Об априорной оценке решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 15-20. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-15-20

УДК 517.956.6

ОБ АПРИОРНОЙ ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ

Ж. А. Балкизов, А. А. Сокуров

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: Giraslan@yandex

Доказана теорема об априорной оценке решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, из которой, в частности, следует единственность регулярного решения исследуемой задачи.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Трикоми, уравнение Лаврентьева-Бицадзе, априорная оценка решения задачи

(с) Балкизов Ж. А., Сокуров А. А., 2016

MSC 35M12

ABOUT THE A PRIORI ESTIMATE FOR SOLUTION OF TRICOMI PROBLEM FOR THE LAVRENTIEV-BITSADZE EQUATION

Zh.A. Balkizov, A. A. Sokurov

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: Giraslan@yandex

The theorem about the a priori estimate for the solution of Tricomi problem for Lavrentiev-Bitsadze equation is proved. From this theorem, in particular, follows the uniqueness of a regular solution of the investigated problem.

Key words: mixed type equation, Tricomi problem, Lavrentiev-Bitsadze equation, a priori estimate for the solution of the problem

© Balkizov Zh.A., Sokurov A.A., 2016

Введение

Уравнение Лаврентьева-Бицадзе (ЛБ) в работах [1]-[2] предложено как более простая модель уранений смешанного типа в смысле постановки и исследования смешанных задач. Методом сингулярных интегральных уравнений в работах [1]-[4] решена задача Трикоми для уравнения (ЛБ) для различных областей в эллиптической части. В данной работе получена априорная оценка решения задачи Трикоми для уравнения (ЛБ) в случае, когда область эллиптичности ограницена прямоугольником. Уравнение (ЛБ) встречается при решении таких важных вопросов прикладного характера, как задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, задачи безмоментной теории оболочек и т.д. Значительную роль такие уравнения играют и в задачах газовой динамики [5].

Постановка задачи

На евклидовой плоскости независимых переменных х и г рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе

Мхх + = - f (х, г), (1)

где и = и(х,г) - искомая функция; sgnг - знак числа г; г, ч |7+(х,г) при г > 0,

f (х,г) = < - заданная функция.

[/ (х,г) при г < 0

Через П обозначим область, ограниченную при г < 0 характеристиками АС : х + г = 0 и СВ : х — г = 1 уравнения (1), выходящими из точек А = (0,0) и В = (1,0), пересекающимися в точке С = (1/2, —1/2), а также прямоугольником с вершинами в точках А, В, А0 = (0, Т), В0 = (1, Т) при г > 0, 1 > 0, Т > 0. Верхнюю часть области П обозначим через П+, а нижнюю через П—.

Уравнение (1) является уравнением смешанного типа: оно эллиптично в области П+ и гиперболично в П—.

Регулярным в области П решением уравнения (1) назовем всякую функцию и = и(х,г) из класса С(П) ПС1(П) ПС2(П+) ПС2(П—), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.

В работе исследуется задача Трикоми для уравнения (1) в следующей постановке.

Задача Т. Найти регулярное в области П решение и = и(х,г) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

и (1, г) = и1 (г), и (0, г) = и3 (г), 0 ^ г ^ Т, (2)

и (х, Т) = и2 (х), 0 ^ х ^ 1, (3)

и (х, —х) = у (х), 0 ^ х ^ 1 /2, (4)

где и1 (г), и2 (х), и3 (г), у (х) - заданные достаточно гладкие функции и выполнены условия согласования: и3 (0) = у (0), и3 (Т) = и2 (0), и2 (1) = и1 (Т).

В дальнейшем будем предполагать, что f (х,г) е С(П) и решение задачи (1) - (4) существует. Решение задачи Коши для уравнения (1) в области П можно представить в виде

х+г г х+г—ц

и (х, г) = Т (х +г) + Т (х — г) + 1/V (<§) ^ +1/ / f (<§, П) ^dn, (5)

х—г 0 х—г+п

где т (х) = и (х, 0), V (х) = иг (х, 0). Учитывая условие (4) из (5) получим

о —х —п

и (х, —х) = т (0)+2 т (2х) + И V («) й« + 2! / / («, п) й« йп = V (х),

2х 0 2х+п

или

0 —х/2 —п

т(0) + т(х) + 1 0 V («) й« + и - /(«, п) й^йп = Г т. (6)

