CC BY
79
11(53) - 2011
Рынок ценных бумаг
УДК 336.76
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭНТРОПИЙНЫХ МЕР РИСКА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ*
Е. М. БРОНШТЕЙН,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики и кибернетики E-mail: bro-efim@yandex.ru
О. В. КОНДРАТЬЕВА,
соискатель кафедры вычислительной математики и кибернетики E-mail: kondr_o@mail.ru Уфимский государственный авиационный технический университет
В работе исследована эффективность применения энтропийной меры риска при формировании портфеля ценных бумаг. Экспериментально установлено значение параметра меры, при котором достигается наилучший эффект.
Ключевые слова: мера, риск, портфель ценных бумаг, энтропийная мера риска.
Введение. Внимание, которое уделяется портфельным инвестициям, вполне соответствует радикальным изменениям, произошедшим во второй половине XX столетия в экономике развитых стран. На месте отдельных изолированных региональных
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-06-00001) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации № НШ-65497.2010.9.
финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К основному набору финансовых инструментов (иностранная валюта, государственные облигации, акции и облигации корпораций) добавился постоянно расширяющийся список новых производных инструментов, таких как депозитарные расписки, фьючерсы, опционы, варранты, индексы, свопы и т. д.
Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг — одна из главных задач во время принятия решений в инвестиционной деятельности на фондовом рынке. Необходимо сформировать портфель ценных бумаг, который в течение определенного периода принесет наилучший результат. Целью работы является разработка методики формирования такого портфеля, основанного на энтропийных мерах риска.
Портфель ценных бумаг. Портфель ценных бумаг — это совокупность отдельных видов ценных
финансовая аналитика
проблемы и решения
11 (53) - 2011
Рынок ценных бумаг
бумаг, выбранных инвестором для достижения определенных целей. В зависимости от текущих и стратегических целей вкладчиков инвестиционные портфели могут быть разными по доходности и риску.
Пусть структура портфеля задана вектором X = (х1, х2... хп), где х — доля 1-й акции в портфеле
(/ = 1,п), т. е. х1 > 0, ^= 1, а п —
а п — количество ак-
ций.
Стоимость портфеля Pj (X) в момент времени у равна сумме произведения цены 1-й акции на ее
п
долю в портфеле: Ру (X) = ^ СуХ1, где с. — цена 1-й
i=1
акции в у-й день (у = 1,Т); Т — рассматриваемый временной горизонт.
Доходность портфеля ценных бумаг V. (X) производится по формуле:
V (X) =
Еп
i=1
С.-Х.
=1 V •
Р (х)
Щ.СА Р(х)
Все финансовые операции, в том числе и формирование портфеля ценных бумаг, связаны с риском. Изменчивость и непредсказуемость будущих цен акций (а значит, и портфеля) создают для портфельных вкладчиков определенный риск, которым необходимо разумно управлять.
Инвестор должен формировать портфель финансовых инструментов таким образом, чтобы защититься от различных видов риска, под которым понимается возможность неполучения ожидаемого дохода или потери (полной или частичной) средств, вложенных в данную ценную бумагу. Риск — это категория неопределенности в получении доходов вкладчиком, вызывающая у него субъективное отношение к процессу инвестирования — отношение неприятия риска. Как правило, ценные бумаги, обладающие низким показателем риска, имеют небольшую ожидаемую доходность, а ценные бумаги, которые могут дать большой доход, имеют значительные показатели риска.
Поскольку портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, вкладчик, руководствуясь наличием конкретной свободной суммы денег для инвестирования и временем для их отчуждения, а также естественным желанием больше заработать при минимальном риске их потерять, всегда будет стоять перед проблемой выбора эффективного на данный момент инвестиционного портфеля.
Фондовый портфель является оптимальным тогда, когда доходность и риск сбалансированы в
приемлемой для инвестора пропорции. Управление фондовым портфелем включает как формирование его состава, так и регулирование его содержания для достижения намеченных целей (требуемого уровня при минимуме расходов).
В процессе инвестиционной деятельности цели вкладчика могут меняться, что приводит к изменению состава портфеля. Обновление портфеля сводится к пересмотру соотношения между доходностью и риском входящих в него ценных бумаг. По результатам анализа принимается решение о продаже или покупке тех или иных ценных бумаг.
Теоретически портфель может состоять из бумаг одного вида. Его структуру можно изменить путем замещения одних бумаг другими. Цель формирования портфеля — улучшение условий инвестирования. Для этого совокупности ценных бумаг придаются такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы применительно к отдельной ценной бумаге и возможны только при комбинации.
