Об асимптотическом поведении вероятностей умеренных уклонений комбинаторных сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 4

МБС 60F05

Об асимптотическом поведении вероятностей умеренных уклонений комбинаторных сумм*

А. Н. Фролов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении вероятностей умеренных уклонений комбинаторных сумм // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4. С. 762-774. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.412

Исследовано асимптотическое поведение вероятностей умеренных уклонений комбинаторных сумм независимых случайных величин, имеющих моменты порядка р > 2. Найдены зоны, в которых эти вероятности эквивалентны хвосту стандартного нормального закона. Ширина зоны выражается в терминах логарифма комбинаторного варианта дроби Ляпунова. Ранее аналогичные результаты были получены автором при выполнении условий Бернштейна и Линника. Для доказательства новых результатов использован метод усечений

Ключевые слова: вероятности больших уклонений, вероятности умеренных уклонений, комбинаторная центральная предельная теорема, комбинаторная сумма.

1. Введение и результаты. Пусть {(Хпц), 1 ^ г,] ^ п,п = 2, 3,...} — последовательность матриц независимых случайных величин с конечными моментами порядка р > 2. Пусть {пп = (пп(1),пп(2),...,пп(п)), п = 2, 3,...} — последовательность случайных перестановок чисел 1, 2,...,п. Предположим, что Пп имеет равномерное распределение на множестве всех перестановок 1,2,...,п и не зависит от (Хпц) для любого п. Положим

п

^ =£ Х^пМ.

г=1

Сумма Бп называется комбинаторной суммой.

Исследование асимптотического поведения распределений нормализованных комбинаторных сумм ведется давно и представляет существенный интерес. В частности, для вырожденных Х-ов комбинаторные суммы представляют собой ранговые статистики, наиболее известным представителем которых является коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Сначала были получены различные варианты комбинаторной центральной предельной теоремы (ЦПТ), а затем различные оценки в ней (равномерные и неравномерные). Подробнее с результатами в этом направлении можно познакомиться в работах [1, 2] и литературе из этих работ. Хорошо известно, что из оценок в ЦПТ можно получать результаты об умеренных уклонениях. Это достаточно простой способ, который однако не дает оптимальных результатов.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект 23-21-00078.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

Первый результат о поведении больших уклонений комбинаторных сумм был получен автором в [1]. Там предполагалось, что Хп¿3 удовлетворяют условию Берн-штейна. Для доказательства использовался метод сопряженных распределений, применявшийся к одной нормализованной случайной величине Бп. Отметим, что в классической теории суммирования независимых случайных величин сопряженное распределение суммы совпадает с распределением суммы сопряженных величин. Такого свойства в случае комбинаторных сумм нет, что существенно затрудняет доказательство. Поэтому в [1] анализировалось поведение производящей функции моментов и ее логарифмических производных в некотором круге комплексной плоскости. Это позволило с нужной точностью оценить близоть сопряженного и нормального распределений. В работе [2] с помощью метода усечений было исследовано асимптотическое поведение больших уклонений комбинаторных сумм для Хп¿3, удовлетворяющих условию Линника. Ослабление условия Бернштейна до условия Линника, естественно, сужает зону нормальной сходимости, но и в том, и в другом случае эта зона степенная (степень дисперсии Бп). При логарифмической зоне большие уклонения принято называть умеренными. Первый результат об умеренных уклонениях комбинаторных сумм получен автором в работе [3] с использованием оценок в комбинаторной ЦПТ из [4]. В настоящей работе мы получим более общий результат с использованием метода усечений и результатов работы [1]. Мы покажем, что наши результаты оптимальны.

Если при всех п для любого г случайные величины Хпц,... ,ХПгП одинаково распределены, то Бп будет суммой независимых случайных величин, не обязательно одинаково распределенных. Поэтому для анализа качества наших результатов мы обратимся к известным результатам об умеренных уклонениях из теории суммирования. Различные результаты об асимптотическом поведении вероятностей умеренных уклонений получены Линником [5], Нагаевым [6], Рубиным и Сетураманом [7], Нагаевым [8], Амосовой [9, 12], Михелем [10], Сластниковым [11, 15], Розовским [13, 18], Рыхликом [14], Фроловым [16, 17, 19] и другими авторами.

