Об арифметических свойствах обобщенной последовательности Фибоначчи и их следствиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with relations. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. In-involuted restrictive bisemigroups of binary relations. form., 2013, vol. 13, iss. 1, pt. 1, pp. 13-21 (in Russian). Semigroup Forum, 1992, vol. 44. pp. 87-192. 11. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras.

10. Bredikhin D. A. On varieties of groupoids of binary North-Holland, Amsterdam, 1971, 311 p.

УДК 511

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ И ИХ СЛЕДСТВИЯХ

А. Н. Васильев

Преподаватель кафедры математики и информатики, Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Астана, Республика Казахстан, antonvassilyev@mail.ru

В работе изучены некоторые свойства распределения членов обобщенной последовательности Фибоначчи по бесквадратному модулю и получены следствия из этих свойств.

Ключевые слова: обобщенная последовательность Фибоначчи, тригонометрические суммы, плотность множества.

1. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом: = 1, = 1, = + . Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, т.е. = а, С2 = Ь, Сп+2 = Сп+1 + Сп, где а, Ь — натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей работы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей работы, d — бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2) (это экзотическое условие будет мотивировано позже). Через р будем обозначать, как обычно, простое число. В первой части это будут простые, взаимно простые с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2). Во второй части простые, выступающие делителями какого-нибудь d, также будут предполагаться удовлетворяющими этому дополнительному условию.

Введем малый d-период последовательности Фибоначчи = шт{т : т > 1, d | Ет} и большой d-период последовательности Фибоначчи Т= шт{Т : Т > 1,^п+т = ^п(шоё d) V п}. Аналогично, большой d-период обобщенной последовательности Фибоначчи есть Т'= шт{Т : Т > 1, Сп+т = Сп(шоёd) V п} (периодичность по любому модулю доказывается просто). Аналога малого d-периода может не существовать (например, если а = 2, Ь = 1, d = 5).

Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму.

Лемма 1.1.

А) Fn —

_ V

2

1

2

V5

(формула Бине).

Б) Fn+m — Fn-1 Fm + FnFm+1-

В1) d | Fn & t(d) | n. B2)[Fa - Fe(modd),

[Fa+i - Fe+i (mod d) Г) T(d)/t(d) e {1, 2,4}.

Д) d — pi p2 ...ps ^ t(d) — [t(pi ),t(p2),...,t(ps)].

& T(d) | (a - в).

Е1)\ Fa = FP(m0dР)' ^ t(p) | (a - в) или t(p) | 7 ^ t(p) | (a - в)y•

= Fe+7 (mod p)

( Fa = Fe (mod d), £2)^ a в( ^ ^ t(d) | (a - в)y•

|^Fa+7 = Fe+7 (mod d)

Доказательство: Свойства А, Б, В1, B2, Г, Д хорошо известны (см., например, [1] и [2]). Докажем два оставшихся свойства. Начнем с Е1. По свойству Б имеем:

Fa+7 = FaF7-i + Fa+iF7, Fe+Y = Fe F7 _i + F3+1F7,

(Fa = Fe (mod p),

следует, что p | (Fa+1 — Fe+1)F7, откуда p | FY или

Fa+Y = Fe+7 (mod p)

p | (Fa+1 — Fe+1). Из p | F7 согласно свойству В1 следует, что t(p) | 7, а из p | (Fa+1 — F^+1) согласно свойству В2 следует, что T(p) | (a — в), откуда согласно свойству Г t(p) | (a — в).

i Fa = Fe (mod d),

Теперь докажем свойство Е2. Пусть d = p1 p2 ...ps. Из сравнений < для

|/a+Y = Fe+7 (mod d)

{Fa = Fe (mod pj)

, откуда для всякого pj | d по свойству Е1

Fa+7 = Fe+7 (mod pj)

имеем: t(pj) | (a — в)y, что согласно свойству Д означает, что t(d) | (a — в)7. Лемма доказана. Теперь докажем некоторые свойства обобщенной последовательности Фибоначчи. Лемма 1.2.