2 2 2 2

х 0 х+п

Дифференцируя (6) находим

—х/2

йх (х) — V (х) = их (х,0) — и (х, 0) = ^(2) + / /(х + п, п)йп, (7)

0

откуда

—х/2

V (х) = т'(х) — V (х) — I /(х + п, п) йп. (8)

0

Соотношение (8) - есть фундаментальное соотношение между функциями т(х) и V(х), принесенное из области 0.— на линию у = 0. Подставляя V(х) из (8) в (5), находим решение первой задачи Дарбу для уравнения (1) в области 0.—:

, , , , (х + А (х — г

и (х, г) = т (х+г) — ) + V

х+г —«/2 г х+г—п

— 1/ / /(« + п,п)йпй« + 2/ / /(«,п)й«йп. (9)

х—г 0 0 х—г+п

Для определения значения искомой функции и в области П + с учетом найденного выше фундаментального соотношения приходим к задаче (2), (3) и (8) для уравнения (1).

Априорная оценка

Обозначим через П+ = {(х,г): е < х < 1 — е, е < г < Т — е}, где е - произвольное, достаточно малое положительное число. Полагая условия (2) - (3) однородными, умножим уравнение (1) на и (х,г) и проинтегрируем по вспомогательной области П+. Применяя затем к полученному равенству формулу Грина, будем иметь

^ и (х,г) [ихх (х,г) + игг (х,г)] йхйг = J —и (х,г) иг (х,г) йх + и (х,г) их (х,г) йг—

— ^ [и2 (х, г) + и2 (х, г)] йхйг = — ^ и (х, г) / (х, г) йхйг, (10) где Г+ - граница вспомогательной области П+.

Перейдем в равенстве (10) к пределу при е ^ 0. Легко заметить, что при этом область П+ переходит в П+, а граница Г+ вспомогательной области П+ переходит в границу Г+ области П+. Тогда из (10) получим

а+

u (x, t) [uxx (x, t) + utt (x, t)] dxdt = J — u (x, t) ut (x, t) dx + u (x, t) ux (x, t) dt—

Г+

— JJ [W (x, t) + Uj2 (x, t)] dxdt = — JJ u (x, t) f (x, t) dxdt,

откуда с учетом однородных граничных условий (2) - (3) находим

(11)

/

Ju (x,0) ut (x, 0) dx + ||ux||2 + ||ut ||0 = JJu (x, t)f (x,t) dxdt. (12)

0 П+

Подставляя иг (х,0) из (7) в (12), приходим к равенству: 1

J —u (x, 0) х (x) dx + 11 ux |2 + ||ut ||j = JJ u (x, t) f (x, t) dxdt, (13)

0

—х/2

где X (х) = у' (|) + / f (х + п, П) ^п.

0

Пользуясь е-неравенством убеждаемся в справедливости неравенств:

1

JJ u (x, t) f (x, t) dxdt ^ JJ a+ a+

eiu2 (x, t) + — f2 (x, t)

„ „2 1 dxdt = e1 u 0 + -— 111 110 4e1

(14)

i i J —u (x, 0) х (x) dx ^ J

00 i

2

—£2u2 (X, 0) — 4^X2 (x)

dx =

= —.e2J u2 (x, 0) dx — 4^-

(15)

С учетом (14) - (15) неравенство (13) перепишется в следующем виде

i

—£2J u2 (x, 0) dx — 4^-

2 + ||ux||0 + ||ut||0 ^ £i ||u|2 + ^^

,2 1 12 +

4ei

(16)

Найдем теперь оценку для /и2 (х, 0) ¿х. Воспользовавшись неравенством Коши-

0

Буняковского, с учетом условия (3), получаем:

i / т

J u2 (x, 0) dx = J I J ut (x, t) dt I dx ^ J I T J u2 (x, t)

dt I dx =

00

00

и

2

i

i

I T

= T J j u2 (x, t) dxdt = T JJ uj (x, t) dxdt = T\\ut \\°;. (17)

0 0

С учетом (17) неравенство (16) перепишется в следующем виде

\К\\о2 + (1 - £jT) \\ut\\2 ^ £i \\u\0 + \\f+ ^ \\Х\о2. (18)

Оценим далее \\ux\o- Для этого заметим, что

(x \ 2 x I

J us (s, t) ds I ^ x J u (s, t) ds ^ x J u^ (x, t) dx. (19)

0/0 0 Проинтегрируем неравенство (19) сначала по x от 0 до I, а затем по t от 0 до T. Будем иметь

i 0 i I2

У и2 (x, t) dx ^ 2 J (x, t) dx, (20)

0 0

J I J и2 (x, t) dx I dt = JJ и2 (x, t) dxdt ^

0 \o / Й+

0 T / l . 0

, 12 - l2

^ 2J\J I ~ 2

0 \o /

j u^ (x, t) dx j dt = 2 JJ U2 (x, t) dxdt. (21)

Или же окончательно

2

12 N10 ^ lMl2. (22)

Для оценки ||ut||0 проинтегрируем неравенство

2 T

u2 (x, t)= I — J us (x, s) ds j < t^u2 (x, t) dt

t

по области П+, и, рассуждая аналогично, найдем:

А|Ы1 н2 т2

С учетом (22) и (23) из (18) получаем

^ l|u|0 ^ llut||0. (23)

M ||u||2 ^ ^r ll/ll2 + ^ llxll2, (24)

где M = j! + T2 — т2 — £i •

В силу произвольности е1 и е2 число М можно выбрать положительным. Тогда окончательно получим

1|и||2 ^ М1II/112 + М2 ||х 112, (25)

где М1 = , М2 = е2м.

Из априорной оценки (25) следует единственность регулярного решения исследуемой задачи.

Список литературы/References

[1] Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В., "К проблеме уравнений смешаннного типа", Доклады АН СССР, 70:3 (1950), 373-376, [Lavrent'ev M.A., Bitsadze A.V., K probleme uravneniy smeshannnogo tipa, Doklady AN SSSR, 70:3 (1950), 373-376 (in Russian)].

[2] Бицадзе А.В., Уравнения смешанного типа, Издательство Академии наук СССР, М., 1959, 164 с., [Bitsadze A.V., Uravneniya smeshannogo tipa, Izdatel'stvo Akademii nauk SSSR, M., 1959, 164 p. (in Russian)].

[3] Чибрикова Л.И., "К решению краевой задачи Трикоми для уравнения u« + sgnyw^ = 0", Ученые записки Казанского университета, 117:9 (1957), 48-51, [Chibrikova L.I. K resheniyu kraevoy zadachi Trikomi dlya uravneniya wxx + sgnywyy = 0, Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta, 117:9 (1957), 48-51 (in Russian)].

[4] Крикунов Ю.М., "К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе", Известия ВУЗов. Математика, 1974, №2, 76-81, [Krikunov Yu.M. K zadache Trikomi dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze, Izvestiya VUZov. Matematika, 1974, №2, 76-81 (in Russian)].

[5] Франкль Ф.И., "Два газодинамических приложения краевой задачи Лаврентьева-Бицадзе", Вестник ЛГУ. Серия математика, механика и астрономия, 6:11 (1951), 37, [Frankl' F.I. Dva gazodinamicheskikh prilozheniya kraevoy zadachi Lavrent'eva-Bitsadze, Vestnik LGU. Seriya matematika, mekhanika i astronomiya, 6:11 (1951), 3-7 (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Лаврентьев М.А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешаннного типа // Доклады АН СССР. 1950. Т. 70. №3. С. 373-376

[2] Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959. 164 с.

[3] Чибрикова Л. И. К решению краевые задачи Трикоми для уравнения wxx + sgnywyy = 0 // Ученые записки Казанского университета. 1957. Т. 117. №9. 48-51

[4] Крикунов Ю. М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия ВУЗов. Математика. 1974. №2. C. 76-81

[5] Франкль Ф.И. Два газодинамических приложения краевоq задачи Лаврентьева-Бицадзе // Вестник ЛГУ. Серия математика, механика и астрономия. 1951. Т. 6. № 11. С. 3-7.

Для цитирования: Балкизов Ж. А., Сокуров А. А. Об априорной оценке решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-1(16). C. 15-20. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-15-20

For citation: Balkizov Zh.A., Sokurov A.A. About the a priori estimate for solution of Tricomi problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 15-20. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-15-20

Поступила в редакцию I Ortginal article submitted: 23.ii.20i6