Предположим, что

пп

^^^ЕХ^ = ^^ЕХ^з = 0 при всех 1 ^ г,] ^ п (1)

¿=1 3=1

для любого п. В этом случае

1 п 1 п

Е5П = 0, Б5П = —-— \ (ЕХп^)2 + - \ ЕХ^-.

п(п — 1) п 3

v ' ¿,3=1 ¿,3=1

Таким образом, условие (1) обеспечивает центрированность комбинаторных сумм. Если 0£п — то при п —у то, то главной частью асимптотики этой дисперсии будет нормированная сумма вторых моментов

1п

¿,3 = 1

Поэтому в дальнейшем {Вп} будет использоваться в качестве нормирующей последовательности для £п.

Положим

1 п 1 п 1 п

= Е\Хпц\Р, с„ = -щах^ЕХ^. + - тах ]Г ЕХ ^.

Пвп 1,3 = 1 3=1 3 г=1

Далее мы будем предполагать, что Вп — ж и Ьп — 0 при п — ж. Из последнего соотношения, в частности, следует, что справедлива комбинаторная ЦПТ (см., например, [4]). Дробь Ьп мы будем называть комбинаторной дробью Ляпунова.

Наш первый результат следующий.

Теорема 1. Предположим, что для некоторого р > 3 неравенства

Е\Хпз\р < СЩХпз(2)

выполняются для в = 1, 2, 3, всех 1 ^ г,] ^ п и всех п ^ 2. Пусть для всех г,] и п таких, что Р(\Хпз \ > 0) > 0, выполняются неравенства

Е\Хпз\ > сп-1/2Вп-Р)/2. (3)

Здесь с и С — абсолютные положительные постоянные. Предположим, что \п(1/Ьп) = 0(1пВп) при п — ж.

Пусть {ип} — последовательность вещественных чисел такая, что ип — ж, = ип - 21п(1/Ьп) - (р - 1)1п1п(1/Ьп) — -ж и

и^у/псп = о(Вп) (4)

при п —у ж.

Тогда выполняется соотношение

Р

( ^ ип у/К) ~ 1 - Ф(ип) при п — ж, (5)

где Ф(х) — стандартная нормальная функция распределения.

Неравенство (2) является равномерным вариантом тривиальной оценки Е\Хпз \р ^ СпзЕ\Хпз\я, а замена его неравенством с С = С(п) приведет к сужению области изменения ип. По неравенствам Ляпунова и (2) мы имеем Е\Хпз ^ ^ (Е\Хпз\р)8/р < (СЕ\Хпз. Это дает Е\Хпз\8 < . В частности, Вп <

С2/(Р-2)п и сп ^ С2/(р-2). Из условия (2) и определения Ьп следует, что Ьп ^ СВЩ %Р>//'. Кроме того, в силу неравенств Ляпунова и Гёльдера

/ \ //р

пп

пВп < ]Т (Е\Хпз\р)//р < ( Е Е\Хпз\р ) п/(р-// = ВпЬп/рп/(р-1)/р.

Значит, п(/-р)// < Ьп и (р-2) 1пп > 21п(1/Ьп) > (р-2)1пВп-21пС. Таким образом, зона нормальной сходимости в теореме 1 имеет логарифмический порядок по п.

Отметим, что правая часть в неравенстве (3) стремится к нулю. Это условие выполнено, если абсолютные моменты порядка р отделены от нуля.

Хотя сп ограничено, соотношение (4) является условием, если Вп мало по сравнению с п. Условие (4) выполнено, если Вп ^ п(1+^)// при некотором 5 > 0.

Условия (2) и (3) выполнены, например, если каждая из случайных величин ХГщ может иметь одно из к заданных распределений. Если при этом для любого п число невырожденных в нуле случайных величин в матрице с номером п больше п(з+г)/2, где § € (0,1), то выполнено и условие (4).

Перейдем к случаю р ^ 3.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме условий (2). Предположим, что для некоторого р ^ 3, всех 1 ^ г,] ^ п и всех п ^ 2 выполняются неравенства (2) для в = 1, 2 и

< СЩХП^\31{\ХП^\< /В4- (6)

Тогда выполняется соотношение (5).

Если при всех п для любого г случайные величины Хпц,... ,Хп^п одинаково распределены (при этом они автоматически будут центрированы в силу условия (1)), то Бп будет суммой независимых случайных величин, а Ьп будет обычной дробью Ляпунова. Известно (см., например, [17]), что в этом случае условие Хп = иП — 21п(1/Ьп) — (р — 1)1п1п(1/Ьп) — —ж при п — ж, определяющее ширину зоны нормальной сходимости, оптимально. Таким образом, в этой ситуации результаты теорем 1 и 2 оптимальны по ширине зоны.

