Об эквивалентности принципов оптимальности инвестиционного портфеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863

Ключевые слова:

оценка эффективности, оценка риска, функция риска, коэффициент риска, свертка критериев, закон распределения

доц., проф. кафедры «Прикладная математика» Финансового университета при Правительстве РФ (e-mail: tgold11@mail.ru)

В. А. Горелик, д. ф.-м. н., проф., вед. науч. сотр.

Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына РАН

(e-mail: vgor16@mail.ru) Т. В. Золотова, д. ф.-м. н.,

Об эквивалентности принципов оптимальности инвестиционного портфеля

Вопросам выбора принципов оптимальности поведения инвесторов на фондовом рынке, т. е. вида оптимизируемого критерия при принятии решения о составе портфелей ценных бумаг, посвящена обширная литература1. При этом разработка принципов оптимальности портфеля ценных бумаг предполагает решение вопроса о соотношении его доходности и риска.

Статическая постановка задачи формирования инвестиционного портфеля впервые сформулирована Г. Марковицем2. При этом в качестве оценки риска ученый использовал функцию риска, заданную в метрике /22 (дисперсия). В более поздней работе Г. Марковица3 задача поиска оптимального портфеля была поставлена как задача минимизации разности дисперсии и математического ожидания доходности портфеля (коэффициент риска при дисперсии равен 1). Кроме того, в той же работе была рассмотрена задача на максимум математического ожидания доходности при ограничении на дисперсию, а чаще всего финансовыми аналитиками рассматривается задача минимизации дисперсии при ограничении по доходности. Решением всех этих задач является эффективный портфель.

1 Горелик В. А., Золотова Т. В. Модели оценки коллективного и системного риска. Научное издание. — М.: ВЦ РАН, 2011. — 163 с.; Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 2004. — Т. XII. — 1028 с.; Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. — М.: ФАЗИС, 1998. — 512 с.

2 Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — № 7. — Р. 77-91.

3 Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. — NY: Wiley, 1959. — 344 с.

В статьях В. А. Горелика и Т. В. Золотовой4 задача формирования портфеля рассматривалась как задача максимизации линейной свертки критериев «математическое ожидание — дисперсия». В силу свойств выпуклости она дает необходимые и достаточные условия Парето-оптимальности, т. е. любая задача, решением которой является эффективный портфель, эквивалентна данной задаче при некотором значении коэффициента риска. В работе «Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах»5 авторами предложена задача минимизации свертки типа отношения функции риска, заданной в метрике /2 (СКО), к математическому ожиданию, а также задача минимизации вероятностной функции риска (VAR). Показан способ сведения таких задач к задаче квадратичного программирования. При этом в задаче с вероятностной функцией риска предполагалось, что случайные значения доходностей финансовых инструментов нормально распределены.

В настоящей статье рассмотрены две постановки задачи формирования портфеля: задача максимизации линейной свертки критериев «математическое ожидание — дисперсия» и задача минимизации вероятностной функции риска. Показана эквивалентность этих двух методов нахождения оптимального портфеля; оптимальный выбор в задаче с вероятностной функцией риска приводит к одному из эффективных портфелей, соответствующему определенному значению коэффициента риска при дисперсии в задаче максимизации линейной свертки критериев «математическое ожидание — дисперсия». Найдена связь между параметром в вероятностной функции риска и коэффициентом риска. Рассмотрено экспоненциальное распределение случайных величин доходностей, имеющее более «тяжелые хвосты» по сравнению с нормальным распределением. Задача с вероятностной функцией риска сведена к задаче квадратичного программирования в предположении, что случайные значения доходностей финансовых инструментов имеют экспоненциальный закон распределения. Обосновано удобство использования экспоненциального закона.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ МАКСИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СВЕРТКИ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ - ДИСПЕРСИЯ» И МИНИМИЗАЦИИ VAR ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В основе рассматриваемых нами математических моделей фондового рынка лежит предположение, что теоретически существует вероятностное распределение п-мерного вектора г случайных величин доходностей г финансовых инструментов на фондовом рынке. При этом известно, что доходности представляют собой взаимосвязанные случайные величины и мерой, определяющей эту взаимосвязь, служит кова-риация доходностей. Будем считать, что фондовый рынок характеризуется вектором математических ожиданий доходностей финансовых инструментов г = (г1, ..., г, ..., гп) и ковариационной матрицей К = (ст..)пхп. Предположим, что инвесторы основывают свое поведение на этой информации.

