МАТЕМАТИКА
СЕКЦИЯ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ»
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАЙТХИЛЛА ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
Нарматова Махабат Жунусовна
канд. физ-мат. наук,
Кыргызко-Российский Славянский Университет им. Б. Ельцина,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: mashabat71@mail.ru
Темиров Бекжан Кайыпбекович
д-р физ-мат. наук,
Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: bekjant@mail.ru
ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF A SINGULARLY PERTURBED EQUATION TYPE LIGHTHILL FIRST ORDER WITH AN IRREGULAR SINGULAR POINT
Makhabat Narmatova
candidate of Physics and Mathematics. Sciences, Kyrgyz-Russian Slavic University them. B. Yeltsin,
Kyrgyzstan, Bishkek
Bekzhan Temirov
doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
В статье методом сращивания строится главная асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения типа Лайтхилла первого порядка с иррегулярной особой точкой.
ABSTRACT
In the article the method of matching asymptotic solution is constructed main singularly perturbed type Lighthill first order with an irregular singular point.
Ключевые слова: сингулярно-возмущенное уравнение; асимптотика решения; иррегулярная особая точка.
Keywords: singularly perturbed equation; asymptotic behavior of solutions; irregular singular point.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим задачу Коши для сингулярно- возмущенного уравнения типа Лайтхилла вида:
(х2 + еу(х)) ^ = ц(х)у(х) + г(х), (1)
Жу(1) = У0, (2)
где: 0 < е << 1- малый параметр, у0- заданная постоянная,
х 6 [0; 1] -независимая переменная, у(х) - неизвестная функция, ц(х),г(х) 6 См[0; 1]
Определение 1. Если ^(0) = Ф 0, то для невозмущенного уравнения (1) (£ = 0)
¿Уо(х) := х2^-д(х)Уо(х) = г(х),Уо(1) = у(0)(3)
Точка х = 0 является иррегулярной особой точкой. Далее будем предполагать, что
<7'(0) = <7"(0) = 0 (4)
т. е. ц(х)- представляется в виде:
ц(х) = -1+х2Ч1(х), (5)
ц1(х) е См[0;1],^1(0) = Ц1Ф0
Тогда решение задачи (3) представляется в виде:
у0(х) = ех-1Р(х)[у(0) + I* 5-2е-5-1р-1(5)г(5)йз], (6)
где: Р(х) = е-1ехрЦ*q1(s)ds} е См[0; 1].
Выражение (6) можно представить в виде:
Уо(х) = ш(х)ее-1 + д(х), (7)
где: ш(х) = Р(х)а0,а0 = и0 + Б-2е-5 1р-1(з)г(з)й5,
Q(x) = ех-1Р(х)1*5-2е-5-1р-1(з)г(5)й5 е Сю[0;1]. Далее, пусть а0 Ф 0.
Отметим, что к задаче типа (1) сводятся многие задачи физики и техники, в частности, задача о построении периодического решения релаксационных колебаний нелинейной механики [3] в окрестности точки срыва. Кэррэр [5] изложил общую идею исследования таких задач методом малого параметра и метода Лайтхилла на конкретных примерах.
2. Построение внешнего решения.
Определение 2. Переменная х называется внешней переменной задачи (1), а решение, зависящее от нее внешним решением. Внешнее решение ищется в виде:
У(х) = Уо(х) + еуЛ*) + £2У2&) + ■ + £пУп(*) + ■ , (8)
где: ик(х), (к = 1,2, ■■■) - пока неопределённые функции.
Подставляя (8) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, для неизвестных функций ик(х) имеем уравнения:
1У1 (х) = -УоУО (х) = А (Уо), У1 (1) = 0 (9.1)
Ьу2(х) = -УоУ'(х) - уЛх)у0(х) = /2(Уо,Уг),У2(1) = 0(9.2) ^Уп(х) = -!,1+]=п-1У1(х)у^(х) = Уп(Уо,У1,- ,Уп-1),Уп(1) = 0(9.п)
Эти задачи имеют единственные решения и определяются последовательно следующими формулами:
ук(х) = еж-1Р(х)/1же-х-1р-1 ^^ЖаО.к)
При к = 1 получим
у1(х) = —еж 1Р(х)/1Же-г; 1р-1(5)5-2и0(5)и0(5)Й5
Отсюда, с учетом (7) имеем
у1(х)--^2х-2е2ж 1,х ^ 0 (111)
Подставляя это выражение в (10.2) и решая его получим
у2(х)~42х-4е3ж-1,х ^ 0 (11.2)
где: 0 < 42 - некоторая постоянная.