В теореме 2 зона нормальной сходимости шире, чем в теореме 3 из [3], полученной с помощью оценки в комбинаторной ЦПТ из [4].

Можно отказаться от условия (2) в теоремах 1 и 2 за счет выбора другого уровня усечения в доказательстве. При этом зона нормальной сходимости сократится, а для р ^ 3 мы получим результат хуже, чем теорема 3 из [3]. Это обусловлено тем, что остаточный член в комбинаторной ЦПТ имеет порядок Ьп, а разность вероятностей умеренных уклонений комбинаторных сумм усеченных и неусеченных случайных величин — порядок иЛЬп. Поэтому случай р ^ 3 мы не рассматриваем. С другой стороны, в [3] результатов для р > 3 нет. Для этого случая мы и сформулируем следующий результат.

Теорема 3. Пусть р > 3, {ип} — последовательность вещественных чисел такая, что ип — ж Хп = ип — 21п(1/Ьп) + (р +1) 1п1п(1/Ьп) — —ж,

и\ тахЕ|Х„^| = (7)

и выполнено соотношение (4) при п — ж.

Тогда выполняется соотношение (5).

2. Доказательства. Перейдем к доказательствам наших результатов.

Доказательство теорем 1 и 2. Положим уп = ип\/В^/рп, где рп = шш{1пип, в-Хп/2р]. Ясно, что рп —у ж и рп = о(ип) при п — ж. Для всех 1 ^ г,] ^ п и п положим

ХпгЗ Хпгз1 {|Хпз | ^ уп}, Хпгз Хпгз1 {|Хпз | ^ уп}, апгз ЕХпгз ,

1 п 1 п 1 п

"п/. ^ ^ "п/;/, " п . у ^ ^ " п / ;/ - " п.. ~ ^ ^ "п/;/ - 1!п/;/ "п/. I " п.у " п.. -

3=1 г=1 1,3=1

п п 1 п

^пгз — ¡¿пЦ-! Тп ^ ^ 1 ^п ^ ^ ^гп-Кп^) ? ^ ^ ^-^пг; '

г=1 г=1 ¿,3 = 1

Заметим, что ¡пц выбрано так, чтобы выполнялось условие (1) с заменой Хпц на Упц. При этом ЕКп = 0, а Вп — главная часть .

____п _

Из соотношений {Бп > ипЛ/В^} С {Тп > ипу/Щ} и и ф и

г=1

п _

{Тп > ипл/В^} С {£„ > ипЛ/В^} и и {Хп^п{€) Ф следует, что

г=1

1 "

|Р{вп > ипу/Щ) - Р(Тп > ипу/Щ)I < - V Р(\хп^\ > уп). (8)

п

1,3=1

Покажем сначала, что выполняется соотношение

~ 1 — Ф(ип) при п ^то. (9)

Для этого нам потребуется следующий результат из работы автора [1]. Для удобства мы его формулируем в терминах случайных величин Упц.

Теорема 4. Пусть {Мп} — неубывающая последовательность положительных постоянных такая, что для в = 1, 2, 3 неравенства

|ЕУп\ц|< Вк\Мкп-*Е\Упц(10)

выполняются для всех к ^ в, всех 1 ^ г,] ^ п и всех п ^ 2, где Б — абсолютная положительная постоянная. Положим

7„ = шах \ тах -^=Е|Упу|, тах£ твх^Щ^-, ]Г ^рА \ ■ (п)

Тогда для любой последовательности вещественных чисел {ип} такой, что ип —> со, = о(у/п/'уп) и ип = о(у/Вп/Мп) при п —> со, выполняется соотношение (9).

Для проверки условий теоремы 4 нам потребуются следующие две леммы.

Лемма 1. Пусть у > е, р > 3, л € ( — 1,1), а > 0, а € (0, 1) и а ^ (р — 3)/2. Пусть X — случайная величина, XX = Х1{\Х\ < у} и У = XX — ¡л. Предположим, что Е\У\р < аЕ\У\я при в = 1, 2, 3 и \л\ < у. Тогда неравенства

\ЕУк\ < (3 + а)к!Мк-°Е\У\8

выполнены для всех к > в при в = 1, 2, 3, где М = у/(а 1пу).