4 Горелик В. А., Золотова Т. В. Оценка корреляции доходности инвестиционных портфелей и устойчивость фондового рынка // Государственный университет Минфина России. Финансовый журнал. — 2012. — № 3. — С. 43-52; Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии устойчивости фондового рынка, их связь с информированностью и принципами поведения инвесторов // Научно-исследовательский финансовый институт. Финансовый журнал. — 2013. — № 3. — С. 17-28; Горелик В. А., Золотова Т. В. О некоторых оценках устойчивости фондового рынка и влиянии на них информированности инвесторов// Проблемы управления. — 2013. — № 6. — С. 41-47.

5 Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. Научное издание. — М.: ВЦ РАН, 2009. — 162 с.

Рассмотрим индивидуальное поведение инвестора, управлением которого является вектор х (портфель ценных бумаг). Компоненты портфеля х. есть доли средств, вкладываемые в финансовые инструменты из конечного списка (/ = 1, ..., n). В работе У. Шарпа, Г. Александера, Дж. Бейли6 предлагалось рассматривать вероятностные функции риска для нахождения оптимального портфеля ценных бумаг. Рассмотрим одну их возможных постановок, а именно определим оптимальный портфель как решение задачи на минимум вероятности того, что случайное значение доходности портфеля меньше требуемого:

min P(rx < г), xe = 1, х > 0 (1)

где rp — требуемое значение математического ожидания доходности портфеля, e = (1, ..., 1), Р — вероятность.

Различие между инвесторами заключается в значении величины rp. Естественно предположение, что rp < m, иначе задача (1) теряет смысл. Здесь и далее мы не делаем различия в обозначении вектора-строки и вектора-столбца, считая их соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов.

В исследовании7 показано, что если {r.} — система нормально распределенных случайных величин доходностей r. с математическими ожиданиями г. и ковариационной матрицей K = (ст..)пхп, то задача (1) сводится к задаче квадратичного программирования:

minyKy, ry - r ye = 1, y > 0, (2)

y p

а в результате к системе линейных алгебраических уравнений для y > 0:

2Ky0 + 10(re - r) = 0, ry0 - rpy0e = 1. (3)

y0

При этом решения задач (1) и (2) связаны соотношением х0 = р- Если часть

компонент х0 принимает нулевое значение, то система уравнений (3) становится меньшего порядка.

Найдем решение системы уравнений (3) при невырожденной матрице K. Для

1 _

этого из первой группы уравнений (3) выразим y0: y0 = ^ 10K-1(r - re). Подставим

1 — — 1 — его в последнее уравнение системы (3): ^ 10rK-1(r - re) - ^rpX°eK~1(r - re) = 1 или

1 - - 2

210(r - re)K-1(r - re) = 1, откуда получаем l0 = —- -т. В работе8 показано,

_ _ - r"e - r"e K-1(r - re)

что VX XK-1X > 0, поэтому (r - re)K-1(r - re) > 0. Следовательно, y0 = —-)K-1(P-).

Тогда решение задачи (1) имеет вид ( p ) ( p

K-1(r - re)

" (4)

(r - rpe)K~1(r - re)

6 Шарп У., Александер Г, Бейли Дж. Инвестиции.

7 Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах.

8 Горелик В. А., Золотова Т. В. Модели оценки коллективного и системного риска. Научное издание.

Определим теперь оптимальный портфель как решение задачи на максимум линейной свертки критериев математического ожидания и дисперсии случайного значения доходности портфеля:

max [rx - a(xKx)], xe = 1, x > 0, (5)

где a > 0 — весовой коэффициент, определяющий отношение инвестора к риску (коэффициент риска). Здесь различие между инвесторами заключается в отношении к риску, выражающееся в значении коэффициента a в целевой функции.

Портфель называется полноразмерным, если у составляющего его вектора x все компоненты положительные9. Решение задачи (5) для полноразмерных портфелей приведено в другой работе авторов10:

K-1e eK-ir 1

x0(a) = K-f- + (K-1r- eK-1- K^e)^. (6)

v ' eK-1e v eK-1e 2a v '

Исследуем вопрос, в каком случае решения задач (1) и (5) совпадают. Теорема 1. Если при r, K и r удовлетворяющих условию

K-1(r - rpe) > 0, (7)

1 _

коэффициент риска a = 2 eK-1(r - re), то решения задач (1) и (5) совпадают и определяют оптимальный полноразмерный портфель (6).

Доказательство: Если компоненты вектора K-1(r - re) положительные, то их сумма

- 1 - p eK-1(r - re) тоже положительная. Значит, a = 2eK-1(r - re) > 0, и оптимальный портфель

x0 согласно (4) имеет положительные компоненты.

1 _

Подставим a = 2eK-1(r - re) в (6):

x0(a) = ^¡-т- + (K-1r - K-1e)71 = v ' eK-1e v eK-1e 2a

K-1e , ,„ ^ eK-1r Iy1 , 1 = 1 + (K 1r —■¡71rK 1e) -- =

eK-1e v eK-1e eK-1(r - re)

p

_ K-1e + (K-1r )(eK-1e) - (K-1e)(eK-1r ) _

eK-1e (eK-1e)(eK-1(r - re))

(K-1e)(eK-1(r - rpe)) + (K-1r )(eK-1e) - (K-1e)(eK-1r )

(eK-1e)(eK-1(r - rpe)) (K-1r)(eK-1e) - rp(K-1e)(eK-1e) K-1(r - rpe)

(еК-1е)(еК-1(г - гре)) еК-1(г - ге)'

1 _

Таким образом, решение задачи (5) при а = 2 еК-1(г - гре) совпало с решением задачи (1), которое определяет при данном а полноразмерный портфель. Теорема доказана.

9 Горелик В. А., Золотова Т. В. Некоторые вопросы оценки корреляции доходностей инвестиционных портфелей// Проблемы управления. — 2011. — № 3. — С. 36-42.

10 Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. Научное издание.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МАКСИМИЗАЦИИ ЛИНЕИНОИ СВЕРТКИ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ - ДИСПЕРСИЯ» И МИНИМИЗАЦИИ VAR ДЛЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Нормальный закон распределения получил широкую популярность и поэтому достаточно часто используется при моделировании случайных процессов. Это объясняется и удобством его применения при исследовании случайных процессов, и полезными свойствами нормального закона (например, устойчивостью). Однако в ряде случаев, в частности при моделировании случайных процессов в экономике и финансах, распределения случайных экономических показателей отличаются от нормального, т. е. нормальный закон не всегда наилучшим образом характеризует случайные процессы. Отклонение гипотезы «нормальности» связано с тем, что значение коэффициента вы-тянутости (эксцесса) больше у тех статистических распределений, которые соответствуют реальным данным. Известно, что коэффициент вытянутости определяется через четвертый момент. Это обстоятельство позволяет говорить о том, что такие распределения случайных величин имеют «тяжелые хвосты», т. е. соответствующая плотность распределения медленно убывает при |х| —^да по сравнению с нормальной плотностью. Отклонение от нормального (гауссова) распределения случайных величин наблюдается в финансово-экономической области и характерно, например, для обменных курсов валют, для цен и доходностей акций. Это подтверждается как видом эмпирических плотностей (гистограмм), так и стандартными статистическими приемами обнаружения отклонений от нормального распределения: квантильный метод, критерий К. Пирсона, ранговые критерии.

К распределениям с «тяжелыми правыми хвостами» обычно относят такие, для которых вероятность того, что случайная величина превосходит достаточно большое х, имеет величину порядка ха (например, распределения Стьюдента, Парето, гиперболическое11). В работе предлагается использовать двухстороннее экспоненциальное распределение, которое имеет менее «тяжелый хвост», чем названные выше, но более «тяжелый», чем у нормального закона. Это распределение, с одной стороны, обладает хорошими аналитическими свойствами, а с другой — в некоторых случаях лучше, чем нормальное, описывает финансовую статистику. Примером может служить распределение случайной величины доходности акций компании «Аэрофлот». В данной работе использовались статистические данные цен акций компании «Аэрофлот» за период с января 2013 г. по январь 2014 г.12. При этом значения доходности акций компании определялись с использованием ежедневных цен закрытия торговых сессий.

Рассмотрим гипотезы о нормальном распределении случайной величины доход-

1 (X - т)2

ности акций с плотностью Щ) = —¡=е 2°2 и об экспоненциальном распределении

ст-у 2р 1 '

с плотностью ¿(X) = 21е-1|Х - т|, где т — математическое ожидание, ст — среднеквадра-

тическое отклонение случайной величины доходности акций, 1 — параметр, равный У2/ст. В случае гипотезы о нормальном распределении этой величины критерий согласия К. Пирсона дает значение с2 = 44,336, которому соответствует вероятность Р = 0,001 того, что эта величина превзойдет данное значение с2. Это свидетельствует о том, что расхождение теоретического и статистического распределений велико и статистические данные значений доходности акций компании «Аэрофлот»

11 Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.

