О ВЕРОЯТНОСТЯХ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ КОМБИНАТОРНЫХ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ЛИННИКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 3

МБС 60Р05

О вероятностях больших уклонений комбинаторных сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Линника*

А. Н. Фролов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Фролов А. Н. О вероятностях больших уклонений комбинаторных сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Линника // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 3. С. 545-553. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.308

Получены новые результаты об асимптотическом поведении вероятностей больших уклонений комбинаторных сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Линника. Найдена зона, в которой вероятности больших уклонений эквивалентны хвосту стандартного нормального закона. Ранее подобные результаты были получены автором при выполнении условия Бернштейна. При доказательстве новых результатов использован метод усечений.

Ключевые слова: вероятности больших уклонений, комбинаторная центральная предельная теорема, комбинаторная сумма.

1. Введение. Пусть {(Xnij), 1 ^ г,] ^ п,п = 2,3,...} — последовательность матриц независимых случайных величин, а {Пп = (пп(1),пп(2),...,пп(п)), п = 2, 3,...} — последовательность случайных перестановок чисел 1, 2,...,п. Пусть Пп имеет равномерное распределение на множестве всех перестановок 1,2,...,п и не зависит от (Хп^) для любого п. Определим комбинаторную сумму соотношением

п

^ = £ ХпПпЦ). i=l

Отметим, что если распределения Хп^ совпадают для всех 1 ^ ] ^ п при всех п, то Бп имеет такое же распределение, как сумма независимых случайных величин. Этот случай хорошо исследован, но его следует принимать во внимание при оценке оптимальности полученных результатов.

При определенных условиях последовательность распределений нормализованных комбинаторных сумм слабо сходится к нормальному закону. Любой подобный результат называется комбинаторной центральной предельной теоремой (ЦПТ). Исследования в этом направлении начались давно. Комбинаторной ЦПТ посвящены работы Вальда и Вольфовица [1], Нётера [2], Хёффдинга [3], Мото [4], Колчина и Чистякова [5]. Позднее были получены неасимптотические оценки типа неравенств Берри — Эссеена и Эссеена. Подобные результаты получены Больтхаузеном [6], фон

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №23-21-00078, https://rscf.ru/project/23-21-00078/.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

Баром [7], Хо и Ченом [8], Голдстейном [9], Неммани и Санторнчостом [10], Нем-мани и Ратанавонгом [11], Ченом, Голдстейном и Шао [12], Ченом и Фангом [13], Фроловым [14, 15], а для случайного числа слагаемых — Фроловым [16].

Оценки в ЦПТ дают возможность получить асимптотику вероятностей больших уклонений в логарифмических зонах. Обычно в этом случае говорят об умеренных уклонениях. Такие результаты для комбинаторных сумм были получены автором

в [17].

В работе автора [18] впервые были получены результаты об асимптотическом поведении вероятностей больших уклонений комбинаторных сумм в степенных зонах. Там предполагалось, что случайные величины удовлетворяют некоторому аналогу условия Бернштейна. За исключением отдельных частных случаев комбинаторные суммы не имеют независимых приращений. Поэтому классические методы теории суммирования независимых случайных величин трудно использовать. В [18] были получены оценки производящей функции моментов и ее логарифмических производных самой нормированной комбинаторной суммы, а не отдельных слагаемых. Это и позволило получить соответствующие результаты.

Условие Бернштейна — это одна из форм условия существования экспоненциального момента. Естественной задачей является получение новых результатов об асимптотике вероятностей больших уклонений при его нарушении. Этому и посвящена настоящая работа. Мы заменим условие Бернштейна более слабым условием Линника. Для доказательства результатов мы будем использовать метод усечений.

2. Результаты. Пусть {(Хпз), 1 ^ г,] ^ п,п = 2, 3,...} — последовательность матриц независимых случайных величин такая, что

пп

ЕХпз = ^^ ЕХтз =0 (1)

г=1 3=1

для любого п. Пусть {пп = (пп(1), пп(2),..., пп(п)), п = 22, 3,...} — последовательность случайных перестановок чисел 1, 2,...,п. Предположим, что Пп имеет равномерное распределение на множестве перестановок Рп и не зависит от (Хпг3) для любого п.