Доказательство. Для всех г из круга \г\ < ау-11пу = 1/М < ае-1 и в = 1, 2, 3 мы имеем

\ЕУ8е'у \ < Е\У\3е1г11¥^

Разобьем на две части область интегрирования в последнем интеграле. Для первой части мы получим

Е\У\3е1г11¥I {\У\ < е} < е)г1вЕ\У< еаЕ\У.

Для второй части, учитывая неравенства \У| < у + |p| < 2у, мы имеем

Е|у|«еИ|11/{|у| ^ е| = Е|У|8еИ^1п|г|/{|У| > е} <

^ Е|У|8е|2|^1п|г|/{|У| > е} < Е|У|8е|2|Й 1п |Г|/{|У| > е} < < Е|У^е^1п ^ЦУ| > в} < Е|У|я+2а < Е|У^ < аЕ|У|я.

Следовательно, в круге |z| < 1/М для в = 1, 2, 3 выполняется неравенство

ЕУ'е^| < (3 + а)Е|У|я.

Используя неравенство Коши для коэффициентов разложения аналитической функции ЕУЗег¥, мы получаем требуемое. □

Отметим, что следующий результат справедлив при любом выборе уп.

Лемма 2. Если выполнено условие (1) ир > 1, то для всех г,] и п выполняются неравенства

1—р п 1—р 1-р "

^ ^ Iе1™-! ^ Е

3 = 1 ¿=1 ¿,3 = 1

Если выполнено условие (1) и р > 2, то для всех п выполняется неравенство

Вп — Вп| < у2п—рВРр/2Ьп + 14у2п—2рБРрЬ2п.

Доказательство. Принимая во внимание условие (1), для всех г мы имеем

п п п п

п^щ] = ^ ЕХпз| = ^ ЕХпз | ЩХпз и{Хпз| > уп} < у1п—РТ. ЕХпз|p.

3=1 3=1 3=1 3=1

Аналогично мы получим второе и третье неравенства.

Оценим теперь Вп — В^. Мы имеем

1 п 1 п

Вп ~ Вп = - 53 (ЕХ- ЕУП2^) = - 53 - Е(Х„^ - цп^)2) =

¿,3 = 1 ¿,3 = 1

1 п 1 п 2 п 1 п

= эт ^ ^ — = — ^ ] — — У ] + —■ ^ ] Мпгу •

IV IV IV IV

1,3=1 1,3=1 1,3=1 1,3=1 Далее,

п Л п Л п _п

- _ 1 - - . -I- _ _ «п.. _ _

/ ^ Ц"пгз®>пгз — ®"пг.®>пгз \ ^гь.з&пгз / ^ ®>пгз —

1,3 = 1 1,3=1 1,3=1 1,3 = 1

пп

53 +53 °-п.3—

¿=1 3=1

22 3 — пап..

Кроме того,

1 п 3 п п п

¿,3=1 ¿,3=1 ¿=1 3=1

Следовательно, выполняется неравенство

1

\вп - В„К - е + 5+ 5 е + 5n4„. ¿,j=1 ¿=1 j=1

Используя найденные выше оценки для ¡(¡,„¿1 и \anj |, мы получим

1 4=1 J \ ¿,j=1

и, аналогично, ^ ап 3 ^ уп 2рВп 1^.. Кроме того, мы имеем 3=1 3

п п п

е ЕХ2ц = е ЕХ^^I{\Хпу\ > уп} < у1-р е Е^\р = у2п-рпВ1р/2Ьп.

1,3 = 1 г,3=1 г,3=1

Вместе с оценкой для \ап. \ это нам дает

К - впI < + .

п

Так как п ^ 2, это влечет требуемое неравенство. □

С помощью леммы 1 покажем, что условие (10) выполнено для Уп3 с Мп = уп/(а 1п уп). Нам нужно доказать, что \лп3 \ < уп и Е\Уп3 \р < аЕ\Уп3 ^ при в = 1, 2, 3. При этом можно считать, что все Хп3 не вырождены в нуле. Для вырожденных в нуле случайных величин условие (10) очевидно выполнено. По лемме 2, определению сп и условию (2) мы имеем

