ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИМВОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АЛГОРИТМОМ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94

ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИМВОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АЛГОРИТМОМ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Т. С. Карасева

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: tatyanakarasewa@yandex.ru

Динамические процессы, описывающие в том числе и процессы, связанные с ракетно-космической отраслью, можно представить в виде дифференциальных уравнений. Зачастую для идентификации таких процессов требуется найти решение уравнений в символьном виде. Получить такое символьное выражение возможно алгоритмом генетического программирования. Демонстрируется преимущество данного алгоритма перед другими регрессионными методами, достигаемое ввиду возможности получения заранее неизвестной истинной структуры символьного выражения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, задача Каши, алгоритм генетического программирования.

ON EFFECTIVENESS OF SYMBOLIC SOLVING OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

WITH GENETIC PROGRAMMING

T. S. Karaseva

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: tatyanakarasewa@yandex.ru

Any dynamic processes can be represented in the form of differential equations. Often, it is required to find a solution of equations in symbolic form to identify such processes. Such a symbolic expression can be obtained with algorithm of genetic programming. The advantage of this algorithm over other regression methods is demonstrated. It is achieved due to the possibility of obtaining a previously unknown true structure of a symbolic expression.

Keywords: differential equation, Cauchy problems, genetic programming algorithm.

Часто перед исследователями стоит задача идентификации динамического объекта, т. е. необходимо построить математическую модель по данным о входном и выходном воздействиях, которая отражает взаимосвязь между ними. Так, например, возможно описать динамическую систему представлением в виде дифференциального уравнения. А при идентификации линейного динамического процесса, который является стационарным, он может быть представлен как решение задачи Коши для системы уравнений [1].

Если необходимо решить задачу в символьном виде, то это возможно реализовать путем ее сведения к процедуре поиска наименьшего значения функции ошибки на множестве символьных выражений. При решении данной задачи оптимизации глобальный оптимум равен нулю и достигается на символьном выражении, точно повторяющем истинное решение задачи Коши [2].

Для решения поставленной задачи удобно использовать алгоритм генетического программирования (ГП), являющийся стохастической процедурой, имитирующей процессы эволюции [2-4].

Пусть имеется набор задач - задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений, представленные в таблице [5]. Совокупность этих задач, для решения которых использовались

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

непосредственно уравнение, интервал варьирования переменной и начальные условия, будем называть Данные 1.

Задачи Коши для ОДУ

№ Уравнение Интервал Начальные условия Точное решение

1 ху + (х + 1) у' = 0 [-2;5] у (-2) = -7,39 (х +1) е-х

2 ху' - 2у + 2х4 = 0 [-2;2 ] у (-2) = 4 -3х2+х4

3 у ' + у8тм- м = 0 соэ(х) соэ(х) [-л; л] у (-л) = -2 8Ш (х) + 2С08 ( х)

4 (2х3 + 2ху) - у ' = 0 [-2,1; 2,1] у (-2,1) = 2,82 (0,1ех2 - х2 )-1

5 (ху ' (х + 1)у )- 3х2е-х = 0 [°Л;6] у (0,1)= 9,06 (х3 + 1)е-х х

6 у" + 28т( х) = 0 [0;6] у (0) = 0 у ' (0) = 2 28т(х )

Для поиска решения данных уравнений в символьном виде в данной работе применен реализованный автором алгоритм ГП. Число запусков для каждой задачи составило 10.

Ниже представлено число символьно точных (Т), символьно условно точных (УТ) и приближенных (П) выражений среди полученных решений для каждой задачи. Задача 1: Т - 3, УТ - 6, П - 1; задача 2: УТ - 9, П - 1; задача 3: Т - 3, УТ - 7; задача 4: УТ - 6, П - 4; задача 5: Т - 1, УТ - 6, П - 3; задача 6: Т - 4, УТ - 6.

Очевидно, что для данных задач известны истинные решения. По этим решениям, представленным в столбце «Точное решение» табл. 1, сгенерированы выборки значений. По этому ряду выборок (Данные 2) с помощью алгоритма ГП также были определены символьные выражения. Аналогично проверена символьная точность полученных выражений: Задача 1: Т - 3, УТ - 5, П - 2; задача 2: УТ - 10; задача 3: Т - 4, УТ - 6; задача 4: УТ - 6, П - 4; задача 5: Т - 2, УТ - 5, П - 3; задача 6: Т - 4, УТ - 6.

Если рассмотреть подробно полученные решения на примере задачи № 1 как по Данным 1, так и по Данным 2, то можно отметить идентичность получаемых структур:

х + а а•ехр(х)'

с

— х

с_

а•ехр(х)' (х + а) • ехр ((-а) • х),

где а - элемент терминального множества, значение которого близко к единице.

Таким образом, алгоритм ГП для задач символьной регрессии позволяет получить решение, которое символьно совпадает с известным истинным. Ценность данного решения в получении верной структуры выражения. Другие регрессионные методы позволяют получить решение,

с высокой степенью аппроксимации, однако алгоритм ГП позволяет определить заранее неизвестную структуру решения.

Широкая применимость моделей в виде дифференциального уравнения, обусловленная множеством преимуществ при дальнейшем исследовании изучаемой системы, демонстрирует необходимость создания процедур поиска решений дифференциальных уравнений в символьном виде.

Библиографические ссылки

1. Рыжиков И. С., Семенкин Е. С. Об одном методе решения задачи терминального управления для нелинейных динамических систем // Решетневские чтения : материалы XV Междунар. науч. конф. (10-12 ноября 2011, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2011. С. 499-500.

2. Бураков С. В., Семенкин Е. С. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом генетического программирования // Журн. Сиб. федер. ун-та. Сер. Математика и физика. 2011. Т. 4, № 1. С. 61-69.

3. Koza J. R. Genetic Programming: On Programming Computer by Means of Natural Selection and Genetics. Cambridge, MA: The MIT Press, 1992.

4. Карасева Т. С. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений самонастраивающимся алгоритмом генетического программирования // Решетневские чтения : материалы XXI Междунар. науч. конф. (8-11 ноября 2017, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; СибГУ им. М. Ф. Решетнева. Красноярск, 2017. С. 189-190.

5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. : Интеграл-пресс, 1998. 208 с.

© Карасева Т. С., 2018