Положим

п

5-п =£ Хпгпп (г). г=1

Несложно проверить, что

пп

ЕБп = 0, Г>Бп = Е^ - (Е^)2 =-- V (ЕХ„^)2 + - У)

п — 1 ^ п

1,3 = 1 1,3 = 1

Таким образом, условие (1) обеспечивает центрированность комбинаторных сумм.

пгз = ЕХтз — (ЕХпг3)

Делая замену ~ОХпгз = ЕХ^з — (ЕХпгз)2 в последней формуле, мы получим

п п

п( п 1) п

г,3=1 г,3=1

Об'п

Если Ой'п ^то, то главной частью дисперсии будет нормированная сумма вторых моментов

1 п

1,3 = 1

Поэтому в дальнейшем {Вп} будет использоваться в качестве нормирующей последовательности для Бп.

Далее мы будем предполагать, что у слагаемых существуют все моменты. Положим

шах \ тах —Е\Хп^\, тах]Г —тах]Г —]Г \ . (2)

Отметим, что 7п ^ 1. Это следует из того, что пВп = ^ ЕХ^^ ^ п ша^ ЕХП3.

¿,3=1 ® 3=1

Следующий результат был получен в работе автора [18].

Теорема 1. Пусть {Мп} — неубывающая последовательность положительных постоянных такая, что для в = 1, 2, 3 неравенства

< ПкМк-3ЩХпз\3 (3)

выполняются для всех к ^ в, всех 1 ^ I,] ^ п и всех п ^ 2, где ^ — абсолютная положительная постоянная.

Тогда для любой последовательности вещественных чисел {ип} такой, что ип —> со, = о(у/п/^уп) и ип = о(у/Вп/Мп) при п —> со, выполняется соотношение

Р

( ^ ип у/К) ~ 1 - Ф(ип) при п ^Ж, (4)

где Ф(х) — стандарная нормальная функция распределения.

Условие и^ = о(л/п/7„) является естественным для соотношения (4), представляющего собой точную (не логарифмическую) асимптотику больших уклонений. Если предположить, что все Хпз распределены одинаково, то это условие превратится в оптимальное условие ип = о(п1/6).

Условие (3) аналогично условию Бернштейна, являющемуся формой экспоненциального моментного условия. В [18] приведены некоторые варианты этого условия, а также примеры случайных величин, удовлетворяющих условию теоремы 1. В частности, к ним относятся ограниченные случайные величины. В последнем случае одним из важных примеров комбинаторной суммы является коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Наш главный результат — следующая теорема. В ней условие Бернштейна заменяется более слабым условием Линника, что расширяет область ее применимости. Например, распределение Вейбулла с параметром а, возникающее, в частности, как предельное распределение в теории экстремальных порядковых статистик, при а < 1 удовлетворяет условию Линника, но не удовлетворяет условию Бернштейна.

Теорема 2. Пусть для некоторого в € (0,1) неравенства

Ее1*-?Iе < СЕ\Хп3\е (5)

1

¡1

Покажем сначала, что выполняется соотношение

Р(Д„ > ипувп) ~ 1 - Ф(м„) при in у оо. (7)

Для этого мы применим теорему 1, а при проверке ее условий мы используем следующий результат.

Лемма 1. Пусть y > 0, в € (0,1), М € (-1,1), а > 0 и а е (0,1). Пусть X — случайная величина и X = Х/{|Х| < у}. Предположим, что EeW < при s = 1, 2, 3 и \м\ < M ln 2, где M = у1-в/а. Тогда

|Е(Х — ¡л)к \ < С (a, f3)ak\Mk~sE\X — ¡j,\s

для всех k> s при s = 1, 2, 3, где C (а, в) = 8(2 + 31/в ((1 - а)в)-1/в).

Доказательство. Для всех z из круга \z\ < аув-1 = 1/M и s = 1,2,3 мы имеем

|Е(Х - ii,)sez(*-^\ < ЩХ - + ^ < 2s~1e'z"M'E(|X|s + \ij,\s)eJz11*1 <

< 8E(|X|S + l)eNI*l V^ < 8E|X|sealxl" + 8EealXl" <

< 8Eexe supxse(a-l)xe + 8EexeI{\X\ < y} + 8P(\X\ > y) <

/ „1//3 \ _

В силу неравенств Коши для коэффициентов разложения аналитической функции Е(Х — ¡A,)sez(x~^ мы получаем требуемое. □

Покажем, что условие (3) выполнено для Ynij с Mn = уП-в/а. Учитывая условие (5), нам достаточно показать, что \/-inij\ ^ М„1п2 и ~E\Xnij\s ^ aE\Xnij — /J,nij\s при s = 1, 2, 3.