у1-р \ ^

\аПг. \ < с——Ее1^'|2 ^ СспУ1гГР для всех Ь \ап.] \ < Сспу\~р для всех п 3=1

у1-р " у1-р " \ап..\ < С^- Е ЩХпц\2 < С^— тахЕЕ|Х„^|2 < Сспу1гР-

г,3=1 3 = 1

Используя условие (4), мы получим

тах\лпщ \ < 3Сспу1п-р = о(п-1/2и-2-ррр-1 В^-р)/2) =

= о(и-1-р п-1/2в£-р)/2) = о(1) (12)

при п ^ ж. Если p ^ 3, то последнее соотношение очевидно. Если p < 3, то, учитывая неравенство Bn ^ C2/(p-22)n, мы получим п-1/2вП p)2 = O(n(2-p)/2) =

о(1) при п ^ ж. Поэтому max ¡^„¿j \ ^ yn для всех достаточно больших п.

¿,j

Из условий (2), (3) и соотношения (12) вытекает, что при p > 3 для s = 1, 2, 3 и всех i и j неравенства

l^j\s < l^j\ < 0.05C-1E\X™j\p < 0.05E\X^j\s

выполнены для всех достаточно больших п. При р < 3 последние неравенства справедливы для в = 1,2, а при в = 3 из условия (6) и неравенства \/Вп < уп следует, что

13 < 0.05Е|Х^3 |3. Поэтому при р > 3 для в = 1, 2, 3 мы имеем

Е|У^3 |р < 2р—1(ЩХ^3 ^ +^¿3 |р) < 2р—1(ЩХ^3 ^ + ^ |) < 2р—1(С+0.05)Е|Х™3'|Я.

При р < 3 вместо последнего неравенства для в = 3 будет верно

Е|У^3|р <2р—1(Е|Х^3|р |р) <2р—1(ЕХ^3^ + ^|) <2р—1(С+0.05)Е|Х^3'|3.

В последнем неравенстве мы использовали условие (6) и неравенство \/Вп < уп. Так как при р > 3 для в = 1, 2, 3 справедливы неравенства

Е|Х^3 |я = Е|Х^3^ИХ^у | > уп} < уп—рЕХ^3 ^ < у3п—рСЕХш3 ^ < 0.05Е|Хп, |я,

мы имеем

ЕХш3< 3s—1(E|Уn¿j^ + ЕХ^3+ ^П < ^ + 0.9Е|Хп, |я.

Отсюда следует, что Е|Х^3 |я < 90E|Уn¿j |8 и Е^ ^ < аЕ^ ^ , где а = 2р—1(С + 0.05)90. При р < 3 приведенные оценки сохраняются для в = 1, 2. При в = 3 мы имеем

ЕХш3 ^ < 4(Е|У^313 + ^¿313) < ЩУы3 ? + 0.2E|Xn¿j |3.

Отсюда следует, что Е|Х^3 ^ < 5Е^ ^ и ^ < аЕ^ ^ , где а = 2р—1(С +

0.05)90 + 5.

По лемме 1 условие (10) выполнено для У^ с Мп = уп/а 1пуп. По лемме 2 мы имеем

Вп — В^ < и2п—рррп—2ВпЬп + 14и2п—2рр2пр—2ВпЬ2п = о(ВпЬ2п/3) при п — ж. (13)

В частности, Вп ~ Вп при п — ж.

Покажем теперь, что в условиях теорем 1 и 2 выполняются соотношения чП = о(л/п/7„) и ип = о(\/Вп/Мп) при п —>■ оо. Мы имеем

Мп_гл( ипУп \_гл( ип _

и

_ о[ ™ = о —,-^- = о -и, = о(1)

у/Вп \уВп1пу„/ +1пм„ - \прп)] \Рп1пВп;

при п —)■ оо. Для п таких, что 7„ = тах^- мы получим

ип7п < мп Е|ХПг3-| ^ и3п тах^- | = ^ о(и2~рп~1/2в(2~р)/2) = о(1)

V"- л/Вй л/Вп п п

при п — ж. Здесь мы воспользовались (12). Для п таких, что 7п совпадает со вторым или с третьим членом под максимумом в формуле (11), с учетом условия (4) и (12) выполняется соотношение

^ 2фгсп + 2и3пп(тах^>п^|)2 = ^ + о{из-2Рп-з,2В2-Р) = о(1) (14) л/п В^д/п ВпУ п

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4

при п ^ то. Для п таких, что 7п совпадает с четвертым членом в максимуме из (11), при р ^ 3, используя (12), мы имеем

