ОБ α-ДОСТИЖИМЫХ ОБЛАСТЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.225

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 4

ОБ а-ДОСТИЖИМЫХ ОБЛАСТЯХ*

К. Ф. Амозова, Е. Г. Ганенкова

Петрозаводский государственный университет,

Российская Федерация, Республика Карелия, 185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

Рассматривается класс A^ а-достижимых относительно нуля областей D, а € [0; 1], для

которых min ||p|| = р, р € (0;+те). Такие области удовлетворяют условию конуса, то есть

pEdD

достижимы изнутри по конусу. Найдено максимальное множество точек, относительно которых все области из AJJ будут ß-достижимыми, 0 < ß < а (задача поставлена проф. С. И. Дудовым). Доказано, что если а = 1, ß = 0, то этим множеством является шар радиуса р с центром в нуле,

. (a-ß)n

в остальных случаях получаем замкнутый шар радиуса р sin -—2 7 с центром в нуле.

Для а-достижимых относительно нуля областей D ^ R n, а € (0; 1], получена точная оценка сверху отношения max ||p||/ min ||p|| (задача поставлена проф. С. Р. Насыровым). Библиогр.

pEdD pEdD

13 назв. Ил. 2.

Ключевые слова: а-достижимая область, условие конуса.

Пусть х, у £ К", (х, у) — скалярное произведение. Обозначим В " [х, Д] и В "(х, Д) замкнутый и открытый евклидовы шары в К " с центром в точке х и радиуса Д.

Определение 1 [1]. Пусть а £ [0;1]. Область Б С К" называется а-дости-жимой относительно точки а £ Б, если для каждой точки р £ дБ существует такое число г = г(р) > 0, что конус

I I p — a \ ,, ап

К+{р, а, а,г) = < х £ В р, г : \ х — р, --- > \\х — р\\ cos —

IIP — a||Z 2

содержится в Rn\D.

В [1] было доказано, что а-достижимые области являются звездообразными и удовлетворяют условию конуса, важному для приложений, например таких, как теория интегральных представлений функции, теоремы вложения, вопросы граничного поведения функций, разрешимости задачи Дирихле (см., например, [2, гл. 1, § 8; 3-5]).

Отметим, что а-достижимые области подробно изучались в [1, 6-9].

Пусть Л^ — класс a-достижимых относительно нуля областей D, таких, что

min ||p|| = р,

pEoD

где р — фиксированное число из интервала (0;

На 17-й Международной саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (27 января — 3 февраля 2014 г.) профессором С. И. Дудовым была поставлена задача описания множества точек, относительно которых все области из Л^ будут ß-достижимыми, 0 < ß < а. Решением этой задачи является теорема 1.

Обозначим через llD множество, состоящее из тех точек области D £ Л^, относительно которых D является ß-достижимой, 0 < ß < а.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №14-01-00510) и Программы стратегического развития ПетрГУ.

Теорема 1. 1) Если a G [0; 1), в G [0; а] или а = 1, в = 0, то

П "

2) если а = 1, в = 0, то р|

оелр

Q0

= B n 0, p sin B n(0,p).

(а — в)п

Доказательство. Заметим, что классу Ар принадлежит только шар В "(0, р). Приведем доказательство этого факта методом от противного. Пусть О £ Ар. Предположим, что существуют Р1, Р2 £ дО такие, что

1М1 = 1И|. (1)

Рассмотрим сечение О1 области О плоскостью, проходящей через 0, р1 и р2. Так как а > 0, область О строго звездообразна относительно 0 (см. [1], о звездообразных областях см. также [10]), поэтому дО1 можно задать уравнением г = г(^) в полярных координатах. Пусть Р1, Р2 имеют полярные координаты (у>1,г(у>1)) и (^>2,г(^>2)) соответственно. Обозначим через М(<р) точку на дО1 с полярными координатами (<р, г(<р)). Пусть N(<^> + £) —точка на границе неограниченного конуса

К+ (М(у>), 0,1) = {ж £ В 2 : (ж - М(у>), М(<р)) > 0} С О1,

лежащая на луче с началом в нуле, проходящим через точку М(^ + £) (см. рис. 1).

N(<p+S)

К+(М(<р),0,\)

Рис. 1. Сечение Ох области О плоскостью, проходящей через 0, р 1 и р2.

Из определения a-достижимости области сечение Gi a-достижимой области G само является a-достижимой областью, поэтому граничная точка M(^ + 0) области Gi не лежит внутри конуса K+(M(<р), 0,1), тогда из прямоугольного треугольника N+ 0), M(<р), 0 имеем

+ < ?-(<р)--.

cos о

Следовательно, найдется константа C(<р), для которой

r(<^> + 0) — г(^) < г(^)

1

У cos 0

— 1 < C(^)02

при достаточно малых 0. Поскольку при а > 0 а-достижимая область ограничена (см. [1]), C = supC(<) < то. v

Пусть <2 > <i. Тогда для n G N

r(<p2) - r(ip{) = ( г + ^ • nj - г + ^ • (п - l)j j +

Переходя в этом неравенстве к пределу при n ^ то, получим, что r(<2) < г(<1) для любых <^>2 > <1. Меняя у>1 и < ролями, получим, что r(<) = const. Противоречие с (1). То есть Ap = Bn(0,p).

Если D G A^, а G [0; 1], то по свойствам унитарных преобразований U

UD G Aap.

Следовательно, р| "D — шар.

D

DeA°=

1. Пусть а G [0; 1 ),в G [0; а] или а = 1 ,в = 0.

Покажем, что B

. (а — в)п 0, psm-

С "D для любого D G A^.

В [1] было показано, что область D является а-достижимой относительно точки a G D тогда и только тогда, когда для каждой точки q G д D неограниченный конус

f _ / q — a \ ,, ап

K+{q, а, а) = < ж G К : ж — q, --- > ||ж — q|| cos

д - а||;-" 1 2

содержится в В"\В.

Пусть В £ А£. Зафиксируем р £ дВ. Тогда К+(р, 0, а) С В"\В. Покажем, что для всех точек а, принадлежащих пересечению области В с конусом

К-{р,0,а-р) = (х е Г : (ж-р, > Цж-рЦсоз ^ ~ ^

||p||y-" 2

справедливо включение K+(p, a, в) С K+(p, 0, а). Фиксируем a G K_(p, 0, а — в) П D, тогда

—^и и (а — в)п

a~P,MJ Ha_:pllcos-2-'

что равносильно

arccos ( 77^--1 77~~Т7 ) < "-. (2)

lib-«n чьи у - 2 w

Пусть x G K+(p, a, в), x = p, то есть

x-p p-a \ <тф ^

|x — p||' ||p — a||7 " 2 •

Из (2), (3) и сферического неравенства треугольника следует

( x — p p \ ( x — p p — a \ f p — a

arccos Ira' Ш) -arccos ira' raJ+arccos Ira' ihí 1 -

nß (a — ß)n na 2 ~ ~~2'

Значит x G K+(p, 0, a). Следовательно, K+(p, a, ß) С K+(p, 0, a ) С Rn\D. Таким образом, множество точек a G D, для которых K+(p,a, ß) С Rn\D, содержит множество K—(p, 0, a — ß) П D.

Радиус R(p) шара с центром в точке 0, вписанного в K—(p, 0, a — ß), равен

R(p) = M8ini°-J)l.

Обозначим

(a — ß)n

R = min R(p) = p sin---.

p G д D 2

Тогда шар Bn[0, R] содержится в K—(p, 0, a — ß) П D для любого p G dD. Следовательно, B n[0, R] С üß для любого D G .

Покажем, что в последнем включении константу R увеличить нельзя. Для этого в классе достаточно найти область Do такую, что B n[0, R] С üßo, но для любого £ > 0 °

B n [0, R + £] £ nß°.

а) Пусть a G (0; 1), ß G [0; a]. Сначала рассмотрим случай n = 2. Рассмотрим область Va С C , ограниченную дугами логарифмических спиралей

, п*-

{и - ср) tg ((1 -

Ya(f) = Р ег1р e V 2/ и Ya (ф), 0 < ф < п.

В [11] было показано, что эта область является (1 — а)-звездообразной, что влечет ее а-достижимость относительно нуля (см. [12, теорема 3] и [13, теорема 4]). При этом

(тг — (f) tg ((1 — a)—J min ||w|| = min ре V 2/ = р.

pesva 0<v<n

Этот минимум достигается в точке M = —р £ dVa.

Так как Va а-достижима относительно нуля, K+(M, 0, а) П Va = 0. Покажем, что для любого е > 0 конус K+(M, 0,а + е) пересекает Va. Для этого найдем тангенс угла в наклона касательной к Ya(y) в точке M. Так как

в = arg^ (^)}

. (1 — a)n

arg|/9(ktg-2--%

получаем

—1 ( an\

tg0=tg((l-a)f)=tg(7r-T)

ап

Поэтому в = —— и К+(М, 0, а + е) П Уа ф 0 для любого е > 0. Более того, для любого £ > 0 оба луча, составляющих границу конуса К+(М, 0, а + е), пересекают Уа.

Перейдем от плоского случая к К". Пусть Уа лежит в плоскости П = {ж = (жьж2,0, ...,0) € К™},

п-2

точка М = —р лежит на оси Ож1 и Уа симметрична относительно оси Ож1. Обозначим До множество, полученное «вращением» Уа вокруг оси Ож1, то есть,

До = У и(Уа),

и еиг

где и —все унитарные преобразования, сохраняющие неподвижной ось Ож1. Докажем, что До — а-достижимая относительно нуля область. Пусть р € дДо. Покажем, что

К+(р, 0, а) С К"\До. (4)

Из определения области До и сохранения скалярного произведения при унитарных преобразованиях следует, что (4) достаточно проверить для точек р, принадлежащих полуплоскости П+ = {ж = (ж1,ж2,0,..., 0) : Ж2 > 0}. Обозначим

п-2

Р = (Р1,Р2, 0,..., 0). Так как р € и Уа а-достижима относительно нуля, плос-

п—2

кий конус

К+ (р, 0, а) = К+ (р, 0, а) П П

содержится в П\Уа.

Если I —кривая в полуплоскости П+, описываемая уравнением ^(ж1,ж2) = 0, то уравнение множества, полученного «вращением» I вокруг оси Ож1 имеет вид

^(жь л/х22 + ■ ■ ■ + ж„2) = 0.

Рассмотрим множество К, полученное «вращением» конуса К+ (р, 0, а) вокруг оси Ож1. Так как (р, 0, а) описывается уравнением

(Ж1 - pi)pi + (ж2 - Р2)Р2 - л/ (Ж1 -Pi)2 + (ж2 -P2)2Vpi2 +i>22cos — = 0, все точки x = (xi,..., xn) G dK будут удовлетворять условию

А = (xi — + (л/х22 Н-----|-Ж„2 ~Р2)Р2~

- у (Ж1 -pi)2 + (л/х22 +----|-Ж„2 -р2)2\/р\2 +P22COS— = 0.

Отсюда и из определения конуса K+(p, 0, а) следует, что множеству K принадлежат все точки x = (xi,..., xn) G Rn, для которых A > 0. По определению Do и K множество K содержится в Rn\Do, так как плоская область Va а-достижима относительно нуля.

Покажем, что K+(p, 0, а) С K. Пусть x = (xi,..., xn) G K+(p, 0, а), то есть

ап

(х-р,р) > \\х-р\\ ■ ||р|| COS—,

что равносильно

B = (xi — pi)pi + (X2 — P2)P2 —

- л/(х1 ~Pl)2 + (x2 -pi)2 +X32 +----hinvft2 + P22cos — > 0. (5)

Следовательно,

А = (xi -pi)pi + (Vx22 H-----hin2 -P2)P2-

- у (xi -_Pl)2 + Ж22 +----h Ж„2 +i»2 - 2^2 \/x22 H-----h Ж„2 X

x +P22 • cos — > (xi — Pl)_Pl + (ж2 -P2)P2-- у (ж1 -_pi)2 +Ж32 Н-----hin2 + (ж22 - 2p2\Jx,22 Л-----V Xn2 +P22)

x Vpi2 +P22COS— > (Ж1 — Pl)_Pl + (ж2 -P2)P2-

по условию (5). Получили, что x £ K. Значит,

- V(xi -P1)2 + хз2 H-----Ь xn2 + (x2 -p2)2\/p\2 +P22cos ^ = В > 0

K+(p, 0, а) С K С Rn\D0.

Следовательно, Do — а-достижимая относительно нуля область.