Функции xe-x , x2e-x и x3e-x убывают при x ^ xo > 0. Далее мы считаем, что yn > xo.

Принимая во внимание условие (1), для всех i мы имеем

n n n n

EXnij\ ^E\Xnij\I{\X

nij

\ > yn} < yne Vnij ■ (8)

j=1 j=1 j=1 j=1

Аналогично мы получим

nn

n\an,j\ < упе~Уп ^fnij для всех j и n2|a„..| < yne~Vn ^ <finij- (9)

i=l i,j=l

Следовательно,

тах \^пъз | < СпУпе Уп = £п = о(1). (10)

г,з

Далее, для в = 1, 2, 3 и всех г и ] неравенства

Е\Хпгз= Е\Хпгз \" I {Хп3 \ > Уп} < У"п е-Уп фпЦ < < У3пе-уПСЕ\Хпгз \ < 0.05Е\Хпгз\я,

\v~nij\3 < 0.05С-1 < 0.05С-1Ее)х™1У < 0.05Е\Хп3\3 (11)

выполнены для всех достаточно больших п. Поэтому

Отетода следует, что < 90Е|Хп^ - . Кроме того, - <

\3 + \3) < 5Е\Хпц \

4(Е|Хп^|я + \iJinij |в) ^ 5Е|Хп^|я. Таким образом, для в = 1, 2, 3 и всех г и ] неравен-

ства

0.2Е\Хп3 \я ^ Е\Хпз\я ^ 90Е\Хпз \3 (12)

выполнены для всех достаточно больших п. Следовательно, по лемме 1 условие (3) выполнено для Упз с Мп = уп-в/а.

Оценим теперь разность дисперсий Вп и Вп. Мы имеем

1 ^ 1 "

11

Вп-Вп — - 53 (ЕХ^- - ЕУ„2^.) - - 53 ~ Е{хшз ~ ЦшзУ

п ^ ' п

¿,3=1 ¿,3 = 1

1 ~ —

- (ЕХ2^. - 2р„уЕ1„у + =

¿,3=1

1 п 2 п 1 п

— 53 _ — 53 ^™»3а™3 + ~ 53 ^"»3'

п п п

¿,3 = 1 ¿,3 = 1 ¿,3 = 1

Далее,

1 п 1 п 1 п 1 п

^ ^ / ' /г/ -/ " п 7 -/ ^ ^ "п//1!! /;/ I ^ ^ " п" п /;/ " п.. ^ ^ "п/;/

¿,3=1 ¿,3=1 ¿,3=1 ¿,3=1

¿=1 3=1

—2 _ —2 ап.3 пап..

В силу соотношений (8)—(11) мы получим

п п п

53 «пг. < 53"»-3 ^ П£П' ^ П£П' 53 ^»¿3 ^ п2е»'

¿=1 3=1 ¿,3=1

п

53 ЕХ^ < Упп2£п. (13)

¿,3=1

Следовательно,

\В„ — Вп\ < 8у„пеп.

Кроме того,

2

у„пеп( 1 - ФЮ)-1 = ехр{—+ 21пу„ +1п(пс„) + +1п(л/2тг

= ехр{- ув + о(ипвв/2)}^0 при п ^то. (14)

550 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 3

В частности, Вп ~ Вп. Учитывая неравенства (12), мы заключаем, что величина 7, определенная по формуле (2) с заменой Хп^ на Ynij, удовлетворяет соотношению 7п = 0(7„) при п ->• оо.

По теореме 1 соотношение (7) выполнено для любой последовательности вещественных чисел {«„} такой, что и„ —> оо, = о(л/п/7П) = о(ч/п/7„) и м„ = о(у/К/Мп) = о[В^{2{2-р))) при п оо.

Далее, мы имеем

Р(ТП > Уп) = Р(Д„ + пап.. > у„) = Р(Д„ > -у„л/Вп),

где

уп — пап ип^Вп + 0{уппеп) + 0{п£п)

уп = -■—-— = ---■—-- ~ ип при п —^ 00.