UnE\Xinij \ ^^ un\^nij \

<

^ Z^ .. n3/2 + ^ Z^ ^ дЗ/2

n ^—nB3/ 2 ^—nB

i,j=1 nfln i,j=1 nBn

<

n

Л un \^nij \

4 ^ Si/n 'i^l^-mjl + 4 y-^

nßn2 i 0-1 nß3/2

1,3=1 пВп 1,3=1 пВп

= 4ипуп-Р В^- 3 )/2Ьп + о(и-3рп-1/2ВТ-р)/2-3/2) = 4и1-рГ/-рЬп + о(1) = о(1)

при п ^ то. Если р > 3, то нужно оценить снова сумму Е\Хп3\3. Воспользуемся тем, что

Е\Хп^\3 = Е\Хп^\31{\Хп^\ < у/у^} + Е\Хп^\31{\Хп^\ >

< ^EX2nij + y(i-p)/2nxnij\p s' + s'

при всех достаточно больших n. В этом случае

^äf- + <*» = °№ )+°<1> = *> (И)

i,j=1 nBn \ Bn /

при n — ТО.

Таким образом, по теореме 4 соотношение (9) выполнено. По лемме 2 мы имеем

„Д-р п

п\ап.\ < у" E\Xnij\p = yl-pBPl2Ln = и1^ р^1 ^/Кьп = o{^Kl2J3)

n ^

i,j=i

при n —у то .

Далее, мы имеем

P(Tn > Un V Bn) = Р(Д n + nein.. ^ Un /в^) = P(i4 > vny/K),

где

ип\/В^ — пап ПГ^ВП + 0{ВПЬТ)+0{ЖЬТ) уп =-т==-= -т==--«п

у/К VК

при п ^ то. В последнем равенстве мы использовали соотношение (13). Так как

vi = и2п{Вп + Р{ВпЬ2/3)) + 0(ипВпЬ2п/3) = ч1 2 2Bn 2

+ 0(1)

при п ^ то, мы заключаем, что 1 — Ф(гп) ~ 1 — Ф(ип) при п ^ то. Учитывая, что соотношение (9) выполнено также с заменой ип на уп, мы получим

Р(Т„ > ипл/К) = Р(Дп > Vny/K) ~ 1 - Ф(м„) при 71 У 00.

Теперь оценим правую часть (8). Мы имеем

П л п

гп = - P(\Xnij\ > уп) < у-?- 53 E\Xnij\p < y-JB^Ln = 4-JplLn. n z—' n z—'

i,j=1 i,j=1

Если иП < 2ln(1/Ln), то

rnune</2 < Ln(lnun)pui-peun/2 < (lnln(2ln(1/Ln)))p(2ln(1/Ln))(1-p)/2 — 0 при n —>■ то. Если 2ln(1/Ln) < un < 2ln(1/Ln) + (p - 1) lnln(1/Ln) + An, то rnuneun/2 < Lnpnul-Peu2ri/2 < (2 ln(1/Ln))(1-p)/2(ln(1/Ln))(p-1)/2eAr/2 — 0

при n — то. Здесь мы воспользовались тем, что pvn < e-Xr/2 и An — —то при n — то. Следовательно,

Гп = o((1 — Ф(^))) при n —ТО. (16)

Из неравенства (8) и соотношения (16) следует, что Р^п > ипЛ/Вп) = Р(Т„ > ипЛ/Вп) + 0(гп) ~ 1 - Ф(м„) при 71 У то.

Теоремы 1 и 2 доказаны. □

Доказательство теоремы 3. Мы будем следовать схеме доказательства теоремы 1. Положим уп = \/Вп/(ипрп), где рп = min{lnw„, е~Хп/2р}. Все остальные обозначения из доказательства теоремы 1 мы сохраняем. Вместо леммы 1 мы воспользуемся тем, что

\ЕУГ% | < (Уп + \Pnij\)к-ВЕ\Упгз\S

для всех k ^ s. По лемме 2 мы имеем

max \pnij \ < СпУ-1 = o(n-1/2u-2Bxrl2Qn) = o(yn). (17)

Следовательно, \pnij \ ^ yn при всех достаточно больших n. Поэтому условие (10) выполнено для Ynij с Mn = 2yn.