Заметим, что nun ||р|| = р и он достигается в точке р* = {—р, 0,..., 0). Значит,

n— 1

Do £ Ла.

Покажем, что B'

. (а — ß)n 0, psin---

максимальный шар, содержащийся в lD .

Рассмотрим сечение области Бо плоскостью П — плоскую область Уа. Пусть М = = (—р, 0,..., 0) £ дУа, 3 £ (0,1 - а + в) и

B •

' . (a-ß + Sy 0, р sin-

= B'

п . {a-ß + S)* 0, р sin-

пп.

Пусть а* £ дB:

' . {а-ß + S)n 0, р sin-

П K—(p*, 0,а — ß + £) П П+ (см. рис.2).

Покажем, что а* £ l . По определению а* Arg(a* — M) — Arg( —M) =

(а - ß + S)7r 2 '

(6)

Здесь и далее значения аргументов будем выбирать так, чтобы их разность принадлежала полуинтервалу (—п; п].

Покажем, что К+(р*, а*, в) П Б0 = 0. Пусть

К+ (М, а*, в) = К+(р*, а*, в) П П.

Обозначим через I луч, состоящий из точек т £ дК+ (М, а*, в), т = М, таких, что

Arg(w — M) — Arg(M — а*) =

ßn

Тогда отсюда и из (6) для любого w € l

Arg(w - M) - ArgM = (Arg(w - M) - Arg(M - a*)) + (Arg(M - a*) - ArgM) =

ßn (a - ß + S)n (a + S)n

- — + 2 ~ 2 '

Следовательно, l — один из лучей, составляющих границу конуса K+ (M, 0, a + S). Как показано в п. 1,а, для любого S > 0

i n va = 0.

Значит, K+ (M, a*,ß) П Va = 0. Тогда и K+(p*,a*,ß) ПD0 = 0. В силу произвольности (5 > 0 получаем, что В" [0, psin ((а —/З)^)] —максимальный шар, содержащийся в

üßD .

Do

б) Пусть a = 0. Возьмем D0 = Rn\lp € где lp = {(pt, 0,..., 0), t € [1; то)}.

Множеству ^Dq принадлежат все точки a € Do, для которых для любого p = (рт, 0,..., 0), т € [1; то), луч K+(p, a, 0) = {p + (p - а)т, т > 0} содержится в lp. Следовательно, ^D0 = {(pk, 0,..., 0),k< 1} . Поэтому B n [0, e] ^ üD0 для любого e > 0. Таким образом р| OPD = {0}.

DeAp

в) Пусть a = 1, ß = 0. Повторяя рассуждения пункта п. 1,а доказательства с заменой Do на B n(0, p), получим

„,n ., = B

B n(0,p)

/ n

0, psin ^(1 — ß) —

2. Пусть а = 1, в = 0. Так как Ар = {В "(0,р)} и шар В "(0, р) является звездообразной (то есть 0-достижимой) областью (см., например, [7]) относительно любого а е В "(0,р),

^B n(o,p) = B n(0,p). □

На международной конференции «Комплексный анализ и теория приближений», посвященной 80-летию профессора Е. П. Долженко (29-30 сентября 2014 г.), профессор С. Р. Насыров предложил оценить сверху отношение Rd/td, где Rd = max ||p||,

pEdD

td = min ||p||, для а-достижимых относительно нуля областей D, D = Rn, а € (0; 1].

pEdD

В [1] было показано, что для указанных a € (0; 1] а-достижимая область D, D = R n, ограничена, поэтому max ||p|| существует. Эту оценку дает теорема 2.

pEdD

Замечание. В случае а = 0 существуют области D = Rn, для которых sup ||p||/ min ||p|| = то. Примером является область D0 из пункта п. 1,б доказа-

pEdD PEdD

тельства теоремы 1.

Теорема 2. Пусть D — а-достижимая относительно нуля область, а € (0; 1], D = Rn. Обозначим RD = max ||p||, td = min ||p||, тогда справедливо точное нера-

pEdD pEdD

венство

Ä£ </<*((!-«)£). (7)

td

Доказательство. В случае а = 1 D — шар и (7) является очевидным равенством.

