CC BY
22Математические методы моделирования, управления и анализа данных
УДК 004.942
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
САМОНАСТРАИВАЮЩИМСЯ АЛГОРИТМОМ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ*
Т. С. Карасева
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: tatyanakarasewa@yandex.ru
Исследуется эффективность алгоритма автоматизации моделирования динамики с помощью дифференциальных уравнений, имеющей большое значение при проектировании систем управления ракетно-космической техники.
Ключевые слова: самонастраивающийся алгоритм генетического программирования, задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, автоматизация решения.
SOLVING CAUCHY PROBLEM FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONSWITH SELF-CONFIGURINGGENETIC PROGRAMMING ALGORITHMS
T. S. Karaseva
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: tatyanakarasewa@yandex.ru
The paper considers the effectiveness of the algorithm for automating the modeling of dynamics using differential equations that is of great importance in developing control systems for rocket and space equipment.
Keywords: self-configuring genetic programming algorithm, Cauchy problems for ordinary differential equations, automated solving.
При исследовании динамики сложных систем, в том числе ракетно-космических, предполагается формализация путем построения математической модели, которая в данном случае обычно принимает форму обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), решение которых само по себе является сложной задачей. Автоматизация процесса решения ОДУ может существенно упростить процесс моделирования для разработчиков ракетно-космических систем.
Теория ОДУ содержит ряд подходов для решения различных видов уравнений. Но далеко не каждое уравнение можно решить, используя последовательность шагов, указанную в теоретически обоснованном методе. Кроме того, под решениями ОДУ подразумевается класс функций, удовлетворяющих заданному уравнению, а на практике требуются частные решения ОДУ, получаемые для соответствующих задач Коши, краевых задач. Соответствующий метод решения ОДУ строго формализован, математически обоснован. Однако только малая часть получаемых при решении реальных практических задач уравнений может быть решена таким методом, остальные решаются численно.
Получается, что методы решения ОДУ, обычно применяемые на практике не дают желаемого резуль-
тата - функции в символьном виде, причем единственной.
Но использование алгоритма генетического программирования (ГП) для решения ОДУ позволяет обойти недостатки традиционных методов. В данном случае задача сводится к процедуре поиска оптимального бинарного дерева, представляющего собой математическую функцию. Таким образом, результатом работы алгоритма ГП являются точные символьные решения, если таковые существуют [1; 2].
Основная проблема, ограничивающая распространение применения ГП, состоит в необходимости его тонкой настройки, что требует глубоких знаний теории эволюционных алгоритмов. Для устранения данной проблемы можно использовать самонастраивающийся алгоритм генетического программирования (СГП), который самостоятельно выбирает эффективные настройки для решаемой задачи [3].
Таким образом, в данном исследовании использовался СГП, реализующий основные операторы селекции, мутации и скрещивании, а также использовался модуль самонастройки алгоритма. Самонастройка осуществлялась на уровне популяции [4].
В данной работе используется гибридный подход, объединяющий численный метод и СГП.
* Работа выполняется в рамках НИР 2.1680.2017/ПЧ проектного задания Министерства образования и науки РФ Сибирскому государственному университету науки и технологий имени М. Ф. Решетнева.
Решетневские чтения. 2017
Задачи Коши для ОДУ
№ Уравнение Начальные условия Интервал Точное решение
1 xy - 2 y - 2 x4 = 0 y(-1) = 2 [-1;1] 2 4 x2 + x4
2 xy + (x +1) y = 0 y(0)=1 [0;3] (x+1)e-x
3 2x( x2 + y) - y' = 0 y(-1,4) = 4,139327 [-1,4;1,4] 2 о e - x2 -1
4 (x - xy) + x2 cos( x) = 0 y(0,1) = 0,05998 [0,1;6] x(0,5 + sin(x))
5 y + 2sin(x) = 0 y(0) = 0, y'(0) = 2 [0;6] 2sin(x)
На первом этапе осуществляется численное решение ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Данный метод часто применяется для решения дифференциальных уравнений из-за его высокой точности [5]. В результате решения ОДУ численным методом будет получена таблица чисел, представляющих значения искомой функции в заданных точках. Данная таблица и является входными данными для алгоритма СГП. На их основании будет найдено выражение в символьном виде. Получаемые выражения могут быть разделены на 3 класса:
- символьно точные - выражения, точно совпадающие с истинной структурой;
- символьно условно точные - выражения могут быть приведены к истинным при помощи элементарных математических преобразований и округления;
- приближенные - выражения не могут быть приведены к истинным (например, разложение в ряд) [1].