По лемме 2 мы получим оценку (13) и Bn ~ Bn при n — то. Покажем, что м3 = о(л/п/7„) и ип = о(\/Вп/Мп) при п —> то в условиях теоремы 3. Второе соотношение следует из того, что \/Вп/Мп = 0(ипрп) при п —>■ то. Для п таких, что 7„ = maxjj E\Ynij\, используя условие (7), мы получим

^ и1т^\Хпг,\ + и3п = о(1) + о(п-1/2вд) = о(1)

п Вп Вп

при п — ж. Для п таких, что 7п совпадает со вторым или с третьим членом под максимумом в формуле (11), с учетом условия (4) и оценки (17) так же, как в (14), выполняется соотношение

з / з \

ип1п г, / иппсп \ / _3/2 -1 2 \ /1\

при n ^ ж. В четвертом случае так же, как в оценке (15), мы получим

ип1п ~ [ип\/у™\ I / -1/2 -3 3 \ /1\

-^Г = {"в^) /unQn) = o(l)

при n ^ж. Таким образом, по теореме 4 соотношение (9) выполнено.

Все остальные оценки доказательства теоремы 1 сохраняются за исключением оценки для rn, которая станет такой:

г < ир ор L

rn unrnLn-

Так как и'П < 2ln(1/Ln) — (p +1) lnln(1/Ln) + Xn, мы имеем

rnune</2 < ЬпРПиП+реиП/2 < (2ln(1/Ln))(1+p)/2(ln(1/Ln))-(1+p)/2eXn/2 ^ 0 при n ^ ж. Отсюда мы получим (16). □

Литература

1. Frolov A.N. On large deviations for combinatorial sums. Journal of Statistical Planning and Inference 217, 24-32 (2022).

2. Фролов А. Н. О вероятностях больших уклонений комбинаторных сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Линника. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 10 (68), вып.3, 546-554 (2023). https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.308

3. Фролов А. Н. О вероятностях умеренных уклонений комбинаторных сумм. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 2 (60), вып. 1, 60-67 (2015).

4. Frolov A. N. 2014. Esseen type bounds of the remainder in a combinatorial CLT. J. Statist. Planning and Inference 149, 90-97 (2014).

5. Линник Ю.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин I, II, III. Теория вероятностей и ее применение I, 6 (2), 145-163 (1961); II, 6 (4), 377-391 (1961); III, 7 (2), 121-134 (1962).

6. Нагаев С. В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятностей и ее применение 10 (2), 231-254 (1965).

7. Rubin H., Sethuraman J. Probabilities of moderate deviations. Sankhya. Ser. A 27 (2-4), 325346 (1965).

8. Нагаев А. В. Предельные теоремы, учитывающие большие уклонения, при нарушении условия Крамера. Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук 6, 17-22 (1969).

9. Амосова Н. Н. О предельных теоремах для вероятностей умеренных уклонений. Вестник Ленинградского университета 13, 5-14 (1972).

10. Michel R. Nonuniform central limit bounds with applications to probabilities of deviations. Ann. Probab. 4 (1) 102-106 (1976).

11. Сластников А. Д. Предельные теоремы для вероятностей умеренных уклонений. Теория вероятности и ее применение 23 (2) 340-357 (1978).

12. Амосова Н. Н. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применение 24 (4), 858-865 (1979).

13. Розовский Л. В. О предельных теоремах для больших уклонений в узких зонах. Теория вероятности и ее применение 26 (4) 847-857 (1981).

14. Rychlik Z. Nonuniform central limit bounds with applications to probabilities of deviations. Theor. Probab. App. 28 (4), 646-652 (1983).

15. Сластников А. Д. Узкие зоны нормальной сходимости для сумм неодинаково распределенных случайных величин. Теория вероятности и ее применение 29 (3), 551-554 (1984).

16. Frolov A. N. On one-sided strong laws for large increments of sums. ¡Statist. and Probab. Letters 37, 155-165 (1998).

17. Фролов А. Н. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин. Записки научных семинаров ПОМИ 294, 200-215 (2002).

18. Розовский Л. В. Суммы независимых случайных величин с конечными дисперсиями — умеренные уклонения и оценки в ЦПТ. Записки научных семинаров ПОМИ 311, 242-259 (2004).

19. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении вероятностей умеренных уклонений. Труды Санкт-Петербургского математического общества 14, 197—211 (2008).

Статья поступила в редакцию 8 февраля 2023 г.;

доработана 29 апреля 2023 г.; рекомендована к печати 18 мая 2023 г.