V вп V Вп

Так как

4 и1(Вп+0(упП£п)) + 0(ипл/В^П£п) и2п

— =--=-= у+0(1) при п^оо,

мы заключаем, что 1 — Ф(^п) ~ 1 — Ф(мп) при п ^ то. Учитывая (7), мы получим

Р(Тп > Уп) = Р(Д„ > Уп\/~Вп) ~ 1 - Ф(м„) при 00.

Из неравенств (6) и (13) и соотношения (14) следует, что Р^п > Уп) = Р(Тп > Уп) + 0(УпП£п) = (1— Ф(«п))(1+ 0(1)) при п ^ТО.

Теорема полностью доказана. □

Доказательство замечания 1. Если ¡3 = 1, то по лемме 1 с X = X и ц = 0 (усечение и центрирование в этом случае не требуются) условие (3) выполнено с Мп = 1/а. Замечание 1 следует из теоремы 1. Условия на сп в этом случае излишни. □

Автор выражает благодарность рецензентам за ряд полезных замечаний, способствовавших улучшению текста статьи.

Литература

1. Wald A., Wolfowitz J. Statistical tests based on permutations of observations. Ann. Math. Statist. 15, 358-372 (1944).

2. Noether G. E. On a theorem by Wald and Wolfowitz. Ann. Math. Statist. 20, 455-458 (1949).

3. Hoeffding W. A combinatorial central limit theorem. Ann. Math. ¡Statist. 22, 558-566 (1951).

4. Motoo M. On Hoeffding's combinatorial central limit theorem. Ann. Inst. Statist. Math. 8, 145-154 (1957).

5. Колчин В.Ф., Чистяков В. П. Об одной комбинаторной предельной теореме. Теория вероятностей и ее применение 18 (4), 767-777 (1973).

6. Bolthausen E. An estimate of the remainder in a combinatorial central limit theorem. Zeitschrift für Wahrsch. und Verwandte Geb. 66, 379-386 (1984).

7. von Bahr B. Remainder term estimate in a combinatorial central limit theorem. Zeitschrift für Wahrsch. und Verwandte Geb. 35, 131-139 (1976).

8. Ho S. T., Chen L. H. Y. An Lp bounds for the remainder in a combinatorial central limit theorem. Ann. Probab. 6, 231-249 (1978).

9. Goldstein L. Berry-Esseen bounds for combinatorial central limit theorems and pattern occurrences, using zero and size biasing. J. Appl. Probab. 42, 661-683 (2005).

10. Neammanee K., Suntornchost J. A uniform bound on a combinatorial central limit theorem. Stoch. Anal. Appl. 3, 559-578. (2005).

11. Neammanee K., Rattanawong P. A constant on a uniform bound of a combinatorial central limit theorem. J. Math. Research 1, 91-103 (2009).

12. Chen L. H. Y., Goldstein L., Shao Q. M. Normal approximation by Stein's method. Springer (2011).

13. Chen L. H. Y., Fang X. On the error bound in a combinatorial central limit theorem. Bernoulli 21 (1), 335-359 (2015).

14. Frolov A. N. Esseen type bounds of the remainder in a combinatorial CLT. J. Statist. Planning and Inference 149, 90-97 (2014).

15. Frolov A. N. Bounds of the remainder in a combinatorial central limit theorem. Statist. Probab. Letters 105, 37-46 (2015).

16. Фролов А. Н. О вероятностях умеренных уклонений комбинаторных сумм. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 2 (60), вып. 1, 6067 (2015).

17. Frolov A. N. On Esseen type inequalities for combinatorial random sums. Communications in Statistics-Theory and Methods 46 (12), 5932-5940 (2017).

18. Frolov A. N. On large deviations for combinatorial sums. J. Statist. Planning and Inference 217, 24-32 (2022).

19. Линник Ю.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин I, II, III.

Теория вероятностей и ее применение 6 (2), 145-163 (1961); 6 (4), 377-391 (1961); 7 (2), 121-134 (1962).

Статья поступила в редакцию 2 января 2023 г.;

доработана 18 января 2023 г.; рекомендована к печати 16 февраля 2023 г.