Пусть а € (0; 1). Предположим, что найдется такая а-достижимая относительно

Ra Trtg ((1 - а)-)

нуля область G, G ^ (R™, для которой - > е V 2/. Пусть pi,p2 G dG

tg

такие, что ||pi|| = Rg и ||p21 = tg. Через точки pi, 0,p2 проведем плоскость P. Тогда

G* = G П P — плоская а-достижимая относительно нуля область и

-«)£). (8)

tg*

В [12, 13] Я. Станкевич рассматривал класс Si_a, состоящий из (1 — а)-звездообразных, 0 < а < 1, аналитических в единичном круге Д = {z € C : |z| < 1} функций вида f(z) = z + a2z2 + ..., удовлетворяющих условию

arg ■

zf'(z) ^ (1 — а)п

f(z)

< ---, для любого z G Д.

В [12, теорема 3] и [13, теорема 3] было показано, что если f е S1-a, то f(Д) — а-достижимая относительно нуля область. С другой стороны, если область D* а-достижима относительно нуля и аналитическая в Д функция g(z) = aiz + a2z2 +... однолистно отображает Д на D*, то f (z) = g(z)/a1 е S1-a (см. [13, теорема 4]). Таким образом, каждая а-достижимая плоская область, 0 < а < 1, может быть представлена в виде const•f (Д), где f — некоторая функция из Si_a.

В [13, теорема 7] доказано, что для f е S1-a, 0 < а < 1, область f (Д) содержит круг B 2(0, ra), где

и /(А) содержится в круге В 2 ^0, га ехр tg ^(1 — }) • Следовательно, для любой плоской а-достижимой области В, а € (0; 1), имеем

Rd, raexp{^tg((l-a)|)} г (1 — а)г ,

< -L-V-L.LL = еХр < 7г tg о ; . (9)

тв*

Неравенство (8) противоречит (9). Следовательно, для любой а-достижимой относительно нуля области D, а G (0; 1], выполняется неравенство (7).

Покажем, что неравенство (7) точное. Рассмотрим а-достижимую область Do из п. 1,a доказательства теоремы 1. Для нее

7i tg f(l - а)-)

Rd0 = max ||p|| = max |y„(y>)| = pe V 2У

0 pedDo ve[0;n]

rDo

□

Авторы благодарят П. А. Бородина, О. Н. Косухина и Н. А. Широкова за участие в обсуждении статьи.

и

Литература

1. Liczberski P., Starkov V. V. Domains in Rn with conical accessible boundary //J. Math. Anal. Appl. 2013. Vol. 408, N2. P. 547-560. DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.06.029.

2. Бесов O. В., Ильин В. П., Никольский С. M. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

3. Долженко Е. П. Граничные свойства произвольных функций // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1967. Т. 31. С. 3-14. DOI: 10.1070/IM1967v001n01ABEH000543.

4. Adams R.A., Fournier J. Cone conditions and properties of Sobolev spaces //J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol. 61. P. 713-734. DOI: 10.1016/0022-247X(77)90173-1.

5. Zaremba S. Sur le principe de Direchlet // Acta Math. 1911. Vol. 34. P. 293-316. DOI: 10.1007/BF02393130.

6. Амозова К. Ф., Старков В. В. а-достижимые области, негладкий случай // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. Вып. 3. С. 3-8.

7. Амозова К. Ф. Достаточные условия а-достижимости области в негладком случае // Проблемы анализа. Изд. ПетрГУ. 2013. Т. 2(20), №1, С. 3-11. DOI: 10.15393/j3.art.2013.2321.

8. Anikiev A.N. Plane domains with special cone condition // Probl. Anal. Issues Anal. 2014. Vol.3(21), N2. P. 16-31. DOI: 10.15393/j3.art.2014.2609.

9. Amozova K.F., Ganenkova E. G. About planar (a, e)-accessible domains // Probl. Anal. Issues Anal. 2014. Vol.3(21), N2. P. 3-15. DOI: 10.15393/j3.art.2014.2689.

10. Старков В. В. Условия звездообразности областей в Rn // Труды ПетрГУ. Сер. матем. 2011. Вып. 18. С. 70-82.

11. Sugawa T. A self-duality of strong starlikeness // Kodai Math. J. 2005. Vol. 28. P. 382-389. DOI: 10.2996%2Fkmj%2F1123767018.