Меры риска. Появление мер финансового риска явилось естественной попыткой оценить возможные потери портфеля финансовых инструментов при колебаниях рынка. Впервые задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была рассмотрена в работе Г. Марковица, опубликованной в 1952 г. [3, с. 77—91], где под риском понималась дисперсия доходности.
В своих теоретических исследованиях Мар-ковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону, и вкладчик, формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя — ожидаемую доходность и дисперсию как меру риска (эти два показателя полностью характеризуют нормально распределенную случайную величину). Инвестор по историческим данным должен оценить доходность, стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать тот, который обеспечивает лучшее (по мнению вкладчика) соотношение между ожидаемой доходностью и риском.
Согласно теории Г. Марковица для принятия решения о вложении средств инвестору не нужно анализировать все портфели — достаточно рассмотреть лишь так называемое эффективное множество портфелей и выбрать оптимальный.
Многочисленные исследования показали, что предположение о нормальности распределения до-ходностей ценных бумаг на практике не подтверждается. В частности, эти распределения имеют
финансовая аналитика
проблемы и решения
1=1
Рынок ценных бумаг
11(53) - 2011
«тяжелые хвосты». В настоящее время разработано множество подходов к оценке финансовых рисков, при этом какого-либо универсального подхода не существует.
Наиболее часто применяемым показателем оценивания рыночных рисков является Value-at-Risk (VaR) — критерий допустимых потерь, который был разработан в конце 1980-х гг. сотрудниками банка JP Morgan. В частности, согласно документу Basel II Банка международных расчетов (BIS) он определен в качестве стандарта для банков [4].
VaRa — это выраженная в данных денежных единицах оценка величины, которую не привысят ожидаемые в течение данного периода потери с заданной вероятностью а (квантиль распределения). В то же время VaRa имеет ряд существенных недостатков, такие как отсутствие информации о наихудшем возможном убытке за пределами значения VaRa; отсутствие информации о виде распределения убытков (риск может быть недооценен в случае, когда распределение потерь имеет «тяжелые хвосты»); VaRa не обладает свойством субаддитивности.
Аксиоматический подход к мерам риска был сформулирован в работе [1, с. 203—228] — выделен класс мер риска, названных когерентными. Они удовлетворяют следующим условиям (r — мера риска, X — случайная величина — доходность портфеля):
1) монотонность: если [ V (Xj)] < [V(X2)], то r (Xj) > r (X2);
2) если сравнить два портфеля, доходность одного из которых выше доходности другого, то риск портфеля с большей доходностью будет меньше;
3) инвариантность: для любого а > 0, r (а + X) = r (X) — а, т. е. добавление в портфель безрискового актива на сумму а уменьшает риск этого портфеля на эту величину;
4) положительная однородность: r (XX) = Xr (X) при любом X > 0. Изменение размера портфеля в X раз приводит к изменению риска этого портфеля в такое же число раз;
5) субаддитивность: r (X1 + X2) < r (Xx) + r (X2). Это означает, что риск портфеля не должен быть больше суммы рисков составляющих его элементов.
Одной из мер риска, удовлетворяющих условиям когерентности, является CVaR (Conditional Value-at-Risk) [6, с. 1—5]. CVaRo. определена как математическое ожидание доходов при условии, что доходы не превысят значение CVaRа.
СVaRa (X) = Е [V(X) | V(X) < VaRa (X)], где Е — математическое ожидание. Одним из классов мер, предложенных в последние годы, являются энтропийные меры риска [5, с. 119; 2, с. 1115—1116]. В их основе известное в теории информации понятие энтропии. Под энтропийной мерой риска ру понимают дополнительные убытки, которые несут инвесторы в силу действия различных факторов неопределенности, в первую очередь неопределенности в информации, доступной им для принятия решений. Энтропийная мера риска определяется следующим образом:
рг (X) = у 1п Е ехр ( - -Щ ^
" I У ,
где Е — математическое ожидание возможных потерь. Энтропийные меры характеризуются положительным параметром у, который отражает отношение инвестора к финансовому риску. Постановка задачи. Несколько модифицируя подход Марковица, авторы разделяют временные промежутки, на которых измеряются риск и доходность портфеля. Пусть рассматриваются длительный временной промежуток Т (доходности ценных бумаг за это время носят характер обучающей выборки) и последующий короткий временной промежуток т (доходности за этот промежуток носят характер контрольной выборки). Для различных значений у определяются портфели, для которых соответствующая энтропийная мера была минимальной на промежутке Т, затем выделяется то значение параметра у, при котором доходность построенного портфеля на промежутке т оказывается максимальной. Энтропийную меру с этим значением параметра можно рекомендовать к применению при формировании портфеля.