Контактная информация:

Фролов Андрей Николаевич — д-р физ.-мат. наук, проф.; Andrei.Frolov@pobox.spbu.ru

On probabilities of large deviations of combinatorial sums of independent random variables satisfying Linnik's condition*

A. N. Frolov

St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Frolov А. N. On probabilities of large deviations of combinatorial sums of independent random variables satisfying Linnik's condition. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 3, pp. 545-553. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.308 (In Russian)

We derive new results on asymptotic behaviour for probabilities of large deviations of combinatorial sums of independent random variables satisfying Linnik's condition. We find zones in which these probabilities are equivalent to the tail of the standard normal law. The author earlier obtained such results under Bernstein's condition. The truncations method is applied in proofs of results.

Keywords: probabilities of large deviations, combinatorial central limit theorem, combinatorial sums.

*The research was supported by Russian Science Foundation, Project no. 23-21-00078, https://rscf.ru/project/23-21-00078/.

References

1. Wald A., Wolfowitz J. Statistical tests based on permutations of observations. Ann. Math. Statist. 15, 358-372 (1944).

2. Noether G. E. On a theorem by Wald and Wolfowitz. Ann. Math. Statist. 20, 455-458 (1949).

3. Hoeffding W. A combinatorial central limit theorem. Ann. Math. Statist. 22, 558-566 (1951).

4. Motoo M. On Hoeffding's combinatorial central limit theorem. Ann. Inst. Statist. Math. 8, 145-154 (1957).

5. Kolchin V. F., Chistyakov V. P. On a combinatorial limit theorem. Teoriia veroiatnostei i ee primenenie 18 (4), 767-777 (1973). (In Russian) [Engl. trans.: Theory of Probability and its Applications 18, (4), 728-7391974. https://doi.org/10.1137/1118093].

6. Bolthausen E. An estimate of the remainder in a combinatorial central limit theorem. Zeitschrift für Wahrsch. und Verwandte Geb. 66, 379-386 (1984).

7. von Bahr B. Remainder term estimate in a combinatorial central limit theorem. Zeitschrift für Wahrsch. und Verwandte Geb. 35, 131-139 (1976).

8. Ho S. T., Chen L. H. Y. An Lp bounds for the remainder in a combinatorial central limit theorem. Ann. Probab. 6, 231-249 (1978).

9. Goldstein L. Berry-Esseen bounds for combinatorial central limit theorems and pattern occurrences, using zero and size biasing. J. Appl. Probab. 42, 661-683 (2005).

10. Neammanee K., Suntornchost J. A uniform bound on a combinatorial central limit theorem. Stoch. Anal. Appl. 3, 559-578 (2005).

11. Neammanee K., Rattanawong P. A constant on a uniform bound of a combinatorial central limit theorem. J. Math. Research 1, 91-103 (2009).

12. Chen L. H. Y., Goldstein L., Shao Q. M. Normal approximation by Stein's method. Springer (2011).

13. Chen L. H. Y., Fang X. On the error bound in a combinatorial central limit theorem. Bernoulli 21 (1), 335-359 (2015).

14. Frolov A. N. Esseen type bounds of the remainder in a combinatorial CLT. J. Statist. Planning and Inference 149, 90-97 (2014).

15. Frolov A. N. Bounds of the remainder in a combinatorial central limit theorem. Statist. Probab. Letters 105, 37-46 (2015).

16. Frolov A. N. On the probabilities of moderate deviations for combinatorial sums. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 2 (60), iss. 1, 60-67 (2015). (In Russian) [Engl. trans.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 48, iss. 1, 23-28 (2015). https://doi.org/10.3103/S1063454115010045].

17. Frolov A. N. On Esseen type inequalities for combinatorial random sums. Communications in Statistics-Theory and Methods 46 (12), 5932-5940 (2017).

18. Frolov A. N. On large deviations for combinatorial sums. J. Statist. Planning and Inference 217, 24-32 (2022).

19. Linnik Iu. V. Limit theorems for sums of independent random variables. I, II, III. Teoriia veroiatnostei i ee primenenie 6 (2), 145-163 (1961); 6 (4), 377-391 (1961); 7 (2), 121-134 (1962). (In Russian)

Received: January 2, 2023 Revised: January 18, 2023 Accepted: February 16, 2023

Author's information:

Andrei N. Frolov — Andrei.Frolov@pobox.spbu.ru