12. Stankiewicz J. Quelques problemes extremaux dans les classes a-angulairement etoilees // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1966. Vol. 20. P. 59-75.

13. Stankiewicz J. Some remarks concerning starlike functions // Bulletin de l'academie Polonaise des sciences. Serie des sciences math., astr. et phys. 1970. Vol. 18, N3. P. 143-146.

Статья поступила в редакцию 26 марта 2015 г.

Сведения об авторах

Амозова Кира Федоровна — преподаватель; amokira@rambler.ru

Ганенкова Екатерина, Геннадьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; g_ek@inbox.ru

ABOUT a-ACCESSIBLE DOMAINS

Kira F. Amozova, Ekaterina G. Ganenkova

Petrozavodsk State University, pr. Lenina, 33, Petrozavodsk, 185910, Republic of Karelia, Russian Federation; amokira@rambler.ru, g_ek@inbox.ru

The article is devoted to the class A? of a-accessible with respect to the origin domains D С Rn, a € [0; 1],

possessing the property p = min ||p||, where p € (0;is a fixed number. Such domains satisfy the

pEdD

so-called „cone condition", i. e. domains are conically accessible from the interior. We find the maximal set of points a such that all domains D € A^ are в-accessible with respect to a, 0 < в < a. This problem was posed by Professor S. I. Dudov. This set is proved to be the open ball of center 0 and radius p if a = 1, /3 = 0, or the closed ball of center 0 and radius psin otherwise.

In the paper we also give the answer to the question of Professor S. R. Nasyrov. For a-accessible with

respect to the origin domains D ^ Rn, a € (0; 1], we obtain the sharp upper bound for max ||p||/ min ||p||.

pEdD pEdD

Refs 13. Figs 2.

Keywords: a-accessible domain, cone condition.

References

1. Liczberski P., Starkov V. V., "Domains in Rn with conical accessible boundary", J. Math. Anal. Appl. 408(2), 547-560 (2013). DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.06.029.

2. Besov O. V., Il'in V. P., Nikolskii S. M., Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems (John Wiley & Sons, New York, 1978, 1979, 1, 2).

3. DolZenko E. P., "Boundary properties of arbitrary functions", Math. USSR Izv. 1(1), 1-12 (1967) [in Russian]. DOI: 10.1070/IM1967v001n01ABEH000543.

4. Adams R. A., Fournier J., "Cone conditions and properties of Sobolev spaces", J. Math. Anal. Appl. 61, 713-734 (1977). DOI: 10.1016/0022-247X(77)90173-1.

5. Zaremba S., "Sur le principe de Direchlet", Acta Math. 34, 293-316 (1911). DOI: 10.1007/BF02393130.

6. Amozova K. F., Starkov V. V., "a-accessible domains, a nonsmooth case (a-dostizhimye oblasti, negladkij sluchaj)", Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform. 13(3), 3-8 (2013). [in Russian].

7. Amozova K. F., "Sufficient conditions of «-accessibility of domain in nonsmooth case", Probl. Anal. Issues Anal. 2 (20)(1), 3-13 (2013) [in Russian]. DOI: 10.15393/j3.art.2013.2321.

8. Anikiev A. N., "Plane domains with special cone condition", Probl. Anal. Issues Anal. 3(21)(2), 16-31 (2014). DOI: 10.15393/j3.art.2014.2609.

9. Amozova K. F., Ganenkova E. G., "About planar (a, ,3)-accessible domains", Probl. Anal. Issues Anal. 3(21)(2), 3-15 (2014). DOI: 10.15393/j3.art.2014.2689.

10. Starkov V. V., "Starlikeness criteria for domains of Rn", Tr. Petrozavodsk. Gos. Univ. Ser. Mat. 18, 70-82 (2011) [in Russian].

11. Sugawa T., "A self-duality of strong starlikeness", Kodai Math. J. 28, 382-389 (2005). DOI: 10.2996%2Fkmj%2F1123767018.

12. Stankiewicz J., "Quelques problemes extremaux dans les classes a-angulairement etoilees", Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska 20, 59-75 (1966).

13. Stankiewicz J., "Some remarks concerning starlike functions", Bulletin de l'academie Polonaise des sciences. Série des sciences math., astr. et phys. 18(3), 143-146 (1970).