Таким образом, решается следующая двухэтап-ная оптимизационная задача:
XT (у) = ащтт у Т (X); у (Т, т) = а^тахК'X(у)]. Индексы Т и т характеризуют временные промежутки.
Вычисления производятся итерационно с временным лагом, равным неделе, т. е. каждую неделю принимается решение о составе портфеля, и кумулятивно высчитывается доходность нового портфеля для заданного уровня коэффициента у.
Динамическая версия представленной методики заключается в анализе кумулятивной доходности построенных портфелей на достаточно длительном временном промежутке. Предполагалось,
финансовая аналитика
проблемы и решения
7х"
9
11 (53) - 2011
Рынок ценных бумаг
Таблица 1
Активы, выбранные для включения в портфель
Таблица 2
Результаты численного эксперимента
Код в листинге РТС Эмитент Тип акции
URSI ОАО «Уралсвязьинформ» Акция обыкновенная
BISV ОАО «Башинформсвязь» Акция обыкновенная
MTSS ОАО «МТС» Акция обыкновенная
1.
что портфель еженедельно переформировывается в соответствии с обновленными наблюдениями.
Вычислительный эксперимент. В качестве источника ценовых данных был выбран рынок российских акций Фондовой биржи РТС [7]. Расчеты проводились на основе данных за период с 09.01.2009 по 28.04.2010. Брались значения котировок за 68 периодов с еженедельными интервалами.
Пусть инвестор хочет сделать вложение в портфель ценных бумаг, состоящий из обыкновенных акций таких эмитентов, как «Уралсвязьинформ», «Башинформсвязь», МТС. Далее х1 — доля ОАО «Уралсвязьинформ» в портфеле ценных бумаг, х2 — доля ОАО «Башинформсвязь», х3 — доля ОАО «МТС».
На первом этапе методом прямого перебора с шагом 0,1 генерировались портфели. Далее, используя наблюдения за акциями на временном промежутке Т, равном месяцу, анализировались структуры портфелей, минимизирующих меру риска ру (X) при различных значениях параметра 2. у. Параметр у изменялся в интервале (0—1) с шагом 0,1, а в интервале (1—10) — с шагом один.
На втором этапе вычисляется доходность выбранного портфеля. Таких опытов было произведено 68.
Результаты численного эксперимента показали, что большинство отобранных портфелей (более 72 %) является не диверсифицированным, но при каждой итерации доминирующие эмитенты различны (табл. 2).
Проведенные вычисления показали, что наилучшие результаты достигаются при значении параметра у, равном 0,8.
Заключение. В работе исследована эффективность использования энтропийных мер риска при формировании портфелей ценных бумаг. Экспериментально определено значение параметра
У Доходность с 09.01.2009 по 28.04.2010 Доля диверсифицированных портфелей, %
0,1 2,5025 22,06
0,2 2,7898 23,53
0,3 3,0919 27,94
0,4 3,1532 19,11
0,5 3,1197 19,11
0,6 3,2796 14,70
0,7 3,4449 20,59
0,8 3,4832 20,59
0,9 3,4462 16,18
1 3,4097 13,24
2 3,2012 13,24
3 3,0535 7,35
4 2,9925 1,47
5 2,9055 4,41
6 2,8195 2,94
7 2,8083 1,47
8 2,7971 1,47
9 2,7971 1,47
10 2,7859 1,47
энтропиинои меры, при котором достигаются лучшие результаты.
3.
4.
5.
6.
7.
Список литературы
Артцнер Ф., Делбаен Ф., Эбер Ж.-М., Хиф Д. Когерентные меры риска // Математические финансы. 1999. Т. 9. № 3. Жонг В. Оптимизация портфеля при управлении энтропийным риском. Редакция AMC & Шпрингер Ферлаг. 2009.
Марковиц Г. M. Выбор портфеля // Финансовый журнал. 1952. Т. 7. № 1. Международная конвергенция измерения капитала и стандартов капитала: уточненные рамочные подходы / Банк международных расчетов. 2004. URL: http://www.cbr.ru/today/pk/Basel.pdf. Прангишвили И. В. Энтропийные и другие системные закономерности: Вопросы управления сложными системами / Ин-т проблем управления РАН. М.: Наука, 2003. Урясев С. Условная величина риска: алгоритмы оптимизации и приложения // Финансовые инженерные новости. 2000. № 14. Фондовая биржа РТС: [сайт]. URL: http://www. rts.ru.
финансовая аналитика
проблемы и решения