А) Gn = aFn_2 + bFn-1 • Б) T'(d) | T(d). 5) t(d) | T'(d).

Г) t(d) < T'(d) < T(d) < 4t(d)

(Ga = Ge (mod p),

^^ ^ t(p) | (a — в) или t(p) | 7 ^ t(p) | (a — в)7.

^Ga+7 = Ge+7 (mod p)

JGa = Ge (mod d)

^ t(d) | (a — в)7.

[Ga+7 = Ge+7 (mod d)

Доказательство: Первое соотношение хорошо известно, соотношение Б доказывается тривиально. Соотношение Г следует из соотношений Б, В и соотношения Г леммы 1.1. Соотношение Д2 вытекает из соотношения Д1. Докажем пункт Д1. Используя соотношение А, имеем:

aFa-2 + bFa_1 = aFe_2 + 6F^_1 (mod p), aFa+7 — 2 + bFa+7_1 = aF^+7 _2 + 6Fe+7_1 (mod p).

Далее, используем соотношение Б леммы 1.1 и получаем:

aFa_2 + bFa_1 = aFe_2 + bF^_1 (mod p)

a(Fa_2 F7 _1 + Fa _ 1F7 ) + b(Fa_1 F7_1 + Fa F7 ) = = a(Fe_2F7_1 + Fe_1F7) + b(Fe_1 F7_1 + Fe F7 )(mod p),

что преобразуется к виду

aFa_2 + bFa_1 = aFe_2 + bF^_1 (mod p)

и

и F7_i(aFa_2 + bFa-i) + F7 (aFa_x + bFa) = F7_x(aFe_2 + bF^_x) + F7 (aF^_x + bF^ )(mod p), откуда

aFa_2 + bFa_x = aFe_2 + bF^_x(mod p), F7 (aFa_x + bFa) = F7 (aFe_x + bF^ )(mod p).

Отсюда либо p | Fy , что согласно пункту В1 леммы 1.1 означает t(p) | y, либо

aFa_2 + bFa_x = aFe_2 + bFe_x(mod p), ^ aFa_x + bFa = aFe_x + bF^(modp),

что преобразуется к виду

a(Fa_2 - Fe_2) + b(Fa_x - Fe_x) = 0(modp) b(Fa_2 - Fe_2) + (a + b)(Fa_x - Fe_x) = 0(modp)

и приводится с помощью правила Крамера в поле вычетов по модулю p к виду

Fa_2 - Fe_2 = 0(modp) ^ Fa_x - Fe_x = 0(modp)

(поскольку det | a b | = a2 + ab - b2 = 0(modp)), откуда по свойству В2 леммы 1.1 T(p) | (a - в) У b a + by

и, следовательно, t(p) | (a - в). Теперь докажем пункт В. Поскольку Gx = Gx+T/(d)(modd) и G2 = G2+T(d)(modd), то по свойству Д2 t(d) | T'(d). Лемма доказана.

Далее, рассмотрим A(d, u) = a2 + a2 + ■ ■ ■ + ad, где ak — количество членов конечной последовательности Gx, G2,..., Gu, сравнимых с k по модулю d. Используя аппарат тригонометрических сумм, нетрудно вывести соотношение

1 d

A(d,u) = ■dY,

d x

a=x

u

П=1

Следующая теорема является конечной целью первой части. Для краткости = £, Т(й) = Т, Т '(й) = Т'.

Теорема 1.1. Для и < Т' имеет место оценка

А(й,и) < В(й,и),

B (d,u) = <

£сли u > T', то

3u - 2, если u < л/t +1,

7u2t_x/4, если лД +1 < u < t3/4,

14u2t_x/8, если t3/4 < u < T'.

A(d,u) < 56u2t_x/8.

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на несколько шагов.