Далее, методом полной математической индукции доказывается,
что
уп(х)~(—1)п4пх-2пе(и+1)ж-1,(п = 0,1,2,...) (11.nl
где: 40 = ш0,41 = 4й+1 > 0 (Ук = 1,2,...) - постоянные. Поэтому главную асимптотику внешнего решения (8) можно представить в виде:
у(х)~<^0еж 1 — 41ех-2е2ж 1 + 42(ех-3еж 2) еж 2 + — + (—1)п4п(ех-2еж-1)пеж-1 + — = = еж-2 [^0 — 41ех-2е-1 + 42(ех-2еж-1)2 + — + (—1)п4п(ех-2еж-1)п
х ^ 0 (12)
Из этой формулы следует, что внешнее решение сохраняет асимптотический характер на отрезке (х0(е), 1], где х0 = х0(е) -решение уравнения
ех-2еж-1 = 1 (13)
Решая это уравнение получим:
^~(1п|)-1/2 (1+|^1п(1п!)1/2),^ = (1п|)-1 (13*)
Таким образом, доказано.
Теорема 1. Пусть 1) г(х), ^(х) = —1 — х2д1(х),д1(х) 6 Сет[0Д]; 2) > 0
Тогда внешнее решение задачи (1) - (2) представимо в виде (8) и оно является асимптотическим рядом на отрезке [х0,1], где х0 = х0(е)-определяется из (13).
3. Внутренне-внутреннее решение.
Теперь в (1) сделаем следующее промежуточное преобразование:
х = + е2а^у(х) = £-М0, (14)
где: у = 1 — 3а, 0 < а < 1. После подстановки (14) в (1) получим уравнение:
(1 + 3Л + 3е2а£2 + е3а£:3 + и(0)и'(0 + + е2а0и(0 =
е7г(еа + +е2а0 (15)
Решение этого уравнения можно искать по степеням , тогда невозмущенное уравнение имеет вид:
(1+ио(0>0(0 = -1ио(0
Общее решение этого уравнения представляется в виде:
и0(0 +1п|и0(01 = -и + с, (16)
где: с - постоянная интегрирования.
Экспоненциальное решение этого уравнения имеет асимптотику:
ио(0~е-"+е, (16*)
Это решение должно сращиваться с главной асимптотикой
1 1 внешнего решения, т. е. = £-ге-"+с ^^её®-" = £-ге-"+с
— 2
^0 = ес,е-7 = е£ , (17)
Из первого выражения (16) следует, что если > 0, тогда с = 1п Если ш0 < 0, то сращивания невозможно.
Очевидно, что второе условие (17) эквивалентно условию (13).
Из (16) и (16*) имеем:
и0(С)~ш1е-*,С ^ (18.1)
и0({)~-2Ь,Ь ^(18.2)
Теперь, чтобы получить решение задачи (1) - (2) в точке х = 0, мы введем внутреннюю переменную т, которая изменяется около нуля, через замену переменных:
х = ехт, у(х) = е^г(т), (р<0<\), (19)
Тогда уравнение (1) имеет вид:
(езХг3 + е1+^г(т)) = ц{£кт)£^г(т) + г(ехт) или
(е2Хт3 + е1+^-хг(т)) г'(т) = ц{£хт)г(т) + £-^г{ехт)
Теперь ^ выберем из условия ^ = X — 1 < 0
Тогда предыдущее уравнение примет вид:
(е2Хт3 + г(т))г'(т) = ц(£Хт)г(т) + ^1-Хг(еХт) (20)
невозмущенное (е = 0) уравнение (19) имеет вид: го(т)г0(т) + 1го(т) = 0
Отсюда получим г0(т) = й0 — 2т (21) где: й0- постоянная сращивания. Сращивая (21) с (18.2) с учетом (19) имеем:
е^(й0 — 2т) = е^(й0 — 1е-Хх)
2Ье3
о
е^,- — 1е^-Хх~1е
1(£-1а — е-2ах)
£
Х-1И -
= 1£а
Х= а, d0 = 1
Следовательно, у0(х)~£а-1г0(т) = £а-1(1 — х£-а),х ^ 0 Следовательно, у(0)~1£а-1, £ ^ 0. Таким образом, доказано. Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда решение задачи (1) - (2) существует на отрезке [0,1] и у(0)~1£а-1, £ ^ 0.
Список литературы:
1. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. -М.: Наука.1989. - 334 с.
2. Мищенко Е.Ф., Розов И.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975. - 248 с.
3. Нарматова М.Ж. Об асимптотике решения сингулярно-возмущенного уравнения типа Лайтхилла первого порядка с иррегулярной особой точкой. Современное общество, образование и наука: сб. науч. тр. по мат-лам Междунар. науч.-практ. конф. 31 марта 2015 г.: Часть 1. Тамбов, 2015, С. 106-110.
4. Коул Дж. Методы возмущений в механике и жидкости. - М.: Мир. 1972. -76 с.
5. Carrier G.F. Boundary layes problems in applied mathematics // Comm. Appl.Math. 1954. - V. 7 - P. 11-17.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУХСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: tuganbaev.mm@mail.ru
INVERSE PROBLEM FOR TWO-SPEED EQUATION WITH A SMALL PERTURBATION OF THE COLLISION INTEGRAL
Marat Tuganbaev
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J.Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek