Об анализе непараметрических алгоритмов идентификации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2018

УДК 52-601

ОБ АНАЛИЗЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ

А. В. Шишкина

Сибирский федеральный университет Институт космических и информационных технологий Российская Федерация, 660074, Красноярск, ул. Академика Киренского 26Б E-mail: [email protected]

Рассматривается задача идентификации динамических объектов в условиях непараметрической неопределенности в процессе их нормального функционирования. При этом строится непараметрическая оценка весовой функции системы по наблюдениям (вход-выход), но глубина памяти объекта неизвестна. В основе данной работы лежит использование интеграла Дюамеля, что эквивалентно соблюдению принципа суперпозиции. Приведены непараметрические алгоритмы идентификации объекта в условиях нормального функционирования.

Ключевые слова: интеграл Дюамеля, переходная функция, весовая функция, дельтаобразное входное воздействие.

ON THE ANALYSIS OF NONPARAMETRIC IDENTIFICATION ALGORITHMS

A. V. Shishkina

Siberian Federal University Institute of Space and Information Technologies 26B, Academician Kirensky Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: [email protected]

The problem of identifying dynamic objects under conditions of nonparametric uncertainty in the process of their normal functioning is considered. In this case, a nonparametric estimation of the weighting function of the system from observations (input-output) is constructed, but the depth of the object's memory is unknown. The basis of this paper is the use of the Duhamel integral, which is equivalent to observing the principle of superposition. Nonparametric algorithms for identifying an object under normal operation conditions are given.

Keywords: Duhamel integral, transition function, weight function, delta input action.

Введение. В данных тезисах, речь пойдет о задаче идентификации динамических объектов в условиях непараметрической неопределенности в процессе их нормального функционирования. Особенностью, которой являются способы получения оценки весовой функции. В основе данной работы лежит использование интеграла Дюамеля, что эквивалентно соблюдению принципа суперпозиции. Приведены алгоритмы идентификации в условиях нормального функционирования объектом. Рассмотрены три способа получения оценки весовой функции, с использованием функции Хевисайда, дельтаобразного входного воздействия и при произвольном входном воздействии.

Постановка задачи. Пусть объект представляет собой динамическую систему и описывается уравнением хг = f (хг_х, х,_2, и,), где f () - неизвестный функционал; и1 - управляющее воздействие; х1 - выходная переменная процесса.

Блок-схема рассматриваемого динамического процесса представлена на рис. 1 [1], где приняты следующие обозначения: Х1 - выход модели объекта; и, - управляющее воздействие; (,) - непрерывное

время, , - дискретное время; , ^ - случайные помехи, действующие на объект и в канале измерения выходной переменной объекта с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Контроль переменных осуществляется через интервал времени Д,. Таким образом, можно получить исходную выборку входных - выходных переменных {х.., и1, i = 1, s}, где 5 - объем выборки.

Рис. 1. Блок-схема системы идентификации

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Рис. 2. Результаты выхода объекта при синусоидальном входном воздействии

Алгоритмы идентификации дискретно-непрерывных процессов. Пусть объект описывается линейным дифференциальным уравнением неизвестного порядка. В этом случае, при нулевых начальных условиях x(t) находится как

x(t) = | h(t-x)u (x)d x

(1)

T

k (t) =—X KH

ft -1, ^

(2)

где к - переходная функция; t¡ - дискретность времени измерения; 5 - объем выборки; с, - параметр

размытости; Н - колоколообразная функция; Т - период наблюдения [2].

Поскольку, весовая функция к(() является производной переходной к(,), то

И(0=—±к,н

вс, ,=о

f t -1.^

(3)

Второй случай. Весовую функцию можно полу чить, подавая на вход объекта не дельта, а дельтаоб разную функцию, Дt - интервал дискретизации ' 1

при

8(t, l ) =

t eAt,

(4)

Д,

О, при t е Дt.

Третий случай. Зная, управляющие воздействие и(,) и выход объекта х(,), весовую функцию из (1) можно представить в дискретном виде следующим образом:

= х, -(Xи,Дт + ХК),i = 1,5 , (5) ¡■=1 ¡=1

где к0 - начальное значение весовой функции.

Таким образом, непараметрическая модель процесса имеет следующий вид:

(t)=—js kh

Г. i=1

где к(г -т) - весовая функция, является производной переходной функции к({) = к (,).

Данная задача сводится к построению оценки весовой функции, поэтому первое, что необходимо сделать - снять переходную функцию.

Как было сказано ранее, весовую функцию можно получить разными способами.

Первый случай. Пусть объект описывается линейным дифференциальным уравнением неизвестного порядка. При нулевых начальных условиях, х(,) находится по формуле (1).

Переходная функция есть реакция объекта на входное воздействие, в данном случае, в виде функции Хэвисайда и (,) = 1(,). Алгоритм оценивания переходной функции имеет вид[2]

f t -1, ^

0 ,=1 T_ sc.

u (x)d x =

(6)

-JX h,.u(x)dx,

"s 0 '=!

где ki - переходная функция; hi - весовая функция; cs - параметр размытости; s - объем выборки; T -

период наблюдения.

Вычислительный эксперимент. Для эксперимента был взят объект второго порядка. Опишем уравнение вида:

xt = 0.33ut + 0.25xt-1 - 0.33xt-2 (7)

где в качестве произвольного входного сигнала в условиях нормальной эксплуатации объекта подадим функцию следующего вида: ut = sin(0.1-1) • A , A - амплитуда колебаний.

Нижеследующий рисунок иллюстрирует качество работы модели при 3 % помехе.

Заключение. Основной результат данной работы состоит в решении задачи идентификации при нормальном функционировании объекта. Многочисленные вычислительные эксперименты наглядно показывают, что с уменьшением амплитуды колебаний точность построенной модели снижается.

Библиографические ссылки

1. Цыпкин Я. З. Адаптации и обучение в автоматических системах. М. : Наука, 1968. 400 с.

2. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник СибГАУ. 2010. № 4 (30). С. 4-9.

References

1. Tsypkin Ja. Z. Adaptatsija i obuchenie v av-tomaticheskikh sistemakh [Adaptation and learning in automatic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1968. 400 p.

2. Medvedev A. V. [The theory of nonparametric systems. Simulation]. Vestnik SibGAU. 2010, No. 4 (30), P. 4-9. (In Russ.)

© Шишкина А. В., 2018

x