12 Данные котировок с Московской межбанковской валютной биржи (http://www.finam.ru/analysis/ profile00008/default.asp, дата обращения 18.01.2014).

противоречат гипотезе о нормальном их распределении. Но в случае гипотезы об экспоненциальном распределении имеем с2 = 19,901, а Р = 0,3, т. е. расхождение теоретического и статистического распределений можно считать несущественным и гипотезу об экспоненциальном распределении случайной величины доходности акций компании «Аэрофлот» — правдоподобной.

В отличие от нормального распределения экспоненциальное распределение случайной величины Y не является устойчивым13, т. е. отсутствует сходимость по экспо-

ненциальному распределению случайных величин

Y1 + ... +Y

d

+ an к Y, где {Yn}

по-

следовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, {ап} — последовательность действительных чисел, {(} — последовательность положительных чисел. Так, например, применяя для суммы двух экспоненциально распределенных случайных величин Y1 + Y2 = Z с одинаковыми математическими ожиданиями формулу для композиции двух законов распределения14, получаем закон распределе-

ния g1(Z)

V2

2 2- (12е-1^ - т| - 11е-л2|г - т|). В случае устойчивости экспоненциаль-

2(1 - V 11"

e (i2 + i2>|Z m|. Однако, как

ного распределения закон принял бы вид =

2(12 + 11)

показывают численные эксперименты, имеет место приблизительная устойчивость.

Пример 1. Пусть 11 = 0,5, 12 = 5, т = 0. Как видно на рисунке, графики g1(Z) и g2(Z) практически совпадают, особенно в «хвостовой» части. Так, для Z = 50 имеем g1(50) = 3,507х10-12 и g2(50) = 3,911х10-12.

Рисунок 1

Графики плотностей распределения g1(Z) и g2(Z)

0,30 0,25 -0,20 0,15 -0,10 0,05 0,00

-gJZ)

---g2(Z)

т—i—i—i—i—i—i—lililí—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—111II1—1—1—1—1—1—1—1—1

20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Источник: составлено авторами по данным котировок акций компании «Аэрофлот».

Рассмотрим вопрос о нахождении решения задачи (1), если случайные величины доходностей имеют экспоненциальный закон распределения.

Теорема 2. Пусть случайная величина доходности портфеля х описывается приближенно экспоненциальным распределением с математическим ожиданием гх и дисперсией хКх. Тогда в задаче (1) функция цели Р(гх < г ) достигает минимума на

p' ✓о

У0

заданном множестве X = {х|хе =1, х > 0} в точке х0 = (х£, ..., х°, ..., х°) такой, что х0 = ре а У0 = (У0, . ., Уп0) является решением задачи квадратичного программирования:

13 Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.

14 Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: КноРус, 2010. — 658 с.

тт уКу, гу - груе = 1, у > 0, (8)

Доказательство. По предположению случайная величина гх экспоненциально

г

р

распределена, т. е. Р(гх < гр) = 2х|mldí, где т = гх — математическое ожидание,

—да

X = т/2/ст, а = (хКх)1/2 — СКО случайной величины гх. Поскольку г < т, то |' - т| =

г г р

р р

,, . ,-,, _ . и Г -XI' - т| и Г X' - т) , 1 Х(( - т)|гр 1 Х(г - т)

= -(' - т) и Р(гх < гр) = 2X е dt = 2Xе dt = 2е р = 2е р , причем

—да

1(r - m) < 0. Значит, минимизация величины P(rx < rp) сводится к максимизации показателя степени (или минимизации его обратной величины). Учитывая, что l = V2/ct,

задача, эквивалентная (1), примет вид —s--> min. Возвращаясь к переменной x,

a - r

окончательно получаем p

■ (xKx)1/2 ...

mrn^—-—. (9)

x e x rx - r p

Покажем, что задача (9) сводится к задаче квадратичного программирования, а в результате — к системе линейных алгебраических уравнений. Действительно, введем обозначение z = (rx - rp)-1. Тогда задача (9) примет вид

min((zx)K(zx))1/2, r(zx) - zrp = 1, xe = 1, x > 0.

Приняв y = zx, имеем ye = z и получаем задачу (8). Пусть y0 = (y£, ..., y°) — решение У0

задачи (8), тогда x0 = ye — решение задачи (1). Теорема доказана.

Замечание 1. В случае гипотезы о нормальном распределении системы случайных величин {r.} для вычисления величины P(rx < rp) требовалось использование функции Лапласа. Удобство гипотезы об экспоненциальном распределении заключается в простой процедуре вычисления P(rx < r), не требующей использования функции Лапласа. Зная x0, можно вычислить минимальное значение вероятности того, что случайная

V2k - rx0)

1

доходность портфеля меньше требуемой: Р(гх0 < г) = 2е (х0Кх°)1/2 .

Замечание 2. Решение задачи (8) имеет вид (4). Значит, теорема 1 верна и в случае гипотезы об экспоненциальном законе распределения случайных величин доходностей в задаче (1), а именно для г, К и г, удовлетворяющих условию

- 1 - р К-1(г - г е) > 0, и коэффициента риска а = 2еК-1(г - г е) решения задач минимизации вероятностной функции риска и максимизации линейной свертки «математическое ожидание — дисперсия» совпадают и определяют оптимальный полноразмерный

+ К-1Т-еК-1е (К г еК-1е '2а'

Пример 2. Имеются три ценные бумаги, вектор ожидаемых доходностей которых

'0,1 0,05 -0,1 ^

имеет вид г = (0,15; 0,25; 0,26), а ковариационная матрица К =

K-1e PK-1? 1

портфель x0(a) = + K-1r- ^ K-1e)21-.

0,05 0,2 0,05

ч 0,1 0,05 0,3 ,

Пусть требуемое значение ожидаемой доходности портфеля составляет гр = 0,1. Тогда решение задачи (8) есть у0 = (5,589; 0,643; 3,9), а х0 = (0,552; 0,063; 0,385). При этом математическое ожидание портфеля гх0 = 0,199 строго больше гр = 0,1. Минимальное значение вероятности того, что случайная доходность портфеля меньше

V2(r - rx0)

1

требуемой, P(rx0 < r) = ^ e (x0Kx0)1/2 = 0,247. Проверим условие K-1(r - re) > 0. Действи-

— 1 — тельно, K-1(r - rpe) = (1,39; 0,16; 0,97). Значит, a = 2 eK-1(r - rpe) = 1,26 и оптимальный

<-1r - eK

K-1e , , eK-1r ,, 1

портфель х0(а) = -к-г + (К-1г - К-1е)2- = (0,552; 0,063; 0,385), являющийся ек е ек е 2—<

решением задачи (5), является решением задачи (1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами рассмотрены задачи нахождения оптимального портфеля ценных бумаг с использованием вероятностной функции риска портфеля для гипотез о нормальном и экспоненциальном законах распределения случайных величин доходностей. Найдено значение коэффициента риска в модели «математическое ожидание — дисперсия», при котором задача минимизации вероятностной функции риска эквивалентна задаче максимизации линейной свертки критериев «математическое ожидание — дисперсия» при выполнении некоторого условия, налагаемого на исходные данные моделей. Показано, что при выполнении этого условия решение задач дает полноразмерный портфель.

Таким образом, если для нахождения оптимального портфеля использовать модель с вероятностной функцией риска, то результаты проведенного исследования дают возможность решать задачу нахождения оптимального портфеля при любой из двух рассмотренных гипотез о распределении случайных величин доходностей, а также определять эквивалентное отношение инвестора к риску (коэффициент риска).

Библиография

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: КноРус, 2010. — 658 с.

2. Горелик В. А., Золотова Т. В. Модели оценки коллективного и системного риска. Научное издание. — М.: ВЦ РАН, 2011. — 163 с.

3. Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. Научное издание. — М.: ВЦ РАН, 2009. — 162 с.

4. Горелик В. А., Золотова Т. В. Некоторые вопросы оценки корреляции доходностей инвестиционных портфелей // Проблемы управления. — 2011. — № 3.

5. Горелик В. А., Золотова Т. В. Оценка корреляции доходности инвестиционных портфелей и устойчивость фондового рынка // Государственный университет Минфина России. Финансовый журнал. — 2012. — № 3.

6. Горелик В. А., Золотова Т. В. Критерии устойчивости фондового рынка, их связь с информированностью и принципами поведения инвесторов // Научно-исследовательский финансовый институт. Финансовый журнал — 2013. — № 3.

7. Горелик В. А., Золотова Т. В. О некоторых оценках устойчивости фондового рынка и влиянии на них информированности инвесторов // Проблемы управления. — 2013. — № 6.

8. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 2004. — Т. XII.

9. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. — М.: ФАЗИС, 1998. — 512 с.

10. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — № 7.

11. Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. — NY: Wiley, 1959. — 344 с.

12. Данные котировок с Московской межбанковской валютной биржи [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.finam.ru/analysis/profile00008/default.asp (дата обращения 18.01.2014).