1. Зафиксируем к, 1 < к < й. Пусть 1 < ^ < ■ ■ ■ < ^ < и — все для которых ^ = k(modй).

Обозначим Ьк = ^+1 - , 1 < к < а^ - 1, Ьк > 1. Тогда 61 +-----Ь bafc-1 = ^ - ^ < и - 1.

Пусть 1 < р1 < ■ ■ ■ < р8 - все различные числа, встречающиеся в последовательности 61,..., Ьа^,-1. Имеем:

s

У^СуPv < u - 1, = ak - 1.

v=x v=x

2

2. Зафиксируем V. Пусть 1 < Л < ■ ■ ■ < ЛСг) < ак — 1 — все индексы Л такие, что = р„. Согласно

пункту Д2 леммы 1.2, поскольку

Gjhi+1 = Gjhi+1+i(mod d)

и Jhi+1 — jh = Jhi+i+1 — Jhi+i, то

t|(jhi+1 — jhi)(jhi+i — jhi), откуда (jh — jh.) > t для всех 1 < i < — 1. Следовательно,

Cv 1

Cv 1

— <Y1 (jhi+i— jhi) <u — 1,

j=1

j=1

и, значит,

3. Итак, имеем:

(u — 1)Pv t

+ 1.

Cv < (u — 1)pv/t + 1,

£ с« р« < и — 1,

«=1

в

ак = 1 + £ с«.

«=1

Пусть теперь — количество таких V, что с« = д. Поскольку все р« различны, то

в

и — 1 с«р« > ^ с«р« > д(1 + 2 +-----Ъ Цд)),

«=1 и: =д

откуда < (2(и — 1)/д)1/2. С другой стороны,

u

1 CvPv > t(Cv — 1)Cv/(u — 1)

v = 1 v=1

поэтому

X^Cv(cv — 1) < (u — 1)2/t.

v=1

4. а) Рассмотрим случай, когда u < \Д + 1. Рассмотрим все пары индексов (n1 ,n2), такие, что

1 < n1 < n2 < u и Gni = Gn2 (mod d). Если среди них найдутся две различные пары (n1 ,n2),

(n'1 , n'2), для которых n2 — n1 = n'2 — n'1, то, согласно пункту Д2 леммы 1.2, 11 (n2 — n1 )(n' 1 — n1),

откуда t < |(n2 — n1 )(n' 1 — n1)| < (u — 1)2 < t — противоречие. Значит, все разности индексов

в таких парах различны. А теперь посчитаем количество всех таких пар, и, соответственно, всех

d

разностей индексов в них. Таких разностей ровно £ — 1)/2. Но всех возможных значений

k=1

d

разности индексов в указанном промежутке ровно u — 1. Следовательно, £ ak(ak — 1)/2 < u — 1,

k=1

откуда A(d, u) = а2 + а2 + ■ ■ ■ + ad < 3u — 2.

б) Теперь рассмотрим случай, когда u > уД +1. Тогда все cv < (u — 1)/лА +1, откуда

s = J] w(q) < Y^ V(2u — 2)/q < 4ut_1/4. 1<q<(u_1)/Vt+1 1<q<(u_1)/Vt+1

s is \2 / s \ s

Далее, = 1 + £ Cv , ( £ Cv ) < s ( £ c^ J < s(u — 1)2/t + s £ Cv, отсюда

v=1 v=1 v=1 v=1

и, значит,

v=1

Cv — s/2 < s2/4 + s(u — 1)2/t

Y Cv < s + u д/s/t < 4ut_1/4 + 2u3/2t

_5/8

v=1

Cv

2

s

s

Получаем для всякого k: ak = 1 + cv < 5ut-1/4 + 2u3/2t-5/8. Имеем: u) = a2 + a| + ■ ■ ■ + ad <

v=1

< (a2 +-----had)-maxak < u-(5ut-1/4+2u3/2t-5/8). Согласно свойству Г леммы 1.2, t < T' < T < 4t. Тем

самым, если Vt+1 < u < t3/4, то A(d, u) < u-(5ut-1/4+2u3/21-5/8) < 7u21-1/4. Если же t3/4 < u < T', то A(d, u) < u ■ (5ut-1/4 + 2u3/21-5/8) < 7u5/2t-5/8 < 14u2t-1/8. И наконец, если u > T', то исходя непосредственно из определения A(d, u) получаем: A(d, u) < (u/T' + 1)2A(d, T') < 56u21-1/8. Теорема доказана.

2. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ РОМАНОВА НА СЛУЧАЙ ОБОБЩЕННЫХ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

В 1934 году Н. П. Романов доказал [3], что сумма множества простых чисел и множества натуральных степеней фиксированного целого числа a > 2 образует множество положительной плотности (в смысле плотности, по Шнирельману), иными словами, lim (Xcard {n : n < x, n = p + am}) > 0

(через card X обозначено количество элементов множества X). В дальнейшем были получены некоторые аналоги этой теоремы. Например, в 1951 году П. Эрдеш (P. Erdos) заменил ([4]) в теореме Романова степени am значениями многочлена с целыми коэффициентами от степени, т.е. f(am), где f — не равный константе многочлен с целыми коэффициентами.

В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В неопубликованной к настоящему времени работе «On the sum of a prime and a Fibonacci number», выложенной в архиве (arXiv: 1011.0173v1 [math.NT] 31 Oct 2010) и поданной в журнал «International Journal of Number Theory», К. Ли (Lee K. S. Enoch) приводит доказательство этого аналога.

Здесь мы доказываем более общую теорему, используя другой подход, а именно, опираясь на оценку, полученную в первой части.

Теорема 2.1. Сумма множества простых чисел и множества обобщенных чисел Фибоначчи (наперед заданных) имеет положительную плотность (по Шнирельману), т. е.

lim ( -^card {n : n < x, n = p + Gm} ] > 0.

+ ^ \x /

Доказательство. Наше доказательство будет проведено в духе доказательства теоремы Романова, приведенном в работе[5, с. 191-197]. Сформулируем несколько лемм из [5], которые нам понадобятся. Лемма 2.1 [5, с. 60]. Пусть b — четное целое ненулевое число. Имеет место оценка

card {p : p < x, |p + b| — простое} < c1 X TT(1 — 1 /p)-1.

ln x ,, p | b

Здесь c1 — абсолютная константа, т. е. не зависит от b.

Лемма 2.2 [5, с. 28]. Существует такая константа c2 > 0, что

J](1 — 1/p)-1 = c2 ln x + O(1).

p<x

Лемма 2.3 (следствие из предыдущей леммы). Пусть pn — n-е простое число. Тогда

N

^(1 + 1/pn )= O(ln N).

n=1

Лемма 2.4. Обозначим f (n) = f (n, x) = card {(p, Gm) : p < x, Gm < x, p + Gm = n}. Если существует такая константа c3, что для всех x > xo (т. е. начиная с какого-то фиксированного x0) справедливо неравенство

Y^ f2(n,x) < c3 ^ f (n,x)

n<x n<x

то существует такая константа c4 > 0, что для всех x > x0 справедливо неравенство

card {n : n < x, f (n, x) > 0} > c4x.

Доказательство (аналогично рассуждениям, приведенным в [5, с. 192]). Имеем:

У^ f (n, x) > card {p : p < x/2} ■ card {Gm : Gm < x/2} > c5 ц-П— ■ Inx = c7x,

n<x

откуда из неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратическом

I \1/2

У^ f (n, x) < (card {n : n < x, f (n, x) > 0})1/2 ^^ f2(n, x) <

n<x \n<x j

1/2

< (card {n : n < x, f (n, x) > 0})1/2 ■ С/2 ■ I ^^ f (n, x)

\ n<x

следовательно,

card {n : n < x, f (n, x) > 0} > c7x/c3 = c4x,

что и требовалось. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Ряд ' Jt / , где е > 0, сходится. £' означает суммирование по бесквадрат-d>2 d(t(d))£

ным числам.