Контактная информация:

Фролов Андрей Николаевич — д-р физ.-мат. наук, проф.; a.frolov@spbu.ru

On asymptotic behaviour for probabilities of moderate deviations of combinatorial sums*

A. N. Frolov

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Frolov А. N. On asymptotic behaviour for probabilities of moderate deviations of combinatorial sums. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10 (68), issue 4, pp. 762-774. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.412 (In Russian)

We investigate an asymptotic behaviour for probabilities of moderate deviations of combinatorial sums of independent random variables having moments of order p > 2. We find zones in which these probabilities are equivalent to the tail of the standard normal law. The width of zone is a function from the logarithm of a combinatorial variant for Lyapunov's ratio. The author earlier obtained similar results under Bernstein's and Linnik's conditions. The truncations method is used in proofs of the results.

Keywords: probabilities of large deviations, probabilities of moderate deviations, combinatorial central limit theorem, combinatorial sums.

References

1. Frolov A.N. 2022. On large deviations for combinatorial sums. Journal of Statistical Planning and Inference, 217, 24—32.

2. Frolov A. N. On probabilities of large deviations of combinatorial sums of independent random variables satisfying Linnik's condition. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 10 (68), iss.3, 546-554. (2023). https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.308 (In Russian) (In print)

3. Frolov A. N. On the probabilities of moderate deviations for combinatorial sums. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 2 (60), iss. 1, 60-67 (2015). (In Russian) [Engl. trans.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 48 iss. 1, 23-28 (2015). https://doi.org/10.3103/S1063454115010045].

4. Frolov A. N. Esseen type bounds of the remainder in a combinatorial CLT. J. Statist. Planning and Inference 149, 90-97 (2014).

5. Linnik Yu. V. Limit theorems for sums of independent random variables. I, II, III. Teoriia veroiat-nostei i ee primenenie I, 6 (2), 145-163 (1961); II, 6 (4), 377-391 (1961); III, 7 (2), 121-134 (1962). (In Russian)

6. Nagaev S. V. Some limit theorems for large deviations. Theor. Probab. Appl. 2, 231-254 (1965). (In Russian)

7. Rubin H., Sethuraman J. Probabilities of moderate deviations. Sankhya, Ser. A 27 (2-4) 325-346 (1965)

8. Nagaev A. V. Limit theorems including the effecr of large deviations when Cramer's condition is violated. Izvestiia AN UzSSR. Seriia fiz.-mat. nauk 6, 17-22 (1969). (In Russian)

9. Amosova N. N. On limit theorems for probabilities of moderate deviations. Vestnik Leningrad University 13, 5-14 (1972). (In Russian)

*The work was carried out with the financial support of the Russian Science Foundation (project 23-21-00078).

10. Michel R. Nonuniform central limit bounds with applications to probabilities of deviations. Ann. Probab. 4 (1), 102-106 (1976).

11. Slastnikov A. D. Limit theorems for moderate deviation probabilities. Theor. Probab. Appl. 23 (2), 340-357 (1978). (In Russian)

12. Amosova N. N. On probabilities of moderate deviations for sums of independent random variables. Theor. Probab. Appl. 24 (4), 858-865 (1979). (In Russian)

13. Rozovskii L. V., Limit theorems for large deviations in narrow zones. Theor. Probab. Appl. 26 (4), 847-857 (1981). (In Russian)

14. Rychlik Z. Nonuniform central limit bounds with applications to probabilities of deviations. Theor. Probab. Appl. 28 (4), 646-652 (1983).

15. Slastnikov A. D. Narrow zones of normal convergence for sums of non-identically distributed random variables. Theor. Probab. Appl. 29 (3), 551-554 (1984). (In Russian)

16. Frolov A. N. On one-sided strong laws for large increments of sums. Statist. and Probab. Letters 37, 155-165 (1998).

17. Frolov A. N. On probabilities of moderate deviations of sums of independent random variables. Zapiski no,uchnykh seminarov POMI 294, 200-215 (2002). (In Russian)

18. Rozovskii L. V., Sums of independent random variables with finite variances — moderate deviations and bounds in CLT. Zapiski nauchnykh seminarov POMI 311, 242-259 (2004). (In Russian)

19. Frolov A. N. Asymptotic behaviour of probabilities of moderate deviations. Trudy St. Peter-burgskogo Mat. Obschestva 14, 197-211 (2008). (In Russian)

Received: February 8, 2023 Revised: April 29, 2023 Accepted: May 18, 2023

Author's information: Andrei N. Frolov — a.frolov@spbu.ru