
Г.Г. Ломоносов 2013 г., 2-е издание 517 с.
ISBN: 978-5-98672-343-3 UDK: 622.273.06:622.34
Приведены основные сведения о производственных процессах добычи руд и нерудных полезных ископаемых, осуществляемых в рамках технологических схем подземных рудников. Рассмотрены производственные процессы очистной выемки, внутрирудничного транспорта и подъема полезного ископаемого, а также проведения эксплуатационных горных выработок, непосредственно связанных с добычными работами. Большое внимание уделено производственным процессам управления качеством продукции рудников, посредством которых обеспечиваются повышение концентрации полезных компонентов в добытой руде и стабилизация ее состава. Книга иллюстрирована рисунками и фотографиями, отражающими современное горное оборудование и производственные процессы, технологическими схемами горных работ с их техническими характеристиками, а также расчетными графиками и другими материалами.