Доказательство (аналогично рассуждениям, приведенным в [5, с. 196]). Имеем:

d>2d(i(d))e ¿2 vd

Пусть cn = 1/d, f (x) = x-e, C(x) = £ 1/d. Каждое d встречается в C(x) не более

t(d)=n 2<n<x t(d)=n

одного раза, все d | P, P = П Fn < 2x2, отсюда

2<n<x

C(x) < £' d = П < П (1 + p-) = °(ln x)

d | P p | P(1 + 1/p) n<x2 V

(согласно лемме 2.3). Применяем преобразование Абеля (см., например, [6, с. 224]):

^ d(t(d))e Xi1?^ ^ I ne ^ d )

d>2 v v >> 2<n<X у t(d)=n /

= lim (- f ex-1-£C(x)dx + C(X)X-e) = O(1).

у Л у

Лемма доказана.

Итак, для фиксированных ml5m2 > 2, таких, что m1 = m2 и Gmi, Gm2 < x, получаем (согласно лемме 2.1):

card {(pi ,p2) : Pi,P2 < x,pi - p2 = Gma - Gmi }< ci—^ JJ (d - d/p) 1 <

p | (Gm2 -Gmi )

x

< C87"2— g(Gm2 — Gm1 ), ln X

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2 где #(к) = П (1 + 1/р). Пусть теперь Б = Б(х) — число решений уравнения р — р2 = — в

V I к

множестве {(р,р2,СШ1 ,СШ2): р!,р2, СТО1, < х; ,т2 > 2}, а и(х) = тах{п : Сп < х}, тогда

Е /2(n,x) < Б(х) < С8' 2 g(G ) + С9 X.

n<x П X mi ,m2 G[2,U(x)],

m1 =m2

Согласно лемме 2.5, для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что

£ g(G

m1 ,m2 £[2,U (x)], m1 =m2

Далее, означает суммирование по бесквадратным числам (включая единицу, когда другое не оговорено), взаимно простым с числами a, b и с числом (а2 + ab — b2). Применяя теорему 1.1, находим:

П (1 + 1/p)-1 ■ Е g(Gm2 — Gmi) < £ d =

p|ab(a2 +ab-b2) m1 ,m2 S[2,U (x)], m1,m2e[2,U (x)], d | (Gm2-Gmi)

m1 =m2 m1=m2

= Е'd Е 1 < Е'dA(d, U(x)) = (U(X))2 + Е' dA(d, U(x)) =

d<x m1 ,m2e[2,U (x)], d<x 2<d<x

m1=m2,

d| (Gm2 Gm 1 )

= (U(x))2 + Е' dA(d,U(x))+ Е' dA(d,U(x)) < (U(x))2+

d: 2<d<x, d: 2<d<x,

U(x)<^/7(d) + 1 U(x)>^/t(d) + 1

+ £' 1(3U(x) — 2)+ Е' d56(U(x))2(t(d))-1/8 <

d: 2<d<x, d: 2<d<x,

u (xXVtW+1 u(x)>^/7(d)+1

< (U(x))2 + 3U(x) E d +56(U(x))2 £' d(t(d1))1/8 < С11 ln2 x.

Теорема доказана.

Автор благодарит своего научного руководителя В. Н. Чубарикова за ценные замечания. Библиографический список

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М. : Наука, 1978. of Romanoff // J. Chinese Math. Soc. 1951. № 1. P. 4092. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алго- 421.

ритмы. Сложность вычислений. М. : Дрофа, 2005. 5. ПРахаР К. Распределение простых чисел. М : Мир, .. 1967.

3. Romanoff N. P. Uber einige Satze der additiven c я г и n ^ -олгг^ Dz_r

" ь 6. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н.