В ходе тестирования подхода были решены задачи Коши. Примеры задач, решаемых описанным способом, представлены в табл. 1.
Для каждой задачи выполнялось по 10 запусков, по результатам которых определялся усредненный номер поколения, на котором было найдено решение и принадлежность решения к виду символьно точные, символьно условно точные или приближенные.
Так для первой задачи усредненный номер поколения составил 21, а из 10 запусков алгоритм нашел по 4 символьно точных и символьно условно точных и 2 приближенных.
Для второй задачи номер поколения - 30, а в результате эксперимента было получено 4 точных и 6 условно точных решений.
Для третьей задачи получено 6 точных, 2 условно точных и 2 приближенных решения, а номер поколения составил 37.
Для четвертой задачи получено 10 условно точных решений. В результате эксперимента, проведенного по данным задачи 5, было получено 6 точных, 4 условно точных решений, а алгоритм в среднем находил решение на 23 поколении.
Таким образом, при решении задачи Коши для ОДУ самонастраивающимся алгоритмом ГП была отмечена высокая надежность получения точных решений.
Гибридный метод решения характеризуется тем, что не требует вычисления производных. Поэтому данный алгоритм предпочтителен, если определяющим фактором является время работы [1]. Однако стоит отметить, что гибридный метод имеет недостаток, заключающийся в накоплении ошибки за счет использования численного метода решения ОДУ.
Библиографические ссылки
1. Burakov S., Semenkin E. Solving Variational and Cauchy Problems with Genetic Programming Algorithms. In: Proceedings of the 5th International Conference on Bioinspired Optimization Methods and their Applications (BIOMA'2012). Bohinj, Slovenia, 2012.
2. Burakov S. V., Semenkin E. S. Solving variational and Сauchy problems with self-configuring genetic programming algorithm // International Journal of Innovative Computing and Applications. 2013. Vol. 5, № 3. Р. 152-162.
3. Semenkin E. S., Semenkina M. E. Self-configuring Genetic Algorithm with Modified Uniform Crossover Operator, Advances in Swarm Intelligence, Lecture Notes in Computer Science 7331. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012. P. 414-421.
4. Семенкин Е. С., Семенкина М. Е. Самоконфигурируемые эволюционные алгоритмы моделирования и оптимизации : монография / МДП. Магнитогорск, 2014. 310 с.
5. Tsoulos I. G., Lagaris I. E. Solving differential equations with genetic programming. Genet. Program Evolvable Mach, 7, 2006.
References
1. Burakov S., Semenkin E. Solving Variational and Cauchy Problems with Genetic Programming Algorithms. In: Proceedings of the 5th International Conference on Bioinspired Optimization Methods and their Applications (BIOMA '2012), Bohinj, Slovenia, 2012.
2. Burakov S. V., Semenkin E. S. Solving variational and Сauchy problems with self-configuring genetic programming algorithm // International Journal of Innovative Computing and Applications. 2013. Vol. 5, № 3. Р. 152-162.
3. Semenkin E. S., Semenkina M. E. Self-configuring Genetic Algorithm with Modified Uniform Crossover Operator, Advances in Swarm Intelligence. Lecture Notes in Computer Science 7331, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012. P. 414-421.
4. Semenkin E. S., Semenkina M. E., [Self-configuring evolutionary algorithms for modeling and optimization: monograph], MDP, Magnitogorsk, 310 p., 2014 (In Russ.).
5. Bukhtoyarov V. V., Semenkin E. S., Development and study of the hybrid method of genetic programming, Software products and systems. 2010. № 3. P. 34-38,
6. Tsoulos I. G., I. E. Lagaris Solving differential equations with genetic programming. Genet. Program Evolvable Mach, 7, 2006.
© Карасева Т. С., 2017