Zahlentheorie // Math. A™. 1934. Vol. 109. р. 668-678. Лекции по математическому анализу. М. : Высш. шк.,

4. Erdos P. On some problems of Bellman and a theorem 1999.

Arithmetic Properties of Generalized Fibonacci Sequence and Their Consequences

A. N. Vassilyev

Kazakhstani Branch of Lomonosov Moscow State University, Republic of Kazakhstan, 010010, Astana, Kazhimukan str., 11, antonvassilyev@mail.ru

In this paper we obtain some arithmetic properties of generalized Fibonacci sequence and consider their applications. Key words: generalized Fibonacci, exponential sums, set's density.

References

1. Vorobiev N. N. Fibonacci Numbers. Basel; Boston; Berlin, Birkhauser Verlaf, 2002.

2. Gashkov S. B., Chubarikov V. N. Arifmetika. Algo-ritmy. Slozhnost' vychislenii [Arithmetics. Algorithms. The Complexity of Computations]. Moscow, Drofa, 2005 (in Russian).

3. Romanoff N. P. Über einige Satze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann., 1934, vol. 109, pp. 668-678.

4. Erdos P. On some problems of Bellman and a theorem

of Romanoff. J. Chinese Math. Soc., 1951, no. 1, pp. 409421.

5. Prahar K. Raspredelenie prostykh chisel [Distribution of Prime Numbers]. Moscow, Mir, 1967 (in Russian).

6. Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. Lektsii po matematicheskomu analizu [Lectures on Mathematical Analysis]. Moscow, Vysshaya Shkola, 1999 (in Russian).

УДК 511.34

ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С БЕСКВАДРАТНЫМИ ЧИСЛАМИ

Д. В. Горяшин

Ассистент кафедры математических и компьютерных методов анализа, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, goryashin@mech.math.msu.su

В работе получена асимптотическая формула для количества представлений натурального числа N в виде (1 + (2 + [а(з], где (1, (2, (з -- бесквадратные числа, а > 1 -- фиксированное иррациональное алгебраическое число.

Ключевые слова: тернарные задачи, бесквадратные числа, асимптотическая формула.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть а > 1 — фиксированное иррациональное число и пусть r3 (а, N) равно количеству разбиений натурального числа N на два бесквадратных слагаемых и слагаемое вида [aq], где q также бесквадратное, т. е. числу представлений числа N в виде

qi + q2 + [aq3] = N, (1)

где q1 ,q2,q3 — бесквадратные числа.

Целью данной работы является нахождение асимптотической формулы для величины r3(a,N) при N ^ го.

Задачи о представлении натурального числа суммой трех слагаемых (называемые тернарными задачами) рассматривались многими авторами. Наиболее известная среди них — тернарная проблема Гольдбаха о представлении натурального числа в виде суммы трех простых чисел, решенная в 1937 г. И. М. Виноградовым [1]. В 1999 г. С. Ю. Фаткина [2] рассмотрела видоизмененную проблему Гольдбаха и доказала асимптотическую формулу для числа представлений натурального числа N в виде N = p1 + p2 + [л/2р3], где p1, p2, p3 — простые числа с почти равными слагаемыми.

С другой стороны, в 1929-1933 гг. Эвелин (C. J. A. Evelyn) и Линфут (E. H. Linfoot) в серии работ [3] получили асимптотические формулы для количества rv(N) представлений числа в виде суммы v бесквадратных чисел, v ^ 2. Оценка остаточного члена в этих формулах в дальнейшем неоднократно уточнялась. Последний результат в этой задаче при v ^ 3 принадлежит Й. Брюдерну (J. Brüdern) и А. Перелли (A. Perelli) [4], которые доказали, что

1_ /_6

(v —Т)Г [Л

где е > 0 произвольно и

rv(N) = (¡т—Lï)i G"<N)N"-1+°(wv-3/2+e:

G<N)=П 1 -7^Г7)7 П

(p2 - 1W 11 V (p2 - 1)v-1

p2fN ' 7 p2|N V yF '

1